第4章冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)（基礎(chǔ)、典型、易錯(cuò)、壓軸）分類(lèi)專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練【基礎(chǔ)】一、單選題1．（2022·上?！じ咭粏卧獪y(cè)試）在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)（且）的圖象關(guān)系可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象以及直線(xiàn)方程與圖象關(guān)系分別進(jìn)行討論即可．【詳解】．由對(duì)數(shù)圖象知，此時(shí)直線(xiàn)的縱截距，矛盾，．由對(duì)數(shù)圖象知，此時(shí)直線(xiàn)的縱截距，矛盾，．由對(duì)數(shù)圖象知，此時(shí)直線(xiàn)的縱截距，保持一致，．由對(duì)數(shù)圖象知，此時(shí)直線(xiàn)的縱截距，矛盾，故選：．2．（2022·上海·高一單元測(cè)試）已知，則函數(shù)的圖像必定不經(jīng)過(guò)（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象結(jié)合圖象的平移可得正確的選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，故的圖象經(jīng)過(guò)第一象限和第二象限，且當(dāng)越來(lái)越大時(shí)，圖象與軸無(wú)限接近.因?yàn)?，故的圖象向下平移超過(guò)一個(gè)單位，故的圖象不過(guò)第一象限.故選：A．二、填空題3．（2022·上?！じ咭粏卧獪y(cè)試）已知為常數(shù)，函數(shù)為冪函數(shù)，則的值為_(kāi)_____;【答案】或1【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義可得，解方程即可.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)為冪函數(shù)，則，即，解得或.故答案為：或1.4．（2022·上?！じ咭粏卧獪y(cè)試）不等式的解集為_(kāi)__________.【答案】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可.【詳解】由題設(shè)，可得：，則，∴不等式解集為.故答案為：.5．（2022·上?！じ咭粏卧獪y(cè)試）冪函數(shù)的圖像在第___________象限.【答案】一、二【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義域及對(duì)應(yīng)值域，即可確定圖像所在的象限.【詳解】由解析式知：定義域?yàn)?，且值域，∴函?shù)圖像在一、二象限.故答案為：一、二.6．（2022·上海市控江中學(xué)高一期末）若冪函數(shù)是嚴(yán)格增函數(shù)，則實(shí)數(shù)______.【答案】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義及函數(shù)的單調(diào)性求解即可.【詳解】因?yàn)槭莾绾瘮?shù)，所以，解得，又因?yàn)槭菄?yán)格增函數(shù)所以，故答案為：7．（2022·上?！じ咭粏卧獪y(cè)試）不等式的解集是_____________.【答案】【分析】化為同底數(shù)冪，然后利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解【詳解】由，得，所以，解得，所以不等式的解集為，故答案為：8．（2022·上?！じ咭粏卧獪y(cè)試）不等式的解集為_(kāi)_____．【答案】【分析】根據(jù)給定不等式利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性求解即可作答.【詳解】依題意，不等式化為：，而函數(shù)在R上單調(diào)遞增，解得，所以不等式的解集為.故答案為：9．（2022·上?！じ咭粏卧獪y(cè)試）若對(duì)數(shù)函數(shù)且）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則實(shí)數(shù)______.【答案】2【分析】直接將點(diǎn)代入計(jì)算即可.【詳解】將點(diǎn)代入得，解得故答案為：2.10．（2022·上海·高一單元測(cè)試）函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)_______．【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)特征得到不等式組，求出定義域.【詳解】由題意得：，解得：且，故函數(shù)的定義域?yàn)楣蚀鸢笧椋?1．（2022·上?！ね瑵?jì)大學(xué)第二附屬中學(xué)高一期末）已知函數(shù)的圖像恒過(guò)定點(diǎn)，則的坐標(biāo)為_(kāi)____________.【答案】【解析】由過(guò)定點(diǎn)（0,1），借助于圖像平移即可.【詳解】過(guò)定點(diǎn)（0,1），而可以看成的圖像右移3個(gè)單位，再下移2個(gè)點(diǎn)位得到的，所以函數(shù)的圖像恒過(guò)定點(diǎn)即A故答案為：【點(diǎn)睛】指數(shù)函數(shù)圖像恒過(guò)（0,1），對(duì)數(shù)函數(shù)圖像恒過(guò)（1,0）.12．（2022·上?！じ咭粏卧獪y(cè)試）冪的基本不等式是：當(dāng)，時(shí)，________1恒成立【答案】【解析】根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，直接判斷符號(hào).【詳解】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知當(dāng)時(shí)，.故答案為：13．（2022·上海浦東新·高一期末）已知冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則______.【答案】【分析】先根據(jù)待定系數(shù)法求得函數(shù)的解析式，然后可得的值．【詳解】由題意設(shè)，∵函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，∴，∴，∴，∴．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查冪函數(shù)的定義及解析式，解題時(shí)注意用待定系數(shù)法求解函數(shù)的解析式，屬于基礎(chǔ)題．【典型】一、單選題1．（2020·上海·高一單元測(cè)試）已知冪函數(shù)y＝f(x)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3，)，則f(x)（

）A．是偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是增函數(shù)B．是偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)C．是奇函數(shù)，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)D．是非奇非偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是增函數(shù)【答案】D【分析】利用冪函數(shù)的定義求得指數(shù)的值，得到冪函數(shù)的解析式，進(jìn)而結(jié)合冪函數(shù)的圖象判定單調(diào)性和奇偶性【詳解】設(shè)冪函數(shù)的解析式為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式得，解得，∴，函數(shù)的定義域?yàn)?是非奇非偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，故選：D.2．（2021·上?！じ咭粚?zhuān)題練習(xí)）設(shè)α∈，則使函數(shù)y＝xα的定義域?yàn)镽的所有α的值為（

）A．1,3 B．－1,1 C．－1,3 D．－1,1,3【答案】A【分析】利用冪函數(shù)的性質(zhì)逐一驗(yàn)證選項(xiàng)即可．【詳解】當(dāng)時(shí)，函數(shù)y＝的定義域?yàn)?，不是R，所以不成立；當(dāng)時(shí)，函數(shù)y＝的定義域?yàn)椋皇荝，所以不成立；當(dāng)或時(shí)，滿(mǎn)足函數(shù)y＝xα的定義域?yàn)镽，故選：A.3．（2020·上?！じ裰轮袑W(xué)高一期末）已知函數(shù)的圖象不經(jīng)過(guò)第四象限，則實(shí)數(shù)滿(mǎn)足A． B．C． D．【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象不經(jīng)過(guò)第四象限，所以當(dāng)時(shí)，，所以．【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象不經(jīng)過(guò)第四象限，所以當(dāng)時(shí)，，.故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．二、填空題4．（2022·上海市大同中學(xué)高一期末）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為_(kāi)_．【答案】【解析】首先求函數(shù)的定義域，再利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的增區(qū)間.【詳解】由，得或．函數(shù)的定義域?yàn)?，，．?dāng)時(shí)，內(nèi)函數(shù)為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，內(nèi)函數(shù)為增函數(shù)，而外函數(shù)為減函數(shù)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．故答案為：．5．（2021·上海·高一課時(shí)練習(xí)）若，則x的取值范圍是_______．【答案】【分析】先求函數(shù)定義域，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解.【詳解】解：該函數(shù)的定義域?yàn)椋?，，又在定義域上單調(diào)遞減，故，解得：，綜上x(chóng)的取值范圍是.故答案為：6．（2021·上?！じ咭粏卧獪y(cè)試）已知，，則______.【答案】【分析】求出集合、，然后利用交集的定義可求出集合.【詳解】解不等式，得，解得，則.解不等式，即，解得，則.因此，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查交集的計(jì)算，同時(shí)也考查了指數(shù)不等式和分式不等式的求解，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.7．（2021·上?！じ咭粏卧獪y(cè)試）設(shè)，若是偶函數(shù)，則的單調(diào)遞減區(qū)間是__________.【答案】【分析】由函數(shù)是偶函數(shù),可得,從而得出的解析式,再根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)可得答案.【詳解】由于函數(shù)是偶函數(shù),所以，即，又，所以,得,所以,根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)可知:在是單調(diào)遞增，所以函數(shù)在是單調(diào)遞增，由于是偶函數(shù),所以函數(shù)在上單調(diào)遞減..故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查冪函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.8．（2021·上?！じ咭粚?zhuān)題練習(xí)）函數(shù)不經(jīng)過(guò)第_________象限.【答案】二【分析】作出函數(shù)的圖象，即可得出結(jié)論.【詳解】，，則，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：由圖象可知，函數(shù)的圖象不經(jīng)過(guò)第二象限.故答案為二.【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)型函數(shù)圖象的應(yīng)用，作出函數(shù)的圖象是解題的關(guān)鍵，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題9．（2021·上海市金山中學(xué)高一期中）設(shè)，其中為實(shí)數(shù)．（1）設(shè)集合，集合，若，化簡(jiǎn)集合、集合并求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若集合中的元素有且僅有2個(gè)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1），；（2）.【分析】（1）利用對(duì)數(shù)的定義求得函數(shù)的定義域，得到集合,利用指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)求得集合根據(jù)集合間的包含關(guān)系求得a的取值范圍.（2）利用對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算法則和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)將C中的方程等價(jià)轉(zhuǎn)化為二次方程，并注意根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域求得x的取值范圍，將此對(duì)數(shù)方程等價(jià)轉(zhuǎn)化后，分離參數(shù)，利用二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，采用數(shù)形結(jié)合的方法轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)與二次函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)的問(wèn)題求解即得.【詳解】解：（1）化簡(jiǎn)，又，所以（2）由，得等價(jià)于，且，設(shè)，在上嚴(yán)格增，在上嚴(yán)格減，g(1)=1,g(3)=3,g(x)在(0,3)內(nèi)的圖象如圖所示.

由題意等價(jià)于直線(xiàn)與函數(shù)在上恰有兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí).10．（2021·上?！じ咭粚?zhuān)題練習(xí)）討論冪函數(shù)(a為有理數(shù))的定義域【答案】答案見(jiàn)解析【分析】由已知函數(shù)是冪函數(shù)，分，{負(fù)整數(shù)}，以及且互質(zhì))和且互質(zhì))，分別求出函數(shù)的定義域．【詳解】(1)若，則，這是函數(shù)的定義域?yàn)?(2)若{負(fù)整數(shù)}，則，這時(shí)函數(shù)的定義域是(3)若且互質(zhì))，則：①是偶數(shù)，，這是函數(shù)的定義域是；②是奇數(shù)，，這時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)?4)若且互質(zhì))，則：①是偶數(shù)，，這是函數(shù)的定義域是；②是奇數(shù)，，這時(shí)函數(shù)的定義域是.【易錯(cuò)】一．選擇題（共1小題）1．（2020秋?普陀區(qū)校級(jí)期末）設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，若函數(shù)f（x）滿(mǎn)足條件：存在[a，b]?D，使f（x）在[a，b]上的值域是[，]，則稱(chēng)f（x）為“倍縮函數(shù)”，若函數(shù)f（x）＝log2（2x+t）為“倍縮函數(shù)”，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（）A．（0，） B．（﹣∞，） C．（0，] D．（﹣∞，]【分析】根據(jù)“倍縮函數(shù)”的定義，構(gòu)造出方程組，利用方程組的解都大于0，求出t的取值范圍．【解答】解：∵函數(shù)f（x）＝f（x）＝log2（2x+t）為“倍縮函數(shù)”，且滿(mǎn)足存在[a，b]?D，使f（x）在[a，b]上的值域是[，]，∴f（x）在[a，b]上是增函數(shù)；∴，即，∴a，b是方程2x﹣+t＝0的兩個(gè)根，設(shè)m＝＝，則m＞0，此時(shí)方程為m2﹣m+t＝0即方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，且兩根都大于0；∴，解得：0＜t＜，∴滿(mǎn)足條件t的范圍是（0，），故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)的值域問(wèn)題，利用對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，是解決本題的關(guān)鍵．二．填空題（共3小題）2．（2020秋?奉賢區(qū)校級(jí)月考）若函數(shù)y＝ax（a＞0，a≠1）在區(qū)間[1，2]上的最大值和最小值之和為6，則實(shí)數(shù)a＝2．【分析】?jī)煞N情況：（1）當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)y＝ax在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)，所以ymax＝a2ymin＝a，由于最小值和最大值之和6，所以建立方程a2+a＝6解得：a＝2或﹣3（負(fù)值舍去）（2）0＜a＜1，函數(shù)y＝ax在區(qū)間[1，2]上是減函數(shù)，所以：ymax＝aymin＝a2，由于最小值和最大值之和6，所以建立方程，即a2+a＝6，解得：a＝2或﹣3，因?yàn)?＜a＜1，所以都舍去．【解答】解：（1）當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)y＝ax在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)，所以ymax＝a2，ymin＝a，由于最小值和最大值之和6，即：a2+a＝6，解得：a＝2或﹣3（負(fù)值舍去）；（2）0＜a＜1，函數(shù)y＝ax在區(qū)間[1，2]上是減函數(shù)，所以：ymax＝a，ymin＝a2，由于最小值和最大值之和6，即：a2+a＝6，解得：a＝2或﹣3，而0＜a＜1，故都舍去；故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的分類(lèi)討論，解一元二次方程等相關(guān)的運(yùn)算問(wèn)題．3．（2021秋?普陀區(qū)校級(jí)期中）若函數(shù)y＝loga（x2﹣ax+1）有最小值，則a的取值范圍是1＜a＜2．【分析】先根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)g（x）＝x2﹣ax+1的單調(diào)性，進(jìn)而分a＞1和0＜a＜1兩種情況討論：①當(dāng)a＞1時(shí)，考慮對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)得到x2﹣ax+1的函數(shù)值恒為正；②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，Δ＝a2﹣4＜0恒成立，x2﹣ax+1沒(méi)有最大值，從而不能使得函數(shù)y＝loga（x2﹣ax+1）有最小值．最后取這兩種情形的并集即可．【解答】解：令g（x）＝x2﹣ax+1（a＞0，且a≠1），①當(dāng)a＞1時(shí)，y＝logax在R+上單調(diào)遞增，∴要使y＝loga（x2﹣ax+1）有最小值，必須g（x）min＞0，∴Δ＜0，解得﹣2＜a＜2∴1＜a＜2；②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，g（x）＝x2﹣ax+1沒(méi)有最大值，從而不能使得函數(shù)y＝loga（x2﹣ax+1）有最小值，不符合題意．綜上所述：1＜a＜2；故答案為：1＜a＜2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的值域最值，著重考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，突出分類(lèi)討論與轉(zhuǎn)化思想的考查，是中檔題．4．（2021秋?楊浦區(qū)校級(jí)月考）已知f（x）＝m（x﹣2m）（x+m+3），g（x）＝2x﹣2，若滿(mǎn)足對(duì)于任意x∈R，f（x）＜0和g（x）＜0至少有一個(gè)成立．則m的取值范圍是（﹣4，0）．【分析】先判斷函數(shù)g（x）的取值范圍，然后根據(jù)f（x）＜0和g（x）＜0至少有一個(gè)成立．則m的取值范圍是【解答】解：∵g（x）＝2x﹣2，當(dāng)x≥1時(shí)，g（x）≥0，又∵?x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0，∴f（x）＝m（x﹣2m）（x+m+3）＜0在x≥1時(shí)恒成立，即m（x﹣2m）（x+m+3）＜0在x≥1時(shí)恒成立，則二次函數(shù)y＝m（x﹣2m）（x+m+3）圖象開(kāi)口只能向下，且與x軸交點(diǎn)都在（1，0）的左側(cè)，∴，即，解得﹣4＜m＜0，∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是：（﹣4，0）．故答案為：（﹣4，0）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)條件確定f（x）＝m（x﹣2m）（x+m+3）＜0在x≥1時(shí)恒成立是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，難度較大．三．解答題（共3小題）5．（2021秋?金山區(qū)校級(jí)月考）已知函數(shù)f（x）＝loga（ax﹣1）（a＞0，a≠1）．（1）討論函數(shù)f（x）的定義域；（2）當(dāng)a＞1時(shí)，解關(guān)于x的不等式：f（x）＜f（1）；（3）當(dāng)a＝2時(shí)，不等式f（x）﹣log2（1+2x）＞m對(duì)任意實(shí)數(shù)x∈[1，3]恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【分析】（1）由ax﹣1＞0，得ax＞1下面分類(lèi)討論：當(dāng)a＞1時(shí)，x＞0；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，x＜0即可求得f（x）的定義域（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解答即可；（3）令g（x）＝f（x）﹣log2（1+2x）＝log2（1﹣在[1，3]上是單調(diào)增函數(shù)，只需求出最小值即可．【解答】解：（1）由ax﹣1＞0，得ax＞1．當(dāng)a＞1時(shí)，x＞0；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，x＜0．所以f（x）的定義域是當(dāng)a＞1時(shí)，x∈（0，+∞）；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，x∈（﹣∞，0）．（2）當(dāng)a＞1時(shí)，任取x1、x2∈（0，+∞），且x1＜x2，則＜，所以﹣1＜﹣1．因?yàn)閍＞1，所以loga（﹣1）＜loga（﹣1），即f（x1）＜f（x2）．故當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．∵f（x）＜f（1）；∴ax﹣1＜a﹣1，∵a＞1，∴x＜1，又∵x＞0，∴0＜x＜1；（3）∵g（x）＝f（x）﹣log2（1+2x）＝log2（1﹣在[1，3]上是單調(diào)增函數(shù)，∴g（x）min＝﹣log23，∵m＜g（x），∴m＜﹣log23，即m∈（﹣∞，﹣log23）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的定義域、單調(diào)性、值域的問(wèn)題，屬于中檔題．6．（2019秋?浦東新區(qū)校級(jí)期末）已知函數(shù)f（x）＝的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，其中a為常數(shù)．（1）求a的值；（2）當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f（x）+（x﹣1）＜m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（3）若關(guān)于x的方程f（x）＝（x+k）在[2，3]上有解，求k的取值范圍．【分析】（1）函數(shù)f（x）＝的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，可得f（x）+f（﹣x）＝0，整理得+＝0恒成立，即可得出答案（2）x∈（1，+∞）時(shí)，f（x）+（x﹣1）＜m恒成立，求出x∈（1，+∞）時(shí)，f（x）+（x﹣1）的最大值，即可解出m的取值范圍（3）由于f（x）＝在[2，3]上是增函數(shù)，g（x）＝（x+k）在[2，3]上是減函數(shù)，可得出，兩函數(shù)圖象在所給區(qū)間上有交點(diǎn)，由此可通過(guò)比較兩函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值的大小得出，解之即可得出答案．另解：運(yùn)用對(duì)數(shù)相等的條件，以及參數(shù)分離法和函數(shù)的單調(diào)性，可得所求范圍．【解答】解：（1）函數(shù)f（x）＝的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，∴f（x）+f（﹣x）＝0，即+＝0，∴（）＝0，∴＝1恒成立，即1﹣a2x2＝1﹣x2，即（a2﹣1）x2＝0恒成立，所以a2﹣1＝0，解得a＝±1，又a＝1時(shí)，f（x）＝無(wú)意義，故a＝﹣1；（2）x∈（1，+∞）時(shí)，f（x）+（x﹣1）＜m恒成立，即+（x﹣1）＜m，∴（x+1）＜m在（1，+∞）恒成立，由于y＝（x+1）是減函數(shù)，故當(dāng)x＝1，函數(shù)取到最大值﹣1，∴m≥﹣1，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是[﹣1，+∞）；（3）f（x）＝在[2，3]上是增函數(shù)，g（x）＝（x+k）在[2，3]上是減函數(shù)，∴只需要即可保證關(guān)于x的方程f（x）＝（x+k）在[2，3]上有解，下解此不等式組．代入函數(shù)解析式得，解得﹣1≤k≤1，即當(dāng)﹣1≤k≤1時(shí)關(guān)于x的方程f（x）＝（x+k）在[2，3]上有解．另解：f（x）＝（x+k）即為log＝（x+k），即x+k＝，即有k＝在[2，3]上有解，設(shè)h（x）＝（2≤x≤3），h（x）＝﹣（x﹣1）在[2，3]遞減，可得h（x）∈[﹣1，1]，所以k的范圍為[﹣1，1]．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)恒成立問(wèn)題的解法及對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用，屬于有一定難度的題，本題考查了數(shù)形結(jié)合的思想，轉(zhuǎn)化化歸的思想，屬于靈活運(yùn)用知識(shí)的好題7．（2018秋?寶山區(qū)校級(jí)期中）我國(guó)加入WTO后，根據(jù)達(dá)成的協(xié)議，若干年內(nèi)某產(chǎn)品關(guān)稅與市場(chǎng)供應(yīng)量P的關(guān)系允許近似的滿(mǎn)足：（其中t為關(guān)稅的稅率，且）．（x為市場(chǎng)價(jià)格，b、k為正常數(shù)），當(dāng)t＝時(shí)的市場(chǎng)供應(yīng)量曲線(xiàn)如圖（1）根據(jù)圖象求k、b的值；（2）若市場(chǎng)需求量為Q，它近似滿(mǎn)足．當(dāng)P＝Q時(shí)的市場(chǎng)價(jià)格稱(chēng)為市場(chǎng)平衡價(jià)格．為使市場(chǎng)平衡價(jià)格控制在不低于9元，求稅率t的最小值．【分析】第一問(wèn)能根據(jù)圖象求出k、b的值．第二問(wèn)能根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)，并能在定義域內(nèi)求函數(shù)的最小值．考查的知識(shí)綜合性較強(qiáng)，對(duì)學(xué)生理解題意的能力也是一個(gè)挑戰(zhàn)．【解答】解：（1）由圖可知，解得（2）當(dāng)P＝Q時(shí)，得解得：令，∵x≥9，∴m∈（0，]，則t＝，∴對(duì)稱(chēng)軸m＝∈（0，]，且開(kāi)口向下；∴時(shí)，t取得最小值，此時(shí)x＝9∴稅率t的最小值為．【點(diǎn)評(píng)】此題是個(gè)指數(shù)函數(shù)的綜合題，但在求解的過(guò)程中也用到了構(gòu)造函數(shù)的思想及二次函數(shù)在定義域內(nèi)求最值的知識(shí)．考查的知識(shí)全面而到位！【壓軸】一、單選題1．（2022·上海閔行·高一期末）已知關(guān)于的不等式的解集是，不等式的解集是，有下列兩個(gè)結(jié)論：①存在，使；②對(duì)任意的，都有；則（

）A．①②均正確 B．①②均錯(cuò)誤C．①正確②錯(cuò)誤 D．①錯(cuò)誤②正確【答案】D【分析】由已知得，根據(jù)，若，則，結(jié)合函數(shù)的圖象，可判斷①由，轉(zhuǎn)化為對(duì)任意的，有，求得，只需作差比較與的大小可判斷②.【詳解】由已知得，所以不等式的解集是，不等式的解集是，所以，若，則，結(jié)合函數(shù)的圖象，不可能是，故①錯(cuò)誤；因?yàn)?，則對(duì)任意的，有，解得，即，現(xiàn)比較與的大小，，因?yàn)椋?，所以?duì)任意的，都有，②對(duì).故選：D.二、填空題2．（2022·上海·高一單元測(cè)試）若定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿(mǎn)足：對(duì)任意能構(gòu)成三角形三邊長(zhǎng)的實(shí)數(shù)，均有，，也能構(gòu)成三角形三邊長(zhǎng)，則m的最大值為_(kāi)_____．（是自然對(duì)數(shù)的底）【答案】##【分析】不妨設(shè)三邊的大小關(guān)系為：，利用函數(shù)的單調(diào)性，得出，，的大小關(guān)系，作為三角形三邊則有任意兩邊之和大于第三邊，再利用基本不等式求出邊的范圍得出的最大值即可.【詳解】在上嚴(yán)格增，所以，不妨設(shè)，因?yàn)閷?duì)任意能構(gòu)成三角形三邊長(zhǎng)的實(shí)數(shù)，均有，，也能構(gòu)成三角形三邊長(zhǎng)，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)閷?duì)任意都成立，所以，所以，所以，所以，所以m的最大值為．故答案為：.3．（2022·上海交大附中高一期末）某同學(xué)向王老師請(qǐng)教一題：若不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．王老師告訴該同學(xué)：“恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，且在有零點(diǎn)”．根據(jù)王老師的提示，可求得該問(wèn)題中的取值范圍是__________．【答案】【解析】由參變量分離法可得出，利用已知條件求出函數(shù)在上的最小值，由此可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】，，由可得，由于不等式恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，且存在，使得，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原則進(jìn)行求解：（1），；（2），；（3），；（4），.三、解答題4．（2020·上?！とA東師范大學(xué)第一附屬中學(xué)高一階段練習(xí)）若函數(shù)，對(duì)任意的，總存在，使得，則稱(chēng)函數(shù)具有性質(zhì).（1）判斷函數(shù)和是否具有性質(zhì)，并說(shuō)明理由；（2）若函數(shù)具有性質(zhì)，求的值；（3）已知函數(shù)具有性質(zhì)，求的值.【答案】（1）具有性質(zhì)；不具有性質(zhì)，理由見(jiàn)解析；（2）；（3）.【分析】（1）運(yùn)用所給的定義，結(jié)合指數(shù)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行判斷即可；（2）根據(jù)所給的定義，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可；（3）根據(jù)所給的定義，結(jié)合一元二次方程根的判斷式和根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解即可【詳解】（1），具有性質(zhì)；又因?yàn)闀r(shí)，，所以不具有性質(zhì)；（2）因?yàn)槭菃握{(diào)遞增函數(shù)，所以函數(shù)值域?yàn)?，由題知具有性質(zhì)等價(jià)于，所以解得；（3），該方程有實(shí)數(shù)根，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)有，由題意可知：函數(shù)具有性質(zhì)，設(shè)的兩個(gè)實(shí)根為，則有，因?yàn)?，所以解得?【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是對(duì)題中所給定義的理解，對(duì)指數(shù)運(yùn)算和對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的掌握，以及判別式法的應(yīng)用.5．（2020·上海市奉賢區(qū)奉城高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）若函數(shù)定義域的為，對(duì)任意的，恒有，則稱(chēng)為“形函數(shù)”.（1）當(dāng)時(shí)，判斷是否為“形函數(shù)”.并說(shuō)明理由:（2）當(dāng)時(shí)，證明:是“形函數(shù)”（3）當(dāng)時(shí)，若為“形函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）或.【解析】（1）可以舉反例說(shuō)明；（2）由，作差比較大小即可證得；（3）根據(jù)題意得恒成立，分、和依次求解即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，不是為“形函數(shù)”.取，不滿(mǎn)足；（2）當(dāng)時(shí)，，，所以，所以是“形函數(shù)”；（3）當(dāng)時(shí)，若為“形函數(shù)”，則，即則恒成立，當(dāng)時(shí)，上式成立；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，解得；?dāng)時(shí)，，顯然無(wú)最大值，所以無(wú)解.綜上：或.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的解題關(guān)鍵是利用“形函數(shù)”.的定義，利用作差法比較和的大小.6．（2021·上?！ど贤馄謻|附中高一期末）已知函數(shù)（1）當(dāng)，時(shí)，解關(guān)于的方程；（2）若函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，求函數(shù)解析式；（3）在（2）的前提下，函數(shù)滿(mǎn)足，若對(duì)任意且，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的最大值．【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）將，代入，可轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次方程，解方程進(jìn)而可得的值；（2）利用奇函數(shù)的性質(zhì)直接求解；（3）化簡(jiǎn)可得，代入不等式分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值，利用換元法及基本不等式直接求最值.【詳解】（1）當(dāng)，時(shí)，．即，解得：或（舍去），∴；（2）若函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則，即即恒成立，解得：，，或，經(jīng)檢驗(yàn)，滿(mǎn)足函數(shù)的定義域?yàn)?，．?）當(dāng)時(shí)，函數(shù)滿(mǎn)足，∴，則不等式恒成立，即恒成立即恒成立，設(shè)，則，即，恒成立，由平均值不等式可得：當(dāng)時(shí)，取最小值．故，即實(shí)數(shù)m的最大值為．【點(diǎn)睛】在應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，要把握不等式成立的三個(gè)條件，就是“一正——各項(xiàng)均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號(hào)能否取得”，若忽略了某個(gè)條件，就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤．7．（2021·上海市南洋模范中學(xué)高一期末）已知，定義表示不小于的最小整數(shù)，例如．（1）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）設(shè)，，若對(duì)于任意的，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）根據(jù)函數(shù)定義可直接得出；（2）由可得，則，即，討論和求解；（3），可得在的值域?yàn)?，則不等式化為對(duì)于任意恒成立，討論和求解.【詳解】（1）根據(jù)的定義可得若，則，故的取值范圍為；（2）因?yàn)?，所以，，，即，所以，?dāng)時(shí)，，無(wú)解，當(dāng)時(shí)，，，解得，綜上，的取值范圍；（3），時(shí)函數(shù)的值域?yàn)椋詫?duì)于任意恒成立，當(dāng)時(shí)，，，，，當(dāng)時(shí)，，，，，綜上，.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)新定義問(wèn)題，考查函數(shù)不等式恒成立問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是正確理解新定義，正確進(jìn)行不等關(guān)系的轉(zhuǎn)化.8．（2020·上海市楊浦高級(jí)中學(xué)高一期末）（1）是以為定義域的減函數(shù)，且對(duì)于任意，恒有，寫(xiě)出一個(gè)滿(mǎn)足條件的函數(shù)的解析式；（2）是以為定義域的奇函數(shù)，且對(duì)于任意，恒有，寫(xiě)出一個(gè)滿(mǎn)足條件的函數(shù)的解析式；（3）都是以為定義域的函數(shù)，寫(xiě)出一組滿(mǎn)足下列條件的函數(shù)的解析式，對(duì)于下列三組條件，只需選做一組，滿(mǎn)分分別是①，②，③；若選擇了多于一種的情形，則按照序號(hào)較小的解答計(jì)分.①對(duì)于任意，恒有；②對(duì)于任意，恒有；③對(duì)于任意，恒有.【答案】（1）；（2）；（3）答案不唯一，具體見(jiàn)解析.【解析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和單調(diào)性，即可得出，，滿(mǎn)足條件；（2）根據(jù)題意，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和奇函數(shù)的性質(zhì)，得出分段函數(shù)滿(mǎn)足條件；（3）根據(jù)題目要求，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的解析式的運(yùn)算，即可寫(xiě)出滿(mǎn)足條件的函數(shù)解析式.【詳解】解：（1）對(duì)于任意，恒有，可知對(duì)數(shù)函數(shù)符合條件，即，而是以為定義域的減函數(shù)，則，所以滿(mǎn)足條件的一個(gè)函數(shù)為：，；（2）對(duì)于任意，恒有，可知指數(shù)函數(shù)符合條件，即，而是以為定義域的奇函數(shù)，所以滿(mǎn)足條件的一個(gè)函數(shù)為：；（3）已知都是以為定義域的函數(shù)，若選①對(duì)于任意，恒有，則滿(mǎn)足條件的一組函數(shù)的解析式為：，，，；若選②對(duì)于任意，恒有，則滿(mǎn)足條件的一組函數(shù)的解析式為：，，，；若選③對(duì)于任意，恒有，則滿(mǎn)足條件的一組函數(shù)的解析式為：，，，.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查根據(jù)要求寫(xiě)出函數(shù)解析式，靈活運(yùn)用對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵，屬于中檔題.9．（2020·上?！じ咭粏卧獪y(cè)試）已知指數(shù)函數(shù)．（1）若函數(shù)，求函數(shù)值域，證明函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增；（2）若函數(shù)，研究的奇偶性；（3）若不等式在上恒成立，