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上南中學2011學年第二學期高二年級水平測試（1）數(shù)學學科試卷

命題陳熙審題丁為群

一、填空題（本大題滿36分，每題3分）

1.雙曲線［_-1_=1的漸近線為_y=土苧

2.直線x->+a=0被圓X?十/=與所截得的弦長為&則ci=_±2<2.

中3.若點M（%,），o）是圓爐+產(chǎn)二產(chǎn)內異于圓心的點，則直線占/+），。），=/與該圓的位置關系是

相離.（填相交、相切、相離中一個）

4.橢圓1+匚=1與雙曲線上-2=1的焦點相同，貝小2。

9A2A3

5.過點（-6,3）且和雙曲線x2-2y2=2有相同的漸近線的雙曲線方程為

--------------189---------

教:6.過點8（5,-1）圓/+）,2:及相切的切線方程為工=5和121一5），-65二0。

v2x2（23、63）

7.若方程二一+■；----=1表示橢圓，則實數(shù)〃?的取值范圍是_____U=,4.

8.橢圓手+±=1的一個焦點是％M是橢圓上一點，旦|M周=4,N是線段的中點，則

2?9

PM=3。

9.已知4（一2,0）、8（2,0）,且AABC的周長等于10,則頂點C的軌跡方程為

x2V2

—十二=1(V0)

95

10.若直線y=x+Z與曲線），==7有且只有一個交點，則實數(shù)上的取值范圍是」T,1）2｛、分｝

__O

11.若圓（x-l）2+（y+l）2=/上有且僅有兩個點到直線4x+3y=ll的距離等于1,則半經(jīng)，?的取值

范圍是1<￡<3o

x2v2

12.若橢圓J+r—=1上至少存在一點夕，使得它與兩焦點連線互相垂直，則正實數(shù)加的取值

m2m2-25

范圍為(5,572].

二、選擇題（本大題滿12分，每題3分）

13.如果實數(shù)滿足方程(X-2)2+V=3,那么上的最大值為(D)

x

(A)i(B)g(C)g(D)6

232

14.到直線;v-y=O的距離等于行的動點軌跡是曲線C,那么“點尸在直線x-y-2=0上”是“點

P在曲線。上”的.....................................(A)

A、充分不必要條件B、必要不充分條件

C、充要條件D、既不充分也不必要條件

15.已知點F?是橢圓￡+5=1的兩個焦點，「是橢圓上的任意一點，

則歸用?歸用的最大值為............................................(C)

(A)9(B)—(0250)16

2

16.已知點廠是雙曲線/一手二1的一個焦點，過點廣作直線/交雙曲線于兩點「、Q,若|尸。二4,

則這樣的直線/有且僅有...............................(B)

(A)四條(B)三條(C)兩條(D)一條

三、簡答題

17.(本題滿分9分)試求過點4(2,-3),3(-2,-5),且圓心在直線工一2)，一3=0上的圓的方程。

解法1：設Y+y2+。丫+⑥，+/=o,列三個方程求。、ER

解法2：設圓心的坐標為C(2〃+3,〃)，則|CA|=|C3|n〃n圓心n半徑|CA|;

解法3：求A砌中垂線與x-2y-3=。的交點，卻為圓心

A硼中垂線為)，-(-4)=-2(x-0)與x-2)，-3=0聯(lián)立，得圓心C(-1,-2)

r=|CA|=7(-1-2)2+(-2+3)2=M,所求圓的方程"+1尸+()，+2了=1().

18.(本題滿分9分)

若直線被兩平行線4:工一)，41二0與4：不一)，+3=0所截得的線段的長為2V2,求直線m的傾斜角

的大小

解：兩平行線間的距離為d=在U=J5,由圖知直線加與力的夾角為30",6的傾斜角為45”,

71+1

所以直線陽的傾斜角等于30"+45°=75°或45°—30°=15°。

19.(第1小題4分，第2小題6分)

⑴J知橢圓的焦點在坐標釉上且關于原點對稱，該橢圓經(jīng)過兩點(1,-2、②和(-后,-后)求橢圓的標準

方程。

Y

⑵已知橢圓—+/=1過點C（2,l）引直線交橢圓與A,B兩點,

求所截得的弦A5的中點P的軌跡。

3r2v2

解：（1）—+2-=1（2）x2+2y2-2x-2y=0（橢圓內部分）

11II

20.（本題滿分10分）已知圓01:（工+1>+），2=],圓

o,：（X-1）2+/=9,動圓也分別與圓。|相外切，與圓O,

相內切.求動圓圓心”所在的曲線的方程.

20.解:設M（x,y）,動圓M的半徑為，?（廠>（））,

則由題意知=1+r,|“勾=3—r,

于是\MO}\+\MO2\=4,即動點M到兩個定點

?（-1,0）、。2（1，°）的距離之和為4.

又因為4=|MO1|+|m|>|OIO2|=2,

所以點M在以兩定點01（-1,01。2（1。）為焦點，4為長軸長的橢圓上.設此橢圓的標準方程為

r2y

—+-v=l(?>/?>0),這里a=2,c=l,則b1=a2-c2=3.

a~h~

因此動圓圓心M所在的曲線方程為—+^=1.

43

21.（本題滿分14分，第（1）題4分，第（2）題6分，

第（3）題4分.）

己知經(jīng)過點P（0,2）且以2=（1,。）為一個方向向量的直線/與雙曲線3/-V=1相交于不同兩點A、

B.

（1）求實數(shù)。的取值范圍：

（2）若點、A、8均在已知雙曲線的右支上，且滿足

OAOB=0,求實數(shù)。的值；

（3）是否存在這樣的實數(shù)。，使得A、8兩點關于直線

）,=_1工-8對稱？若存在，請求出。的值；若不存在，請說明理由.

21.解：（1）由已知，直線/的方程為y=ax+2.

y=ax+2,2,

由，，,消去），，并整理得（3-f/）x--4^-5=0.

[3x2-y2=l

2

依題意得\3~a解得一<而且〃。6且。。一6.因此所求的

A>（）

實數(shù)4的取值范圍為（-V15-V3）U（-V3,V3）U（V3,V15）.

（2）設A（X]，x）,B（.￥2,y2）.因為點人、B均在已知雙曲線的右支上,

所以（1）中方程①具有兩個不同的正實數(shù)根內、％2,即陽>0、x2>0,

△=（_4幻2+20（3-。2）>0,

4a八

于是^i+^2=-一F>°-解得一用<a<-6

3-a

5八

^1-^2=---7>0-

又OA-OB=0,即（陽，必）（4>2）=0，即玉工2+X>2=°，

ax2

而）1）‘2=（\+2）（仁+2）=axxx2+2a（M+,r2）+4,

所以x1x2+crxxx2+2a（x]+x2）+4=0,即（1+/）為々+2。（玉+々）+4=0,

則（\+a2）]一一二+2。?*^+4=0,解得〃=±J7.又因為一屈<a<-6，

13-a2）3-a2

所以a=-41.

因此所求實數(shù)〃的值為-6.

（3）假設存在實數(shù)。，使A、B兩點關于直線y對稱，則直線），=〃1+2與），=2工-8

相互垂直.

因為直線丁=6+1與y=gx—8的一個法向量分別為為（。,一1）、（1,一2）,由題意，向量（。,一1）、

（1