上海魯迅中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)試題月考試卷試卷

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.如圖所示的程序框圖輸出的S是126,則①應(yīng)為（）

n=1,5=0

（結(jié)束）

A.nW5?B.w<6?C.zz<7?D.n<8?

2.已知復(fù)數(shù)2=(1+2D(1+山)(a￡R),若zCR,則實(shí)數(shù)()

11

A.-B.——C.2D.-2

22

3.已知定義在R上的偶函數(shù)/(X)滿足/(工+2)=/(一幻，且在區(qū)間。2]上是減函數(shù)，令

4=ln2,0=(；)：c=]og12,則〃a)J(。)J(c)的大小關(guān)系為()

A./(t/)</(/?)</(c)B./(?)</(c)</(/?)

C.D.f[c）＜f{a）＜f（b）

4.已處a1/3,mua,nuB=l,則“m_Ln”是“1＞1_1尸的

A,充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.已知函數(shù)/（x）=半土.下列命題：①函數(shù)/（幻的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；②函數(shù)/。）是周期函數(shù)；③當(dāng)x=g時(shí),

JT+12

函數(shù)取最大值；④函數(shù)/*）的圖象與函數(shù)），=」的圖象沒有公共點(diǎn)，其中正確命題的序號(hào)是（）

X

A.ffi?B.②@C.①③④D.①②④

i9

6.已知正唄等比數(shù)列{?！▆滿足%=2%+3%,若存在兩項(xiàng)am,黑，使得瑪?=9〃；，則一+一的最小值為（）.

mn

7.已知函數(shù)/（x）=cosx與京x）=sin（2x+p）（0,,0Vm的圖象有一個(gè)橫坐標(biāo)為g的交點(diǎn)，若函數(shù)g（x）的圖象的縱

坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的上倍后，得到的函數(shù)在［0,21］有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，則①的取值范圍是（）

293512935

,f

2424>2424

"29史、2935

<24,24；24524

8.已知復(fù)數(shù)z滿足(z—i)(T)=5,則2=(

B.—6Z

9.點(diǎn)M在曲線G:y=31nx上，過M作刀軸垂線/,設(shè)/與曲線y='交于點(diǎn)N,。。=也土空，且尸點(diǎn)的縱坐

x3

標(biāo)始終為0,則稱M點(diǎn)為曲線G上的“水平黃金點(diǎn)%則曲線G上的“水平黃金點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

10.已知集合4={h冗2-3工一4>0},8={川一1?工《3},貝IJ（aA）CIB=（）

A.(—1,3)

D.(-1,4)

11.在A48C中，角A、B、C的對(duì)邊分別為。、b、C,若。=1,c=26,/?sin>4=^sinly-B1,貝iJsinC=

百01扃

12.拋物線方程為），2=4x,一直線與拋物線交于A3兩點(diǎn)，其弦A8的中點(diǎn)坐標(biāo)為（11），則直線的方程為（）

A.2x-y-\=0B.2x4-y-1=0C.2x-y+\=0D.-2x->,-1=0

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知三棱錐A—8CQ中，AD=AC=BC=BD=3f48=6=2,則該三棱錐的外接球的表面積是.

14.如圖，己知半圓。的直徑A8=8,點(diǎn)P是弦AC（包含端點(diǎn)A,C）上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。在弧8C上.若AOAC是

等邊二角形，且滿足則。戶8Q的最小值為.

15.已知雙曲線的一條漸近線為＞=2工，且經(jīng)過拋物線)，'=4X的焦點(diǎn)，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

16.將2個(gè)相同的紅球和2個(gè)相同的黑球全部放入甲、乙、丙、丁四個(gè)盒子里，其中甲、乙盒子均最多可放入2個(gè)球,

丙、丁盒子均最多可放入1個(gè)球，且不同顏色的球不能放入同一個(gè)盒子里，共有種不同的放法.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)電視傳媒公司為了解某地區(qū)觀眾對(duì)某體育節(jié)目的收視情況，隨機(jī)抽取了100名觀眾進(jìn)行調(diào)查，其中女性

有55名，下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時(shí)間的頻率分布直方圖：

將日均收看該體育節(jié)目時(shí)間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”.

(1)根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表，并據(jù)此資料你是否認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān)?

非體育迷體育迷合計(jì)

男

女1()55

合計(jì)

(2)將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率.現(xiàn)在從該地區(qū)大量電視觀眾中，采用隨機(jī)抽樣方法每次抽取1名觀眾，抽取3

次，記被抽取的3名觀眾中的“體育迷”人數(shù)為X.若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求X的分布列，期望E(X)和方差

D(X).

附：

(a+〃)(c+d)(a+c)(〃+d)

頻數(shù)4610121424a4634n

頻率0.020.030.050.060.070.120.25P0.171

(1)根據(jù)表格中提供的數(shù)據(jù)，求。，P,〃的值并估算一周課外讀書時(shí)間的中位數(shù).

(2)如果讀書時(shí)間按(0,6],(6,12],(12,18]分組，用分層抽樣的方法從〃名學(xué)生中抽取20人.

①求每層應(yīng)抽取的人數(shù)；

②若從(0,6],(6,12]中抽出的學(xué)生中再隨機(jī)選取2人，求這2人不在同一層的概率.

21.(12分)AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為心。已知片+。26sin力+cos3=0.

(1)求cosC；

(2)若的面積S=2,求心

2

22.(10分)已知拋物線G:)，2=2px,焦點(diǎn)為/，直線/交拋物線G于A3兩點(diǎn)，交拋物線G的準(zhǔn)線于點(diǎn)C,如圖

Q

所示，當(dāng)直線/經(jīng)過焦點(diǎn)/時(shí)，點(diǎn)尸恰好是AC的中點(diǎn)，且忸。|二1

(1)求拋物線G的方程；

(2)點(diǎn)。是原點(diǎn)，設(shè)直線QAO3的斜率分別是人,右，當(dāng)直線/的縱截距為1時(shí)，有數(shù)列｛4｝滿足

q==—1￡=4(%+2『，設(shè)數(shù)列，言一■的前〃項(xiàng)和為S”，己知存在正整數(shù)〃?使得m<S2O2O<m+1,

求m的值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、B

【解題分析】

試題分析：分析程序中各變量、各語(yǔ)句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是累加S=2+2?+…+211

的值，并輸出滿足循環(huán)的條件.

解：分析程序中各變量、各語(yǔ)句的作用，

再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：

該程序的作用是累加S=2+2?+…+21*的值，

并輸出滿足循環(huán)的條件.

VS=2+22+...+2I=121,

故①中應(yīng)填n<l.

故選B

點(diǎn)評(píng)：算法是新課程中的新增加的內(nèi)容，也必然是新高考中的一個(gè)熱點(diǎn)，應(yīng)高度重視,程序填空也是重要的考試題型，

這種題考試的重點(diǎn)有：①分支的條件②循環(huán)的條件③變量的賦值④變量的輸出.其中前兩點(diǎn)考試的概率更大.此種題

型的易忽略點(diǎn)是：不能準(zhǔn)確理解流程圖的含義而導(dǎo)致錯(cuò)誤.

2、D

【解題分析】

化簡(jiǎn)z=(l+2i)(1+由)=(1-2。)+(。+2)匕再根據(jù)求解.

【題目詳解】

因?yàn)閦=(1+2/)(1+ai)=(1—2a)+(〃+2)i,

又因?yàn)閦ER,

所以。+2=0,

解得a=-2.

故選：D

【題目點(diǎn)撥】

本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算及概念，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.

3、C

【解題分析】

可設(shè)九目0,1],根據(jù)/a)在R上為偶函數(shù)及/*+2)=/(一幻便可得到：/*)=/(-x)=/(r+2),可設(shè)士,

七目0』，且為〈修，根據(jù)/⑺在［1,2］上是減函數(shù)便可得出/(內(nèi))</(9),從而得出八X)在［0,1］上單調(diào)遞增，再

根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算得到4、b、C,的大小關(guān)系，從而得到了(a),/(〃),f(c)的大小關(guān)系.

【題目詳解】

解：因?yàn)閘nlvln2vlne,即0<。<1,又周］c=logl2=-1

UJ2

設(shè)X￡［0,l］,根據(jù)條件，/(*)=/(一丫)=/(-*+2),T+2巾,2］；

若X1,^2€［0,1］,且X］<%2，則：一%+2>-&+2；

/(此在［1,2］上是減函數(shù)；

「?/(F-2)<f(-x2+2)?

/(X,)</(X2)；

???/*)在［0,1］上是增函數(shù)；

所以/(8)=/(2)=/(0),/(c、)=/(—l)=/(l)

???/(/>)</(?)</(c)

故選：C

【題目點(diǎn)撥】

考查偶函數(shù)的定義，減函數(shù)及增函數(shù)的定義，根據(jù)單調(diào)性定義判斷一個(gè)函數(shù)單調(diào)性的方法和過程：設(shè)玉<七，通過條

件比較/(X)與/(%)，函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，屬于中檔題.

4、B

【解題分析】

構(gòu)造長(zhǎng)方體A8CO-A131Go1,令平面a為面ADDiA”底面A5C。為必然后再在這兩個(gè)面中根據(jù)題

意恰當(dāng)?shù)倪x取直線為機(jī)，〃即可進(jìn)行判斷.

【題目詳解】

如圖，取長(zhǎng)方體ABC。-431Go1,令平面a為面40014,底面ABCD為0,直線AD二直線/。

若令=AB=nf則/〃_!_〃，但機(jī)不垂直于/

若m_LI,由平面43。。1平面八。24可知，直線機(jī)垂直于平面0,所以，71垂直于平面p內(nèi)的任意一

條直線〃

?,?機(jī)_!_〃是mA.I的必要不充分條件.

故選：B.

【題目點(diǎn)撥】

本題考點(diǎn)有兩個(gè)：①考查了充分必要條件的判斷，在確定好大前提的條件下，從加，〃=帆3_/?和

今兩方面進(jìn)行判斷；②是空間的垂直關(guān)系，一般利用長(zhǎng)方體為載體進(jìn)行分析.

5、A

【解題分析】

根據(jù)奇偶性的定義可判斷出①正確；由周期函數(shù)特點(diǎn)知②錯(cuò)誤：函數(shù)定義域?yàn)镽,最值點(diǎn)即為極值點(diǎn)，由/”(g)，0

知③錯(cuò)誤；令g(x)=/(x)-L在x>0和/<0兩種情況下知g(i)均無(wú)零點(diǎn)，知④正確.

【題目詳解】

由題意得：/(力定義域?yàn)镽,

sin(-x)sinx...A、

"1)=樂"一"=一小)’R3為奇函數(shù)'圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，①正確;

???)，=sinx為周期函數(shù)，)，=/+1不是周期函數(shù)，...〃“不是周期函數(shù)，②錯(cuò)誤;

,、+l)cosx-2xsinx

*/f(x)=^——-----；------???/圖。0,不是最值,③錯(cuò)誤;

,(八I)

1

1sinx-x--

令g(x)=〃x)Wsinx1-x?

?Vx2+lXX2+1

當(dāng)x>0時(shí)，sinx<x,1>0,g(x)v。，此時(shí)/(%)與y■1無(wú)交點(diǎn);

Xx

當(dāng)x<0時(shí)，sinx>x,—<0,(?(x)>0,此時(shí)“工)與y=，無(wú)交點(diǎn)；

X人

綜上所述：“X)與)，=一無(wú)交點(diǎn)，④正確.

故選：4.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用，涉及到函數(shù)奇偶性和周期性的判斷、函數(shù)最值的判斷、兩函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題的

求解；本題綜合性較強(qiáng)，對(duì)于學(xué)生的分析和推理能力有較高要求.

6、D

【解題分析】

由%=24+3%,可得9=3,由可得加+九=4,再利用“1”的妙用即可求出所求式子的最小值.

【題目詳解】

2

設(shè)等比數(shù)列公比為虱9>0),由已知，a5q=2a5q+3a5f即/二2夕+3,

解得9=3或^=-1(舍)，又金?q二財(cái)，所以63"“嗎32=9A，

191191n9/n

即3陽(yáng)+〃-2=32,故m+〃=4,所以一十一=一(一+一)?！?〃)=一(10+—+—)

mnmn4mn

>-(10+279)=4,當(dāng)且僅當(dāng)相=1,〃=3時(shí)，等號(hào)成立.

4

故選：D.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查利用基本不等式求式子和的最小值問題，涉及到等比數(shù)列的知識(shí)，是一道中檔題.

7、A

【解題分析】

根據(jù)題意，cosq=sin[^+e｝求出夕哈所以g(x)=sin(2x+^)根據(jù)三角函數(shù)圖像平移伸縮，即可求出。

的取值范圍.

【題目詳解】

已知fM=cosx與g(x)=sin(2x+0)(Q,夕<4)的圖象有一個(gè)橫坐標(biāo)為1的交點(diǎn)，

71.(2TT1

貝Ucos7=sin[-^-+eJ,

2萬(wàn)「2乃5乃

2萬(wàn)57r冗

------卜9=----9(p-....

366

g(x)=sin12元+,

若函數(shù)g(x)圖象的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的,倍，則)，二sin(24v+g],

3\6；

71,不

所以當(dāng)k[0,2洲時(shí)，2@丫+工￡—,42——，

666

/3)在[0,21]有且僅有5個(gè)零點(diǎn),

/.5冬，4.w+—<6乃，

6

2935

—”co<—.

2424

故選：A.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查三角函數(shù)圖象的性質(zhì)、三角函數(shù)的平移伸縮以及零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，考查轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力.

8、A

【解題分析】

由復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算.

【題目詳解】

因?yàn)?z-i)(T)=5,所以z=』+i=6i

-i

故選：A.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算.屬于簡(jiǎn)單題.

9、C

【解題分析】

設(shè)M(Z,31n)則N,,j,則OP=[§,ln/+]J,即可得1球+另=0,設(shè)g⑺=1標(biāo)+不,利用導(dǎo)函數(shù)判斷g(f)的零

點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即為所求.

【題目詳解】

設(shè)M93hv),則N。；),所以。尸=也羅?=+]

依題意可得lnr+!=O,

3t

八,l-i,/、113/-1

設(shè)gQ)=ln/KOg⑺二一點(diǎn)二2，

tSiJf

當(dāng)o</<；時(shí),g'Q)<o，則g(D單調(diào)遞減：當(dāng)〉;時(shí),g'Q)>0,則月⑺單調(diào)遞增，

JJ

所以g⑺min=8(!)=1-1113<0,且8(4"]=-2+—>0,8(1)=!>0,

g⑺=Inf+J=0有兩個(gè)不同的解，所以曲線G上的“水平黃金點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為2.

故選:C

【題目點(diǎn)撥】

本題考查利用導(dǎo)函數(shù)處理零點(diǎn)問題，考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用.

10、B

【解題分析】

先由f-3/一4>0得工>4或不〈一1,再計(jì)算(QA)15即可.

【題目詳解】

由V—3尤一4>0得大〉4或xv-l,

/.A=(-OO,-1)U(4,-K?),QA=[-1,4],

又3={止1?/(3},.?.04)。區(qū)=[-1,3].

故選：B

【題目點(diǎn)撥】

本題主要考查了集合的交集，補(bǔ)集的運(yùn)算，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力.

11、B

【解題分析】

利用兩角差的正弦公式和邊角互化思想可求得tan3=且，可得出8=然后利用余弦定理求出〃的值，最后利用

36

正弦定理可求出sinC的值.

【題目詳解】

Z?sinA=tzsinf--Z?l=_6zcos^--?sinB,

U)22

I

即sinAsinB=——sinAcosB——sinAsinB，BP3sin4sinB=VSsinAcosA，

22

A7t

?/sinA>0,/.3sinB=>/3cosB>得tan8=^,v0<B<^,B=—.

36

由余弦定理得h=y/a2+c2-2accosB=Jl+l2-2xlx20x*=不，

2X

由正弦定理」7T=號(hào)，因此，,c_csinB_^2_V21.

smc--

sinCsinB布~

故選：B.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查三角形中角的正弦值的計(jì)算，考查兩角差的正弦公式、邊角互化思想、余弦定理與正弦定理的應(yīng)用，考查運(yùn)

算求解能力，屬干中等題.

12、A

【解題分析】

設(shè)A（x，y）,川蒼,必），利用點(diǎn)差法得到=9=2,所以直線A8的斜率為2,又過點(diǎn)（1,1）,再利用點(diǎn)斜式

即可得到直線A3的方程.

【題目詳解】

解：設(shè)4（不汁）,85，（），+3=2,

又，兩式相減得：犬一￡二4（%一/），

y2=4X2

，（％+%）5-％）=4（七一七），

.A^A=i=2

??王-N2，

，直線48的斜率為2,又.,?過點(diǎn)（1」），

，直線同3的方程為：y-l=2（x-l）,即2x—y-l=0,

故選：4

【題目點(diǎn)撥】

本題考杳直線與拋物線相交的中點(diǎn)弦問題，解題方法是“點(diǎn)差法%即設(shè)出弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線方程相減后可

把弦所在直線斜率與中點(diǎn)坐標(biāo)建立關(guān)系.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、1U

【解題分析】

將三棱錐A-3CQ補(bǔ)成長(zhǎng)方體AEQF—GW/C,設(shè)AE=x,AF=ytAG=z,設(shè)三棱錐A-3c。的外接球半

徑為R,求得（2欠）2--+、2+?2的值，燃后利用球休表面積公式可求得結(jié)果.

【題目詳解】

將三棱錐A—8CO補(bǔ)成長(zhǎng)方體A￡OF—G3”C,設(shè)=AF=yfAG=zf

設(shè)三棱錐A-BCD的外接球半徑為R,則（2R『=f+V+z2,

上述三個(gè)等式全部相加得2（戈2+）3+孑）=22,（2R『=4/?2=x24-y2+z2=ll,

因此，三棱錐人一38的外接球面積為4萬(wàn)/^=11萬(wàn).

故答案為：lbr.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查三棱錐外接球表面積的計(jì)算，根據(jù)三棱錐對(duì)棱長(zhǎng)相等將三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體是解答的關(guān)鍵，考查推理能力，屬

于中等題.

14、1

【解題分析】

建系，設(shè)從2=〃7,表示出尸點(diǎn)坐標(biāo)，則OP?8Q=Oa（OQ-OB）=-OP?O8=16-2〃?，根據(jù)加的范圍得出答案.

【題目詳解】

解：以。為原點(diǎn)建立平面坐標(biāo)系如圖所示：則A(-4,0),8(4,0),C(-2,2>/3),

設(shè)AP=“?(砥柄4),則〃一4,與〃),

：.OP=(；〃?-4,與n),OB=(4,0),

OQ?OP=0,

***OP*BQ=OP?(OQ-OB)--OP-OB=16-2m,

顯然當(dāng)〃i取得最大值4時(shí)，0P?8Q取得最小值1.

本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，坐標(biāo)運(yùn)算，屬于中檔題.

15、x2-^-=\

4

【解題分析】

設(shè)以直線丁=±2/為漸近線的雙曲線的方程為1-工=〃見。0),再由雙曲線經(jīng)過拋物線y2=4x焦點(diǎn)廠(1,0),能

4

求出雙曲線方程.

【題目詳解】

2

解：設(shè)以直線y=±2x為漸近線的雙曲線的方程為V一二二4(幾。0),

4

??,雙曲線經(jīng)過拋物線V=4x焦點(diǎn)F(L0),

/?1=Z,

2

???雙曲線方程為V-二=1,

4

故答案為：/一二二］.

4

【題目點(diǎn)撥】

本題主要考查雙曲線方程的求法，考查拋物線、雙曲線簡(jiǎn)單性質(zhì)的合理運(yùn)用，屬于中檔題.

16、20

【解題分析】

討論裝球盒子的個(gè)數(shù)，計(jì)算得到答案.

【題目詳解】

當(dāng)四個(gè)盒子有球時(shí)：C：=6種：

當(dāng)三個(gè)盒子有球時(shí)：2C；+2C；C；=I2種；

當(dāng)兩個(gè)盒子有球時(shí)：A；=2種.

故共有20種，

故答案為：20.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了排列組合的綜合應(yīng)用，意在考查學(xué)生的理解能力和應(yīng)用能力.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

39

17、(1)無(wú)關(guān)；(2)—,—.

416

【解題分析】

(1)由頻率分布直方圖可知，在抽取的100人中，“體育迷”有25人，從而可得列聯(lián)表如下:

非體育迷體育迷合計(jì)

男301545

女451055

合計(jì)7525100

將22列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算，得

w(ninjj-?12?21)2100x(30x10-11X15卜100_

A-=------------------=------------------------=—%3.03?

75x25x45x5533

因?yàn)?.0300.841,所以我們沒有充分理由認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān).

⑵由頻率分布直方圖知抽至臚體育迷”的頻率為0.25,將頻率視為概率，即從觀眾中抽取一名“體育迷”的概率I.由題意

?1

知X?B(3,!),從而X的分布列為

X0123

P

39

E(X)=np=—=.D(X)=np(l—p)=一

416

18、(1)證明見解析(2)叵

6

【解題分析】

(1)首先證明CG工BF,.??CGJ?平面A3F.即可得到4bu平面八a*CGA.AF.

(2)以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,OE所在的直線分別為x軸、V軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面A研

和平面8b的法向量，帶入公式求解即可.

【題目詳解】

(1),.,Cb-L平面A〃C￡>,AB\平面ACF.LAB.

又丁四邊形ABC。是正方形，，44J.區(qū)C.

?；BC】CF=C,：?AB上平面BCF.

???0Gu平面BCF\???CGJLAB.

又,：BC=CF=2,G為BF的中點(diǎn)，???CG_LB廠.

?:ABBF=B,，CG_L平面A8戶.

TA尸u平面AS廣，ACGA-AF.

(2)???C/J_平面ABC。，CF。DE,：?DE上平面ABCD.

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,所在的直線分別為x軸、)'軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

如圖所示:

則7)(0,0,0),4(2,0,0),0(020),磯0,0,1)/0,2,2).

AAE=(-2,0,1),EF=(0,2,1),PC=(0,2,0).

設(shè)〃=(A,y,z)為平面AEF的法向量，

nAE=0—2x+z=0

tvEF=O2y+z=()

令x=1,則〃=(1,一1,2〉

由題意知DC=((),2,0)為平面BCF的一個(gè)法向量，

.4；nH-fuDC--2-

co\7\n\\DC\x/6x26

???平面BCF與平面AEF所成角的正弦值為Ji_(一逅了=叵.

V66

【題目點(diǎn)撥】

本題第一問考查線線垂直，先證線面垂直時(shí)解題關(guān)鍵，第二問考查二面角，建立空間直角坐標(biāo)系是解題關(guān)鍵，屬于中

檔題.

19、(1)—+/=1(2)不存在；詳見解析

4

【解題分析】

(D設(shè)7(%，為)，P*，y)，通過加=AP，即A為依的中點(diǎn)，轉(zhuǎn)化求解，點(diǎn)P的軌跡。的方程.

(2)設(shè)直線/的方程為＞=依+乙先根據(jù)|A8|=1,可得二+r=1,①，再根據(jù)韋達(dá)定理，點(diǎn)在橢圓上可得

k-

4/=4公+1,②，將①代入②可得4/+公+i=o,該方程無(wú)解，問題得以解決

【題目詳解】

⑴設(shè)P(”),7(如為),則A(%,()),8(0,%),

由題意知8A=4尸，所以A為P3中點(diǎn)，

x

由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得02，即.

o=A1Z)'o=-y

又點(diǎn)了在圓。：?+/=1±,故滿足/2+%2=1,得工+),2=].

4

2

曲線C的方程工+),2=1.

4-

(2)由題意知直線/的斜率存在且不為零，設(shè)直線/的方程為)，=丘+乙

2

2

因?yàn)閨A0=|OT|=I,故+/=i,即3t2=1①,

k2

y=kx+t

聯(lián)立f2,消去y得：(4向+l)f+8hx+4?2—i)=o,

—+y=

設(shè)M(x，y),N(0%)，

…--上『I)

8K、2/

y+y=k^+x)+2t=k+2/

224二+"4公+1

8kt2t、

因?yàn)樗倪呅蜲MQN為平行四邊形，故。,

4p+74F+T>

rSktY

點(diǎn)Q在橢圓上，故「礪f2rf,整理得4〃=4二+1②，

414F+J

將①代入②，得4/+公+1=0,該方程無(wú)解，故這樣的直線不存在.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查點(diǎn)的軌跡方程的求法、滿足條件的點(diǎn)是否存在的判斷與直線方程的求法，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題.

20、(1)〃=200,。=50,〃=0.23,中位數(shù)13.2h;(2)①三層中抽取的人數(shù)分別為2,5,13；②縱

21

【解題分析】

4

(1)根據(jù)頻率分布直方表的性質(zhì)，即可求得〃二砸二200,得到。=50,〃=0.23,再結(jié)合中位數(shù)的計(jì)算方法，

即可求解.

(2)①由題意知用分層抽樣的方法從樣本中抽取20人，根據(jù)抽樣比，求得在三層中抽取的人數(shù)；

②由①燈，設(shè)(。向內(nèi)被抽取的學(xué)生分別為乂〉，(6/2］內(nèi)被抽取的學(xué)生分別為〃利用列舉法得到基本事件

的總數(shù)，利用古典概型的概率計(jì)算公式，即可求解.

【題目詳解】

446

(1)由題意，可得〃=——=200,所以。=0.25x200=50,p=—=0.23.

0.02200

設(shè)一周課外讀書時(shí)間的中位數(shù)為不小時(shí)，

則0.17+0.23+(147)x0.125=0.5,解得工=13.2,

即一周課外讀書時(shí)間的中位數(shù)約為13.2小時(shí).

(2)①由題意知用分層抽樣的方法從樣本中抽取20人，抽樣比為鑒,

又因?yàn)?0,6],(6,12],(12,18]的頻數(shù)分別為20,50,130,

所以從(0,6],(6,12],(12,18]三層中抽取的人數(shù)分別為2,5,13.

②由①知，在(0,6],(6,12]兩層中共抽取7人，設(shè)(0,6]內(nèi)被抽取的學(xué)生分別為x,y,(6/2]內(nèi)被抽取的學(xué)生分別為

ahc,d,e,

若從這7人中隨機(jī)抽取2人，則所有情況為xc,xd,xe，yafybt

yc,yd,ye、ab,ac,ad,ae,be,bd,he,cd,",de,共有21種，

其中2人不在同一層的情況為M,xctxdfxetyarybtyc,yd,yef共有io種.

設(shè)事件M為“這2人不在同一層”，

由古典概型的概率計(jì)算公式，可得概率為P(M)=3.

【題目點(diǎn)撥】

本題主要考查了頻率分布直方表的性質(zhì)，中位數(shù)的求解，以及古典概型的概率計(jì)算等知識(shí)的綜合應(yīng)用，著重考查了分

析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.

21、(1)cosA=?os0=2止；(2)b=5

105

【解題分析】

試題分析：(1)根據(jù)余弦定理求出B,帶入條