一、填空題：

1.若(x+1)n=xn?...+ax3^bx2+:x+l(n￡N,)，且a：b=3：1?那么n=.

2.從編號(hào)為1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的十個(gè)球中，任取5個(gè)球，則這5個(gè)球編號(hào)

之和為奇數(shù)的概率是.

3.一個(gè)口袋中裝有大小相同的2個(gè)白球和3個(gè)黑球，從中摸出一個(gè)球，放回后再摸出一個(gè)

球，則兩次摸出的球恰好顏色不同的概率為.

4.記者要為5名志愿者和他們幫助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相鄰的概率

為(用分?jǐn)?shù)表示)

5.若10把鑰匙中只有2把能打開(kāi)某鎖，則從中任取2把能將該鎖打開(kāi)的概率為.

6.棱錐的高為16cm,底面積為512cm2,平行于底面的截面積為50cm2,則截面與底面的

距離為.

7.如果球的內(nèi)接正方體的表面積為24,那么球的體積等于.

8.正三棱錐的一個(gè)側(cè)面的面積與底面積之比為2：3,則這個(gè)三棱錐的側(cè)面和底面所成二面

角的度數(shù)為.

9.在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD——AiBiJDi中，若G、E分別為BBi,JDi的中點(diǎn)，點(diǎn)F是

正方形ADDiAi的中心，則四邊形BGEF在正方體六個(gè)面上的射影圖形面積的最大值

為.

10.給出下列命題：①底面是正多邊形且側(cè)棱和底面成等角的棱錐是正棱錐；②側(cè)棱都相等

的棱錐是正棱錐：③側(cè)棱和底而成等角的棱錐是正棱錐：④側(cè)面和底面所成二而角都相等的

棱錐是正棱錐，其中正確命題的是.

11.如圖，點(diǎn)A在銳二面角a-MN-B的棱MN上，在面a內(nèi)引射線AP,使AP與MN所

成的NPAM為45。，與面B所成的角為30。，求二面角a-MN-B的大小

12.如圖，正四面體S-ABC的邊長(zhǎng)為a,D是SA的中點(diǎn)，E是BC的中點(diǎn)，則SDE繞SE旋

轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為

二、選擇題：

13.已知（1-3x）9=ao+aix+aaX2+...+a9X9,則|ao|+|ai|+|a2|+...+|a9等于（）

A.29B.49C.39D.1

14.（2x+C）4的展開(kāi)式中）：3的系數(shù)是（）

A.6B.12C.24D.48

15.如圖，0A是圓錐底面中心。到母線的垂線，0A繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得曲面將圓錐分成體

16.平行六面體的樓長(zhǎng)都是a,從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條樓兩兩都成60。角，則該平行六面體

的體積為（）

3

A.a3B.yaC.冬曉D.

17.如圖，正四棱錐P-ABCD底面的四個(gè)頂點(diǎn)A、B、C、D在球。的同一個(gè)大圓匕點(diǎn)P

在球面上，如果VpTRE坐，則求。的表面積為（）

A.4nB.8nC.12nD.16n

18.已知（x-旦）8展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為1120,其中實(shí)數(shù)a是常數(shù)，則展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的

X

和是（）

A.28B.38C.1或38D.1或28

19.將1,2,…,9這9個(gè)數(shù)平均分成三組，則每組的三個(gè)數(shù)都可以成等差數(shù)列的概率為（）

A工B工C,D’

,56,70,336-420

20.將一顆質(zhì)地均勻的骰子先后拋擲3次，至少出現(xiàn)一次6點(diǎn)向上的概率是（）

A上B三C迎D.

'216"216,216,216

三、解答題：

21.A={x3x2+x-2>0,x￡R「B=（X|^2|->0,xCR）,

（1）用區(qū)間表示集合A、B；

（2）求AAB.

22.已知一個(gè)圓錐的底面半徑為R,高為H,在其中有一個(gè)高為x的內(nèi)接圓柱,

（1）求此圓柱的側(cè)面積表達(dá)式；

（2）x為何值時(shí)，圓柱的側(cè)面積最大？

R

23.一塊邊長(zhǎng)為10cm的正方形鐵片按如圖所示的陰影部分裁下，然后用余下的四個(gè)全等的

等腰三角形加工成一個(gè)正四棱錐形容器，試建立容器的容積V與x的函數(shù)關(guān)系式，并求出函

數(shù)的定義域.

24.如圖，在底面是直角梯形的四棱錐P-ABCD中，AD〃BC,ZABC=90°,且

NADC二arcsi津，又PA_L平而ABCD，AD=3AB=3PA=3a,

5

(I)求二面角P-CD-A的正切值；

(II)求點(diǎn)A到平面PBC的距離.

25.在三棱錐S-ABC中，ZSAB=ZSAC=ZACB=90",且AC=BC=5,SB=5A/E-

(I)證明：SC±BC：

<n)求側(cè)面SBC與底面ABC所成二面角的大??；

26.如圖，在直四極柱ABCD-AiBiGDi中，AB=AD=2,DC=2代，AAF?AD±DC,AC±

BD垂足為E.

(I)求證BDlAiC：

(n)求二面角Ai-BD-Ci的大小：

(DI)求異面直線AD與BJ所成角的大小.

四、備用題.

27.如圖，ABCD-AiBiJDi是正四棱柱，側(cè)棱長(zhǎng)為1,底面邊長(zhǎng)為2,E是棱BC的中點(diǎn).

(1)求三棱錐Di-DBC的體積：

(2)證明BDi〃平面JDE：

(3)求面JDE與面CDE所成二面角的正切值.

28.如圖，正四極柱ABCD-AiBiCiDi中，底面邊長(zhǎng)為2近，側(cè)棱長(zhǎng)為4.E,F分別為梭AB,

BC的中點(diǎn)，EFABD=G.

(I)求證:平面B】EF_L平面BDDiBi：

(11)求點(diǎn)Di到平曲BiEF的距離d：

(DI)求三棱錐Bi-EFDi的體積V.

)n的展開(kāi)式中，前三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列，求展開(kāi)式中的有理項(xiàng).

30.袋中有5個(gè)白球，3個(gè)黑球，從中任意摸出4個(gè)，求下列事件發(fā)生的概率：

(1)摸出2個(gè)或3個(gè)白球：

(2)至少摸出1個(gè)白球：

(3)至少摸出1個(gè)黑球.

31.把1,2,3,4,5各數(shù)分別寫在5張卡片上，隨機(jī)地取出3張排成自左向右的順序，

組成三位數(shù)，

求：(1)所得三位數(shù)是偶數(shù)的概率；(2)所得三位數(shù)小于350的概率；(3)所得三位數(shù)

是5的倍數(shù)的概率.

32.已知函數(shù)y=f(X)是R上的奇函數(shù)，當(dāng)xWO時(shí)，f(x)=-

9X+12

(1)判斷并證明y=f(x)在(-8,0)上的單調(diào)性：

(2)求y=f(x)的值域：

(3)求不等式f(x)〉口的解集.

33.如圖，正三棱柱ABC-AiBiCi中，D是BC的中點(diǎn)，AB=a.

(I)求證:直線AiD_LBiJ；

(n)求點(diǎn)D到平面ACC1的距離；

(DI)判斷A】B與平面ADJ的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

'A

2008?2009學(xué)年上海市閔行三中高三(上)9月月考數(shù)學(xué)

試卷

參考答案

一、填空題：

1.若(x+1)n=xn+...+ax3+bx2+:x+l(n€N*),且a：b=3：1,那么n=11.

【分析】根據(jù)條件中所給的二項(xiàng)式定理的展開(kāi)式，寫出a和b的值，根據(jù)這兩個(gè)數(shù)字的比值,

寫出關(guān)于n的等式，即方程，解方程就可以求出n的值.

解：(x+1)n=xn+...+ax3+bx2^cx+l(nGN4),

??8=Cn^,b=Cn^>

Va：b=3：1,

Aa：b=Cn3：Cn2=3：1,

.n(n-l)(n-2)n(n-l)

..-------——-------：-------------=3：1,

3X22

.\n=ll.

故答案為：11

【點(diǎn)評(píng)】本題是考查二項(xiàng)式定理應(yīng)用，考查二項(xiàng)式定理的二項(xiàng)式系數(shù)，是一個(gè)基礎(chǔ)題，解題

的關(guān)鍵是寫正確要用的a和b的值.

2.從編號(hào)為1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的十個(gè)球中，任取5個(gè)球，則這5個(gè)球編號(hào)

之和為奇數(shù)的概率是

【分析】由題意知本題是一個(gè)古典概型，試驗(yàn)發(fā)生的總事件是任取5個(gè)球有CK)5種結(jié)果，滿

足條件的編號(hào)之和為奇數(shù)的結(jié)果數(shù)為C5K54+C53c52+65=126,根據(jù)公式得到結(jié)果.

解：由題意知本題是一個(gè)古典概型，

???試驗(yàn)發(fā)生的總事件是任取5個(gè)球有種結(jié)果，

滿足條件的編號(hào)之和為奇數(shù)的結(jié)果數(shù)為C5K54+C53c52+CSS=126,

由古典概型公式得到，

126i

???概率為肅■三吃

Jo/

【點(diǎn)評(píng)】本題考查古典概型，條件中包含的組合數(shù)的應(yīng)用有點(diǎn)難度，容易出錯(cuò)，解題時(shí)要看

清數(shù)字的特點(diǎn)，這個(gè)題目把這5個(gè)球編號(hào)之和為奇數(shù)變?yōu)檫@2個(gè)球編號(hào)之和為奇數(shù)，也能體

現(xiàn)解題方法.

3.一個(gè)口袋中裝有大小相同的2個(gè)白球和3個(gè)黑球，從中摸出一個(gè)球，放回后再摸出一個(gè)

球，則兩次摸出的球恰好顏色不同的概率為苦19.

【分析】由題意知本題是一個(gè)古典概型，用組合數(shù)表示出試驗(yàn)發(fā)生所包含的所有事件數(shù)，滿

足條件的事件分為兩種情況①先摸出白球，再摸出黑球，②先擺出黑球，再摸出白球，根據(jù)

古典概型公式得到結(jié)果.

解：由題意知本題是一個(gè)古典概型，

???試臉發(fā)生所包含的所有事件數(shù)是Cs】Cs].

滿足條件的事件分為兩種情況

①先摸出白球,Pg】,再摸出黑球,P白產(chǎn)C21c3】；

②先摸出黑球,P護(hù)C31,再摸出白球‘P斯C"】,

ciclclcl19

【點(diǎn)評(píng)】古典概型要求能夠列舉出所有事件和發(fā)生事件的個(gè)數(shù)，實(shí)際上本題可以列舉出所有

事件?，概率問(wèn)題同其他的知識(shí)點(diǎn)結(jié)合在一起，實(shí)際上是以概率問(wèn)題為載體，主要考查的是另

一個(gè)知識(shí)點(diǎn).

4.記者要為5名志愿者和他們幫助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相鄰的概率

為_(kāi)申9_（用分?jǐn)?shù)表示）

【分析】本題是一個(gè)等可能事件的概率，試驗(yàn)發(fā)生所包含的事件是7個(gè)人全排列，共有A??

種結(jié)果，2位老人相鄰，把兩位老人看成一個(gè)元素和另外5個(gè)元素進(jìn)行排列，兩個(gè)老人之間

還有一個(gè)排列，共有A66A22種結(jié)果，得到概率.

解：由題意知本題是一個(gè)等可能事件的概率，

試驗(yàn)發(fā)生所包含的事件是7個(gè)人全排列，共有A/7種結(jié)果，

滿足條件的事件是，2位老人相鄰，把兩位老人看成一個(gè)元素，

和另外5個(gè)元素進(jìn)行排列，兩個(gè)老人之間還有一個(gè)排列，共有A66A?2種結(jié)果,

,6,2

Ao9

???2位老人相鄰的概率是P=一￥=

A；7

故答案為：Y

【點(diǎn)評(píng)】本題考查等可能事件的概率，本題解題的關(guān)鍵是理解兩個(gè)老人相鄰的處理方式，利

用捆綁法，注意不要漏掉倆個(gè)老人之間還有一個(gè)排列，本題是一個(gè)基礎(chǔ)題.

5.若10把鑰匙中只有2把能打開(kāi)某鎖，則從中任取2把能將該鎖打開(kāi)的概率為_(kāi)急_.

【分析】由題意知，本題是一個(gè)古典概型，試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是從10個(gè)元素中任取2個(gè)

元素，滿足條件的事件數(shù)C21cF+C22,得到10把鑰匙中有2把能打開(kāi)某鎖的概率.

【解答】解法一：

解：由題意知，本題是一個(gè)古典概型，事件是從10個(gè)兀素中任取2個(gè)兀素

?.?試驗(yàn)發(fā)生的事重件數(shù)CH?,

???若10把鑰匙中只有2把能打開(kāi)某鎖，

滿足條件的事件數(shù)C2K/+C22

陵鴻工

則從中任取2把能將該鎖打開(kāi)的概率為

-72-45,

5。

17

故答案為：

45

解法二：

取出的兩把鑰匙都不能打開(kāi)鎖的概率是：

_「工2型

此一「2一45，

b10

所以能打開(kāi)門的概率是：

17

P=1-Po=*.

45

【點(diǎn)評(píng)】本題考查古典概型和計(jì)數(shù)原理，試驗(yàn)發(fā)生包含的事件數(shù)需要通過(guò)排列組合數(shù)來(lái)表示,

是一個(gè)易錯(cuò)題，在概率問(wèn)題中開(kāi)鎖問(wèn)題是比較困難的.

6.棱錐的高為16cm,底面積為512cm2,平行于底面的截面積為50cm2,則截面與底面的

距離為11cm.

【分析】利用面積之比是相似比的平方，求出截取棱錐的高，然后求出截而與底面的距離.

解：設(shè)截取棱錐的高為：h,則山）二旦.一=5,所以截面與底面的距離：16-5=llcm

"16，512

故答案為：11cm

【點(diǎn)評(píng)】本題是基礎(chǔ)題，考查面積之比是選上比的平方，考查計(jì)算能力，空間想象能力.

7.如果球的內(nèi)接正方體的表面積為24,那么球的體積等于兀

【分析】先求球的內(nèi)接正方體的棱長(zhǎng)，再求正方體的對(duì)角線的長(zhǎng)，就是球的直徑，然后求其

體積.

解：球的內(nèi)接正方體的表面積為24,所以正方體的棱長(zhǎng)是：2

正方體的對(duì)角線2加,所以球的半徑是加

所以球的體積：473K

【點(diǎn)評(píng)】本題考查球的內(nèi)接體問(wèn)題，球的體積，考查學(xué)生空間想象能力，是基礎(chǔ)題.

8.正三棱錐的一個(gè)側(cè)面的面積與底面積之比為2：3,則這個(gè)三棱錐的側(cè)面和底面所成二面

角的度數(shù)為60。.

【分析】在三極錐中，??個(gè)側(cè)面在底面上射影的面積為地面面積的看，有三角形的面積公式,

側(cè)面與底面所成二面角為e，則cos%惻面在［繇需^勺睢,則可求解.

側(cè)面的面積

解：設(shè)一個(gè)側(cè)面面積為S，底面面積為Si,則這個(gè)側(cè)面在底面上射影的面積為得,

S2

由題設(shè)得，設(shè)側(cè)面與底面所成二面角為a

S13

HUcos9=h

S1

-3SJT

S1

.?.6=60°.

故答案為：60。

【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間二面角的計(jì)算和應(yīng)用，考查運(yùn)算能力.

9.在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD--AiBiQDi中，若G、E分別為BBi,C1D1的中點(diǎn)，點(diǎn)F是

正方形ADDiAi的中心，則四邊形BGEF在正方體六個(gè)面上的射影圖形面積的最大值為

1

【分析】欲求四邊形BGEF在正方體六個(gè)面上的射影圖形面積的最大值，只須找出四邊形

BGEF在正方體在前后面上的射影，在左右面上的射影，在上下面上的射膨，這三種不同的

情況下射影的面積即可，這三種情形只有在前后面上的射影正好占到一個(gè)面的一半，從而得

到結(jié)果.

解：BGEF在正方體的六個(gè)面上的射影有三種情況，

即在前后面上的射影，在左右面上的射影，在上下面上的射影，

這三種不同的情況下，只有在前后面上的射影正好占到一個(gè)面的一半，

???射影到面積的最大值是看

故答案為:

【點(diǎn)評(píng)】本題考杳平行投影即平行投影作圖法等基礎(chǔ)知識(shí)，考杳空間想象力，屬于基礎(chǔ)題.

10.給出下列命題：①底面是正多邊形且側(cè)棱和底面成等角的棱錐是正棱錐；②側(cè)棱都相等

的棱錐是正棱錐；③側(cè)棱和底面成等角的棱錐是正棱錐；④側(cè)面和底面所成二面角都相等的

棱錐是正棱錐，其中正確命題的是①.

【分析】從正棱錐的定義逐一判斷，即可.對(duì)于①頂點(diǎn)在底面的射影不一定是底面正多邊形

的中心；對(duì)于②側(cè)棱都相等的核誰(shuí)底面不一定是正多邊形；③側(cè)棱和底面成等角的棱錐底面

不一定是正多邊形；對(duì)于④側(cè)面和底面所成二面角都相等的棱錢底面不一定是正多邊形，從

而得出正確命題.

解：根據(jù)正棱錐的定義：底面是正多邊形，頂點(diǎn)在底面的射影是底面正多邊形的中心.

可以判斷①底而是正多邊形且側(cè)棱和底面成等角的棱錐是正棱維，符合定義，是正棱錐：故

正確.

②側(cè)棱都相等的棱錐是正棱錐不正確：因?yàn)榈酌娌灰欢ㄊ钦嗔π?故錯(cuò)誤.

③側(cè)棱和底面成等角的棱錐是正棱錐不正確：底面不一定是正多邊形.故錯(cuò)誤.

④側(cè)面和底面所成二面角都相等的棱錐是正棱錐；底面不一定罡正多邊形.錯(cuò)誤.

其中正確命題的是①

故答案為：①.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查正棱錐的定義、棱錐的結(jié)構(gòu)特征等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象力.屬于基礎(chǔ)

題.

11.如圖，點(diǎn)A在銳二面角a-MN-B的棱MN上，在面a內(nèi)引射線AP,使AP與MN所

成的NPAM為45。，與面B所成的角為30。，求二面角a-MN-B的大小45

【分析】求二面角平面角的大小，關(guān)鍵是找（作出）出二面角的平面角，本題可以利用定義

法尋找.過(guò)點(diǎn)P作平面B的垂線PB,垂足為B,過(guò)點(diǎn)B作BC垂直于MN,連接PC,根據(jù)條

件可以證得NPCB為二面角a-MN-。的平面角，再分別在APBA,△PCA,APCB可

求二面角a-MN-p的平面旄.

解：過(guò)點(diǎn)P作平面B的垂線P3,垂足為B,過(guò)點(diǎn)B作BC垂直于MN,連接PC

VPBlp,MNc3，.\PB±MN

VMNXBC,JZPCB為二面角a-MN-p的平面角

設(shè)PB=1,在4PBA中，ZPAB=30°,.\PA=2

在4PCA中，ZPAC=45\APC=>/2

在aPCB中，PB=1,PC=V2-'NPCB=45。

故答案為450

【點(diǎn)評(píng)】本題的考點(diǎn)是二面角的平面角及求法，主要考查利用定義找（作出）出二面角的平

面角，關(guān)鍵是找（作出）出二面角的平面角，同時(shí)也考查學(xué)生計(jì)算能力.一般地，二面角的

平面角的求法，遵循一作、二證、三求的步驟，定義法事最基本的尋找方法.

12.如圖，正四面體S-ABC的邊長(zhǎng)為a,D是SA的中點(diǎn)，E是BC的中點(diǎn)，則SDE繞SE旋

【分析】連接AE,先證EDJ_SA,作DF±SE,交SE于點(diǎn)F,從而可知所求的旋轉(zhuǎn)體的體積

是以DF為底面半徑，分別以SF和EF為高的兩個(gè)圓錐的體積的和，然后求出DF,SE,即可

求出所求.

解：連接AE,因?yàn)閍SDE和△,%（：都是邊長(zhǎng)為a的正三角形，并且SE和AE分別是它們的中

線，

所以SE=AE,從而ASDE為等腰三角形，由于D是SA的中點(diǎn)，

所以ED_LSA.作DF_LSE,交SE于點(diǎn)F.考慮直角ASDE的面積，得至I]ySE-DF=ySD-DE，

所以‘DF鬻號(hào)?易知，SE=^w42-（f）24a,

_____________________旦

DE=7sE2-SD2=y1-a2-（4）二李所以，爸?三一二坐■&.

“TQ

所求的旋轉(zhuǎn)體的體積是以DF為底面半徑，分別以SF和EF為高的兩個(gè)圓錐的體積的和，即

)2儂。兀,(44-3

；兀?a)2?SF+:冗.)2磔烏兀?

JQJQJJ0

故答案為：空冗

36

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)題的體積，解題的關(guān)鍵是弄清旋轉(zhuǎn)體的形狀，木題旋轉(zhuǎn)體是以

DF為底面半徑，分別以SF和EF為高的兩個(gè)圓錐，屬于中檔題.

二、選擇題:

13.已知(1-3x)9=ao+aix+a2X2+...+agx9,則ao+|aiI+a2+…+39等于()

A.29B.49C.39D.1

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理，可得(l-3x)9的展開(kāi)式為T「產(chǎn)(-3x)由絕對(duì)值的意義

可得，ao)+ai+1a2+...+；ag=a。-a/a2-a3+...a8-ag-

令x=l,代入(l-3x)9可得答案.

解：由二項(xiàng)式定理,(1-3X)9的展開(kāi)式為1.1=3(-3x)r,

則X的奇數(shù)次方的系數(shù)都是負(fù)值，

aol+31|+|32I+...+I39|-30-31+32-33*...-39.

根據(jù)題意,只需賦值x=?l,即可得|ao|+|ai|+|azl+“.+|a9l=49

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二項(xiàng)式定理的運(yùn)用，注意根據(jù)題意，分析所給代數(shù)式的特點(diǎn)，進(jìn)行賦值，

可以簡(jiǎn)便的求出答案.

14.(2X+VZ)4的展開(kāi)式中＞：3的系數(shù)是()

A.6B.12C.24D.48

【分析】利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求出展開(kāi)式的第r+1項(xiàng)，令x的指數(shù)為3,求出展開(kāi)式

中X?的系數(shù).

解:(2x+F)4展開(kāi)式的通項(xiàng)為T1+i=C；(2x)4-r(《)r=24rc；x4-自

令4v■二夕眸得r=2

故展開(kāi)式中x3的系數(shù)是4XC/=24

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式是解決二項(xiàng)展開(kāi)式的痔定項(xiàng)問(wèn)題的工具.

15.如圖，OA是圓錐底面中心O到母線的垂線，OA繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得曲面將圓錐分成體

積相等的兩部分，則母線與軸的夾角的余弦值為()

A

1111

A?場(chǎng)J/。?麗

【分析】設(shè)OB=1,求出OD,AC,利用OA繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得曲面將圓錐分成體枳相等的兩

部分，求得關(guān)系式，從而求得答案.

解：如圖，設(shè)OB=1,則OD=8tB,AC=AD?sin0,OD?cos0sin0=cos20.

V圓錐DBB，二丁°18,v醫(yī)錐ODAA，=yDO-KAC2=ycot9-Heos40,

由題意知cos484，故知cos8二去.

2V2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查旋轉(zhuǎn)體的體積，三角函數(shù)等有關(guān)知識(shí)，是中當(dāng)題.

16.平行六面體的棱長(zhǎng)都是a,從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱兩兩都成60。角，則該平行六面體

的體積為()

A7B.鋁C.條3?濟(jì)3

【分析】由題意通過(guò)三面角公式，求出側(cè)棱與底面所成的角，求出平行六面體的高，底面面

積，即可求出平行六面體的體積.

解:由題意側(cè)棱與底面所成的角為8，所以cos6(T=cos3(r(:ose,所以COS6=Y±,

3

所以平行六面體的高為：asinO=2Zp-,平行六面體的底面面積為：a2sin6(T=堂”，

32

所以平行六面體的體積為：與心連手，

322

故選；c.

【點(diǎn)評(píng)】本題是中檔題，考查平行六面體的體積的求法，考查計(jì)算能力，注意三面角公式的

應(yīng)用.

17.如圖，正四棱錐P-ABCD底面的四個(gè)頂點(diǎn)A、B、C、D在球。的同一個(gè)大圓匕點(diǎn)P

在球面上，如果先TRE當(dāng)，則求。的表面積為（

XAJjLJj's

A.4nB.8nC.12nD.16n

【分析】由題意可知，PO_L平面ABCD,并且是半徑，由體積求出半徑，然后求出球的表面

積.

解：如圖，正四棱錐P-ABCD底面的四個(gè)頂點(diǎn)A,B.C,D在球。的同一個(gè)大圓上，點(diǎn)P

1A

在球面上，POJ_底面ABCD,PO=R,SABCD=2R2,

球O的表面積是16TT,

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查球的內(nèi)接體問(wèn)題，球的表面積、體積，考查學(xué)生空間想象能力，是基礎(chǔ)題.

18.已知（x-且）8展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為1120,其中實(shí)數(shù)a是常數(shù)，則展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的

x

和是（）

A.28B.38C.1或38D.1或28

【分析】利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求出第r+1項(xiàng)，令x的指數(shù)為。得常數(shù)項(xiàng)列出方程求出

a,給二項(xiàng)式中的x賦值求出展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和.

解：Tr.l=C8r?X8，?（-3X'1）r=（-a）rCsr*X8'2r.

令8-2r=0,

Ar=4.

Z.(-a)4c84=1120,

.*.a=±2.

當(dāng)a=2時(shí)，令x=l,則（1-2）8=i.

當(dāng)a=-2時(shí)，令x=l,則（1+2）8=38.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式是解決二項(xiàng)展開(kāi)式的特定項(xiàng)問(wèn)題的工具：賦值法是

求展開(kāi)式的系數(shù)和的重要方法.

19.將1,2,…,9這9個(gè)數(shù)平均分成三組，則每組的三個(gè)數(shù)都可以成等差數(shù)列的概率為（）

—B.---—D.1

5670336420

【分析】先把9個(gè)數(shù)分成3組，根據(jù)排列組合的性質(zhì)可求得所有的組的數(shù)，然后把三個(gè)數(shù)成

等差數(shù)列的組，分別枚舉出來(lái)，可知共有5組，然后利用概率的性質(zhì)求得答案.

C3c3c3

解：9個(gè)數(shù)分成三組，共有.9g1組,其中每組的三個(gè)數(shù)均成等差數(shù)列，有｛<1,2,3），

A3

(4,5,6),(7,8,9)｝、｛(1,2,3),(4,6.8),(5,7,9)｝、｛(1,3,5),

(2,4,6),(7,8,9)｝、｛(1,4,7),(2,5,8),(3,6,9)｝、｛(1,5,9),

(2,3,4),(6,7,8)｝,共5組.

???所求概率為5二1

8X7X5=56

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等差關(guān)系的確定和概率的性質(zhì).對(duì)于數(shù)量比較小的問(wèn)題中，可以用

枚舉的方法解決問(wèn)題直接.

20.將一顆質(zhì)地均勻的骰子先后拋擲3次，至少出現(xiàn)一次6點(diǎn)向上的概率是（）

A工B三C總D.

'216'216"216,216

【分析】事件“至少出現(xiàn)一次6點(diǎn)向上”的對(duì)立事件是“出現(xiàn)0次6點(diǎn)向上的概率”，由此借助

對(duì)立事件的概率進(jìn)行求解.

解：丁事件“至少出現(xiàn)一次6點(diǎn)向上”的對(duì)立事件是“出現(xiàn)0次6點(diǎn)向上的概率”，

?.?至少出現(xiàn)一次6點(diǎn)向上的概率P=l-C°（1）0（14）3=1-然=黑?

J8hZ1OZ1O

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率，解題時(shí)要注意對(duì)立事件概率的

合理運(yùn)用.

三、解答題：

21.A={xl3x2+x-2>0,xSRj,B二絲包>0,x€R),

x-3

(l)用區(qū)間表示集合A、B；

(2)求AAB.

【分析】(1)解一元二次不等式求得集合A,解分式不等式求得集合B,再用區(qū)間表示這

兩個(gè)集合.

(2)利用兩個(gè)集合的交集的定義求出ADB.

解:(1)A二&|3X2+X-2>0,xtR}二{X|X>|"或X<T},B={X|X>3或X<,},

oSI

所以，A二(-8,-1]Ufl,+OO),B=(-oo,4)U(3,+co)....

34

(2)AdB=(x|x<-l樵〈或x>3}....

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查集合的表示方法，一元二次不等式和分式不等式的解法，兩個(gè)集合的

交集的定義和求法，屬于基礎(chǔ)題.

22.已知一個(gè)圓錐的底面半徑為R,高為H,在其中有一個(gè)高為x的內(nèi)接圓柱,

(1)求此圓柱的側(cè)面積表達(dá)式;

(2)x為何值時(shí)，圓柱的側(cè)面積最大？

【分析】(1)由題意，圓柱的高已知為x,故求出圓柱底面的半徑r關(guān)于x的表達(dá)式，再由

公式求出側(cè)而枳的表達(dá)式，由圖知，求底面半徑可利用過(guò)軸的截面建立比例關(guān)系去駕冷,

KH

從中解出底面半徑表達(dá)式:

（2）由（1）S圓柱惻面二2九Rx-2；Rx2,此是一個(gè)關(guān)于圓柱高的二次函數(shù)，由二次函數(shù)

的知識(shí)判斷出函數(shù)的最值，即可得到圓柱側(cè)面積的最大值，同時(shí)求出此時(shí)的x的值

解：（1）過(guò)圓錐及內(nèi)接的圓柱的軸作截面，如圖：

因?yàn)榭慈A，所以『R-t

Knn

...2兀R2

從而7S圓柱側(cè)面二2幾rx二2兀Rx-jj—x?

（2）由（1）S圓柱側(cè)面二ZJlKx//Rx?

因?yàn)槠瑓^(qū)＜0,

H

_2HR_H

所以當(dāng)X-三-4兀R加時(shí),S制最大，

H

從而當(dāng)x=￡，即圓柱的高為圓錐高的一半時(shí)，圓柱的側(cè)面枳最大?

【點(diǎn)評(píng)】本題是一個(gè)旋轉(zhuǎn)體中的最值問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是建立起圓柱側(cè)面積的函數(shù)關(guān)系，利

用函數(shù)的最值求側(cè)面積的最值，本題的難點(diǎn)是作出旋轉(zhuǎn)體的軸截面，由此橫面上的比例關(guān)系

將底面半徑用高表示出來(lái)，從而由公式建立起側(cè)面積關(guān)于高X的函數(shù)關(guān)系，這也是本題的重:

點(diǎn)，本題考查了數(shù)形結(jié)合的思想，函數(shù)的思想，利用函數(shù)求最值是函數(shù)的一個(gè)重要運(yùn)用，

23.一塊邊長(zhǎng)為10cm的正方形鐵片按如圖所示的陰影部分裁下，然后用余下的四個(gè)全等的

等腰三角形加工成一個(gè)正四棱錐形容器，試建立容器的容積V與x的函數(shù)關(guān)系式，并求出函

數(shù)的定義域.

10

【分析】設(shè)出所截等腰三角形的底邊邊長(zhǎng)為xcm,在直角三角形中根據(jù)兩條邊長(zhǎng)利用勾股定

理做出四極錐的高，表示出四枝錐的體積，根據(jù)實(shí)際意義寫出定義域.

解：如圖，設(shè)所截等腰三角形的底邊邊長(zhǎng)為xcm,

0F="^~xcir，

在R2EOF中，EF=5cID,

?*,E0z^25^-x2,

依題意函數(shù)的定義域?yàn)椋鹸0<x<10)

【點(diǎn)評(píng)】本題是一個(gè)函數(shù)模型的應(yīng)用，這種題目解題的關(guān)鍵是看清題意，根據(jù)實(shí)際問(wèn)題選擇

合適的函數(shù)模型，注意題目中寫出解析式以后要標(biāo)出自變量的取值范圍.

24.如圖，在底面是直角梯形的四極錐P-ABCD中，AD〃BC,ZABC=90°,且

ZADC=arcsirr^?

又PA_L平面ABCD,AD=3AB=3PA=3a,

D

(I)求二面角P-CD-A的正切值:

(II)求點(diǎn)A到平面PBC的距離.

【分析】(1)在底面ABCD內(nèi)，過(guò)A作AE_LCD,垂足為E,連接PE,易得NPEA是二面角

P-CD-A的平面角,在RtAPAE中求出此角的正切值:

(2)在平面APB中，過(guò)A作AH_LPB,垂足為H,可證得AH的長(zhǎng)即為點(diǎn)A到平面PBC的距

離，在等腰直角三角形PAB中解出AH即可.

解：(1)在底面ABCD內(nèi)，過(guò)A作AEJ_CD,垂足為E,連接PE,

?.?PA_L5Pi5lABCD,易證PE_LCD,

VZPEA是二面角P-CD-A的平面角,

在KtZXAtzULp,AU=3a,ZAUt=arcsin^-,

5

AE=AD?sinNADE=Z^

5

在RtAPAE中，tm/pEA造或

rJLo

??.二面角P-CD-A的正切值為近：

3

(II)在平面APB中.過(guò)A作AHIPB.垂足為H

；PA_L平面ABCD,

PA1BC,

又AB_LBC,ABClYffiPAB,

??.平面PBC_L平面PAB,

???AH_L平面PBC,

故AH的長(zhǎng)即為點(diǎn)A到平面PBC的距離,

在等腰直角三角形PAB中，加爍守

所以點(diǎn)A到平面PBC的距離為噂?

2

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平面與平面之間的位置關(guān)系，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理

論證能力，屬于基礎(chǔ)題.

25.在三棱錐S-ABC中，ZSAB=ZSAC=ZACB=90°,且AC=BC=5,SB=5%.

(I)證明:SC1BC；

(H)求側(cè)面SBC與底面ABC所成二面角的大小:

(m)求三棱錐的體積VsABC-

【分析】(I)利用SA_L平面ABC,根據(jù)三垂線定理，可得SC_LBC.

(II)由于BC_LAC,SC1BC,可知NSCA是側(cè)面SCB與底面ABC所成二面角的平面角.在

RtZkSCB中,求得SC=10,在RtZXSAC中，可求側(cè)面SBC與底面ABC所成的二面角的大小.

(ID)先計(jì)算SAABC，再求VS-ABC=1?SAACB?SA.

解：(I)證明：???NSAB=NSAC=90°,ASAIAB,SA1AC.

XABCIAC=A,.工人_1_平面ABC.

由于NACB=90°,即BC_LAC,

由三垂線定理，得SCJ_BC.

(II)解：VBCXAC,SC±BC

???ZSCA是側(cè)面SCB與底而ABC所成二面角的平面角.

在RL^SCB中，BC=5,SB=5V5.

得SC=7SB2-BC2=1°

AC51

在R3SAC中AC=5,SC=10,2sSCA=蔡二工二；

ZSCA=60°,即側(cè)面SBC與底面ABC所成的二面角的大小為60。.

(ID)解：在RtZXSAC中,

,**SA=VSC2-AC2=7102-52=V75-

SAARC=-^*AC?BC=4-X5X5=舉.

222

VsABc=-^-?SAACB?SA=^-X*

JJ，0

【點(diǎn)評(píng)】本題以三楂錐為載體，考查線線垂直，考查線面角，考查幾何體的體積，關(guān)鍵是作

出二面角的平面角.

26.如圖，在直四棱柱ABCD-AiBCDi中，AB=AD=2,DC=2/，AAI=V3?AD±DC,AC±

BD垂足為E.

(I)求證BD±AiC：

(n)求二面角Al-BD-Cl的大?。?/p>

(DI)求異面直線AD與BJ所成角的大小.

【分析】解法一：

(1)在宜四棱柱ABCD-ABiCiDi中，由AAi_L底面ABCD可知：AC是AiC在平面ABCD上

的射影.因?yàn)锽D_LAC,所以3D_LAC

(2)二面角的度量關(guān)鍵在于作出它的平面角，常用的方法就是三垂線定理.連接AiE,CiE,

AiCi.與(I)同理可證BD_LA】E,BDXCiE,所以N4EJ為二面角A「BD-J的平面角;

(3)求異面直線所成的角，一般有兩種方法，一種是幾何法，其基本解題思路是“異面化共

面，認(rèn)定再計(jì)算“，即利用平移法和補(bǔ)形法將兩條異面直線轉(zhuǎn)化到同一個(gè)三角形中，結(jié)合余

弦定理米求.還有一種方法是向量法，即建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的代數(shù)法和幾何法

求解.本題采用的是"幾何法"：過(guò)B作BF〃AD交AC于F,連接FJ,則NJBF就是AD與

BCi所成的角.

解法二：

(1)同解法一：

(2)以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA.DC,DD】所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)

系.連接AiE,CiE,AiCi，與(1)同理可證，BDlAiE,BD1C1E,所以/A1EC1為二面角

Ai-ED-Ci的平面角.因?yàn)檩腏前;所以EAilECi.則二面角Ai-ED-Ci的大小為90。.

解法三：

(1)同解法一；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點(diǎn)為E.連接AiE,CiE,AiCi.與（I）同理可證BD_L

AiE,BDICiE,所以NA1EC1為二面角Ai?BD-Ci的平面角.日E（0,0,0）Ai（0,-1,

M）,Ci（0,3,加）.因?yàn)樽CJ西，所以EAilECi.則二面角Ai-ED-J的大小

為90°.

解法二、三都是用的“向量法”，只是空間直角坐標(biāo)系建立的位置不同，這樣各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)也

會(huì)隨之改變.這種解法的好處就是：（1）解題過(guò)程中較少用到空間幾何中判定線線、面面、

線面相對(duì)位置的有關(guān)定理，因?yàn)檫@些可以用向量方法來(lái)解決.（2）即使立體感稍差一些的

學(xué)生也可以順利解出，因?yàn)橹恍璁媯€(gè)草圖以建立坐標(biāo)系和觀察有關(guān)點(diǎn)的位置即可.

解：法一：

（I）在直四棱柱ABCD-AB】GDi中，

???AA」底面ABCD..,.AC是AiC在平面ABCD上的射膨.

VBD1AC.ABDlAiC；

（II）連接AiE.GE.AiCi.

與⑴同理可證BD_LA】E,BDICiE,

ZA1EC1為二面角Ai-BD-Ci的平面角.

*

VAD1DC,..ZA1DiCi=ZADC=90°,

又A]D[=AD=2,DiJ=DC=26,A人尸花且AC_LBD,

.?.A]CI=4,AE=1,EC=3,.*.AIE=2,（：止=25，

在△AiECi中，AiCi^AjE^CiEsAZAiECi=90°,

即二面角Ai-BD-Ci的大小為90。.

（川）過(guò)B作BF〃AD交AC于F,連接FJ,

則NC】BF就是AD與BCi所成的角.

VAB=AD=2,BD1AC,AE=1,

，BF=2,EF=1,FC=2,BC=DC,/.FCi=V??BCi=V15.

在ABFCi中，cos/CiBF=^a^=Y15.1.NC】BF=arccos近￡

12/1555

即異面直線AD與BJ所成角的大小為arccos逗.

5

法二:

（I）同解法一

（H）如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,DDi所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間

直角坐標(biāo)系.

連接AiE,CiE,AiCi.

與（1）同理可證，BD±AiE,BDXCiE,

???NAiECi為二面角Ai-ED-Ci的平面角.

由Ai（2,0,舍）Ci（0,2、/,近）E（亮,3,0）

22

得直廣仔-冬衣），西=（-右竽表）

???甌?EC廣-3-*3=0,

/.EAilEC7,即EA】_LEG.

二二面角Ai-ED-Ci的大小為90°

（ID）如圖，由D（0,0,0）,A（2,0,0）,Ci（0.2近，的），B（3,加，0）,

得曲（-2.0,0）,BCr（-3,無(wú)，道），

???標(biāo)?BC]=6,I屈l?BC[=6,旃1=2,|BCjl=V15

而，西匚后

/.cos<AD>BCp='I筋|西廣訪

;異面直線AD與BQ所成角的大小為arccos?5.

5

法三:

(I)同解法一.

(II)如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點(diǎn)為E.連接A】E,CiE,A1C1.

與（I）同理可證BDlAiE,BD1C1E,

，ZAiECi為二面角Ai-BD-Ci的平面角.

由E（0,0,0）Ai（0,-1,遂），Ci（0,3,V5>?

得拓（0,-1,加），西=（0,3,A/3）.

EAj*EC|=-3+3=0,

???EA[_LEC]即EA11EC1,

???二而角Al-BD-Cl的大小為90°.

【點(diǎn)評(píng)】本小題主要考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，二面角和線面關(guān)系等基本知識(shí)，同時(shí)考查空間想

象能力和推理、運(yùn)算能力.

四、備用題.

27.如圖，ABCD-AiBiCiDi是正四棱柱，側(cè)棱長(zhǎng)為1,底面邊長(zhǎng)為2,E是棱BC的中點(diǎn).

(1)求三棱錐Di-DBC的體積；

(2)證明BDi〃平面JDE：

(3)求面JDE與面CDE所成二而角的正切值.

【分析】(1)分別求出高DDi和底面面枳SZXBCD,最后由三棱錐的體枳公式求其體枳.

(2)根據(jù)線面平行的判定理,只要證明EF〃BDi即可.

(3)先過(guò)C作CG_LDE交DE于G,連接則DE_LJG作出二面角的平面角來(lái)，然后在R-CDE

O

中，CD=2,CE=1,DE=在，求得CG=7^，再由CJ=1,通過(guò)tanNCiGC=解.

解：(1)VBC=CD=2.'.=-^-X2X2=2

XVDDi=l

119

???三棱錐Di-DBC的體積=^5ABCDDDk音X2X1=>^

(2)設(shè)CiDCCD尸F(xiàn)

連接EFVE為BC的中點(diǎn)F為CDi的中點(diǎn)

AEF是ABCDi的中位線.，.EF〃BDi

又BDi在平面CiDE外，EF在平面JDE內(nèi)

.'.BDi〃平面CiDE

(3)過(guò)C作CGJ_DE交DE于G,連接

則DElCiGAZCiGC是二面角Ci-DE-C的一個(gè)平面角

在RtrCDE中，CD=2,CE=1,DE=J^

VCCi=lACCiG是直角三角形

IC1CI后

.\tanZCiGC=.

班丁否一2

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線而平行的判定定理，三棱錐的體積公式及二面角的幾何求法，一般

來(lái)講，是一作，二找，三證.

28.如圖，正四棱柱ABCD?AiBiCiDi中,底面邊長(zhǎng)為2加，側(cè)棱長(zhǎng)為4.E,F分別為棱AB,

BC的中點(diǎn)，EFABD=G.

(I)求證：平面BiEFJ.平面BDDiBi：

（U）求點(diǎn)Di到平面BiEF的距離d：

（DI）求三棱錐Bi-EFDi的體積V.

【分析】（1）方法一：欲證明平面BiEF_L平面BDDiBi，先證直線與平面垂直，觀察平面

BDDiBi為正四棱柱ABCD-AiBiGDi的對(duì)角面，所以AC_L平面BDDiBi，故連接AC,由EF〃

AC,可得EF_L平面BDDiBi

方法二：欲證明平面B】EF_L平面BDDiBi,先證直線與平面垂直，由題意易得EF_LBD,又EF

±DiD,所以EFJ_平面BDDiB】

（2）本題的設(shè)問(wèn)是遞進(jìn)式的，第（1）問(wèn)是為第（2）問(wèn)作鋪墊的.由第（1）問(wèn)可知，點(diǎn)

Di到平面BiEF的距離d即為點(diǎn)Di到平面BiEF與平面BDDiBi的交線BiG的距離，故作D】H

±BiG,垂足為H,所以點(diǎn)Di到平面BiEF的距離d=DiH.下面求DiH的長(zhǎng)度.

解法一:在矩形BDDiBi及Rt/XDiHBi中，利用三角函數(shù)可解.

解法二：在矩形BDDiBi及Rt/XDiHBi中，利用三角形相似可解.

解法三：在矩形BDDiBi及△CiGBi中，觀察面枳人小關(guān)系可解.

（3）本題的設(shè)問(wèn)是遞進(jìn)式的，第（2）問(wèn)是為第（3）間作鋪墊的.解決三棱推求體積的問(wèn)

題，關(guān)鍵在于找到合適的高與對(duì)應(yīng)的底面，由第（2）問(wèn)可知，DiH即為三棱錐B1-EFDi的

高，所以BiEF為對(duì)應(yīng)的底面.

解：（I）證法一：

連接AC.

,/正四棱柱ABCD-AiBiCiDi的底而是正