湖北省鄂東南聯(lián)盟2025屆高三下學(xué)期5月模擬數(shù)學(xué)試卷一、單選題1．已知復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則的共軛復(fù)數(shù)等于（

）A． B． C． D．2．設(shè)集合，則（

）A． B． C． D．3．已知函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后，得到的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則滿足條件且最小的的值為（

）A．3 B． C．15 D．24．已知點(diǎn)，，向量，則向量在方向上的投影向量為（

）A． B． C． D．5．反復(fù)測(cè)量某一個(gè)物理量，其測(cè)量誤差通常被認(rèn)為服從正態(tài)分布.若某物理量做次測(cè)量，最后結(jié)果的誤差，則為使的概率控制在0.0455以下，至少要測(cè)量的次數(shù)為（

）（附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則）A．200 B．400 C．800 D．10006．“”是“圓上恰有2個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1”的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要7．已知邊長(zhǎng)為2的菱形，對(duì)角線交于點(diǎn)，現(xiàn)將沿對(duì)角線翻折，得到三棱錐.記線段的中點(diǎn)分別為，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．B．三棱錐體積的最大值為C．平面截三棱錐的截面圖形可能是正方形D．當(dāng)折成的二面角為時(shí)，三棱錐的外接球半徑為8．已知定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集的函數(shù)，導(dǎo)數(shù)均存在，且記為，滿足，對(duì)恒成立，則下列結(jié)論一定成立的是（

）A．B．C．D．二、多選題9．已知點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動(dòng)，為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)，則的值可能是（

）A．9 B．8 C．7 D．610．已知單位圓的內(nèi)接正邊形的邊長(zhǎng)、周長(zhǎng)和面積分別為，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．11．已知函數(shù)，下列選項(xiàng)正確的是（

）A．0是函數(shù)的零點(diǎn)B．函數(shù)僅有一個(gè)極小值C．若，且，則D．若關(guān)于的方程恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是三、填空題12．1與2025的等比中項(xiàng)為.13．已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù)，且在上嚴(yán)格單調(diào)遞增，若對(duì)的某個(gè)內(nèi)角，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.14．在方格表的16個(gè)小方格中選取8個(gè)，使得每行每列都恰有兩個(gè)小方格被選中，則不同的選取方法數(shù)為.（請(qǐng)用數(shù)字作答）四、解答題15．已知函數(shù).（1）若函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線與直線垂直，求實(shí)數(shù)的值；（2）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.16．2025年4月25日，中國(guó)人形機(jī)器人生態(tài)大會(huì)在上海汽車會(huì)展中心舉辦.其中，人形機(jī)器人拳王爭(zhēng)霸賽讓人大開眼界：在4米乘以4米的拳臺(tái)上，可以看到各家公司在多模態(tài)融合算法、運(yùn)動(dòng)控制、視覺、感知等技術(shù)上的突破.比賽前，某科技公司機(jī)器人甲隊(duì)和乙隊(duì)進(jìn)行練習(xí)賽，兩隊(duì)均由兩臺(tái)機(jī)器人組成.比賽要求每輪兩局，每局比賽兩隊(duì)都需派不同機(jī)器人參賽，每局比賽獲勝得1分，否則得0分（每局比賽都分勝負(fù)，沒有平局）.設(shè)每輪比賽中各局結(jié)果互不影響，各輪結(jié)果也互不影響.已知甲隊(duì)機(jī)器人，機(jī)器人每局比賽獲勝的概率分別為.（1）設(shè)前兩輪比賽中甲隊(duì)得3分為事件，前兩輪比賽中機(jī)器人得2分為事件，求；（2）機(jī)器人續(xù)航時(shí)間有限，規(guī)定本次比賽最多進(jìn)行6輪，規(guī)定當(dāng)一隊(duì)得分比另一隊(duì)得分多2分時(shí)比賽結(jié)束.設(shè)比賽結(jié)束時(shí)共進(jìn)行了輪，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.17．如圖所示，四棱錐的底面四邊形為直角梯形，，平面與平面的交線平面.（1）求線段的長(zhǎng)度；（2）線段上是否存在點(diǎn)，使得平面平面？若存在，求直線與平面所成角的正弦值；若不存在，請(qǐng)說明理由.18．已知橢圓的焦距為2，且點(diǎn)在橢圓上.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為，則的大小是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請(qǐng)說明理由.（3）在（2）的條件下，試求三角形的面積的取值范圍.19．設(shè)為正整數(shù)，且，定義數(shù)列為滿足以下條件的正整數(shù)數(shù)列：①；②對(duì)每個(gè).定義數(shù)列為滿足以下條件的正整數(shù)數(shù)列：①；②對(duì)每個(gè)，其中.記滿足條件的數(shù)列的個(gè)數(shù)為數(shù)列的個(gè)數(shù)為.用表示首項(xiàng)為1，末項(xiàng)為的所有數(shù)列構(gòu)成的集合，表示集合中的元素個(gè)數(shù).（1）求；（2）求；（3）證明：.

參考答案1．【答案】B【詳解】復(fù)數(shù)滿足，則，故，故選B.2．【答案】D【詳解】由，所以.又，所以.故選D.3．【答案】A【詳解】由題設(shè)，函數(shù)為偶函數(shù)，所以，得，要最小，取，得，故選A.4．【答案】C【詳解】因?yàn)椋?，所以，又，所以，，所以向量在方向上的投影向量?故選C.5．【答案】C【詳解】由，而，則，所以.故選C6．【答案】B【詳解】如圖所示：設(shè)與直線平行且與直線之間的距離為1的直線方程為，則，解得或，圓心到直線的距離為，圓到直線的距離為，由圖可知，圓與直線相交，與直線相離，所以，即，故“”是“圓上恰有2個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1”的必要不充分條件.故選B.7．【答案】C【詳解】對(duì)于A，因?yàn)樗倪呅螢榱庑危?，故，又，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，故A正確；對(duì)于B，由A得平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面，?dāng)?shù)狡矫娴木嚯x最大時(shí)，即平面時(shí)三棱錐的高最大，由題意得，為等邊三角形，為中點(diǎn)，所以，所以三棱錐體積的最大值為，故B正確；對(duì)于C，取中點(diǎn)，連接，因?yàn)榫€段的中點(diǎn)分別為，所以，且，所以截面圖形為平行四邊形.由A可知，所以，故四邊形為矩形，由題意得，，所以，所以，即四邊形不可能為正方形，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)二面角為時(shí)，由A可得，所以到平面距離為，在平面內(nèi)的投影在直線上，投影長(zhǎng)為，因?yàn)?，所以為外接圓圓心，所以三棱錐外接球的球心在過D且與平面垂直的直線上，如圖，設(shè)三棱錐外接球的半徑為R，，則，解得，故三棱錐外接球的半徑為，D正確.故選C.8．【答案】A【詳解】，令，則，故在單調(diào)遞增，又，所以，即，所以，A選項(xiàng)正確，另外，，由于與0的大小關(guān)系不確定，故C，D無法判斷.故選A.9．【答案】ABC【詳解】拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，如圖，過點(diǎn)作于A，過點(diǎn)作于，連接，由拋物線的定義知，則，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)取等號(hào)，又，所以的最小值為7.故選ABC10．【答案】BCD【詳解】對(duì)于A，單位圓的內(nèi)接正邊形的中心角為，如圖設(shè)，過作于點(diǎn)，則，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由A的結(jié)論，，則，則，故B正確；對(duì)于C，，則，故，故C正確；對(duì)于D，由上分析，，則，故，故D正確.故選BCD11．【答案】AC【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，，所以A正確.對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)，，可得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；圖象如圖：所以，函數(shù)的極小值為和，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，設(shè)，求導(dǎo)得，所以在上單調(diào)遞增，所以，若，則，因?yàn)?，在上單調(diào)遞增，所以，即，選項(xiàng)C正確.對(duì)于選項(xiàng)D，關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根關(guān)于的方程有一個(gè)非零的實(shí)數(shù)根函數(shù)與圖象有一個(gè)公共點(diǎn)，且，由圖象易知，或，或，從而的取值集合為，D錯(cuò)誤.故選AC.12．【答案】.【詳解】設(shè)1與2025的等比中項(xiàng)為為，所以，所以.13．【答案】【詳解】依題意，是奇函數(shù)，且在上嚴(yán)格單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，由，得，，設(shè)，由于，所以，所以，即，則的取值范圍是，的取值范圍是，由不等關(guān)系：恒成立，的取值范圍是.14．【答案】90【詳解】第一行選2個(gè)方格有種方法，這2個(gè)方格確定后：（1）若第二行選的方格均與第一行同列，則后兩行選的方格只能與前兩行不同列，有1種方法；（2）若第二行選的方格均與第一行不同列，則前兩行選取的4個(gè)方格中每列1個(gè)，第三行選的方格有種方法，選定后第4行隨之確定；（3）若第二行選的方格恰有1個(gè)與第一行同列，第二行選取方法有種，此時(shí)，前兩行選的4個(gè)方格中有2個(gè)在同一列（該列后兩行不選），有1列前兩行都未選（該列后兩行必選），另兩列前兩行各選一個(gè)（后兩行也要各選一個(gè)，2種方法）.綜上，共種方法.15．【答案】（1）（2）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.【詳解】（1）由題意知的定義域?yàn)椋深}設(shè)知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線斜率為，即，所以；（2）由于的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，單調(diào)增；當(dāng)單調(diào)減，故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.16．【答案】（1）.（2）分布列見解析，【詳解】（1）設(shè)前兩輪比賽中得分為事件得分為事件，由題意各輪比賽，各局比賽結(jié)果互不影響，與互斥，，.（2）由題意，，設(shè)第輪兩隊(duì)比分為為事件各局比賽互不影響，，由題意，時(shí)，時(shí)，事件“”，各輪比賽互不影響，，所以的分布列為：123456.17．【答案】（1）（2）存在，【詳解】（1）由題設(shè)，直線不平行，延長(zhǎng)必相交，記交點(diǎn)為，則，，從而平面平面，即點(diǎn)為平面與平面的一個(gè)公共點(diǎn)，又點(diǎn)也為平面與平面的一個(gè)公共點(diǎn)，根據(jù)基本事實(shí)3，知直線即為直線，且點(diǎn)即為點(diǎn)，由題設(shè)，，所以平面，所以，且易知，所以.（2）如圖，以為原點(diǎn)，方向?方向?方向分別為軸?軸?軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，由，則.則各點(diǎn)坐標(biāo)為：，假設(shè)存在點(diǎn)，設(shè)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為.設(shè)和分別為平面和平面的法向量.，即，令，得，，即，令，得：，平面平面，所以，又，設(shè)平面PCD的法向量為，則,即，令，則，所以直線與平面所成角的正弦值.18．【答案】（1）（2）的大小為定值（3）【詳解】（1）已知橢圓的，則，兩焦點(diǎn)為，.因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，由橢圓的定義可得即，即.又因?yàn)?，根?jù)，可得，所以.所以橢圓的方程為.（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)：直線的方程為，由對(duì)稱性，不妨令直線的方程為.聯(lián)立，將代入得：

即，此時(shí)OM與ON垂直，易知.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)：設(shè)直線的方程為，，.由點(diǎn)到直線的距離公式，可得，兩邊平方得.聯(lián)立，消去得.則，即.由韋達(dá)定理可得，.所以將代入上式得：所以，即.綜上，的大小為定值，該定值為.（3）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)：，則.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)：將代入上式得：所以三角形的面積.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.由基本不等式（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)）.則，，，，，即.綜上，.19．【答案】（1），；（2）392（3）證明見解析【詳解】（1）由題設(shè)，故；中滿足要求的數(shù)列分別為；；，故；中滿足要求的數(shù)列分別為；；；；；故；從而，；（2）中滿足要求的數(shù)列為，中滿足要求的數(shù)列為，故，我們首先證明對(duì)于，均有.若數(shù)列，則數(shù)列.反之，若，