2024-2025學(xué)年七年級數(shù)學(xué)下冊期末復(fù)習(xí)題--解答壓軸題【題型1相交線中的旋轉(zhuǎn)問題】1.如圖，O，D兩點在直線AB上，在AB的同側(cè)作直角三角形DOE和射線OC，使∠DOE=90°,∠BOC=30°．(1)分別求∠BOC的余角和補角的度數(shù)；(2)將△DOE繞點O按每秒5°的速度逆時針方向旋轉(zhuǎn)．①在旋轉(zhuǎn)一周的過程中，第幾秒時，直線OE恰好平分∠BOC，則此時直線OD是否平分∠AOC？請說明理由②在旋轉(zhuǎn)一周的過程中，滿足OE在∠AOC的內(nèi)部，請?zhí)骄看藭r∠AOD與∠COE之間的數(shù)量關(guān)系，請說明理由．2.“蒼南1號”是我國第一個平價海上風(fēng)電項目，服務(wù)于國家“雙碳”戰(zhàn)略，具有顯著的環(huán)境效益和經(jīng)濟效益．如圖1所示，風(fēng)電機的塔架OP垂直于海平面，葉片OA，OB，OC可繞著軸心O旋轉(zhuǎn)，且∠AOB=∠BOC=∠AOC．(1)如圖2，當(dāng)OA⊥OP時，求∠BOP的度數(shù)．(2)葉片從圖3位置（OA與OP重合）開始繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，若旋轉(zhuǎn)后∠AOP與∠BOP互補，則旋轉(zhuǎn)的最小角度是多少度？3.將三角板COD的直角頂點O放置在直線AB上．(1)若按圖1的方式擺放，且∠AOC=52°，射線OE平分∠BOC，則∠COE=________．(2)如圖2，∠EOB=60°，將三角尺COD繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)一個角度α（即∠AOC=α，0°<α<180°）．①當(dāng)OC平分由OA，OE，OD其中兩條射線組成的角時，求滿足要求的所有α的值．②在旋轉(zhuǎn)過程中是否存在2∠BOD=∠COE？若存在，求此時α的值；若不存在，請說明理由．4.【綜合實踐】根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)：小江和小南在做物理實驗時發(fā)現(xiàn)：當(dāng)光發(fā)生反射時，反射光線與平面鏡的夾角總是等于入射光線與平面鏡的夾角．于是，他們想進一步探究轉(zhuǎn)動的平面鏡對光線反射的影響．如圖1，點O為水平放置的平面鏡MN上一點，將一塊三角板的直角頂點擺放在O處，滿足斜邊AB∥MN,∠A=60°，∠B=30°．現(xiàn)有一束光線CO經(jīng)平面鏡反射后沿OC′射出，當(dāng)光發(fā)生反射時，∠C′ON總是等于∠COM．若使光線CO從與OM重合處開始繞著點O【探究1】當(dāng)t=3時，請用無刻度的直尺和圓規(guī)在圖2中畫出此時入射光線CO和反射光線OC【探究2】當(dāng)∠AOC=3∠BOC′，且0<t<18時，求出滿足條件的【探究3】若在光線CO開始轉(zhuǎn)動的同時，平面鏡MN也繞點O以每秒3°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)0<t<10時，請直接寫出∠AOC和∠BOC【題型2相交線中的角度綜合問題】1.）我們把有一組對頂角的兩個三角形組成的圖形叫做“8”字圖形，如圖1，AD，BC相交于點O，連接AB，CD得到“8”字圖形ABDC．(1)如圖1，試說明∠A+∠B=∠C+∠D的理由；(2)如圖2，∠ABC和∠ADC的平分線相交于點E，利用（1）中的結(jié)論探索∠E與∠A、∠C間的關(guān)系；(3)如圖3，點E為CD延長線上一點，BQ、DP分別是∠ABC、∠ADE的四等分線，且∠CBQ=14∠ABC，∠EDP=14∠ADE，QB的延長線與DP交于點P，請?zhí)剿?.如圖，AB，CD相交于點O，∠AOC=50°，OM平分

(1)求∠BOM的度數(shù)；(2)過點O作OM的垂線，點N，E是垂線上的點，點N在直線AB的上方，點E在直線AB的下方，連接線段MN．①依題意補全圖形；②線段MN與MO長度的大小關(guān)系為：MN_____MO（填“>”“=”或“<”），依據(jù)是_____；③∠AOE的度數(shù)是_____．3.在一節(jié)數(shù)學(xué)課上，老師與同學(xué)們以“同一平面內(nèi)，點O在直線AB上，用三角尺畫∠COD，使∠COD=90°；作射線OE，使OE平分∠BOC”為問題背景，展開研究．(1)如圖1，當(dāng)∠AOD=130°時，求∠DOE的度數(shù)；(2)如圖2，請你通過所學(xué)習(xí)的相關(guān)知識說明∠AOC=2∠DOE．4.已知直線AB,CD相交于點O，點E在∠AOD內(nèi)部，作射線OE．(1)如圖①，∠1=80°,∠2=30°，則∠AOC=_______°；∠AOE=_______°；(2)如圖②，AB⊥CD,∠2=30°，則∠AOE=_______°；(3)如圖③，OE平分∠AOD,∠1=60°,EF⊥CD,EF=2，求∠2的度數(shù)及點E到直線AB的距離．【題型3平行線中的輔助線構(gòu)造】1.如圖，已知∠AOB，點C在射線OA上，CD∥(1)如圖①，若∠AOB=90°，∠OCD=120°，求∠BOE的度數(shù)；(2)如圖②，若∠AOB=130°，射線OE沿射線OB移動得到O′E′，點O′在射線OB上，探究(3)如圖③，在（2）的條件下，作PO′⊥OB，垂足為O′，與∠OCD的平分線CP交于點P．若∠BO2.直線AB∥CD，點M、N分別是直線AB、CD上的點，點P為直線AB、(1)如圖1，判斷∠MPN、∠AMP、∠CNP之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(2)如圖2，點E為直線AB上一點，且點E在點M右側(cè)，∠MPE=∠MEP，∠MPN的平分線交直線AB于點F，點F在點E右側(cè)，求∠EPF∠CNP(3)如圖3，∠SPR繞點P轉(zhuǎn)動，PR與CD交于點K，且PN始終在∠SPR的內(nèi)部，PG平分∠NPK，交直線CD于點G，PH平分∠MPS，交直線AB于點H，若∠SPR=α，∠MPN=β，則∠AHP+∠CGP=（用含α、β的代數(shù)式表示）．3.已知點A，B，C不在同一條直線上，AD∥BE．(1)如圖①，當(dāng)∠A=58°，∠B=118°時，求∠C的度數(shù)；(2)如圖②，AN為∠DAC的平分線，AN的反向延長線與∠CBE的平分線交于點Q，試探究∠C與∠AQB之間的數(shù)量關(guān)系；(3)如圖③，在（2）的前提下，有AC∥QB，QN⊥NB，直接寫出4.在現(xiàn)代化的智能工廠中，機械臂的精準(zhǔn)操作依賴于精確的方向控制．如圖所示，有兩條平行的機械軌道AB與CD，即AB∥CD，將機械臂與軌道AB的接觸點記為M，機械臂與軌道CD的接觸點記為N，為了實現(xiàn)復(fù)雜的操作任務(wù)，通過關(guān)節(jié)P和關(guān)節(jié)Q來調(diào)節(jié)三個機械臂PM、PQ和QN的位置，在實際運行過程中，為確保穩(wěn)定，三個機械臂PM、PQ和(1)如圖1所示，當(dāng)機械臂PM∥QN時，證明∠AMP=∠QND．(2)如圖2所示，當(dāng)∠AMP=30°，∠QND=45°，∠MPQ=α?xí)r，∠PQN=______（用含α的式子表示）(3)當(dāng)∠AMP=β0°<β<90°，∠QND=θ0°<θ<180°時，直接寫出∠MPQ與∠PQN的數(shù)量關(guān)系．（用含【題型4平行線中的定值問題】1.已知：點A在直線DE上，點B、C都在直線PQ上（點B在點C的左側(cè)），連接AB，AC，AB平分∠CAD，且∠ABC=∠BAC．(1)如圖1，求證：DE∥PQ；(2)如圖2，點K為線段AB上一動點，連結(jié)CK，且始終滿足2∠EAC?∠BCK=90°，①當(dāng)CK⊥AB時，在直線DE上取點F，連接FK，使得∠FKA=12∠AKC②在點K的運動過程中，∠AKC與∠EAC的度數(shù)之比為定值，請直接寫出這個定值，不需要說明理由．2.如圖所示，將一副三角板中的兩塊直角三角板按圖1放置，∠BAC=∠BCA=45°，∠EDF=60°，∠DFE=30°，∠ABC=∠DEF=90°，此時點A與點D重合，點A，C，E三點共線．

(1)對于圖1，固定三角形DEF的位置不變，將三角形ABC繞點A按順時針方向進行旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)至AB與DF首次垂直，如圖2所示，此時∠CAE的度數(shù)是______；(2)若直線MN∥PQ，固定三角形DEF的位置不變，將圖1中的三角形ABC沿DE方向平移，使得點C正好落在直線MN上，再將三角形ABC繞點①若邊AC與邊EF相交于點G，試判斷∠CGF?∠ACM的值是否為定值，若是定值，則求出該定值；若不是定值，請說明理由；②固定三角形DEF的位置不變，將三角形ABC繞點C按逆時針方向以每秒15°的速度旋轉(zhuǎn)，至AC與直線MN首次重合時停止運動．設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為t．問：當(dāng)t為何值時，線段AB與三角形DEF的一條邊平行（選擇你喜歡的一條邊探究，如果符合條件的t不存在，只要理由充分，也可得分）3.如圖，AB∥CD，點E在直線AB和CD之間，且在直線BD的左側(cè)，∠ABE=1(1)如圖1，求∠BED的度數(shù)（用含α的式子表示）；(2)連接BD，過點E作EF∥BD，交AB于點F，動點G在射線BE上，①如圖2，若k=5，DG平分∠BDE，判斷DG與BE的位置關(guān)系并說明理由．②連接DF，若∠DFE=12∠DFB，DG⊥BE于點G，是否存在常數(shù)k，使∠FDG4.如圖①，點A、點B分別在直線EF和直線MN上，EF∥MN，∠ABN=45°，射線AC從射線AF的位置開始，繞點A以每秒2°的速度順時針旋轉(zhuǎn)，同時射線BD從射線BM的位置開始，繞點B以每秒6°的速度順時針旋轉(zhuǎn)，射線BD旋轉(zhuǎn)到BN的位置時，兩者停止運動．設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為t秒．(1)∠BAF=______°；(2)在轉(zhuǎn)動過程中，當(dāng)射線AC與射線BD所在直線的夾角為80°，直接寫出t的值______．(3)在轉(zhuǎn)動過程中，若射線AC與射線BD交于點H，過點H作HK⊥BD交直線AF于點K，∠AHK∠ABH【題型5平行線中的角度綜合問題】1.【動手操作】在數(shù)學(xué)活動課上，陳老師引導(dǎo)同學(xué)們探究畫平行線的方法，張華通過折紙想出了過點P畫直線AB的平行線的方法，折紙過程如下：①?②?③?④．【問題初探】（1）通過上述的折紙過程，圖②的折痕PQ與直線AB的位置關(guān)系是________；如圖④，∠1=∠2=________，則AB與CD的位置關(guān)系為平行．【問題二探】（2）張華在（1）的條件下繼續(xù)探究，他在P、Q兩點處安裝了絢麗的小射燈，射燈P發(fā)出的射線PN從PD開始繞點P順時針旋轉(zhuǎn)至PC后立即回轉(zhuǎn)，射燈Q發(fā)出的射線QH從QA開始繞點Q順時針旋轉(zhuǎn)至QB后立即回轉(zhuǎn)．兩燈不停旋轉(zhuǎn)交叉照射，射燈P、射燈Q轉(zhuǎn)動的速度分別是1°/秒、3°/秒，若射線PN轉(zhuǎn)動20秒后，射線QH開始轉(zhuǎn)動，在射線PN第一次到達PC之前．當(dāng)射燈Q轉(zhuǎn)動t秒時，射線①∠DPN=________°（用含t的式子表示）；②記射線PN與射線QH的交點為點O，在圖⑥中畫出t=45s時的圖形，并求出此時∠POQ【問題三探】（3）在（2）的條件下，在射線PN第一次到達PC之前，射燈Q燈轉(zhuǎn)動幾秒，兩燈的光束互相平行？并說明理由．

2.在學(xué)習(xí)完《相交線與平行線》后，同學(xué)們對平行線產(chǎn)生了濃厚的興趣，蔡老師圍繞平行線的知識在班級開展課題學(xué)習(xí)活動，探究平行線的“等角轉(zhuǎn)化”功能．(1)【問題初探】如圖1，∠CDF+∠DFE=180°，∠C=∠DAE，求證：AD∥(2)【拓展探究】在（1）的條件下，試問∠ADF，∠AEB與(3)【遷移應(yīng)用】①路燈維護工程車的工作示意圖如圖2，工作籃底部與支撐平臺平行，已知∠1=31°，則∠2+∠3=；②一種路燈的示意圖如圖3所示，其底部支架AB與吊線FG平行，燈桿CD與底部支架AB所成銳角α=15°，頂部支架EF與燈桿CD所成銳角β=45°，求EF與FG所成銳角的度數(shù)．3.（1）問題情景：如圖1，已知∠CDF+∠DFE=180°，∠C=∠DAE．①問題初探：請對AD∥BC說明理由；②拓展探究：請對∠DFE=∠ADF+∠AEB說明理由．（2）遷移應(yīng)用：如圖2是路燈維護工程車的工作示意圖，工作籃底部與支撐平臺平行．若∠1=31°，則∠2+∠3的度數(shù)為______．4.學(xué)習(xí)了平行線的性質(zhì)與判定之后，我們繼續(xù)探究折紙中的平行線．(1)如圖1，長方形紙條ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，將紙條沿直線EF折疊，點A落在A′處，點D落在D′處，A′①若∠AEF=40°，求∠A②若∠AEF=α，則∠A′GC=(2)如圖2，在圖1的基礎(chǔ)上將∠CGE對折，點C落在直線GE上的C′處．點B落在B′處，得到折痕GH，則折痕EF與(3)如圖3，在圖2的基礎(chǔ)上，過點C′作AB的平行線MN，直接寫出∠A′【題型6無理數(shù)的估算】1.閱讀材料：大家知道2是無理數(shù)，而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此2的小數(shù)部分我們不可能全部寫出來，于是小明用2?1來表示2事實上，小明的表示方法是有道理的，因為2的整數(shù)部分是1，將這個數(shù)減去其整數(shù)部分，差就是小數(shù)部分．又例如：因為4<7<9，即2<7請解答下列問題：(1)23的整數(shù)部分是_____，小數(shù)部分是_____；(2)如果13的小數(shù)部分為a，37的整數(shù)部分為b，求a+b?13(3)已知12+5=2m+n，其中m是整數(shù)，且0<n<1，求2.大家知道2是無理數(shù)，而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此2的小數(shù)部分我們不可能全部地寫出來，于是小明用2?1來表示2的小數(shù)部分，事實上，小明的表示方法是有道理的，因為1<2請根據(jù)上述材料解答：(1)已知3a+2的立方根是2，b是13的整數(shù)部分，求?a+2b的平方根；(2)已知10+5=x+y，其中x是整數(shù)，且0<y<1，請你求出3.閱讀下面的文字，解答問題：（一）大家知道2是無理數(shù)，而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此2的小數(shù)部分我們不可能全部地寫出來，于是小明用2?1來表示2例如：4<7<9，即2<7（1）如果5的小數(shù)部分為a，13的整數(shù)部分為b，則a=_____，b=_____．（2）已知a是10的整數(shù)部分，b是它的小數(shù)部分，求a3（二）據(jù)說，我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚在一次出國訪問途中，看到飛機上鄰座的乘客閱讀的雜志上有道智力題：一個數(shù)是59319，希望求它的立方根，華羅庚脫口而出：39．鄰座的乘客十分驚奇，忙問計算的奧妙．你知道華羅庚是怎樣迅速準(zhǔn)確地計算出來的嗎？請按照下面的問題試一試：（1）由13=1，103=1000，（2）由59319的個位上的數(shù)是9，能確定359319（3）如果劃去59319后面的三位319得到數(shù)59，而33=27,4（4）已知110592是整數(shù)的立方，按照上述方法，請你直接寫出：31105924.閱讀材料1．2是無理數(shù)，而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此2的小數(shù)部分不能全部寫出來，但由于1<2<2，所以2的整數(shù)部分為1，將2減去其整數(shù)部分1，差就是小數(shù)部分，其小數(shù)部分為（1）已知9+5=x+y，其中x是整數(shù)，且0<y<1，求閱讀材料2．小李同學(xué)探索167的近似值的過程如下：∵面積為167的正方形的邊長是167且12<167∴可設(shè)167=12+x，其中0<x<1，畫出示意圖，如圖所示．根據(jù)示意圖，可得圖中正方形的面積S正方形=122+2×12x+x2；又∵S正方形=167，∴122（2）仿照材料2中的方法，探究解答230的近似值．（要求：畫出圖形，標(biāo)明數(shù)據(jù)，結(jié)果保留兩位小數(shù)）【題型7與實數(shù)有關(guān)的規(guī)律探究】1.先觀察下列等式，再回答問題：①1+112+(1)請寫出第④個等式：_________；(2)猜想第n個等式：________；（用含n的式子表示）(3)根據(jù)上述規(guī)律計算：1+2.（1）填表：a…0.0000010.00010.01110010000……0.0010.1100…（2）利用上表中的規(guī)律，解決下列問題：已知a=1900，361=19，則a的值為（3）當(dāng)a≥0時，比較a和a的大?。?.觀察下列規(guī)律回答問題：3?0.001=?0.1,3?1(1)30.000001=_______，(2)已知3x=1.587，若3y=?0.1587，用含x的代數(shù)式表示(3)根據(jù)規(guī)律寫出3a與a4.觀察下列一組算式的特征及運算結(jié)果，探索規(guī)律：第1個等式：12?2×1×1+12=0=0規(guī)律發(fā)現(xiàn)：(1)根據(jù)上述規(guī)律，直接寫出下列算式的值：①52②1012(2)用含n（n為正整數(shù)）的代數(shù)式表示出第n個等式：______．(3)根據(jù)上述規(guī)律計算：1+??+【題型8與實數(shù)有關(guān)的應(yīng)用】1.2022年卡塔爾世界杯共有32支球隊進行決賽階段的比賽．決賽階段分為分組積分賽和復(fù)賽．32支球隊通過抽簽被分成8個小組，每個小組4支球隊，進行分組積分賽，分組積分賽采取單循環(huán)比賽（同組內(nèi)每2支球隊之間都只進行一場比賽），各個小組的前兩名共16支球隊將獲得出線資格，進入復(fù)賽；進入復(fù)賽后均進行單場淘汰賽，16支球隊按照既定的規(guī)則確定賽程，不再抽簽，然后進行18決賽，1(1)本屆世界杯分在C組的4支球隊有阿根廷、沙特、墨西哥、波蘭，請用表格列一個C組分組積分賽對陣表（不要求寫對陣時間）．(2)請簡要說明本屆世界杯冠軍阿根廷隊在決賽階段一共踢了多少場比賽？(3)請簡要說明本屆世界杯32支球隊在決賽階段一共踢了多少場比賽？2.座鐘的擺針擺動一個來回所需的時間稱為一個周期，其計算公式為T=2πl(wèi)g，其中T表示周期（單位：s），l表示擺長（單位：m）．假如一臺座鐘的擺長為0.2m．（π取3，(1)求擺針擺動的周期．(2)如果座鐘每擺動一個來回發(fā)出一次滴答聲，那么在6分鐘內(nèi)，該座鐘大約發(fā)出了多少次滴答聲？3.將一個半徑為10cm的圓柱體容器里的藥液倒進一個底面是正方形的長方體容器內(nèi)，如果藥液在兩個容器里的高度是一樣的，那么長方體容器的底面邊長是多少？（結(jié)果精確到0.1）4.我們知道，每個自然數(shù)都有正因數(shù)，將這個自然數(shù)的所有正奇數(shù)因數(shù)之和減去所有正偶數(shù)因數(shù)之和，再除以這個自然數(shù)所得的商叫做這個自然數(shù)的“完美指標(biāo)"．例如：10的正因數(shù)有1，2，5，10，它的正奇數(shù)因數(shù)是1，5，它的正偶數(shù)因數(shù)是2，10．所以10的“完美指標(biāo)”是：1+5?2+10÷10=?35．我們規(guī)定，若一個自然數(shù)的“完美指標(biāo)”的絕對值越小，這個數(shù)就越“完美”．例如：因為6的“完美指標(biāo)”是1+3根據(jù)上述材料，求出18，19，20，21這四個自然數(shù)中最“完美”的數(shù)．【題型9平面直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)特征】1.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于點A(x1,y1)，B(x2,y2)，將|x1?(1)點A與點B的“縱橫距離”dAB的值為_______；已知點M在x軸上，dMA的值為4，則點(2)若平面上有一點D，使得dDA+d(3)如果P是不同于A，O的點，且滿足dOA+d2.若點Px,y的坐標(biāo)滿足x?2y=?2，我們稱點P(1)已知點Qq,3為“橫和點”，求q(2)在平面直角坐標(biāo)系中，將三角形ABC平移得到三角形DEF，點A,B,C的對應(yīng)點分別是點D,E,F，已知點Am,n，點B0,b，點Dt,b，點A為“橫和點”，點E①若點B為“橫和點”，且三角形ABD的面積為8，求點E的坐標(biāo)；②若點C的坐標(biāo)是a?m?3,12a+14m，點3.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于點Mm,n和點Nx,y，若點N′的坐標(biāo)為m?x,n?y，則稱點N和點N′互為“m,n對分點”．若圖形W上存在一點T且點T的“m,n對分點”T′恰好也在圖形W

已知點A?2,2，B4,4，D?2,?2，E(1)①點A的“4,4對分點”A′②若點A的“m,n對分點”是點B，則點Mm,n(2)點Ca,b（其中b為非零整數(shù)）與線段AB組成的圖形記為圖形U，圖形U是“2,4對分圖形”，則所有滿足條件的點C(3)已知點P5,0，Q7,2，將線段AD，DE，EF，F(xiàn)A首尾順次連接，組成正方形ADEF，正方形ADEF與線段PQ組成的圖形記為圖形V．若圖形V是“6,k對分圖形”，則4.在平面直角坐標(biāo)系中，對于點Px,y，若點Q的坐標(biāo)為ax+y,x+ay，則稱點Q是點P的“a階智慧點”（a為常數(shù)，且a≠0）．例如：點P1,4的“2階智慧點”為點Q(2×1+4,1+2×4)，即點(1)點A?1,?2(2)若點B的“4階智慧點”為?5,10，求點B的坐標(biāo)．(3)若點Cm+2,1?3m的“?5階智慧點”到x軸的距離為1，求m【題型10平面直角坐標(biāo)系中的面積問題】1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A點坐標(biāo)為?3,0，B點坐標(biāo)為1,0，C點坐標(biāo)為0,?2，將點C向右平行移動2個單位長度到點D，動點P從點A出發(fā)沿射線AB的方向以2個單位長度/秒的速度運動，運動時間為x秒．(1)求四邊形ACDB的面積；(2)當(dāng)三角形PBD的面積為四邊形ACDB的面積的13時，求x(3)當(dāng)x為何值時，PD⊥DC．2.已知，如圖，在直角坐標(biāo)系中，AB∥CD∥x軸，BC∥DE∥y軸，AB=CD=4，BC=DE=3，有個點P從A→B→C→D運動，每秒鐘1個單位，同時點Q從O→E→D也以每秒1個單位運動，運動時間為t，(1)寫出B，C，D三個點坐標(biāo)．(2)當(dāng)t=6秒時，求△OPQ的面積．(3)當(dāng)P到x軸距離等于Q到y(tǒng)軸距離時，求時間t．3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A0,a,B0,b，且b+4=(1)求a，b的值；(2)若點C到y(tǒng)軸的距離是到x軸距離的兩倍，求點C的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，點D從原點O出發(fā)以每秒2個單位的速度沿x軸負方向運動，連接CD交y軸于點E，則當(dāng)點D運動多少秒時，三角形ADE與三角形BCE面積相等？4.如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為(?3,4)．將線段AO向右平移3個單位，再向上平移1個單位后，得到線段EF．(1)直接寫出點E，F(xiàn)的坐標(biāo)：(2)如圖2，將線段AO沿y軸向下平移aa>0個單位后得到線段BC（點A與點B對應(yīng)），過點B作BD⊥y軸于點D．若OD=12(3)如圖1，在x軸上是否存在一點P，使得2S△AFP=3S△AOF（S△AFP和S△AOF【題型11坐標(biāo)與圖形】1.如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，A(0,6)，B(?4,0)，將線段AB沿x軸向右平移12個單位得到線段DC，點P為射線AD上一動點．(1)填空：點C的坐標(biāo)為__________，點D的坐標(biāo)為__________．(2)如圖1，點M是線段CD上一點（不與點C、D重合），當(dāng)點P在射線AD上運動時（點P不與點D重合），連接PM，請用等式表示∠DPM，∠PMC，∠ABC之間滿足的數(shù)量關(guān)系，直接寫出答案；(3)如圖2，點N在y軸上，且ON=OB，連接CN，PN，PC，當(dāng)△PNC的面積等于△AOB的面積時，請求出點P的坐標(biāo)．2.在平面直角坐標(biāo)系中A?a,b、Ba,a，a、b滿足(1)如圖1，求點A、B的坐標(biāo)；(2)如圖2，y軸上有一點E，△ABE的面積是6，求點E的坐標(biāo)；(3)如圖3，將線段AB沿x軸的正方向平移4個單位長度，過A、B兩點分別作y軸的垂線，垂足分別為D、C，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點Px,y0<x<6，使得△PAD與△PBC的面積相等，且△PCD與△PAB的面積相等？若存在，請求3.如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中；Aa,0，Cb,4，且滿足a+52+b?5(1)a=___________，b=___________，三角形ABC的面積=___________；(2)若過B作BD∥AC交y軸于D，AE，DE分別平分∠CAB，∠ODB，如圖2，求(3)在y軸上存在點P，使得三角形ABC和三角形ACP的面積相等，則P點坐標(biāo)為___________．4.如圖1，點M0,a?3，Nb,0，且滿足(1)直接寫出M、N的坐標(biāo)：M（0，______），N（________，0）；(2)點P以每秒2個單位長度從點M向y軸負半軸運動，同時，點Q以每秒3個單位長度從N點向x軸正半軸運動，直線NP，MQ交于點D，設(shè)點P，Q運動的時間為t秒．①當(dāng)1<t<2時，求證：S△MPD②如圖2，當(dāng)∠QMN+∠PNM=180°時，在線段MQ上任取一點E，連接EO．點G為∠OEQ的角平分線上一點，連接NG，且滿足∠GNP=12∠ONG．請將圖2補全，直接寫出∠NOE、∠OEG【題型12二元一次方程（組）的解】1.在解方程組ax?y=6x+by=4時，甲由于粗心看錯了方程組中的a，求得方程組的解為x=1y=3；乙看錯了方程組中的b，求得方程組的解為x=2y=?2；甲把a2.閱讀下列材料：我們知道方程2x+3y=12有無數(shù)個解，但在實際生活中我們往往只需求出其正整數(shù)解．例：由2x+3y=12，得：y=12?2x3=4?23x（x、y為正整數(shù)）．要使y=4?23x為正整數(shù)，則23x問題：（1）請你直接寫出方程3x?y=6的一組正整數(shù)解_______；（2）若12x?3為自然數(shù)，則滿足條件的正整數(shù)x的值有（

A．5

B．6

C．7

D．8（3）為獎勵消防演練活動中表現(xiàn)優(yōu)異的同學(xué)，某校決定用1200元購買籃球和排球作為獎品，其中籃球每個120元，排球每個90元，在購買資金恰好用盡的情況下，寫出購買方案．3.已知二元一次方程ax+2y?b=0（a，b均為常數(shù)，且a≠0）．(1)當(dāng)a＝3，b＝﹣4時，用x的代數(shù)式表示y；(2)若x=a?2by=①探索a與b關(guān)系，并說明理由；②無論a、b取何值，該方程有一組固定解，請求出這組解．4.閱讀材料：關(guān)于x，y的二元一次方程ax+by=c有一組整數(shù)解x=x0y=y0，則方程ax+by=c的全部整數(shù)解可表示為x=小明參考閱讀材料，解決該問題如下：解：該方程一組整數(shù)解為x0=6y0=9因為6?19t>0，9+7t>0.解得?9所以該方程的正整數(shù)解為x=6y=9和x=25(1)方程3x?5y=11的全部整數(shù)解表示為：x=2+5ty=θ+3t（t為整數(shù)），則θ=(2)請你參考小明的解題方法，求方程2x+3y=24的全部正整數(shù)解；(3)方程19x+8y=1908的正整數(shù)解有多少組?請直接寫出答案．【題型13求二元一次方程（組）中的參數(shù)】1.已知關(guān)于x，y的方程組nx+(n+1)y=n+2x?2y+mx=?5（n(1)當(dāng)n=1時，則方程組可化為x+2y=3x?2y+mx=?5①請直接寫出方程x+2y=3的所有非負整數(shù)解．②若該方程組的解也滿足方程x+y=2，求m的值．(2)當(dāng)n=3時，如果方程組有整數(shù)解，求整數(shù)m的值．2.閱讀下列材料，解答下面的問題：我們知道方程2x+3y=12有無數(shù)個解，但在實際問題中往往只需求出其正整數(shù)解．例：由2x+3y=12，得：y=12?2x3=4?23x（x、y為正整數(shù)）．要使y=4?23x為正整數(shù)，則23x（1）請你直接寫出方程3x+2y=8的正整數(shù)解___________．（2）若6x?3為自然數(shù)，則求出滿足條件的正整數(shù)x（3）關(guān)于x，y的二元一次方程組x+2y=92x+ky=10的解是正整數(shù)，求整數(shù)k3.在解決“已知有理數(shù)x、y、z滿足方程組2x+3y?z=5①x?2y+3z=1②解：由①×a得：2ax+3ay?az=5a③，由②×b得：bx?2by+3bz=b④．③＋④得：2a+bx+當(dāng)2a+bx+即2a+b=43a?2b=13?a+3b=?9，解得∴①×3+②×?2，得4x+13y?9z=5×3+1×請你根據(jù)小華的分析過程，解決如下問題：(1)若有理數(shù)a、b滿足3x+4y+2z×a+x+6y+5z×b=12x+2y?5z，求a(2)母親節(jié)將至，小新準(zhǔn)備給媽媽購買一束組合鮮花，若購買2枝紅花、3枝黃花、1枝粉花共需18元；購買3枝紅花、5枝黃花、2枝粉花共需28元．則購買1枝紅花、3枝黃花、2枝粉花共需多少元？4.已知關(guān)于x，y的方程組{（1）請寫出方程x+2y=5的所有正整數(shù)解；（2）若方程組的解滿足x+y=0，求m的值；（3）無論實數(shù)m取何值，方程x?2y+mx+9=0總有一個公共解，你能把求出這個公共解嗎？（4）如果方程組有整數(shù)解，求整數(shù)m的值．【題型14二元一次方程組的特殊解法】1.換元法是把一個比較復(fù)雜的代數(shù)式的一部分看成一個整體，用另一個字母代替這整體（即換元）的方法，好處是能使式子得到簡化，便于解決問題，充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)的整體思想．(1)填空：解方程組x?y3+2x+y2=52x+y?x?y2=3時，把x?y6和2x+y2分別看成一個整體，即設(shè)x?y6=a，2x+y2(2)請用換元法解方程：2x+y2.解下列方程組：(1)x+1=y(2)4x?(3)已知a1x+b1y=c13.閱讀下列解方程組的方法，然后回答問題．解方程組19x+18y=17解：由①?②，得2x+2y=2，即x+y=1③，③×16，得16x+16y=16④，②?④得x=?1，從而可得y=2，∴原方程組的解是x=?1y=2(1)請你仿照上面的解題方法解方程組5x+4y=33x+2y=1(2)請你仿照上面的解題方法解方程組2027x+2026y=20252025x+2024y=2023(3)請大膽猜測關(guān)于x，y的方程組a+2x+4.規(guī)定：形如關(guān)于x、y的方程mx+ky=b與kx+my=b的兩個方程互為共軛二元一次方程，其中k≠m；由這兩個方程組成的方程組mx+ky=bkx+my=b(1)方程6x+y=2的共軛二元一次方程是；(2)若關(guān)于x、y的方程組x+1?ay=b+22a?1x+y=4?b為共軛方程組，則a=(3)拓展：閱讀下列解共軛方程組的方法，然后解答問題：解共軛方程組4x+5y=9①②+①得：9x+9y=18，所以x+y=2③③×4得：4x+4y=8④①-④得：y=1，從而得x=1所以原方程組的解是x=1用上述方法求共軛方程組2023x+2024y=80942024x+2023y=8094【題型15二元一次方程（組）的應(yīng)用】1.圖中是一把學(xué)生椅，主要由靠背、座板及鐵架組成，經(jīng)測量，該款學(xué)生椅的座板尺寸為40cm×35cm因?qū)W校需要，某工廠配合制作該款式學(xué)生椅，清點庫存時發(fā)現(xiàn)，工廠倉庫已有大量的學(xué)生椅鐵架，故只需在市場上購進某型號板材加工制作該款式學(xué)生椅的靠背與座板，如下圖，該型號板材長為240cm，寬為50【任務(wù)一】擬定裁切方案（1）在不造成板材浪費的前提下，若將一張該板材全部用來裁切靠背板，則可裁切靠背板______塊．（2）在不造成板材浪費的前提下，若將一張該板材同時裁切出靠背板和座板，請你設(shè)計出所有符合要求的裁切方案：方案一：裁切靠背板______塊和座板______塊．方案二：裁切靠背板______塊和座板______塊．方案三：裁切靠背板______塊和座板______塊．【任務(wù)二】確定搭配數(shù)量（3）現(xiàn)需要制作700張學(xué)生椅，該工廠倉庫現(xiàn)有10塊靠背板，沒有座板，請問還需要購買該型號板材多少張（恰好全部用完）？為方便加工，需在上述裁切方案中選定兩種，并說出你選定的兩種裁切方案分別需要多少塊板材．2.一個游樂場里有一段直線巡游路，琪琪和佳佳分別以相同速度相對而行，一輛巡游電車從琪琪身邊通過用了3秒，5分鐘后這輛車與佳佳迎面相遇，從佳佳身邊通過用了2秒，巡游電車離開佳佳后多少分鐘琪琪和佳佳碰面了？3.一名34歲的男子帶著他的兩個孩子一同進行晨跑，下面是兩個孩子與記者的對話：根據(jù)對話內(nèi)容，請你用方程的知識幫記者求出哥哥和妹妹的年齡．4.列二元一次方程組解應(yīng)用題：爸爸騎摩托車帶著小明在公路上勻速行駛，小明每隔一段時間看到的里程表上的數(shù)如下：時刻9:0010:0011:30里程表上的數(shù)是一個兩位數(shù)，它的兩個數(shù)字之和是6是一個兩位數(shù)，它的十位與個位數(shù)字與9:00所看到的正好互換了是一個三位數(shù)，它比99:00時看到的兩位數(shù)中間多了個0設(shè)：9:00時里程碑上的這個兩位數(shù)十位數(shù)字為x，個位數(shù)字為y，回答下列問題：(1)用含x，y代數(shù)式表示：9:00時里程碑上的數(shù)字______；10:00時看到里程表上的數(shù)______；11:30時看到里程表上的數(shù)______；(2)列方程組并求出10:00時里程碑上的數(shù)．【題型16求一元一次不等式（組）中參數(shù)】1.我們定義：如果兩個一元一次不等式有公共解（兩個不等式解集的公共部分），那么稱這兩個不等式互為“云不等式”，其中一個不等式是另一個不等式的“云不等式”．(1)在不等式①3x?5<0，②x≥1，③x?3x?1<?5中，不等式(2)若a≠?2，若關(guān)于x的不等式2x+4≥2a與不等式ax?2<a?2x互為“云不等式”，求a的取值范圍．2.我們約定：不等式組m<x<n，m<x≤n，m≤x<n，m≤x≤n的“長度”均為d=n?m，m<n，不等式組的整數(shù)解稱為不等式組的“整點”．例如：?2<x≤2的“長度”d=2??2=4，“整點”為(1)不等式組5x+3>3x2x?1≤0的“長度”d=(2)若不等式組1≤x≤3ax?3<12x+2的“長度”(3)若不等式組1≤x≤3a≤x≤12a+2的“長度”d=32，此時是否存在實數(shù)m使得關(guān)于3.閱讀下面材料：關(guān)于x的不等式xa>1a≠0的所有解都滿足x>1

解：∵xa>1，∴當(dāng)a<0時，x<a，當(dāng)a>0時，∵x的不等式xa>1的所有解都滿足∴a≥1．根據(jù)材料，完成下列各題：(1)解關(guān)于x的不等式xa(2)關(guān)于x不等式x?a2<a3?1(3)如果不等式組x?a2>a4.若點P(x,y)的坐標(biāo)滿足x+y=2a?b?5x?y=b?5(1)若點P的坐標(biāo)為(?2,?1)，求a，b的值；(2)若點P在第二象限，且符合要求的整數(shù)a只有五個，求b的取值范圍；(3)若點P為不在x軸上的點，且關(guān)于z的不等式y(tǒng)z+3x+15>0的解集為z<35，求關(guān)于t的不等式【題型17解特殊不等式組】1.閱讀下列材料：我們知道|x|的幾何意義是在數(shù)軸上數(shù)x對應(yīng)的點與原點的距離，即|x|=|x?0|，也就是說，|x1?x2例1．解方程|x|=2，因為在數(shù)軸上到原點的距離為2的點對應(yīng)的數(shù)為±2，所以方程|x|=2的解為x=±2．例2．解不等式|x?1|>2，在數(shù)軸上找出|x?1|=2的解（如圖），因為在數(shù)軸上到1對應(yīng)的點的距離等于2的點對應(yīng)的數(shù)為?1或3，所以方程|x?1|=2的解為x=?1或x=3，因此不等式|x?1|>2的解集為x<?1或x>3．參考閱讀材料，解答下列問題：（1）方程|x+3|=5的解為；（2）解不等式：|x?2|≤3；（3）解不等式：|x?4|+|x+2|>8．2.記R(x)表示正數(shù)x四舍五入后的結(jié)果，例如R(2.7)=3,R(7.11)=7R(9)=9(1)R(π)=_,

R(3)(2)若R12x?1(3)若RR(x+2)23.【閱讀思考】閱讀下列材料：已知“x﹣y＝2，且x＞1，y＜0，試確定x+y的取值范圍”有如下解法：解：∵x﹣y＝2，∴x＝y(tǒng)+2又∵x＞1∴y+2＞1∴y＞﹣1又∵y＜0∴﹣1＜y＜0①同理1＜x＜2②由①+②得﹣1+1＜x+y＜0+2∴x+y的取值范圍是0＜x+y＜2【啟發(fā)應(yīng)用】請按照上述方法，完成下列問題：已知x﹣y＝3，且x＞2，y＜1，則x+y的取值范圍是；【拓展推廣】請按照上述方法，完成下列問題：已知x+y＝2，且x＞1，y＞﹣4，試確定x﹣y的取值范圍．4.已知a<x<b，若x<a+b2，則稱x為a，b的偏小值；若x>a+b2，則稱x為(1)已知x為?1和3的偏小值，且x為整數(shù)，求x的值；(2)若m為整數(shù)，且在?2和m的所有偏大值x中，僅存在一個整數(shù)，請直接寫出所有符合條件的m的值．【題型18一元一次不等式（組）的應(yīng)用】1.根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)．背景深外初中部與南科大物理系聯(lián)合開發(fā)“高階科學(xué)實驗之旅”拓展課程，學(xué)校擬向公交公司租借A、B兩種車共8輛，帶領(lǐng)學(xué)生走進南科大，了解量子物理全球前沿發(fā)展動態(tài)，參觀高精尖實驗室．素材1A型車最大載客量是60人，B型車的最大載客量是40人，已知A型車每輛的租金是500元，B型車每輛的租金是350元．素材2七年級的師生共有360人，根據(jù)學(xué)校預(yù)算，租車的費用需要控制在3300元（包含3300元）以內(nèi)．問題解決任務(wù)1根據(jù)素材2中該校七年級師生的實際情況，該如何租車？請給出所有滿足條件的租車方案．（用一元一次不等式組求解）任務(wù)2在所有滿足條件的租車方案中，花費最少的方案比預(yù)算3300元省多少錢？2.某學(xué)校為慶祝辦學(xué)50周年校慶活動，特訂購校慶紀(jì)念冊和校慶紀(jì)念品．經(jīng)了解，以紀(jì)念冊和紀(jì)念品的平均單價計算，訂購30本紀(jì)念冊和50件紀(jì)念品共需2100元；訂購20本紀(jì)念冊比10件紀(jì)念品多花100元．(1)求平均每本校慶紀(jì)念冊和每個校慶紀(jì)念品各是多少元．(2)計劃訂購校慶紀(jì)念冊和校慶紀(jì)念品總費用不超過5000元，其中訂購校慶紀(jì)念冊大于115本，校慶紀(jì)念冊的數(shù)量比校慶紀(jì)念品的數(shù)量多30，請求出所有符合條件的訂購方案．3.隨著技術(shù)的飛速發(fā)展，人工智能已經(jīng)成為商場中不可或缺的一部分，大大提升了購物效率和顧客的滿意度．某商場計劃購進一批智能機器人，其計劃單中部分信息如下：型號單價（元）數(shù)量（臺）總金額（元）A型27000B型12000已知計劃購進A型機器人比購進B型機器人多2臺，且A型機器人的進價比B型機器人的進價每臺高50%．(1)求A，B兩種型號的機器人的進價各是多少？(2)春節(jié)將至，為應(yīng)對購物高峰，商場決定用不超過20000元再次購買這兩種型號的機器人共5臺，并要求再次購買的A型機器人的數(shù)量不少于B型機器人的數(shù)量，問該商場如何采購這批機器人？總費用是多少？4.據(jù)燈塔專業(yè)版數(shù)據(jù)，截至2025年4月6日，《哪吒之魔童鬧?！房偲狈窟_155.74億元，登頂全球動畫電影票房榜，是亞洲首部票房過百億的影片，并創(chuàng)造了全球單一電影市場最高票房紀(jì)錄．該片來源于哪吒鬧海的傳統(tǒng)故事，但又重塑了全新的“魔童”哪吒形象：表面吊兒郎當(dāng)，實則勇敢堅毅，強烈反差引發(fā)情感共鳴；“我命由我不由天”的不屈精神，讓觀眾淚目．為滿足兒童對哪吒的喜愛，商家推出A、B兩種類型的哪吒紀(jì)念娃娃．已知購進50件A種娃娃和40件B種娃娃的費用共2000元；且每個B種娃娃的進價比每個A種娃娃的進價多5元．(1)每個A種娃娃和每個B種娃娃的進價分別是多少元？(2)因銷售效果不錯，某玩具店決定購進A、B兩種哪吒玩偶共100個，且A種娃娃的數(shù)量不多于B種娃娃數(shù)量，且購買資金不超過2260元．請問共有幾種購買方案？哪一種方案最省錢？參考答案【題型1相交線中的旋轉(zhuǎn)問題】1.（1）解：∵∠BOC=30°，∴∠BOC的余角的度數(shù)是90°?30°=60°，補角的度數(shù)是180°?30°=150°；（2）解：①有兩種情況：如圖1，當(dāng)OE在AB的下方時，∵OE恰好平分∠BOC，∠BOC=30°，∴∠BOE=15°，未旋轉(zhuǎn)之前，∠DOE=90°，則未旋轉(zhuǎn)之前∠BOE=90°，∴旋轉(zhuǎn)角=90°?15°=75°，t=75÷5=15（秒)，即在旋轉(zhuǎn)一周的過程中，第15秒時，直線OE恰好平分∠BOC，∴∠AOD=75°，∵∠AOC=180°?30°=150°，∴∠AOD=1∴OD平分∠AOC；當(dāng)OE在AB的上方時，過點O作AB的垂線，此時∠1=∠2=1∴∠BOE=180°?15°=165°，∴旋轉(zhuǎn)角：165°+90°=255°，t=255÷5=51（秒)，即在旋轉(zhuǎn)一周的過程中，第51秒時，直線OE恰好平分∠BOC，∵∠1=15°，∴∠AOD=∠EOD?∠1=75°，而∠AOC=180°?∠BOC=150°，∴∠AOD=1∴直線OD平分∠AOC；綜上，在旋轉(zhuǎn)一周的過程中，第15秒或51秒時，直線OE恰好平分∠BOC，則此時直線OD平分∠AOC；②有兩種情況：i)當(dāng)OD在OA的下方時，有∠AOD+∠COE=60°，理由是：如圖2，OE在∠AOC的內(nèi)部，∴∠AOD=∠EOE∵∠BOE∴∠BOC+∠COE+∠EOE∴∠COE=90°?30°?∠EOE∴∠AOD+∠COE=60°．ii)當(dāng)OD在OA的上方時，有∠COE?∠AOD=60°，理由是：如圖3，OE在∠AOC的內(nèi)部，∴∠AOE=90°?∠AOD∴∠COE=180°?∠BOC?∠AOE=180°?30°?(90°?∠AOD)=60°+∠AOD，∴∠COE?∠AOD=60°．2.（1）解：因為∠AOB=∠BOC=∠AOC，又因為∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，所以∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°．因為OA⊥OP，所以∠AOP=90°，所以∠COP=∠AOC?∠AOP=120°?90°=30°，所以∠BOP=∠BOC+∠COP=120°+30°=150°．（2）解：設(shè)旋轉(zhuǎn)的最小角度是x°，則∠AOP=x°，∠BOP=x+120因為∠AOP與∠BOP互補，所以∠AOP+∠BOP=180°，即x°+x+120解得x=30，所以旋轉(zhuǎn)的最小角度是30°．3.（1）解：∵∠AOC=52°，∴∠BOC=180°?∠AOC=128°，∵射線OE平分∠BOC，∴∠COE=1故答案為：64°．（2）解：①（Ⅰ）如圖，當(dāng)OC平分由OA，OE兩條射線組成的角∠AOE時，∴α=∠AOC=1∵∠EOB=60°，∴∠AOE=180°?∠EOB=120°，∴α=1（Ⅱ）如圖，當(dāng)OC平分由OA，OD兩條射線組成的角∠AOD時，∴α=∠AOC=∠COD=90°；（Ⅲ）如圖，當(dāng)OC平分由OE，OD兩條射線組成的角∠DOE時，∴∠EOC=∠COD=90°>∠EOB，∴此時旋轉(zhuǎn)角大于180°，不符合題意，舍去；綜上，滿足要求的所有α的值為60°或90°．②（Ⅰ）如圖，當(dāng)0°<α≤90°時，∵∠AOC=α，∠COD=90°，∠AOE=120°，∴∠COE=∠AOE?∠AOC=120°?α，∠BOD=180°?∠AOC?∠COD=90°?α，∵2∠BOD=∠COE，∴290°?α解得α=60°，符合題設(shè)；（Ⅱ）如圖，當(dāng)90°<α≤120°時，∵∠AOC=α，∠COD=90°，∠AOE=120°，∴∠COE=∠AOE?∠AOC=120°?α，∠BOD=∠AOC+∠COD?180°=α?90°，∵2∠BOD=∠COE，∴2α?90°解得α=100°，符合題設(shè)；（Ⅲ）如圖，當(dāng)120°<α<180°時，∵∠AOC=α，∠COD=90°，∠AOE=120°，∴∠COE=∠AOC?∠AOE=α?120°，∠BOD=∠AOC+∠COD?180°=α?90°，∵2∠BOD=∠COE，∴2α?90°解得α=60°<120°，不符合題設(shè)，舍去；綜上，在旋轉(zhuǎn)過程中存在2∠BOD=∠COE，此時α的值為60°或100°．4.解：探究1：如圖所示，作∠BON的角平分線OC′，再作∠MOC=∠NOC′，則入射光線由平行線的性質(zhì)可得∠BON=∠B=30°，由題意得∠NOC探究2：當(dāng)0<t≤6時，∠MOC=∠NOC∵AB∥MN，∴∠AOM=∠A=60°，∴∠AOC=∠AOM?∠COM=60°?5t°，∠BOC∵∠AOC=3∠BOC∴60?5t=330?5t解得t=3；當(dāng)6<t≤12時，∠MOC=∠NOC∵AB∥MN，∴∠AOM=∠A=60°，∴∠AOC=∠AOM?∠COM=60°?5t°，∠BOC∵∠AOC=3∠BOC∴60?5t=35t?30解得t=7.5；當(dāng)12<t<18時，∠MOC=∠NOC∵AB∥MN，∴∠AOM=∠A=60°，∴∠AOC=∠AOM?∠COM=5t°?60°，∠BOC∵∠AOC=3∠BOC∴5t?60=35t?30解得t=3（舍去）；綜上所述，t=3或t=7.5；探究3：如圖3-1所示，當(dāng)射線OC′恰好經(jīng)過點由題意得∠COM=5t°，∴∠NON′=∠∴∠C解得t=30如圖3-2所示，當(dāng)0<t≤30由題意得∠COM=5t°，∴∠NON′=∠∴∠C∴∠BOC∵∠AOC=∠AOM?∠COM=60°?5t°，∴5∠BOC′=150°?55t°∴11∠AOC?5∠BOC如圖3-3所示，當(dāng)射線OC和OC′重合時，則解得t=11.25；如圖3-4所示，當(dāng)3011同理可得∠C∴∠BOC∵∠AOC=∠AOM?∠COM=60°?5t°，∴5∠BOC′=55t°?150°∴11∠AOC+5∠BOC綜上所述，當(dāng)0<t≤3011時，11∠AOC?5∠BOC′=510°【題型2相交線中的角度綜合問題】1.（1）解：如圖1，∵∠AOB+∠A+∠B=∠COD+∠C+∠D=180°，∠AOB=∠COD，∴∠A+∠B=∠C+∠D．（2）解：如圖2，∵∠ABC和∠ADC的平分線相交于點E，∴∠ABE=∠CBE，∠CDE=∠ADE，由（1）可得：∠A+∠ABE=∠E+∠ADE，∠C+∠CDE=∠E+∠CBE，∴∠A+∠ABE+∠C+∠CDE=∠E+∠ADE+∠E+∠CBE，∴2∠E=∠A+∠C．（3）由（1）得：∠A+∠ABC=∠C+∠CDA，∴14∴14設(shè)AD與PQ的交點為點O，則∠CBQ+∠BOD=∠C+∠ADC，兩式相減可得：∠BOD?1∴∠BOD?1∴45°?1∵∠P=180°?∠BOD?∠ADP，∴45°?1即∠A+3∠C+4∠P=180°．2.（1）解：（1）因為∠BOD=∠AOC，∠AOC=50°，所以∠BOD=∠AOC=50°，因為OM平分∠BOD，所以∠BOM=1（2）解：①如圖所示：

②∵MO是垂線段，∴MN>MO（垂線段最短）；故答案為：>，垂線段最短；③∵∠BOD=∠AOC=50°，OM平分∠BOD，∴∠BOM=1∴∠AON=180°?∠BOM?∠MON=180°?25°?90°=65°．∴∠AOE=180°?∠AON=180°?65°=115°．故答案為：115°．3.（1）解：由圖1可知：∠AOD+∠BOD=180°，∵∠AOD=130°，∴∠BOD=50°，∵∠COB+∠BOD=∠COD=90°，∴∠COB=40°，∵OE平分∠BOC，∴∠BOE=1∴∠DOE=∠BOD+∠BOE=50°+20°=70°，即∠DOE=70°；（2）解：由圖2知：∠AOC+∠BOC=180°∵OE平分∠BOC，∴∠BOC=2∠BOE=2∠COE，設(shè)∠BOE=x°，所以∠BOC=2x°，∵∠BOC+∠DOB=∠COD=90°，∴∠DOB=90°?2x°，∴∠DOE=∠DOB+∠BOE=90°?2x°+x°=90°?x°，∵∠AOC=180°?∠BOC=180°?2x°且180°?2x°=290°?x°∴2∠DOE=∠AOC4.（1）解：∵∠AOC+∠1=180°，∴當(dāng)∠1=80°時，∠AOC=180°?∠1=100°，∵∠AOC+∠AOE+∠2=180°，∴∠AOE=180°?∠AOC?∠2=180°?100°?30°=50°，故答案為：100，50．（2）解：∵AB⊥CD，∴∠AOD=∠AOE+∠2=90°，∴∠AOE=90°?∠2=60°，故答案為：60．（3）解：∵∠AOD=∠1=60°，OE平分∠AOD，∴∠2=1∵EF⊥CD，EF=2，∴點E到直線AB的距離等于EF的長，即為2，∴∠2的度數(shù)為30°，點E到直線AB的距離為2．【題型3平行線中的輔助線構(gòu)造】1.（1）解：∵CD∥∴∠AOE=∠OCD=120°，∵∠AOB=90°，∴∠BOE=360°?∠AOE?∠AOB=360°?90°?120°=150°；（2）解：如圖②，過點O作OF∥∵CD∥OE，∴OF∥∴∠AOF=180°?∠OCD，∠BOF=∠E∴∠AOB=∠AOF+∠BOF=180°?∠OCD+180°?∠B=360°?=130°，∴∠OCD+∠BO（3）解：如圖所示，過點P作PH∥CD，延長E′O′∵CD∥OE，∴PH∥CD∥O∴∠CPH=∠DCP，∵CP是∠OCD的平分線，∴∠DCP=1∵PO∴∠PO∴∠PO∵∠BO∴∠PO由（2）可得，∠OCD+∠BO∴∠OCD=230°?∠BO∴∠CPH=∠DCP=115°?1∴∠CPO=∠DCP+∠P=α?90°+115°?=25°+12.（1）解：∠MPN=∠AMP+∠CNP，理由如下：過點P作PL∥∵AB∥CD，PL∥∴PL∥CD∥AB，∴∠AMP=∠MPL，∠CNP=∠NPL，∴∠MPN=∠MPL+∠NPL=∠AMP+∠CNP；（2）解：∵PF平分∠MPN，∴∠MPF=∠FPN=∠MPE+∠EPF，∵∠MPE=∠MEP，∴∠EPN=∠NPF+∠EPF=∠MPE+2∠EPF=∠PEM+2∠EPF，由（1）同理得∠EPN=∠MEP+∠CNP，∴∠CNP=2∠EPF，∴∠EPF∠CNP（3）解：∵PG平分∠NPK，PH平分∠MPS，∴∠NPG=∠GPK=12∠NPK設(shè)∠NPG=∠GPK=x，∠MPH=∠HPS=y，則∠NPK=2x，∠MPS=2y，∴∠HPG=∠NPG+∠HPS+∠SPN=x+y+∠SPN，∵∠SPR+∠MPN=∠NPK+∠MPS+2∠SPN=2x+2y+2∠SPN=α+β，∴∠HPG=x+y+∠SPN=a+β由（1）同理得：∠AHP+∠CGP=∠HPG，∴∠AHP+∠CGP=∠HPG=a+β故答案為：α+β23.（1）解：如圖，過點C作CF∥∴∠A=∠ACF．∵AD∥∴CF∥∴∠BCF=180°?∠B．∵∠A=58°，∠B=118°，∴∠ACB=∠BCF+∠ACF=180°?∠B+∠A=120°．（2）解：如圖，過點Q作QM∥同理可得：QM∥∴∠AQM=∠NAD，∠BQM=∠EBQ．∵AN平分∠CAD，BQ平分∠CBE，∴∠NAD=12∠CAD∴∠AQB=∠BQM?∠AQM=1∴∠CBE?∠CAD=2∠AQB．由（1）得∠C=180°?∠CBE+∠CAD，∴∠C=180°?∠CBE?∠CAD∴2∠AQB+∠C=180°．（3）解：∵AC∥∴∠AQB=∠CAN=12∠CAD，∠ACN=∠QBN=∵2∠AQB＋∴∠CAD=2∠AQB=180°?180°?又∵QN⊥NB，∴∠CAN+∠ACN=90°，即∠CAD+∠CBE=180°，∴∠CAD=60°，∠CBE=120°，∴∠ACB=180°?1∴∠DAC:∠ACB:∠CBE=1:2:2．4.（1）證明：如圖，延長NQ交AB于E，∵PM∥QN，∴∠AMP=∠AEN，∵AB∥∴∠QND=∠AEN，∴∠AMP=∠QND（2）解：∠PQN=α+15°；理由：如圖，分別過點P、Q作EF∥AB，∵AB∥∴EF∥AB∥GH∥CD，∴∠AMP=∠MPF，當(dāng)∠AMP=30°，∠QND=45°，∠MPQ=α?xí)r，∠PQN=∠PQG+∠GQN=∠FPQ+∠QND=∠MPQ?∠MPF+=α?∠AMP+=α?=α+15（3）解：∠MPQ?β=∠PQN?θ或∠MPQ?β+∠PQN+θ=360°或∠MPQ+β=∠PQN+θ或∠MPQ+β+∠PQN?θ=360°；理由如下：如圖2-1，分別過點P、Q作EF∥AB，∵AB∥∴EF∥AB∥GH∥CD，∴∠AMP=∠MPF，當(dāng)∠AMP=β0°<β<90°，∠QND=θ∠PQN=∠PQG+∠GQN=∠FPQ+∠QND=∠MPQ?∠MPF+θ=∠MPQ?β+θ，∴∠MPQ?β=∠PQN?θ；如圖2-2，分別過點P、Q作EF∥AB，∵AB∥∴EF∥AB∥GH∥CD，∴∠AMP=∠MPF，當(dāng)∠AMP=β0°<β<90°，∠QND=θ∠PQN=∠PQH+∠HQN=====∴∠MPQ?β+∠PQN+θ=360°；如圖2-3，分別過點P、Q作EF∥AB，∵AB∥∴EF∥AB∥GH∥CD，∴∠AMP+∠MPE=180當(dāng)∠AMP=β0°<β<90°，∠QND=θ∠PQN=∠PQH+∠HQN=∠EPQ+==∠MPQ?=∠MPQ?=∠MPQ+β?θ∴∠MPQ+β=∠PQN+θ；如圖2-4，分別過點P、Q作EF∥AB，∵AB∥∴EF∥AB∥GH∥CD，∴∠AMP+∠MPE=180當(dāng)∠AMP=β0°<β<90°，∠QND=θ∠PQN=∠PQG+∠GQN====∴∠MPQ+β+∠PQN?θ=360°；綜上可得：∠MPQ?β=∠PQN?θ或∠MPQ?β+∠PQN+θ=360°或∠MPQ+β=∠PQN+θ或∠MPQ+β+∠PQN?θ=360°．【題型4平行線中的定值問題】1.（1）證明：∵AB平分∠CAD，∴∠DAB=∠BAC，又∵∠ABC=∠BAC，∴∠DAB=∠ABC，∴DE∥PQ；（2）①如圖1，當(dāng)F在A點右邊時，∵CK⊥AB，∴∠AKC=90°，又∵∠FKA=1∴∠FKA=45°，設(shè)∠EAC=x°，∵∠DAB=∠BAC=∠ABC，∴∠ABC=180°?x°又∵2∠EAC?∠BCK=90°，∴∠BCK=2x°?90°，在△BKC中，∠B+∠BCK=90°，即2x°?90°+90°?1解得：x=60，∴∠AFK=∠DAB?∠AKF=90°?1如圖：當(dāng)F在A點左側(cè)時，∵CK⊥AB，∴∠AKC=90°，又∵∠FKA=1∴∠FKA=45°，設(shè)∠EAC=x°，∵∠DAB=∠BAC=∠ABC，∴∠ABC=180°?x°又∵2∠EAC?∠BCK=90°，∴∠BCK=2x°?90°，在△BKC中，∠B+∠BCK=90°，即2x°?90°+90°?1解得：x=60，∴∠AFK=180°?∠DAB+∠AKF綜上，∠AFK的度數(shù)為15°或75°；②∠AKC∠EAC設(shè)∠EAC=x°，∵∠DAB=∠BAC=∠ABC，∴∠ABC=180°?x°∵2∠EAC?∠BCK=90°，∴∠BCK=2x°?90°，在△BKC中，∴∠AKC=∠B+∠BCK=2x°?90°+90°?∴∠AKC∠EAC2.（1）解：∵AB⊥DF，∴∠BAF=90°，∵∠EAF=60°，∠B∴∠BAB根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知，∠CAE=∠BAB故答案為：15°．

（2）解：①是；∠CGF?∠ACM=30°；過點G作GH∥

∵MN∥PQ，∴GH∥∴∠ACM=∠CGH，∠FGH=∠DFE，∴∠CGF?∠ACM=∠CGF?∠CGH=∠FGH=∠DFE=30°，即∠CGF?∠ACM=30°；②當(dāng)AB旋轉(zhuǎn)到A′B′

∵A′∴∠DB∵∠A∴∠DB∴此時C、B′，E∴旋轉(zhuǎn)角為：∠BCB∴t=45÷15=3（秒）；當(dāng)AB旋轉(zhuǎn)到A′B′

∵MN∥PQ，∴A′∴∠MCB∵MN∥PQ，∴∠MCD=∠CDF=60°，∴∠B∴∠BCB∴t=75÷15=5（秒）；當(dāng)AB旋轉(zhuǎn)到A′B′

∵A′∴∠ECB∴∠BCB∴t=135÷15=9（秒），綜上分析可知，當(dāng)t為3秒或5秒或9秒時，線段AB與三角形DEF的一條邊平行．3.（1）解：如圖所示，過點E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠DEF=∠CDE=4α，∠BEF=∠ABE=α，∴∠BED=∠DEF+∠BEF=5α；（2）解：①DG⊥BE，理由如下：∵EF∥∴∠DBE=∠BEF=kα=5α，∴∠ABD=∠ABE+∠DBE=6α，∵AB∥CD，∴∠BDC=180°?∠ABD=180°?6α，∴∠BDE=∠BDC?∠CDE=180°?10α，∵DG平分∠BDE，∴∠BDG=1∴∠DGB=180°?∠BDG?∠DBG=90°，∴DG⊥BE；②如圖所示，當(dāng)DF在DG左側(cè)時，∵EF∥BD，∴∠BDF=∠DFE，∵DG⊥BE，∴∠DGB=90°，∴∠BDG=180°?∠DGB?∠DBE=90°?kα，∵∠ABD=∠ABE+∠DBE=k+1∴∠DFB+∠BDF=180°?∠DBF=180°?k+1∵∠DFE=1∴∠DFB=2∠DFE=2∠BDF，∴2∠BDF+∠BDF=180°?∠DBF=180°?k+1∴∠BDF=180°?∴∠FDG=∠BDF?∠BDG===kα?=2kα?α∴此時不存在常數(shù)k使得∠FDG為定值，如圖所示，當(dāng)DF在DG右側(cè)時，同理可得∠FDG=∠BDG?∠BDF=30°?α?2kα∴當(dāng)1?2k=0，即k=12時，綜上所述，存在k=12使得4.（1）解：∵EF∥∴∠FAB+∠ABN=180°，∴∠FAB=180°?∠ABN=180°?45°=135°，故答案為135；（2）解：設(shè)射線AC與射線BD所在直線的交點為點P，旋轉(zhuǎn)時間為t秒時，∠MBD=6t°，∠FAC=2t°，即∠DBN=180°?6t°，①如圖，當(dāng)∠APB=80°時，過點P作PQ∥EF，∵EF∥∴PQ∥EF∥MN，∴∠QPA=∠FAC=2t°，∠QPB=∠DBN=180°?6t°，∴∠APB=∠FAC+∠DBN，即80=2t+180?6t，解得t=25，

②如上圖，當(dāng)∠CPB=80°時，則∠APB=100°，由①可知∠APB=∠FAC+∠DBN，即100=2t+180?6t，解得t=20，綜上所述，當(dāng)t=20，t=25時，射線AC與射線BD所在直線的夾角為（3）∠AHK∠ABH解：如圖，由（2）可知∠APB=∠FAC+∠DBN=2t°+180°?6t°=180°?4t°，∵HK⊥BD，∴∠AHK=90°?∠APB=90°?180°?4t°∵∠ABH=∠ABN∴∠AHK∠ABH【題型5平行線中的角度綜合問題】1.解：（1）如圖，∵折疊，∴直線AB折疊重合為兩個角，平角為180°，∴∠AQP=90°，即AQ⊥PQ，∴PQ與直線AB的位置關(guān)系是：垂直，如圖：∵如圖④所示：AB⊥PQ，∴∠2=90°，由折疊可知：∠1=∠CPF=90°，∴∠1=∠2=90°，∴AB∥CD（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），故答案為：垂直；90°；（2）①∵燈P，燈Q轉(zhuǎn)動的速度分別是1°/秒，3°/秒，燈P射線轉(zhuǎn)動20秒后，燈Q射線開始轉(zhuǎn)動，∴燈P轉(zhuǎn)動20秒后度數(shù)為20×1=20°，又∵當(dāng)燈Q轉(zhuǎn)動t秒時，燈P射線PN轉(zhuǎn)動到如圖⑤的位置，∴此時燈P再次轉(zhuǎn)動了t?1=t°，∴∠DPN=(20+t)°，故答案為：(20+t)°；②如圖為大致圖形：當(dāng)t=45s時，∠DPN=20+t=65°，∠AQH=45×3=135°∵AB∥CD，∴∠PHQ=∠HQB=180°?135°=45°，∴∠POH=180°?45°?65°=70°，∴∠POQ=180°?∠POH=110°；（3）當(dāng)t為10秒或85秒或130秒時，兩燈的光束互相平行，理由如下：設(shè)燈Q轉(zhuǎn)動t秒，兩燈的光束互相平行，①當(dāng)0≤t≤60時，如圖，∵AB∥CD，∴∠DPN=∠PNA，∵QH∥PN，∴∠HQA=∠PNA，∴3t=1×(20+t)，解得：t=10；②當(dāng)60<t≤120時，如圖，∵AB∥CD，∴∠DPN=∠PNA，∵QH∥PN，∴∠PNA=∠AQH，∴∠DPN=∠AQH，∴360°?3t=1×20+t解得：t=85；③當(dāng)120<t≤160時，如圖，∵AB∥CD，∴∠CPN=∠PNB，∵QH∥PN，∴∠HQB=∠PNB，∴∠CPN=∠HQP，∴∠NPH=∠NQH∴3t?360°=180°?1×20+t解得：t=130，綜上所述：當(dāng)t為10秒或85秒或130秒時，兩燈的光束互相平行．2.（1）證明：∵∠CDF+∠DFE=180°，∴AE∥∴∠C=∠AEB，又∵∠C=∠DAE，∴∠AEB=∠DAE，∴AD∥（2）解：∠DFE=∠ADF+∠AEB，證明：過點F作FG∥AD交CD于點∵AD∥∴FG∥∴∠ADF=∠DFG，∠AEB=∠GFE，∵∠DFE=∠DFG+∠GFE，∴∠DFE=∠ADF+∠AEB；（3）解：①如圖，作CD∥AB，則∴∠3+∠BDC=180°，∠1=∠CDE，∴∠2+∠3=∠3+∠BDC+∠CDE=180°+∠1=180°+31°=211°，故答案為：211°；②過點E作EP∥由題意可知：AB∥FG，∠ABC=α=15°，∵EP∥∴∠PEC=∠ABC=15°，∵∠PEC+∠DEF+∠PEF=180°，∴∠PEF=180°?∠PEC?∠DEF=180°?15°?45°=120°，∵EP∥AB，∴EP∥∴∠EFG+∠PEF=180°，∴∠EFG=180°?∠PEF=60°，即：EF與FG所成銳角的度數(shù)為60°．3.（1）解：①證明：∵∠CDF+∠DFE=180°，∴AE∥∴∠AEB=∠C∵∠C=∠DAE∴∠AEB=∠DAE∴AD∥BC；②如圖所示，過點F作FG∥∴∠DFG=∠ADF∵AD∴FG∥BC∴∠GFE=∠AEB∴∠DFE=∠DFG+∠EFG=∠ADF+∠AEB；（2）解：如圖所示，∠1,∠2,∠3的頂點分別為C,B,F，依題意，EF∥CD，作∴EF∥AB∴∠ABC=∠1=31°，∠3+∠FBA=180°∴∠2+∠3=∠3+∠FBA+∠ABC=180°+31°=211°，故答案為：211°．4.（1）解：①由題意得：∠A∴∠AEG=∠A∵AB∥∴∠CGE=∠AEG=80°，∴∠A②由題意得：∠A∴∠AEG=∠A∵AB∥∴∠CGE=∠AEG=2α，∴∠A故答案為：180°?2α；（2）解：EF∥由題意得：∠AEF=∠A′EF=∵AB∥∴∠CGE=∠AEG，∴∠C∴EF∥（3）解：∠A∵MN∥AB，∴DC∥∴∠A∵∠A∴∠A【題型6無理數(shù)的估算】1.（1）解：∵16<23<25，∴16<23∴23的整數(shù)部分是4，小數(shù)部分是23?4故答案為：4，23?4（2）解：∵9<13<16，∴9<13∴a=13∵36<37<49，∴36<37∴b=6，∴a+b?13（3）解：∵4<5<9，∴4<5∴14<12+5∵12+5=2m+n，其中m是整數(shù)，且∴m=7，n=12+5∴m?n=7?5∴m?n的相反數(shù)為5?92.（1）解：∵3a+2的立方根是2，∴23解得a=2，∵9<∴13的整數(shù)部分是3，∴b=3，∴?a+2b=?2+2×3=4，∵4的平方根為±2，∴?a+2b的平方根為±2；（2）解：∵10+5=x+y，其中x是整數(shù)，且0<y<1，而∴y=5∴10+5∴x=12，∴x?y=12?5?2=14?5，則3.解：（一）（1）∵22∴2<5∴a=5∵3∴3<13∴b=3（2）∵32∴3<10∴a=3，b=10∴a3∴a3+b?（二）由103=1000，1003則110592的立方根也是兩位數(shù)；由110592的個位數(shù)字是2，因此可知110592的個位數(shù)字為8，劃去110592后面的三位592得到數(shù)110，而43=64，由此可以確定義110592的十位數(shù)字為4所以110592的立方根，即31105924.解：（1）∵4<5<9∴2<∴11<9+∵9+5=x+y，其中x是整數(shù)，且∴x=11，y=9+∴7?y=7?5（2）∵15<230∴可設(shè)230=15+x，其中0<x<1根據(jù)示意圖，可得圖中正方形的面積S正方形又∵S正方形∴152由x2<1，可忽略∴225+30x≈230，得到x≈0.17，即230≈15.17【題型7與實數(shù)有關(guān)的規(guī)律探究】1.（1）解：∵①1+112+根據(jù)以上規(guī)律可得第④個等式是：1+1（2）解：根據(jù)以上規(guī)律可得第n個等式是：1+1（3）解：1+=1+==n+1?12.解：（1）填表如下：a…0.0000010.00010.01110010000……0.0010.010.1110100…（2）觀察表格可得規(guī)律：當(dāng)被開方數(shù)a的小數(shù)點向左或向右移動2位，它的算術(shù)平方根的小數(shù)點相應(yīng)地向左或向右移動1位；∵a=1900，361即從19到1900小數(shù)點向右移動2位，則a的小數(shù)點向右移動了4位∴a=3610000；（3）根據(jù)題意得：當(dāng)0<a<1時，a>a當(dāng)a>1時，a<a當(dāng)a=0或a=1時，a3.（1）解：（1）30.000001=0.01；按上述規(guī)律，被開方數(shù)小數(shù)點向右（或左）移三位，則所得數(shù)的小數(shù)點向右（或左）移一位，故答案為：0.01、100；（2）已知3x=1.587，若3y=?0.1587，用含x的代數(shù)式表示故答案為：?x（3）∵3?0.001=?0.1，3?1=?1，3?1000=?10∴3a與a當(dāng)?1<a<0或a>1時，3a當(dāng)a=?1或a=1或a=0時，3a當(dāng)a<?1或0<a<1時，3a4.（1）解：①由題意得：52②1012（2）解：第1個等式：12第2個等式：22第3個等式：32第4個等式：42第5個等式：52……∴第n個等式：n2（3）解：12?2×1×1+==?1+=?1013．【題型8與實數(shù)有關(guān)的應(yīng)用】1.（1）C組分組積分賽對陣表：

阿根廷

沙特

墨西哥

波蘭

阿根廷

阿根廷：沙特

阿根廷：墨西哥

阿根廷：波蘭

沙特

沙特：阿根廷

沙特：墨西哥

沙特：波蘭

墨西哥

墨西哥：阿根廷

墨西哥：沙特

墨西哥：波蘭

波蘭

波蘭：阿根廷

波蘭：沙特

波蘭：墨西哥（2）冠軍阿根廷隊分組積分賽踢了3場，18決賽，1∴一共踢了3+4=7（場），∴本屆世界杯冠軍阿根廷隊在決賽階段一共踢了7場比賽；（3）分組積分賽每個小組6場，8個小組一共8×6=48（場）；18決賽一共8場，1∴一共踢了48+8+4+2+1+1=64（場）；∴本屆世界杯32支球隊在決賽階段一共踢了64場比賽．2.（1）解：∵T=2πl(wèi)∴當(dāng)l=0.2m時，T=2×3（2）6×60÷6答：該座鐘大約發(fā)出了420次滴答聲．3.解：由題意得兩個容器底面積相等，所以體積相同，再根據(jù)體積公式可得兩個容器的底面積相等，即正方形面積為π×102＝100π設(shè)長方體容器底面邊長為x∴x2=100π∴x==100π長方體容器底面邊長為100π≈17.7cm．答：長方體容器的底面邊長約為17.7cm．4.解：18的正因數(shù)有1、2、3、6、9、18，其中1、3、9是正奇數(shù)因數(shù)，18的完美指標(biāo)為(1+3+9)?(2+6+18)÷18=?19的正因數(shù)有1、19，其中1、19是正奇數(shù)因數(shù)，19的完美指標(biāo)為(1+19)÷19=2020的正因數(shù)有1、2、4、5、10、20，其中1、5是正奇數(shù)因數(shù)，20的完美指標(biāo)為(1+5)?(2+4+10+20)÷20=?21的正因數(shù)有1、3、7、21，其中1、3、7、21是正奇數(shù)因數(shù)，21的完美指標(biāo)為(1+3+7+21)÷21=32因為?所以四個自然數(shù)中最“完美”的數(shù)是18．【題型9平面直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)特征】1.（1）解：∵A(2,3)，B(?3,1)，∴d設(shè)點Mm,0，∴d∴2?m∴2?m=±1，∴m=1或3，∴點M的坐標(biāo)為1,0或3,0；故答案為：7；1,0或3,0；（2）解：設(shè)點D的坐標(biāo)為x,y，∵A(2,3)，B(?3,1)，C(3,0)，∴dDA+由絕對值的幾何意義可知：x?2+x+3+x?3表示y?3+y?1+y表示∴當(dāng)x=2,y=1時，其距離和最小，∴dDA+dDB+故答案為：2,1；（3）解：設(shè)