第一章：空間向量與立體幾何綜合檢測卷（試卷滿分150分，考試用時120分鐘）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（23-24高二上·河北保定·期末）在空間直角坐標系中，點關于平面的對稱點坐標為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】在空間直角坐標系中，點關于平面的對稱點坐標為，故選：A2．（23-24高二上·福建福州·月考）已知四面體，是的中點，連接，則＝（）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖，四面體，是的中點，因為是的中點，所以所以.故選：A.3．（23-24高二上·四川德陽·期末）已知空間向量，，若，則（

）A．2 B．-2 C．0 D．4【答案】C【解析】因為，，則，由可得：，解得：，則.故選：C.4．（23-24高二上·北京·期中）已知點，為坐標原點，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，所以，又，即，所以，所以，故選：D.5．（23-24高二上·福建廈門·期中）如圖，在平行六面體中，為的交點.若，則向量（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由圖知，，即.故選：C6．（22-23高二上·云南臨滄·月考）若構成空間的一個基底，則下列向量不共面的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】對于A，，所以三個向量共面，排除；對于B，，所以三個向量共面，排除；對于D，，所以三個向量共面，排除.故選：C.7．（23-24高二上·河南焦作·月考）如圖，過二面角內一點作于于，若，則二面角的大小為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設，則且，因為，解得，可得，且，所以，所以二面角的大小為．故選：C.8．（22-23高二上·江西南昌·期末）已知點在確定的平面內，是平面外任意一點，實數(shù)滿足，則的最小值為（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【解析】因為，所以，又點D在確定的平面內，是平面外任意一點，所以，即，則.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．（22-23高二上·云南臨滄·月考）已知空間中三點，則正確的有（

）A．與是共線向量 B．的一個單位向量是C．與夾角的余弦值是 D．平面的一個法向量是【答案】BC【解析】由題意知，，因為，所以與不是共線向量，即A錯誤；的單位向量為，所以的單位向量為或，即B正確；，所以與夾角的余弦值為，即C正確；設平面的一個法向量為，則即，令，則，所以，即D錯誤,故選：BC.10．（23-24高二上·陜西寶雞·期中）給出下列命題，其中正確的有（

）A．空間任意三個向量都可以作為一組基底B．已知向量，則、與任何向量都不能構成空間的一組基底C．、、、是空間四點，若、、不能構成空間的一組基底，則、、、共面D．已知是空間向量的一組基底，則也是空間向量的一組基底【答案】BCD【解析】對于A項，空間任意的三個不共面的向量才可以作為一組基底，故A錯誤；對于B項，若，則、與任何向量都共面，故不能構成空間的一組基底，故B正確；對于C項，若、、不能構成空間的一組基底，則、、共面，又、、過相同的點，則、、、四點共面，故C正確；對于D項，若，，共面，則，可知，，共面，與為空間向量的一組基底相矛盾，故，，可以構成空間向量的一組基底.故選：BCD.11．（23-24高二上·山東滕州·月考）如圖，四棱錐中，底面是正方形，平面，，、分別是的中點，是棱上的動點，則（

）

A．B．存在點，使平面C．存在點，使直線與所成的角為D．點到平面與平面的距離和為定值【答案】ABD【解析】根據(jù)已知條件，以為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，設，則，，，，，，；由是棱上的動點，設，，因為，，所以，即，故A正確；當為中點時，是的中位線，所以，又平面，平面，所以平面，故B正確；，，若存在點，使直線與所成的角為，則，化簡得，無解，故C錯誤；由題意可知：點到平面的距離，為平面的法向量，所以點到平面的距離為，所以，故D正確.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．（23-24高二上·浙江寧波·期末）已知，則．【答案】【解析】由，得.13．（23-24高二上·陜西渭南·期末）直線的方向向量為，且過點，則點到的距離為．【答案】【解析】依題意，，所以點到的距離.14．（23-24高二上·浙江寧波·期末）如圖，的二面角的棱上有，兩點，直線，分別在這個二面角的兩個半平面內，且都垂直于已知，，BD=7，則的長為.【答案】【解析】由已知，，,，所以，所以，故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步棸．15．（23-24高二上·山東菏澤·月考）已知空間向量.(1)求；(2)判斷與以及與的位置關系.【答案】(1)；(2)；.【解析】（1）由題知，，所以.（2）因為，所以，所以；因為，所以，所以.16．（23-24高二上·廣東廣州·期中）如圖,給定長方體,,,點在棱的延長線上,且.設,,.(1)試用表示向量;(2)求.【答案】(1)；(2)【解析】（1）因為點在棱的延長線上,且,所以,則.（2）由題意得,則,所以.17．（23-24高二上·廣東湛江·月考）在正四棱柱中，，為棱中點．(1)證明平面．(2)求二面角的正弦值．【答案】(1)證明見解析；(2)【解析】（1）因為是正四棱柱，所以側面，而平面，所以又，，平面，所以平面；（2）如圖建立空間直角坐標系，則，，設，則，所以，，因為，所以，解得或（舍去），所以，，則，，，設是平面的法向量，所以取，設是平面的法向量，所以取，設二面角為，則，所以二面角的正弦值為.18．（23-24高二上·江西景德鎮(zhèn)·期末）在四棱錐中，平面，四邊形為直角梯形，，，，，點在上，且．(1)求異面直線與夾角的余弦值；(2)求點到平面的距離．【答案】(1)；(2)【解析】（1）依題意可知兩兩相互垂直，以為坐標原點，所在的直線分別為軸、軸和軸建立空間直角坐標系，如圖所示，可得，，，即異面直線與夾角的余弦值為.（2）設平面的一個法向量，，由，得，于是平面的一個法向量，點到平面的距離．19．（23-24高二上·四川成都·期中）如圖，已知平行六面體的側棱長為3，底面是邊長為4的菱形，且，點，分別在和上．

(1)若，，求證：，，，四點共面；(2)求；(3)若，點為線段上（包括端點）的動點，求直線與平面所成角的正弦值的取值范圍．【答案】(1)證明見解析；(2)；(3)【解析】（1），，，，所以,,,四點共面.（2）平面，上的所有的點到平面的距離都相等，同理上所有的點到的距離也相等，，，點在平面的射影落在上，過點作，過