第一章第2節(jié)充足條件與必要條件知識分類貫徹考點分層突破課后鞏固作業(yè)內(nèi)容索引///////123//////////////知識分類貫徹扎實基礎(chǔ)回扣知識1知識梳理///////充足條件、必要條件與充要條件的概念若p?q，則p是q的

條件，q是p的

條件p是q的

條件p?q且q?pp是q的

條件p?q且q?pp是q的

條件p?qp是q的既不充分也不必要條件p?q且q?p充足必要充足不必要必要不充足充要1.區(qū)別A是B的充足不必要條件(A?B且B?A)，與A的充足不必要條件是B(B?A且A?B)兩者的不同.2.充要關(guān)系與集合的子集之間的關(guān)系，設(shè)A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，(1)若A?B，則p是q的充足條件，q是p的必要條件.(2)若AB，則p是q的充足不必要條件，q是p的必要不充足條件.(3)若A＝B，則p是q的充要條件.3.p是q的充足不必要條件，等價于綈q是綈p的充足不必要條件.1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號內(nèi)打“√”或“×”) (1)若已知p：x>1和q：x≥1，則p是q的充足不必要條件. () (2)已知集合A，B，則A∪B＝A∩B的充要條件是A＝B. () (3)當(dāng)q是p的必要條件時，p是q的充足條件. () (4)若a，b∈R，則“a2＋b2≠0”是“a，b不全為0”的充要條件.()√√√√D3.函數(shù)f(x)＝x2＋mx＋1的圖象有關(guān)直線x＝1對稱的充要條件是.m＝－24.(多選題)(2020·臨沂質(zhì)檢)設(shè)x∈R，則x＞2的一種必要不充足條件是() A.x＜1 B.x＞1 C.x＞－1 D.x＞3BC5.(2020·天津卷)設(shè)a∈R，則“a＞1”是“a2＞a”的 () A.充足不必要條件 B.必要不充足條件 C.充要條件 D.既不充足也不必要條件 解析由a2＞a，得a2－a＞0，解得a＞1或a＜0， ∴“a＞1”是“a2＞a”的充足不必要條件.A(2，＋∞)∵x∈B成立的一種充足不必要條件是x∈A，因此AB，因此m＋1>3，即m>2.考點分層突破題型剖析考點聚焦2【例1】(1)(2020·浙江卷)已知空間中但是同一點的三條直線l，m，n.“l(fā)，m，n共面”是“l(fā)，m，n兩兩相交”的 () A.充足不必要條件 B.必要不充足條件 C.充足必要條件 D.既不充足也不必要條件 解析由m，n，l在同一平面內(nèi)，可能有m，n，l兩兩平行， 因此m，n，l可能沒有公共點，因此不能推出m，n，l兩兩相交. 由m，n，l兩兩相交且m，n，l不通過同一點，可設(shè)l∩m＝A，l∩n＝B， m∩n＝C，且A?n，考點一充足條件與必要條件的鑒定///////師生共研B因此點A和直線n擬定平面α，而B，C∈n，因此B，C∈α，因此l，m?α，因此m，n，l在同一平面內(nèi).故選B.(2)已知條件p：x＋y≠－2，條件q：x，y不都是－1，則p是q的 ()A.充足不必要條件 B.必要不充足條件C.充要條件 D.既不充足也不必要條件解析由于p：x＋y≠－2，q：x≠－1或y≠－1，因此綈p：x＋y＝－2，綈q：x＝－1且y＝－1，由于綈q?綈p，但綈p?綈q，因此綈q是綈p的充足不必要條件，即p是q的充足不必要條件.A充要條件的三種判斷方法(1)定義法：根據(jù)p?q，q?p進行判斷.(2)集正當(dāng)：根據(jù)使p，q成立的對象的集合之間的包含關(guān)系進行判斷.(3)等價轉(zhuǎn)化法：根據(jù)一種命題與其逆否命題的等價性，把要判斷的命題轉(zhuǎn)化為其逆否命題進行判斷.這個方法特別適合以否認(rèn)形式給出的問題.感悟升華【訓(xùn)練1】(1)(多選題)(2021·山東新高考模擬)已知兩條直線l，m及三個平面α，β，γ，則α⊥β的充足條件是 () A.l?α，l⊥β B.l⊥α，m⊥β，l⊥m C.α⊥γ，β∥γ D.l?α，m?β，l⊥m 解析由面面垂直的鑒定能夠判斷A，B，C符合題意，對于選項D，l?α，m?β，l⊥m，也能夠得到α∥β，D不符合題意. 故選ABC.ABC【訓(xùn)練1】(2)(2020·北京卷)已知α，β∈R，則“存在k∈Z使得 α＝kπ＋(－1)kβ”是“sinα＝sinβ”的 () A.充足而不必要條件 B.必要而不充足條件 C.充足必要條件 D.既不充足也不必要條件 解析若存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ，則當(dāng)k＝2n(n∈Z)，α＝2nπ＋β，有sinα＝sin(2nπ＋β)＝sinβ；當(dāng)k＝2n＋1(n∈Z)，α＝(2n＋1)π－β，有sinα＝sin[(2n＋1)π－β]＝sinβ. 若sinα＝sinβ，則α＝2kπ＋β或α＝2kπ＋π－β(k∈Z)， 即α＝kπ＋(－1)kβ(k∈Z). 故選C.C【例2】(典型母題)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}.若x∈P是x∈S的必要條件，求實數(shù)m的取值范疇. 解由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10， ∴P＝{x|－2≤x≤10}. ∵x∈P是x∈S的必要條件，則S?P. 又∵S為非空集合，∴1－m≤1＋m，解得m≥0. 綜上，m的取值范疇是[0，3].考點二充足、必要條件的應(yīng)用///////典例遷移【遷移1】本例條件不變，問與否存在實數(shù)m，使x∈P是x∈S的充要條件？并闡明理由. 解由例題知P＝{x|－2≤x≤10}. 若x∈P是x∈S的充要條件，則P＝S， 這樣的m不存在.【遷移2】設(shè)p：P＝{x|x2－8x－20≤0}，q：非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}，且綈p是綈q的必要不充足條件，求實數(shù)m的取值范疇. 解由例題知P＝{x|－2≤x≤10}. ∵綈p是綈q的必要不充足條件， p是q的充足不必要條件. ∴p?q且q?p，即PS. ∴m≥9，又由于S為非空集合， 因此1－m≤1＋m，解得m≥0， 綜上，實數(shù)m的取值范疇是[9，＋∞).1.根據(jù)充足、必要條件求解參數(shù)取值范疇需抓住“兩”核心(1)把充足、必要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系.(2)根據(jù)集合之間的關(guān)系列出有關(guān)參數(shù)的不等式(組)求解.2.解題時要注意區(qū)間端點值的檢查.特別是運用兩個集合之間的關(guān)系求解參數(shù)的取值范疇時，不等式與否能夠取等號決定端點值的取舍，解決不當(dāng)容易出現(xiàn)漏解或增解的現(xiàn)象.感悟升華【訓(xùn)練2】設(shè)p：ln(2x－1)≤0，q：(x－a)[x－(a＋1)]≤0，若q是p的必要不充足條

件，則實數(shù)a的取值范疇是________. 由q是p的必要而不充足條件，知AB.【例3】已知兩個有關(guān)x的一元二次方程mx2－4x＋4＝0和x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，求兩方程的根都是整數(shù)的充要條件. 解由于mx2－4x＋4＝0是一元二次方程，因此m≠0. 又另一方程為x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，且兩方程都要有實根，考點三充要條件的探求///////師生共研由于兩方程的根都是整數(shù)，故其根的和與積也為整數(shù)，因此m為4的約數(shù).因此m＝－1或1.當(dāng)m＝－1時，第一種方程x2＋4x－4＝0的根不是整數(shù)；而當(dāng)m＝1時，兩方程的根均為整數(shù)，因此兩方程的根均為整數(shù)的充要條件是m＝1.探求充要條件的核心在于轉(zhuǎn)化的等價性，解題時要考慮條件包含的多個狀況，確保條件的充足性和必要性.感悟升華【訓(xùn)練3】(1)命題“對任意x∈[1，2)，x2－a≤0”為真命題的一種充足不必要條件能夠是 () A.a≥4 B.a＞4 C.a≥1 D.a＞1 解析要使“對任意x∈[1，2)，x2－a≤0”為真命題，只需要a≥4， 因此a＞4是命題為真的充足不必要條件. B【訓(xùn)練3】(2)(2021·武漢質(zhì)檢)有關(guān)x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一種正根和一種負(fù)根的充要條件是________.ac＜0課后鞏固作業(yè)提高能力分層訓(xùn)練3一、選擇題1.設(shè)x∈R，則“0<x<5”是“|x－1|<1”的 () A.充足而不必要條件 B.必要而不充足條件 C.充要條件 D.既不充足也不必要條件 解析由|x－1|<1可得0<x<2， 由“0<x<5”不能推出“0<x<2”，但由“0<x<2”能夠推出“0<x<5”. 故“0<x<5”是“|x－1|<1”的必要而不充足條件.B2.王安石在《游褒禪山記》中寫道“世之奇?zhèn)ァ⒐骞?，非常之觀，常在于險遠，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，請問“有志”是達成“奇?zhèn)?、瑰怪，非常之觀”的 () A.充要條件 B.既不充足也不必要條件 C.充足不必要條件 D.必要不充足條件 解析非有志者不能至，是必要條件；但“有志”也不一定“能至”，不是充足條件.D3.(多選題)(2021·長沙質(zhì)檢)若x2－x－2＜0是－2＜x＜a的充足不必要條件，則實數(shù)a的值能夠是 () A.1 B.2 C.3 D.4 解析由x2－x－2＜0，解得－1＜x＜2. ∵x2－x－2＜0是－2＜x＜a的充足不必要條件， ∴(－1，2)(－2，a)， ∴a≥2. ∴實數(shù)a的值能夠是2，3，4.BCD4.(2019·北京卷)設(shè)函數(shù)f(x)＝cosx＋bsinx(b為常數(shù))，則“b＝0”是“f(x)為偶函數(shù)”的 () A.充足而不必要條件 B.必要而不充足條件 C.充足必要條件 D.既不充足也不必要條件 解析當(dāng)b＝0時，f(x)＝cosx為偶函數(shù)； 若f(x)為偶函數(shù)， 則f(－x)＝cos(－x)＋bsin(－x)＝cosx－bsinx＝f(x)， ∴－bsinx＝bsinx對x∈R恒成立， ∴b＝0. 故“b＝0”是“f(x)為偶函數(shù)”的充足必要條件.C5.“l(fā)og2(2x－3)＜1”是“4x＞8”的() A.充足不必要條件 B.必要不充足條件 C.充要條件 D.既不充足也不必要條件A6.(2021·湖南雅禮中學(xué)月考)若有關(guān)x的不等式|x－1|<a成立的充足條件是0<x<4，則實數(shù)a的取值范疇是 () A.(－∞，1] B.(－∞，1) C.(3，＋∞) D.[3，＋∞)D7.(2020·東莞模擬)若實數(shù)a，b滿足a＞0，b＞0，則“a＞b”是“a＋lna＞b＋lnb”的 () A.充足不必要條件 B.必要不充足條件 C.充要條件 D.既不充足也不必要條件 解析設(shè)f(x)＝x＋lnx，顯然f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增， ∵a＞b， ∴f(a)＞f(b)， ∴a＋lna＞b＋lnb，充足性成立； ∵a＋lna＞b＋lnb， ∴f(a)＞f(b)， ∴a＞b，必要性成立， 故“a＞b”是“a＋lna＞b＋lnb”的充要條件，故選C.C8.已知命題p：x2＋2x－3＞0；命題q：x＞a，且綈q的一種充足不必要條件是 綈p，則a的取值范疇是 () A.[1，＋∞) B.(－∞，1] C.[－1，＋∞) D.(－∞，－3] 解析由x2＋2x－3＞0，得x＜－3或x＞1， 由綈q的一種充足不必要條件是綈p，可知綈p是綈q的充足不必要條件，等價于q是p的充足不必要條件. 故a≥1.A二、填空題9.“sinα＝sinβ”是“α＝β”的條件(選填“充足不必要”“必要不充足”“充要”“既不充足也不必要”).必要不充足10.直線x－y－k＝0與圓(x－1)2＋y2＝2有兩個不同交點的充要條件是

.－1<k<311.(2020·河南名校聯(lián)考)設(shè)命題p：x>4；命題q：x2－5x＋4≥0，那么p是q的________________條件(填“充足不必要”“必要不充足”“充要”“既不充足也不必要”). 解析由x2－5x＋4≥0得x≤1或x≥4，可知{x|x>4}是{x|x≤1或x≥4}的真子集， ∴p是q的充足不必要條件.充足不必要13.(多選題)(2021·青島調(diào)研)下列敘述對的的是 () A.“a＜1”是“方程x2＋x＋a＝0有一種正根和一種負(fù)根”的必要不充足條件 B.若a，b，c∈R，則“ab2＞cb2”的充要條件是“a＞c” C.“a＞1”是“＜1”的充足不必要條件 D.若a，b，c∈R，則“ax2＋bx＋c≥0”的充要條件是“b2－4ac≤0” 解析若方程x2＋x＋a＝0有一種正根和一種負(fù)根，則Δ＝1－4a＞0， x1x2＝a＜0， ∴a＜0， ∴“a＜1”是“方程x2＋x＋a＝0有一種正根和一種負(fù)根”的必要不充足條件