第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

習(xí)題及答案

2-1試建立圖2-27所示各系統(tǒng)的微分方程。其中外力/⑺，位移N力和電壓孫⑺為

輸入量；位移）氣）和電壓〃，（/）為輸出量：k（彈性系數(shù)），f（阻尼系數(shù)），R（電阻），

C（電容）和?。ㄙ|(zhì)量）均為常數(shù)。

—I

*

X3-

U當(dāng)

%。）

⑺

圖2-27系統(tǒng)原理圖

解

（a）以平衡狀態(tài)為基點，對質(zhì)塊機(jī)進(jìn)行受力分析（不再考慮ky\f.^.

」dt

重力影響），如圖解2T（a）所示。根據(jù)牛頓定理可寫出m

IF&)

整理得圖解2T(a)

3+上幽2+4⑺」F⑺

dt~mdtmm

（b）如圖解2T（b）所示,取A,B兩點分別進(jìn)行受力分析。對A點有

對B點有

r.dx,dy、,

/（寸■一子尸&）'

dtdt

聯(lián)立式（1）、（2）可得：

dyk\k、k.

—+......———y=——!—圖解2-1(bi

dt/（K+攵2）k、+匕

(c)應(yīng)用復(fù)數(shù)阻抗概念可寫出

號一

SG)—^-/(s)+q(s)(3)

N+一

cs

Uc(s)

/($)=(4)

~RT

u(s)/?(i+/?,a)

聯(lián)立式(3)、(4),可解得:e2

Ur(s)-Ri+&+R|R2cs

3〃=

微分方程為:—4-u

6r

dtCRRdtCR}

iC

(d)由圖解2T(d)可寫出

八

八RR

fURG)=WG)+LG)乜⑸心(5)ci。⑥

IC(S)《=RIR(S)—RICG)

(6)圖解2-1(d)

Cs

、UCG)=/CG)R+[〃G)+/C(S)U

Cs

聯(lián)立式(5)、(6)、(7),消去中間變量〃(s)和。(s),可得:

U,G)R2c2s2+2RCs+T

U,(s)-R2c2s2+3RCS+]

微分方程為駕+且幺12du1

+—；~——4-r+-

dt2CRdtC2R2dt2CRdtC2R2

2-2試證明圖2-28中所示的力學(xué)系統(tǒng)(a)和電路系統(tǒng)(b)是相似系統(tǒng)(即有相同形式的

數(shù)學(xué)模型)。

⑷3

尢2

〃JV%

0

%)弓4

氏1

(b)

圖2-28系統(tǒng)原理圖

11

解

(a)取A、B兩點分別進(jìn)行受力分析，如圖

解2-2(a)所示。對A點有

k2(x-y)+f2(x-y)=Z(j-)

(1)

對B點有

工([一女)=>%

對式(1)、(2)分別取拉氏變換，消去中間變量)骨整理后得

—)3

丫⑶

X(s)

A452+(A+A+A)5+I

k&k]k2k\

(b)由圖可寫出

U,(s)_Ur(s)

整理得

Up)_R|-CC2s2+(RC+.C?)s+1

Ur(5)&R2cle+(R]G+RfCi+/?[C?)s+l

比較兩系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，如果設(shè)飛=1/3/?2=1/&，。尸九。2=力，則兩系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

相同，所以兩系統(tǒng)是相似的。

2-3假設(shè)某容器的液位高度力與液體流入量0.滿足方程納+46="L。,，

dtSS

式中5為液位容器的橫截面積，Q為常數(shù)。若〃與0r在其工作點(。,0，兒)附近做微量變

化，試導(dǎo)出M關(guān)于AQ,?的線性化方程。

解將血在幾處展開為泰勒級數(shù)并取一次近似

12

%+2展?△力(1)

at

代入原方程可得

^^+"匹+去,)=!或+建/)

(2)

dt32J/&)3

在平衡工作點處系統(tǒng)滿足

~7~+a灰=Q,.o(3)

v<I

式(2),(3)相減可得M的線性化方程

cd、ha-0

S----+―；=A/?=\Q

dt2版r

2-4試求圖2-29所示各信號的象函數(shù)X(s),

(c)

解

(a)*/x(t)=2+(r-r0)

...X(s)=2+，/公

$s~

(b)*.*x(z)=a+(/?—Q)(r—")一(〃一c)(7一/))一c{t一八)

...X(s)=-[a+(h-a)e~hs-(b-c)e~t2S-ce~tyS]

s

447474

(c)???x(t)=-t一一-(r--)--7(r--)+—(r-T)

T』2T乙2T4

X(s)=+1)

13

2-5求下列各拉氏變換式的原函數(shù)。

⑴XG)=￡

]

⑵X(s)=

S(S+2)3(S+3)

5+1

⑶

s(d+2S+2)

解

⑴x(t)=ef-}

小…、-I1311

(2)原式=---------H---------------------1-----1--------

2(s+2)34(S+2)28(S+2)24S3(S+3)

(3)原式——?—二一+,-----L—

2s1+2S+22s2($+1)2+12(5+1)2+1

/.x(t)=—+—e-/(sin/-cosz)

22

2-6已知在零初始條件下，系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為c(r)=l-2^+e-\試求系統(tǒng)

的傳遞函數(shù)和脈沖響應(yīng)。

單位階躍輸入時，有R(s)=」，依題意

解

5

2135+2]_

c⑸M-----1-----

S+2S4-1(5+1)(5+2)S

c、。⑸3s+2

G⑸=----=------------

R(s)(5+1)(5+2)

A?)=L[G(S)]=Z/^-十^—=4e-2f-e

S+15+2

2-7已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)旭二〒二——,且初始條件為c(O)=—l,c(0)=0,試

R(s)s-+3s+2

求系統(tǒng)在輸入r(r)=1(/)作用下的輸出c(r)。

14

解系統(tǒng)的微分方程為

審2+3華+23=2%)(1)

drdt

考慮初始條件，對式(1)進(jìn)行拉氏變換，得

22

/C(s)+$+3sC(s)+3+2C(s)=—(2)

s

…、.d+3”2I42

C(s)=-------------------=-----------+------

s[s~+3s+2)s5+1s+2

cQ)=l—4e-'+26-2，

2-8求圖2-30所示各有源網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)43。

U,(s)

-C

寸&卜鳥Z鳥

〃，⑷孫⑷R。，〃⑹孫⑷國?！?，⑥

,?(b)?(c)

(a)

圖2-30有源網(wǎng)絡(luò)

解：

(a)根據(jù)運(yùn)算放大器“虛地”概念，可寫出

uc(s)=R?

u"/?.

凡+」-

⑹Uc(s)=C2s_(l+RCs)(l+&CM

U,(S)一R一1KGG/

IG$

+c>

R.~

Cs

&+--p

(0J.-Cs\6

UrG)R、~K(l+&Cs)

15

2-9某位置隨動系統(tǒng)原理框圖如圖2-31所示，已知電位器最大工作角度?！?330",

功率放大器放大系數(shù)為砥。

(1)分別求出電位器的傳遞函數(shù)心，第一級和第二級放大器的放大系數(shù)％,k2；

(2)畫出系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖；

(3)求系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)2.(s)/Q,(s)。

解

(1)電位器的傳遞函數(shù)

E30180

11〃

以33。隈急

根據(jù)運(yùn)算放大器的特性，可分別寫出兩級放大器的放大系數(shù)為

2-黯一

(2)可畫出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖解2-9所示:

電動機(jī)

圖解2-9系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

16

K°K\K2K3用“

Q，(s)=__________s(7>+l)__________

Q,(s)-I?K2K3K.K、K°K4?K3Km

7>+ls(G+l)

_1

二T”『\1+KKK〃K

K°K、K2K3KMK°K,K2K3K.

2-10￡機(jī)俯仰角控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖2-32所示，試求閉環(huán)傳遞函數(shù)Q,（s）/Q,.（s）。

圖2-32飛機(jī)俯仰角控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

解經(jīng)結(jié)構(gòu)圖等效變換可得閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

Q,(s)_____________0.7(s+0.6)_____________

Q,(s)-一+(0.9+0.7K)l+(1.18+0.42K)s+0.68

2-11已知系統(tǒng)方程組如下：

X1⑸=G（s）R（s）-G（s）⑹⑸-G&⑸]C（s）

X2W=G2W[X1（5）-G6（5）X3（5）]

X3（5）=[X2（5）-C（5）G5（5）]G3（5）

C（S）=G4（5）X3（5）

試?yán)L制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，并求閉環(huán)傳遞函數(shù)色應(yīng)。

R（s）

解系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖解2T1所示。

利用結(jié)構(gòu)圖等效化簡或梅遜增益公式可求出系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

C（s）_________________G]G2G3G4___________________

R（s）1+G2G3G6+G3G4G5+G1G2G3G4G7—G〕G2G3G4G&

17

2-12試用結(jié)構(gòu)圖等效化簡求圖2-32所示各系統(tǒng)的傳遞函數(shù)阻

RG）

⑥

圖2-33系統(tǒng)^構(gòu)圖

解（a）

原圖今

18

國5)

今____________GQ2G3G4

1+GXG2+G3G4+G2G3+G]G2G3G4

圖解2-12(a)

C(s)____________GQ2G3G4

所以:

R(s)1+G|G2+G3G4+G2G3+GQ2G3G4

(b)

圖解2-12(b)

C(s)=Gf

所以:

R(s「T-G2H

(c)

原圖今

今