惠州光正實(shí)驗(yàn)學(xué)校2024-2025學(xué)年高二下數(shù)學(xué)期末模擬試題（1）一、單選題1．設(shè)集合，，則圖中陰影部分表示的集合為（

）A． B． C． D．2．復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則（

）A．2 B． C．1 D．3．已知向量，，若，則（

）A． B． C． D．4．已知正四棱臺(tái)的體積為，且，則正四棱臺(tái)的高為（

）A． B． C．2 D．5．若，則（

）A． B． C． D．46．已知的展開(kāi)式中第3項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，將展開(kāi)式中所有的項(xiàng)重新隨機(jī)排列，則有理項(xiàng)互不相鄰的概率為（

）A． B． C． D．7．已知，，，則（

）．A． B． C． D．8．已知橢圓E：的左焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)分別作E的切線、，切點(diǎn)分別為A、B，則面積最大值為（

）A． B． C．2 D．二、多選題9．體育教育既能培養(yǎng)學(xué)生自覺(jué)鍛煉身體的習(xí)慣，又能培養(yǎng)學(xué)生開(kāi)拓進(jìn)取、不畏艱難的堅(jiān)強(qiáng)性格.某中學(xué)高三學(xué)生參加體育測(cè)試，其中物理類班級(jí)女生的成績(jī)與歷史類班級(jí)女生的成績(jī)均服從正態(tài)分布，且，，則(

).A． B．C． D．10．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若則是等差數(shù)列B．若則是等比數(shù)列C．若是等差數(shù)列，則D．若是等比數(shù)列，且則11．設(shè)函數(shù)，則（

）A．當(dāng)在上單調(diào)遞增時(shí)，B．當(dāng)時(shí)，為曲線的切線C．點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心D．當(dāng)時(shí)，的極大值點(diǎn)三、填空題12．已知為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，，則.13．已知為橢圓的右焦點(diǎn)，為原點(diǎn)，為上一點(diǎn)，，若，則的離心率為．14．已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，其中A在第一象限，若，則的周長(zhǎng)為．四、解答題15.已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，等比數(shù)列的公比，且，.(1)求數(shù)列和數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.16．記的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知．(1)若，求A；(2)若a，b，c成等差數(shù)列，，求的面積．17．如圖，在四棱錐中，平面，，，，.(1)證明：平面；(2)點(diǎn)，分別在線段，上，且，當(dāng)平面與平面的夾角為時(shí)，求的長(zhǎng).18．已知和為橢圓C：上兩點(diǎn).(1)求C的離心率；(2)若過(guò)P的直線交C于另一點(diǎn)B，且的面積為3，求點(diǎn)B的坐標(biāo).19.近幾年，人工智能的應(yīng)用越來(lái)越受到人們的重視與應(yīng)用，比如“NotionAI”是一個(gè)基于人工智能的寫作助手，它可以幫助用戶自動(dòng)生成各種文本內(nèi)容，如博客文章、頭腦風(fēng)暴、待辦事項(xiàng)等等，因此它的應(yīng)用迅速融入了我們的生活，特別是教師團(tuán)隊(duì)．某市為了解該市的教師是否喜歡運(yùn)用“NotionAI”，隨機(jī)抽取了該市名教師，統(tǒng)計(jì)了他們一周內(nèi)使用“NotionAI”幫助寫作的次數(shù)，并將一周內(nèi)使用“NotionAI”幫助寫作的次數(shù)超過(guò)次的認(rèn)定為喜歡運(yùn)用“NotionAI”，不超過(guò)次甚至從不使用“NotionAI”的認(rèn)定為不喜歡運(yùn)用“NotionAI”，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表所示．附：，其中．(1)依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為該市的教師是否喜歡運(yùn)用“NotionAI”與年齡有關(guān)？(2)該市的張老師在寫周一、周二的博客文章時(shí)習(xí)慣使用“NotionAI”與“文心一言”來(lái)幫助寫作，且周一等可能的從“NotionAI”與“文心一言”中隨機(jī)選擇一個(gè)，若周一選擇使用“NotionAI”，則周二選擇使用“NotionAI”的概率為；若周一選擇使用“文心一言”，則周二選擇使用“文心一言”的概率為，求張老師周二選擇使用“文心一言”的概率；(3)用樣本頻率估計(jì)概率，現(xiàn)從該市隨機(jī)抽取名教師，記其中喜歡運(yùn)用“NotionAI”的教師人數(shù)為隨機(jī)變量，“NotionAI”的應(yīng)用度為隨機(jī)變量，且，求、的期望和方差．惠州光正實(shí)驗(yàn)學(xué)校2024-2025學(xué)年高二下數(shù)學(xué)期末模擬試題答案（1）一、單選題1．設(shè)集合，，則圖中陰影部分表示的集合為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)?，所以，所以陰影部分表示的集合?2．復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則（

）A．2 B． C．1 D．【答案】D【詳解】因?yàn)?，所以，所?3．已知向量，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由向量，，得，由，得，所以.4．已知正四棱臺(tái)的體積為，且，則正四棱臺(tái)的高為（

）A． B． C．2 D．【答案】A【詳解】已知，，因?yàn)檎睦馀_(tái)的底面為正方形，可得下底面積，上底面積.已知正四棱臺(tái)體積，將，代入正四棱臺(tái)體積公式，可得.解得.即正四棱臺(tái)的高為.5．若，則（

）A． B． C． D．4【答案】C【詳解】.6．已知的展開(kāi)式中第3項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，將展開(kāi)式中所有的項(xiàng)重新隨機(jī)排列，則有理項(xiàng)互不相鄰的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)榈恼归_(kāi)式中第3項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，所以，得，所以的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，()，當(dāng)或時(shí)，為整數(shù)，所以展開(kāi)式9項(xiàng)中，有理項(xiàng)有2項(xiàng)，若將展開(kāi)式中所有的項(xiàng)重新隨機(jī)排列，則所有的排列共有種，其中有理項(xiàng)互不相鄰的排列有種，所以所求的概率為.7．已知，，，則（

）．A． B． C． D．【答案】D【詳解】,即，解得.8．已知橢圓E：的左焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)分別作E的切線、，切點(diǎn)分別為A、B，則面積最大值為（

）A． B． C．2 D．【答案】A【詳解】因?yàn)闄E圓方程為，設(shè)切點(diǎn)，則切線的方程為，.因?yàn)榍芯€過(guò)點(diǎn)，所以，切線的方程變?yōu)椋海驗(yàn)辄c(diǎn)都在直線上，所以直線的方程為.該直線必過(guò)點(diǎn)剛好是橢圓的右焦點(diǎn).聯(lián)立直線方程和橢圓方程為：，化簡(jiǎn)得.根據(jù)韋達(dá)定理.而所以.因?yàn)?，要使得面積取得最大值，則應(yīng)取最小值，根據(jù)不等式，所以當(dāng)時(shí)，三角形的面積最大，最大值為.二、多選題9．體育教育既能培養(yǎng)學(xué)生自覺(jué)鍛煉身體的習(xí)慣，又能培養(yǎng)學(xué)生開(kāi)拓進(jìn)取、不畏艱難的堅(jiān)強(qiáng)性格.某中學(xué)高三學(xué)生參加體育測(cè)試，其中物理類班級(jí)女生的成績(jī)與歷史類班級(jí)女生的成績(jī)均服從正態(tài)分布，且，，則(

).A． B．C． D．【答案】AC【詳解】對(duì)于A：由，得，故A正確；對(duì)于B：由，得，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)?，所以，故C正確；對(duì)于D：由于隨機(jī)變量、均服從正態(tài)分布，且對(duì)稱軸均為直線，，所以在正態(tài)分布曲線上，的峰值較高，正態(tài)分布較“瘦高”，隨機(jī)變量分布比較集中，所以，故D錯(cuò)誤.10．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若則是等差數(shù)列B．若則是等比數(shù)列C．若是等差數(shù)列，則D．若是等比數(shù)列，且則【答案】BC【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，若，當(dāng)時(shí)，，不滿足，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，若，則，由于滿足，所以是等比數(shù)列，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，若是等差數(shù)列，則，故C正確.對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)不等式不等式，故不成立，所以D錯(cuò)誤.11．設(shè)函數(shù)，則（

）A．當(dāng)在上單調(diào)遞增時(shí)，B．當(dāng)時(shí)，為曲線的切線C．點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心D．當(dāng)時(shí)，的極大值點(diǎn)【答案】BCD【詳解】A.若在上單調(diào)遞增時(shí)，則，故A錯(cuò)誤；B.當(dāng)時(shí)，，，得，此時(shí)，那么曲線在處的切線方程為，故B正確；C.，所以曲線的對(duì)稱中心為，故C正確；D.，，得，若，得或，，得，所以函數(shù)的增區(qū)間是和，減區(qū)間是，所以函數(shù)的極大值點(diǎn)，，故D正確.三、填空題12．已知為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，，則.【答案】【詳解】設(shè)公差為，故，整理得，而，13．已知為橢圓的右焦點(diǎn)，為原點(diǎn)，為上一點(diǎn)，，若，則的離心率為．【答案】/【詳解】取橢圓的左焦點(diǎn)，連結(jié)，

在中，由，得，設(shè)，由，得，由為直角三角形，得，則，所以橢圓的離心率是.14．已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，其中A在第一象限，若，則的周長(zhǎng)為．【答案】4【詳解】由雙曲線定義可得，所以，故周長(zhǎng)為四、解答題15.已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，等比數(shù)列的公比，且，.(1)求數(shù)列和數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，由已知，得，即，∴，∴，.（2），，，兩式相減得：所以.16．記的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知．(1)若，求A；(2)若a，b，c成等差數(shù)列，，求的面積．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)椋?，又因?yàn)?，所以，所以，即，所以，且，所以，所以，所以；?）因?yàn)?，所以，所以，所以為鈍角，所以，又因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以，因?yàn)?，所以，所以由正弦定理得，所以，所以，為銳角，所以，所以，左右平方得，所以由正弦定理得，所以，所以，所以，所以的面積為.17．如圖，在四棱錐中，平面，，，，.(1)證明：平面；(2)點(diǎn)，分別在線段，上，且，當(dāng)平面與平面的夾角為時(shí)，求的長(zhǎng).【詳解】（1）證明：在四棱錐中，∵平面，平面，平面，，.∵，∴以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示.則由題可知，，，，，∴，，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即.令，則，，即平面的一個(gè)法向量為.∴，即，∴平面.（2）由題可設(shè)，，∴，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即.令，則，，即平面的一個(gè)法向量為.由（1）知平面的一個(gè)法向量為.∴.∵平面與平面的夾角為，∴，解得，即的長(zhǎng).18.19．已知和為橢圓C：上兩點(diǎn).(1)求C的離心率；(2)若過(guò)P的直線交C于另一點(diǎn)B，且的面積為3，求點(diǎn)B的坐標(biāo).【詳解】（1）將和代入橢圓C可得，解得，∴.（2）因?yàn)?、，所以，由點(diǎn)斜式可知直線，即，設(shè)點(diǎn)B到直線的距離為d，則即,解得.因?yàn)檫^(guò)P的直線交C于另一點(diǎn)B，可設(shè),則，，或，當(dāng)時(shí)，,解得，當(dāng)時(shí)，此時(shí);當(dāng)時(shí)，此時(shí);當(dāng)時(shí)，，解得，所以,，此時(shí);綜上所述或或19.近幾年，人工智能的應(yīng)用越來(lái)越受到人們的重視與應(yīng)用，比如“NotionAI”是一個(gè)基于人工智能的寫作助手，它可以幫助用戶自動(dòng)生成各種文本內(nèi)容，如博客文章、頭腦風(fēng)暴、待辦事項(xiàng)等等，因此它的應(yīng)用迅速融入了我們的生活，特別是教師團(tuán)隊(duì)．某市為了解該市的教師是否喜歡運(yùn)用“NotionAI”，隨機(jī)抽取了該市名教師，統(tǒng)計(jì)了他們一周內(nèi)使用“NotionAI”幫助寫作的次數(shù)，并將一周內(nèi)使用“NotionAI”幫助寫作的次數(shù)超過(guò)次的認(rèn)定為喜歡運(yùn)用“NotionAI”，不超過(guò)次甚至從不使用“NotionAI”的認(rèn)定為不喜歡運(yùn)用“NotionAI”，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表所示．附：，其中．(1)依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為該市的教師是否喜歡運(yùn)用“NotionAI”與年齡有關(guān)？(2)該市的張老師在寫周一、周二的博客文章時(shí)習(xí)慣使用“NotionAI”與“文心一言”來(lái)幫助寫作，且周一等可能的從“NotionAI”與“文心一言”中隨機(jī)選擇一個(gè)，若周一選擇使用“NotionAI”，則周二選擇使用“NotionAI”的概率為；若周一選擇使用“文心一言”，則周二選擇使用“文心一言”的概率為，求張老師周二選擇使用“文心一言”的概率；(3)用樣本頻率估計(jì)概率，現(xiàn)從該市隨機(jī)抽取名教師，記其中喜歡運(yùn)用“NotionAI”的教師人數(shù)為隨機(jī)變量，“NotionAI”的應(yīng)用度為隨機(jī)變量，且，求、的期望和