2025年初中學(xué)業(yè)水平考試

數(shù)學(xué)試題

本試卷共8頁(yè)．滿分120分．考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．

注意事項(xiàng)：

1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置．

2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如

需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，用0.5毫米黑色簽字筆將

答案寫在答題卡上．答案寫在本試卷上無(wú)效．

一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分．每小題只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求．

1.如圖，數(shù)軸上表示2的點(diǎn)是（）

A.MB.NC.PD.Q

【答案】A

【解析】

【分析】本題主要考查了數(shù)軸，弄清數(shù)軸上表示數(shù)的位置是解題的關(guān)鍵．

觀察數(shù)軸得到表示2的點(diǎn)即可．

【詳解】解：如圖，在數(shù)軸上的點(diǎn)M、N、P、Q中，表示2的點(diǎn)是M．

故選：A．

2.下列圖形中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】

【分析】本題主要考查了軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形，如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部

分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形；把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能

夠與原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)就是它的對(duì)稱中心．

根據(jù)中心對(duì)稱圖形的定義和軸對(duì)稱圖形的定義進(jìn)行逐項(xiàng)判斷即可．

【詳解】解：A．是軸對(duì)稱圖形，但不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；

B．是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，符合題意；

C．是軸對(duì)稱圖形，但不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；

D．是軸對(duì)稱圖形，但不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意．

故選：B．

3.我國(guó)“深藍(lán)2號(hào)”大型智能深海養(yǎng)殖網(wǎng)箱的主體是一個(gè)正六棱柱，其示意圖的主視圖是（）

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】

【分析】本題主要考查了簡(jiǎn)單幾何體的三視圖，掌握主視圖是從正面看到的圖形成為解題的關(guān)鍵．

根據(jù)主視圖是從正面看到的圖形即可解答．

【詳解】解：根據(jù)三視圖的概念，可知該正六棱柱的主視圖為

．

故選：C．

4.好客山東以其寬厚仁德的人文情懷、風(fēng)景秀麗的河海山川吸引了來(lái)自世界各地的朋友，據(jù)統(tǒng)計(jì)，山東省

2024年全年接待游客超9億人次．?dāng)?shù)據(jù)“9億”用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.9107B.0.9108C.9108D.0.9109

【答案】C

【解析】

【分析】本題主要考查了科學(xué)記數(shù)法，將數(shù)據(jù)表示成形式為a10n的形式，其中1|a|10，n為整數(shù)，正

確確定a、n的值是解題的關(guān)鍵．

將“9億”寫成a10n其中1|a|10，n為整數(shù)的形式即可．

【詳解】解：“9億”9000000009108．

故選C．

5.已知a0，則下列運(yùn)算正確的是（）

2

A.2a3a5aB.2a34a6

C.a2aaD.a6a2a3

【答案】B

【解析】

【分析】本題主要考查了合并同類項(xiàng)、冪的乘方、同底數(shù)冪除法等知識(shí)點(diǎn)，掌握相關(guān)運(yùn)算法則成為解題的

關(guān)鍵．

根據(jù)合并同類項(xiàng)、冪的乘方、同底數(shù)冪除法法則逐項(xiàng)判斷即可解答．

【詳解】解：A．2a3aa，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

2

B．2a34a6，故該選項(xiàng)正確，符合題意；

C．a(chǎn)2與a不是同類項(xiàng)，無(wú)法合并為a，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

D．a(chǎn)6a2a4，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意．

故選：B．

6.某班學(xué)生到山東省博物館參加研學(xué)活動(dòng)．博物館為同學(xué)們準(zhǔn)備了以鎮(zhèn)館之寶“亞醜鉞”“蛋殼黑陶

杯”“頌簋”為主題的三款文創(chuàng)產(chǎn)品，每位同學(xué)可從中隨機(jī)抽取一個(gè)作為紀(jì)念品．若抽到每一款的可能性

相等，則甲、乙兩位同學(xué)同時(shí)抽到“亞醜鉞”的概率是（）

1112

A.B.C.D.

9633

【答案】A

【解析】

【分析】本題主要考查了運(yùn)用列表法求概率，根據(jù)題意正確列表確定所有等可能結(jié)果數(shù)和符合題意的結(jié)果

數(shù)是解題的關(guān)鍵．

先用列表法確定所有等可能結(jié)果數(shù)和符合題意的結(jié)果數(shù)，然后用概率公式計(jì)算即可．

【詳解】解：設(shè)三款鎮(zhèn)館之寶“亞醜鉞”“蛋殼黑陶杯”“頌簋”分別用A、B、C表示：

根據(jù)題意列表如下：

ABC

AA，AA，BA，C

BB，AB，BB，C

CC，AC，BC，C

則共有9種等可能結(jié)果，其中甲、乙兩位同學(xué)同時(shí)抽到“亞醜鉞”的結(jié)果數(shù)為1，則甲、乙兩位同學(xué)同時(shí)抽

1

到“亞醜鉞”的概率是．

9

故選A．

7.明代數(shù)學(xué)家吳敬的《九章算法比類大全》中有一個(gè)“哪吒夜叉”問(wèn)題，大意是：有3個(gè)頭6只手的哪吒

若干，有1個(gè)頭8只手的夜叉若干，兩方交戰(zhàn)，共有36個(gè)頭，108只手．問(wèn)哪吒、夜叉各有多少？設(shè)哪吒

有x個(gè)，夜叉有y個(gè)，則根據(jù)條件所列方程組為（）

x3y36x3y36

A.B.

8x6y1086x8y108

3xy363xy36

C.D.

8x6y1086x8y108

【答案】D

【解析】

【分析】本題主要考查了一元二次方程組的應(yīng)用，審清題意、找準(zhǔn)等量關(guān)系、列出方程是解題的關(guān)鍵．

設(shè)哪吒有x個(gè)，夜叉有y個(gè)，然后根據(jù)等量關(guān)系“共有36個(gè)頭”和“108只手”列出二元一次方程組即可

解答．

【詳解】解：設(shè)哪吒有x個(gè)，夜叉有y個(gè)，

3xy36

然后根據(jù)題意可得：．

6x8y108

故選D．

8.在中國(guó)古代文化中，玉璧寓意宇宙的廣闊與秩序，也經(jīng)常被視為君子修身齊家的象征．下圖是某玉璧的

平面示意圖，由一個(gè)正方形的內(nèi)切圓和外接圓組成．已知內(nèi)切圓的半徑是2，則圖中陰影部分的面積是（）

A.πB.2πC.3πD.4π

【答案】D

【解析】

【分析】本題主要考查了正方形的內(nèi)切圓、外切圓、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，掌握數(shù)形結(jié)合思想成為解題的關(guān)

鍵．

如圖：連接AB、DC相交于O，由正方形的內(nèi)切圓的半徑是2，ACBC4，OAOB，再運(yùn)用勾股

1

定理可得AB22，則OAOBAB2，最后根據(jù)圓的面積公式求解即可．

2

【詳解】解：如圖：連接AB、DC相交于O，

∵正方形的內(nèi)切圓的半徑是2，

∴ACBC4，OAOB，

1

∴ABAC2BC2424222，OAOBAB2，

2

2

∴圖中陰影部分的面積是22224．

故選D．

9.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A，C兩點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，四邊形OABC是面積為4的正方形．若函數(shù)

k

yx0的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，則滿足y2的x的取值范圍為（）

x

A.0x2B.x2C.0x4D.x4

【答案】A

【解析】

【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形、反比例函數(shù)與不等式等知識(shí)點(diǎn)，掌握數(shù)形結(jié)合思想

是解題的關(guān)鍵．

由題意可設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為b,b，易得b2，即點(diǎn)B的坐標(biāo)為2,2，再結(jié)合反比例函數(shù)圖象即可解答．

【詳解】解：∵四邊形OABC是面積為4的正方形，設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為b,b，

∴b24，解得：b2（已舍棄負(fù)值）．

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為2,2，

k

∵函數(shù)yx0的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，

x

∴滿足y2的x的取值范圍為0x2．

故選A．

10.在水分、養(yǎng)料等條件一定的情況下，某植物的生長(zhǎng)速度y（厘米/天）和光照強(qiáng)度x（勒克斯）之間存在

一定關(guān)系．在低光照強(qiáng)度范圍（200x1000）內(nèi)，y與x近似成一次函數(shù)關(guān)系；在中高光照強(qiáng)度范圍

x1000內(nèi)，y與x近似成二次函數(shù)關(guān)系．其部分圖象如圖所示．根據(jù)圖象，下列結(jié)論正確的是（）

A.當(dāng)x1000時(shí)，y隨x的增大而減小B.當(dāng)x2000時(shí)，y有最大值

C.當(dāng)y0.6時(shí)，x1000D.當(dāng)y0.4時(shí)，x600

【答案】B

【解析】

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)、二次函數(shù)與不等式等知識(shí)點(diǎn)，掌握數(shù)形結(jié)合思想是解題的

關(guān)鍵．

根據(jù)拋物線可直接判斷A選項(xiàng)；根據(jù)拋物線以及相關(guān)數(shù)據(jù)可得拋物線的對(duì)稱軸為x2000，進(jìn)而判定B選

項(xiàng)；根據(jù)函數(shù)圖象可判定C選項(xiàng)；根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性可判定D選項(xiàng)．

【詳解】解：A．當(dāng)x1000時(shí)，y隨x的增大先增大、后減小，即A選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

10003000

B．由函數(shù)圖象可知：拋物線的對(duì)稱軸為x2000，即當(dāng)x2000時(shí)，y有最大值，則B

2

選項(xiàng)正確，符合題意；

C．由函數(shù)圖象可知：當(dāng)y0.6時(shí)，x3000，即C選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

D．當(dāng)y0.4時(shí)，由圖象知，x對(duì)應(yīng)的值有兩個(gè)，即D選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意．

故選B．

二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分．

1

11.寫出使分式有意義的x的一個(gè)值______．

2x3

【答案】1（不唯一）

【解析】

【分析】本題主要考查了分式有意義的條件，掌握分式有意義的條件為分母不等于零是解題的關(guān)鍵．

先根據(jù)分式有意義的確定x的取值范圍，然后確定x的可能取的值即可．

1

【詳解】解：∵分式有意義，

2x3

3

∴2x30，解得：x．

2

∴x的取值可以為x1．

故答案為：1（不唯一）．

12.在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)P3,4向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P的坐標(biāo)是______．

【答案】3,2

【解析】

【分析】本題主要考查了點(diǎn)的平移，掌握平移規(guī)律“左減右加，上加下減”是解題的關(guān)鍵．

直接運(yùn)用平移規(guī)律“上加下減”即可解答．

【詳解】解：將點(diǎn)P3,4向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P的坐標(biāo)是3,42，即3,2，

故答案為：3,2．

13.若關(guān)于x的一元二次方程x24xm0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______．

【答案】m4

【解析】

【分析】本題考查的是一元二次方程根的判別式，注意記憶判別式大于0時(shí)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，判別

式等于0時(shí)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，判別式小于0時(shí)方程無(wú)實(shí)數(shù)根．根據(jù)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，直接得到

判別式0，即可求解本題．

【詳解】解：∵方程x24xm0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

∴4241m0，

解得：m4；

故答案為：m4．

1

14.取直線yx上一點(diǎn)Ax,y，①過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線，交y于點(diǎn)Ax,y；②過(guò)點(diǎn)A2作y軸

111x222

的垂線，交yx于點(diǎn)A3x3,y3；如此循環(huán)進(jìn)行下去．按照上面的操作，若點(diǎn)A1的坐標(biāo)為1,1，則點(diǎn)

A2025的坐標(biāo)是______．

【答案】1,1

【解析】

【分析】本題考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)規(guī)律探究；根據(jù)題意可以寫出點(diǎn)A2、A3、A4、A5的坐標(biāo)，從

而可以發(fā)現(xiàn)各點(diǎn)的變化規(guī)律，從而可以寫出點(diǎn)A2025的坐標(biāo)．

【詳解】解：∵點(diǎn)A1的坐標(biāo)為1,1，

∴點(diǎn)A2的橫坐標(biāo)為1，

∴點(diǎn)A2的坐標(biāo)為1,1，

∴點(diǎn)A3的縱坐標(biāo)為1，

∴點(diǎn)A3的坐標(biāo)為1,1，

同理點(diǎn)A4的橫坐標(biāo)為1，

∴點(diǎn)A4的坐標(biāo)為1,1，

點(diǎn)A5的坐標(biāo)為1,1，

∴四個(gè)點(diǎn)一個(gè)循環(huán)，

∵20254506余1，

∴點(diǎn)A2025的坐標(biāo)與點(diǎn)A1相同，是1,1，

故答案為：1,1．

【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、規(guī)律型，勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用

一次函數(shù)的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合的思想解答．

15.如圖，在Rt△ABC中，ABC90，AB6，BC8．點(diǎn)P為邊AC上異于A的一點(diǎn)，以PA，PB

為鄰邊作PAQB，則線段PQ的最小值是______．

24

【答案】

5

【解析】

【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、垂線段最短等知識(shí)點(diǎn)，掌握平行四邊形對(duì)角線相互平分是解

題的關(guān)鍵．

由勾股定理可得AC10，設(shè)AB與PQ交于點(diǎn)O，過(guò)O作OP1AC于點(diǎn)P1，由四邊形作PAQB是平行

11

四邊形得OAOBAB3、OPOQPQ，根據(jù)垂線段最短可得當(dāng)OPAC時(shí)，即P與P重

2211

合時(shí)，OP1最?。辉龠\(yùn)用三角函數(shù)求得OP1，進(jìn)而求得PQ即可解答．

【詳解】解：∵在Rt△ABC中，ABC90，AB6，BC8，

∴ACAB2BC2628210，

如圖，設(shè)AB與PQ交于點(diǎn)O，過(guò)O作OP1AC于點(diǎn)P1，

∴AP1O90，

∵四邊形PAQB是平行四邊形，

11

∴OAOBAB3、OPOQPQ

22

∴當(dāng)線段PQ長(zhǎng)最小，則線段OP的長(zhǎng)最小，

由垂線段最短可得：OP1AC時(shí)，即P與P1重合時(shí)，OP1最??；

OPBC

∵sinBAP1，

AOAC

OP812

∴1，解得：OP．

31015

24

∴線段PQ長(zhǎng)最小為2OP．

15

24

故答案為：．

5

三、解答題：本題共8小題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．

10

16.（1）計(jì)算：9π；

3

21

（2）先化簡(jiǎn)，再求值：x11，其中x2．

x1

【答案】（1）2；（2）x2x2，4

【解析】

【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，分式化簡(jiǎn)求值．

（1）根據(jù)零指數(shù)，算術(shù)平方根的性質(zhì)，進(jìn)行計(jì)算即可求解；

（2）先根據(jù)分式的加減計(jì)算括號(hào)內(nèi)的，然后進(jìn)行乘法進(jìn)行化簡(jiǎn)，最后將字母的值代入求解．

10

【詳解】解：（1）9π

3

1

31

3

11

2；

21

（2）x11

x1

1x1

x1x1

x1x1

x2

x1x1

x1

x2x1

x2x2；

當(dāng)x2時(shí)，原式22224．

17.在Rt△ABC中，ABC90，ACB30，BAC的平分線AD交BC于點(diǎn)D．如圖1．

（1）求ADC的度數(shù)；

1

（2）已知AB3，分別以C，D為圓心，以大于CD的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)M，N，作直線

2

MN交BC于點(diǎn)E，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．如圖2，求DF的長(zhǎng)．

【答案】（1）ADC120；

（2）DF23．

【解析】

【分析】本題考查了三角形的外角性質(zhì)，垂直平分線的作法和性質(zhì)，解直角三角形，全等三角形的判定和

性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．

1

（1）由角平分線的定義求得DABBAC30，再利用三角形的外角性質(zhì)求解即可；

2

1AB

（2）由作圖知MN是線段CD的垂直平分線，求得DECECD，求得AD23，

2cos30

11

BDADCDDE，再證明△ADB≌△FDE，據(jù)此求解即可．

22

【小問(wèn)1詳解】

解：∵ABC90，ACB30，

∴BAC60，

∵AD是BAC的平分線，

1

∴DACDABBAC30，

2

∴ADCDABABC120；

【小問(wèn)2詳解】

解：由作圖知MN是線段CD的垂直平分線，

1

∴DECECD，

2

∵DACC30，

∴ADCD，

∵ABC90，DAB30，

AB11

∴AD23，BDADCDDE，

cos3022

∵ADBFDE，ABDFED90，

∴△ADB≌△FDE，

∴DFAD23．

18.山東省在能源綠色低碳轉(zhuǎn)型過(guò)程中，探索出一條“以儲(chǔ)調(diào)綠”的能源轉(zhuǎn)型路徑．某地結(jié)合實(shí)際情況，建

立了一座圓柱形蓄水池，通過(guò)蓄水發(fā)電實(shí)現(xiàn)低峰蓄能、高峰釋能，助力能源轉(zhuǎn)型．

已知本次注水前蓄水池的水位高度為5米，注水時(shí)水位高度每小時(shí)上升6米．

（1）請(qǐng)寫出本次注水過(guò)程中，蓄水池的水位高度y（米）與注水時(shí)間x（小時(shí)）之間的關(guān)系式；

（2）已知蓄水池的底面積為0.4萬(wàn)平方米，每立方米的水可供發(fā)電0.3千瓦時(shí)，求注水多長(zhǎng)時(shí)間可供發(fā)電4.2

萬(wàn)千瓦時(shí)？

【答案】（1）y6x5

（2）注水5小時(shí)可供發(fā)電4.2萬(wàn)千瓦時(shí)．

【解析】

【分析】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用、一元一次方程的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，正確列出函數(shù)解析式和方程是解題的

關(guān)鍵．

（1）根據(jù)蓄水池的水位高度等于注水時(shí)水位每小時(shí)升高的高度乘以注水時(shí)間與本次注水前蓄水池的水位高

度的和，據(jù)此列出函數(shù)關(guān)系式即可；

（2）根據(jù)y與x的函數(shù)關(guān)系式以及已知條件列關(guān)于x的一元一次方程并求解即可．

【小問(wèn)1詳解】

解：由題意可得：蓄水池的水位高度y（米）與注水時(shí)間x（小時(shí)）之間的關(guān)系式y(tǒng)6x5．

【小問(wèn)2詳解】

解：根據(jù)題意，得0.46x50.34.2，

解得x5．

答：注水5小時(shí)可供發(fā)電4.2萬(wàn)千瓦時(shí)．

19.在2025年全國(guó)科技活動(dòng)周期間，某校科技小組對(duì)甲、乙兩個(gè)水產(chǎn)養(yǎng)殖基地水體的pH值進(jìn)行了檢測(cè)，

并對(duì)一天（24小時(shí)）內(nèi)每小時(shí)的pH值進(jìn)行了整理、描述及分析．

【收集數(shù)據(jù)】

甲基地水體的pH值數(shù)據(jù)：

7.27，7.28，7.34，7.35，7.36，7.51，7.53，7.67，7.67，7.67，7.67，7.81，7.81，7.88，7.91，8.01，8.02，

8.03，8.07，8.16，8.17，8.23，8.26，8.26．

乙基地水體的pH值數(shù)據(jù)：

7.11，7.12，7.14，7.25，7.36，7.52，7.63，7.67，7.69，7.75，7.77，7.77，7.81，7.84，7.89，8.01，8.12，

8.13，8.14，8.16，8.17，8.18，8.20，8.21．

【整理數(shù)據(jù)】

7.00x7.307.30x7.607.60x7.907.90x8.208.20x8.50

甲25773

乙429a2

【描述數(shù)據(jù)】

【分析數(shù)據(jù)】

平均數(shù)眾數(shù)中位數(shù)方差

甲7.79b7.810.10

乙7.787.77c0.13

根據(jù)以上信息解決下列問(wèn)題：

（1）補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；

（2）填空：b______，c______；

（3）請(qǐng)判斷甲、乙哪個(gè)基地水體的pH值更穩(wěn)定，并說(shuō)明理由；

（4）已知兩基地對(duì)水體pH值的日變化量（pH值最大值與最小值的差）要求為0.5~1，分別判斷并說(shuō)明該

日兩基地的pH值是否符合要求．

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）7.67；7.79

（3）甲基地水體的pH值更穩(wěn)定，理由見(jiàn)詳解；

（4）甲符合要求，乙不符合要求．

【解析】

【分析】本題考查了直方圖與統(tǒng)計(jì)表，中位數(shù)及眾數(shù)，方差等知識(shí)點(diǎn)．

（1）先求得a的值，即可補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；

（2）根據(jù)中位數(shù)及眾數(shù)的定義求解即可；

（3）根據(jù)方差的意義求解即可；

（4）計(jì)算pH值最大值與最小值的差即可求解．

【小問(wèn)1詳解】

解：根據(jù)題意得a2442927，

補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖如圖；

；

【小問(wèn)2詳解】

解：甲基地水體的pH值數(shù)據(jù)中，7.67出現(xiàn)了4次，出現(xiàn)次數(shù)最多，

則b7.67；

乙基地水體的pH值數(shù)據(jù)中，由小到大排列中間兩個(gè)數(shù)為7.77和7.81：

7.777.81

則c7.79；

2

故答案為：7.67；7.79；

【小問(wèn)3詳解】

解：∵甲的方差為0.10，乙的方差為0.13，0.100.13，

∴甲基地水體的pH值更穩(wěn)定；

【小問(wèn)4詳解】

解：甲基地對(duì)水體pH值的日變化量：8.267.270.99，

乙基地對(duì)水體pH值的日變化量：8.217.111.1，

∴該日兩基地的pH值甲符合要求，乙不符合要求．

20.如圖，在△OAB中，點(diǎn)A在O上，邊OB交O于點(diǎn)C，ADOB于點(diǎn)D．AC是BAD的平

分線．

（1）求證：AB為O的切線；

（2）若O的半徑為2，AOB45，求CB的長(zhǎng)．

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）CB222．

【解析】

【分析】本題考查了切線的判定，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等．

（1）利用等邊對(duì)等角求得OACOCA，由角平分線的定義求得DACBAC，可證明ABOA，

即可證明AB為O的切線；

（2）先證明△OAB等腰三角形，求得OB2OA22，據(jù)此求解即可．

【小問(wèn)1詳解】

證明：∵ADOB，

∴DACACD90，

∵OAOC，

∴OACOCA，

∵AC是BAD的平分線，

∴DACBAC，

∴BACOACDACOCA90，

即ABOA且OA為半徑，

∴AB為O的切線；

【小問(wèn)2詳解】

解：∵AOB45，又ABOA，

∴△OAB等腰直角三角形，

∵O的半徑為2，

∴OA2OC，

∴OB2OA22，

∴CBOBOC222．

21.【問(wèn)題情境】

2025年5月29日“天問(wèn)二號(hào)”成功發(fā)射，開(kāi)啟了小行星伴飛取樣探測(cè)的新篇章．某校航天興趣小組受到鼓

舞，制作了一個(gè)航天器模型，其中某個(gè)部件使用3D打印完成，如圖1．

【問(wèn)題提出】

部件主視圖如圖2所示，由于1的尺寸不易直接測(cè)量，需要設(shè)計(jì)一個(gè)可以得到l的長(zhǎng)度的方案，以檢測(cè)該部

件中l(wèi)的長(zhǎng)度是否符合要求．

【方案設(shè)計(jì)】

興趣小組通過(guò)查閱文獻(xiàn)，提出了鋼柱測(cè)量法．

測(cè)量工具：游標(biāo)卡尺、若干個(gè)底面圓半徑相同的鋼柱（圓柱）．

操作步驟：如圖3，將兩個(gè)鋼柱平行放在部件合適位置，使得鋼柱與部件緊密貼合．示意圖如圖4，O分

別與AC，AD相切于點(diǎn)B，D．用游標(biāo)卡尺測(cè)量出CC的長(zhǎng)度y．

【問(wèn)題解決】

已知CADCAD60，l的長(zhǎng)度要求是1.9cm2.1cm．

（1）求BAO的度數(shù)；

（2）已知鋼柱的底面圓半徑為1cm，現(xiàn)測(cè)得y7.52cm．根據(jù)以上信息，通過(guò)計(jì)算說(shuō)明該部件l的長(zhǎng)度是

否符合要求．（參考數(shù)據(jù)：31.73）

【結(jié)果反思】

（3）本次實(shí)踐過(guò)程借助圓柱將不可測(cè)量的長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化為可測(cè)量的長(zhǎng)度，能將圓柱換成其他幾何體嗎？如果能，

寫出一個(gè)；如果不能，說(shuō)明理由．

【答案】（1）OAB30；（2）該部件l的長(zhǎng)度符合要求；（3）見(jiàn)解析

【解析】

【分析】本題考查了切線長(zhǎng)定理，解直角三角形的應(yīng)用．

（1）根據(jù)切線長(zhǎng)定理求解即可；

OB

（2）解直角三角形求得AB3，推出ACBCAB13，據(jù)此求解即可；

tan30

（3）能，將圓柱換成正方體．

【詳解】解：（1）∵O分別與AC，AD相切于點(diǎn)B，D，

1

∴ABAD，OABOADCAD30；

2

（2）∵鋼柱的底面圓半徑為1cm，

∴BCOB1，

∵OAB30，OBA90，

OB

∴AB3，

tan30

∴ACBCAB13，

同理AC13，

∴l(xiāng)7.522132.06，

∵1.92.062.1，

∴該部件l的長(zhǎng)度符合要求；

（3）能，將圓柱換成正方體．如圖，

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，用游標(biāo)卡尺測(cè)量出CF的長(zhǎng)度y．

∴BCBDa，

∵CAD60，

BD3a

∴AB，

tan603

3a

∴ACa，

3

233a

∴3a．

ly2ay

33

22.已知二次函數(shù)yxxaxaxbxxb，其中a，b為兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)．

（1）當(dāng)a0、b3時(shí)，求此函數(shù)圖象的對(duì)稱軸；

（2）當(dāng)b2a時(shí)，若該函數(shù)在0x1時(shí)，y隨x的增大而減?。辉?x4時(shí)，y隨x的增大而增大，

求a的取值范圍；

ab

（3）若點(diǎn)Aa,y1，B,y2，Cb,y3均在該函數(shù)的圖象上，是否存在常數(shù)m，使得

2

y1my2y30？若存在，求出m的值；若不存在，說(shuō)明理由

【答案】（1）x1

（2）1a3

（3）m4

【解析】

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、因式分解的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)成為解題

的關(guān)鍵．

（1）將a0、b3代入yxxaxaxbxxb化簡(jiǎn)，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可解

答；

（2）b2a代入yxxaxaxbxxb化簡(jiǎn)可得y3x26ax2a2，然后根據(jù)二次函

數(shù)的性質(zhì)即可解答；

（3）先求出y1,y2,y3，然后代入y1my2y30進(jìn)行求解即可．

【小問(wèn)1詳解】

解：當(dāng)a0、b3時(shí)，二次函數(shù)yxxaxaxbxxb可化為：

yxx0x0x3xx33x26x，

b6

∴此函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為x1．

2a23

【小問(wèn)2詳解】

解：當(dāng)b2a時(shí)，二次函數(shù)yxxaxaxbxxb可化為：

yxxaxax2axx2a3x26ax2a2，

b6a

∴拋物線對(duì)稱軸為xa，

2a23

∵30，

∴拋物線開(kāi)口方向向上，

∵在0x1時(shí)，y隨x的增大而減??；

∴a1，

∵在3x4時(shí)，y隨x的增大而增大；

∴a3，

∴1a3．

【小問(wèn)3詳解】

ab

解：∵若點(diǎn)Aa,y1，B,y2，Cb,y3均在該函數(shù)的圖象上，

2

2

∴y1aaaaaabaabaab，

yxxaxaxbxxb3x22abxab，

2

∴abab

y232abab

22

2

ab2

3abab

4

2

ab

ab

4

1ab1

a2b2ab

424

1ab1

a2b2

424

1

a22abb2

4

12

ab；

4

2

y3bbababbbbbbab；

∵y1my2y30，

1221

∴a2abmabb2ab0，整理得：ab1m0

44

∵a，b為兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，

∴ab0，

1

∴1m0，解得：m4．

4

23.【圖形感知】

如圖1，在四邊形ABCD中，已知BADABCBDC90，AD2，AB4．

（1）求CD的長(zhǎng)；

【探究發(fā)現(xiàn)】

老師指導(dǎo)同學(xué)們對(duì)圖1所示的紙片進(jìn)行了折疊探究．

在線段CD上取一點(diǎn)E，連接BE．將四邊形ABED沿BE翻折得到四邊形ABED，其中A，D￠分別是

A，D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)．

（2）其中甲、乙兩位同學(xué)的折疊情況如下：

①甲：點(diǎn)D￠恰好落在邊BC上，延長(zhǎng)AD交CD于點(diǎn)F，如圖2．判斷四邊形DBAF的形狀，并說(shuō)明理

由；

②乙：點(diǎn)A恰好落在邊BC上，如圖3．求DE的長(zhǎng)；

（3）如圖4，連接DD交BE于點(diǎn)