/第16講相似圖形與平行線段成比例模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測(cè)1．理解并掌握相似圖形的概念；2．會(huì)運(yùn)用平行線成比例線段；1.回顧一下全等圖形2.右圖是全等圖形嗎？因此，的圖形叫做相似形。3.觀察右圖兩個(gè)三角形，它們的邊角之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？再觀察右圖的兩個(gè)正方形，它們的邊角之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？因此，像這樣，的兩個(gè)多邊形，它們的形狀相同，稱為相似多邊形。比如：▲ABC與▲A′B′C′相似，我們記作為“”。相似多邊形的對(duì)應(yīng)角對(duì)應(yīng)邊，相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊的比叫做。4.如右圖，三條平行線被兩條直線所截，試著度量BC、CD和AD、DF的長(zhǎng)度，并計(jì)算它們的比值，有什么發(fā)現(xiàn)？同樣地，,.通過實(shí)踐，我們得到一個(gè)基本事實(shí)，幾何語(yǔ)言：考點(diǎn)一：相似圖形例1．下列網(wǎng)格中各個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，陰影部分圖形分別記作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的為（

）

A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁【變式1-1】下列圖標(biāo)中，不是相似圖形的是（

）A． B． C． D．【變式1-2】在數(shù)學(xué)上，我們把具有相同形狀的圖形稱為相似形，下列各組圖形中，是相似形的是，不是相似形的是．【變式1-3】如圖1，將A4紙2次折疊，發(fā)現(xiàn)第一次的折痕與A4紙較長(zhǎng)的邊重合，如圖2，將1張A4紙對(duì)折，使其較長(zhǎng)的邊一分為二，沿折痕剪開，可得2張A5紙．（1）A4紙較長(zhǎng)邊與較短邊的比為；（2）A4紙與A5紙是否為相似圖形？請(qǐng)說明理由．考點(diǎn)二：相似多邊形例2．下列說法正確的是（

）A．所有的矩形都是相似形 B．對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)多邊形相似C．對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)多邊形相似 D．有一個(gè)角等于的兩個(gè)等腰三角形相似【變式2-1】如圖，兩個(gè)菱形，兩個(gè)等邊三角形，兩個(gè)矩形，兩個(gè)等腰直角三角形各成一組．每組中的一個(gè)圖形在另一個(gè)圖形的內(nèi)部，對(duì)應(yīng)邊平行，且對(duì)應(yīng)邊之間的距離都相等，則兩個(gè)圖形對(duì)應(yīng)邊不成比例的一組是（）A．

B．

C．

D．

【變式2-2】下列命題中，正確命題的個(gè)數(shù)為．①所有的正方形都相似②所有的菱形都相似③邊長(zhǎng)相等的兩個(gè)菱形都相似④對(duì)角線相等的兩個(gè)矩形都相似【變式2-3】形狀相同（即長(zhǎng)與寬之比相等）的矩形是相似矩形，已知一個(gè)矩形長(zhǎng)為，寬為1．

一分為二（1）如圖1，將矩形分割為一個(gè)正方形（陰影部分）和小矩形，小矩形恰與原矩形相似，則的值為______．（2）如圖2，將矩形分割為兩個(gè)矩形，使每個(gè)小矩形均與原矩形相似，則的值為______．一分為多（3）有同學(xué)說“無(wú)論為何值，該矩形總可以分割為幾個(gè)小矩形，這幾個(gè)小矩形都與原矩形相似”，你同意這個(gè)說法嗎？若同意，在圖3中畫出一種可行的分割方案；若不同意，舉出反例．一分為三（4）將矩形分割為三個(gè)矩形，使每個(gè)小矩形均與原矩形相似．畫出所有可能的分割方案的示意圖，并在每個(gè)示意圖下方直接寫出對(duì)應(yīng)的的值．考點(diǎn)三：相似多邊形的性質(zhì)例3.如圖，正方形的四個(gè)頂點(diǎn)分別在正方形的四條邊上，且，則正方形與正方形的面積之比為（

）

A． B． C． D．【變式3-1】若兩個(gè)相似多邊形的面積之比為，則它們的相似比為（

）A． B． C． D．【變式3-2】如圖是兩個(gè)形狀相同的舉重圖案，則x的值是．【變式3-3】如圖，有一種復(fù)印紙，整張稱為紙，對(duì)折一分為二裁開成為紙，一分為二成為紙…，它們都是相似的矩形．(1)求的值．(2)若紙的周長(zhǎng)為286厘米，求紙的周長(zhǎng)．考點(diǎn)四：平行判斷成比例線段例4．如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)E是邊上一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【變式4-1】如圖，已知直線，下列結(jié)論中不成立的是（

）A． B． C． D．【變式4-2】在中，，平分交于點(diǎn)交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，有以下結(jié)論：①四邊形一定是平行四邊形；②連接所得四邊形一定是平行四邊形；③保持的大小不變，改變的長(zhǎng)度可使成立；④保持的長(zhǎng)度不變，改變的大小可使成立，其中所有的正確結(jié)論是：．（填序號(hào)即可）【變式4-3】中，D為中點(diǎn)，E為中點(diǎn)，直線交于F，求證：．考點(diǎn)五：由平行線段成比例求線段的長(zhǎng)或比值例5．如圖，，若，，，則的長(zhǎng)是（

）A．3 B．5 C．4 D．【變式5-1】如圖，在中，，點(diǎn)M在邊上，線段沿著過M的直線折疊，點(diǎn)C恰巧落在邊上的點(diǎn)N處．如果，，那么a與b滿足的關(guān)系式是（

）A． B． C． D．【變式5-2】如圖，已知在中，點(diǎn)D、E、F分別是邊上的點(diǎn)，，且，那么等于．【變式5-3】如圖，，于點(diǎn)D，，交于點(diǎn)P，．若，求的長(zhǎng)．1．下列圖形中，不是相似圖形的一組是（

）A．

B．

C．

D．

2．如圖，已知，那么下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．3．如圖，中，是中點(diǎn)，是的平分線，交于．若，，則的長(zhǎng)為（

）A．11 B．12 C．13 D．144．如圖，有兩個(gè)形狀相同、大小不等的“中國(guó)夢(mèng)”圖片，依據(jù)圖中標(biāo)注的數(shù)據(jù)，可得x的值為（

）A．15 B．12 C．10 D．85．如圖所示，矩形紙片被分割成六個(gè)小矩形，其中矩形矩形，若已知的面積，則一定能求出（

）A．矩形的面積 B．矩形的面積 C．矩形的面積 D．矩形的面積6．如圖，已知點(diǎn)在y軸上，點(diǎn)B為x軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，取中點(diǎn)D，連接，移動(dòng)點(diǎn)B，若，則此時(shí)點(diǎn)B橫坐標(biāo)為（

）

A．3 B．5 C．6 D．87．如圖，直角三角形ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，∠BAC＝90°，AD是BC邊上的高，BE是角平分線．下列結(jié)論中：①AE＝3；②AF＝3；③DF＝2；④DE//AB．正確結(jié)論是（

）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④8．如圖，中，，D為中點(diǎn)，在的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)E，使得，與交于點(diǎn)F，則的值為（

）

A． B． C． D．9．若兩個(gè)相似多邊形的面積之比為，則它們的周長(zhǎng)之比為10．如下圖，直線，直線，與這三條平行線分別交于點(diǎn)，，和點(diǎn)，，．若，，則的長(zhǎng)為．11．如圖，正方形和正方形的邊長(zhǎng)分別為3和1，點(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)在邊上，連接，取的中點(diǎn)，連接，則的長(zhǎng)為．12．如圖，四邊形是一張矩形紙片．將其按如圖所示的方式折疊：使邊落在邊上，點(diǎn)A落在點(diǎn)處，折痕為；使邊落在邊上，點(diǎn)落在點(diǎn)處，折痕為．若矩形與原矩形相似，，則的長(zhǎng)為．13．如圖，矩形被分割為3個(gè)面積相等的小矩形，已知矩形與原矩形相似，則原矩形的較長(zhǎng)邊與較短邊的比值是．14．如圖，矩形中，，，把沿著翻折得到，連接交于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，則的長(zhǎng)為．15．如圖，四邊形四邊形．若，，，，，，求線段的長(zhǎng)和的大?。?6．如圖是的正方形網(wǎng)格，已知格點(diǎn)（頂點(diǎn)在小正方形頂點(diǎn)處的三角形稱為格點(diǎn)三角形），請(qǐng)按下列要求完成作圖（要求保留作圖痕跡，不要求寫作法和結(jié)論）(1)將繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到，請(qǐng)?jiān)趫D1中作出（點(diǎn)與點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)）．(2)在圖2中，僅用無(wú)刻度直尺在線段找一點(diǎn)，使．17．向陽(yáng)中學(xué)有一塊正方形的空地，邊長(zhǎng)為，學(xué)校計(jì)劃將空地分為五部分，并給兩位同學(xué)每人一張邊長(zhǎng)為的正方形硬紙板模型用來(lái)設(shè)計(jì)，下面是小明和小芳的設(shè)計(jì)方案．小明：如圖，它是由四個(gè)矩形和中間一個(gè)小正方形組成的，在該圖案中矩形①與矩形②為相似矩形，中間小正方形的邊長(zhǎng)為．小芳：如圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形以及一個(gè)小正方形組成的，其中小正方形與大正方形的相似比為．

(1)求小明的方案中矩形①的面積．(2)求小芳設(shè)計(jì)的方案中，每個(gè)小直角三角形部分在學(xué)?？盏氐膶?shí)際周長(zhǎng)是多少米？18．閱讀材料：角平分線分線段成比例定理：如圖1，在中，平分，則．下面是這個(gè)定理的部分證明過程：證明：如圖2，過點(diǎn)C作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．……解決問題：(1)請(qǐng)按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余過程；(2)如圖3，在中，是角平分線，，，，求的長(zhǎng)．

第16講相似圖形與平行線段成比例模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測(cè)1．理解并掌握相似圖形的概念；2．會(huì)運(yùn)用平行線成比例線段；1.回顧一下全等圖形完全重合的兩個(gè)圖形是全等圖形。2.右圖是全等圖形嗎？不是，右圖形狀相同，大小不相同。因此，形狀相同的圖形叫做相似形。3.觀察右圖兩個(gè)三角形，它們的邊角之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？這兩個(gè)三角形各角相等，各邊成比例；再觀察右圖的兩個(gè)正方形，它們的邊角之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？這兩個(gè)正方形各角相等，各邊成比例；因此，像這樣，各角分別相等，各邊成比例的兩個(gè)多邊形，它們的形狀相同，稱為相似多邊形。比如：▲ABC與▲A′B′C′相似，我們記作為“”。相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等對(duì)應(yīng)邊成比例，相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比。4.如右圖，三條平行線被兩條直線所截，試著度量BC、CD和AD、DF的長(zhǎng)度，并計(jì)算它們的比值，有什么發(fā)現(xiàn)？同樣地，,.通過實(shí)踐，我們得到一個(gè)基本事實(shí)，兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。幾何語(yǔ)言：∴考點(diǎn)一：相似圖形例1．下列網(wǎng)格中各個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，陰影部分圖形分別記作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的為（

）

A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁【答案】D【分析】本題考查相似圖形，根據(jù)對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊對(duì)應(yīng)成比例的圖形是相似圖形結(jié)合正方形的性質(zhì)，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：由圖可知，只有選項(xiàng)甲和丁中的對(duì)應(yīng)角相等，且對(duì)應(yīng)邊對(duì)應(yīng)成比例，它們的形狀相同，大小不同，是相似形．故選D．【變式1-1】下列圖標(biāo)中，不是相似圖形的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查相似圖形，解題的關(guān)鍵是理解相似圖形的定義．根據(jù)相似圖形的定義判斷即可．【詳解】解：選項(xiàng)A，B，D是相似圖形，選項(xiàng)C不是相似圖形．故選：C．【變式1-2】在數(shù)學(xué)上，我們把具有相同形狀的圖形稱為相似形，下列各組圖形中，是相似形的是，不是相似形的是．【答案】（3），（5），（6）（1），（2），（4）【分析】根據(jù)形狀相同的圖形是相似圖形逐一判斷即可．【詳解】解：根據(jù)相似圖形的定義可知：（3），（5），（6）是相似圖形，（1），（2），（4）不是相似圖形．故答案為：（3），（5），（6）；（1），（2），（4）【點(diǎn)睛】本題主要考查相似圖形的識(shí)別，掌握相似圖形的定義是關(guān)鍵．【變式1-3】如圖1，將A4紙2次折疊，發(fā)現(xiàn)第一次的折痕與A4紙較長(zhǎng)的邊重合，如圖2，將1張A4紙對(duì)折，使其較長(zhǎng)的邊一分為二，沿折痕剪開，可得2張A5紙．（1）A4紙較長(zhǎng)邊與較短邊的比為；（2）A4紙與A5紙是否為相似圖形？請(qǐng)說明理由．【答案】（1）；（2）相似，理由見解析【分析】（1）根據(jù)邊的關(guān)系得出比例等式解答即可；（2）根據(jù)相似圖形的判定解答即可．【詳解】解：（1）如圖1，設(shè)AB＝x，由上面兩個(gè)圖，由翻折的性質(zhì)我們知道，∠ACF＝∠HDF，∠ACB＝∠HDB，∠ECF=45°，∴∠BCF＝∠BDF=90°，又∵∠ACE＝∠ACB+∠ECB=∠BCF=∠BCE+∠ECF，∴∠ACB=∠ECF=45°，∴BC=x，∴BD＝BC＝x，AD＝AB+BD＝（+1）x，∴EF＝CE＝AD＝（+1）x，∵DE＝AC＝AB＝x，∴DF＝DE+EF＝（+2）x，∴，故答案為：．（2）由（1）知：A5紙長(zhǎng)邊為A4紙短邊，長(zhǎng)為（+1）x，A5紙短邊長(zhǎng)為（）x，∴對(duì)A5紙，長(zhǎng)邊：短邊，∴A4紙與A5紙相似．【點(diǎn)睛】此題考查了相似圖形，關(guān)鍵是根據(jù)相似圖形判斷和性質(zhì)解答．考點(diǎn)二：相似多邊形例2．下列說法正確的是（

）A．所有的矩形都是相似形 B．對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)多邊形相似C．對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)多邊形相似 D．有一個(gè)角等于的兩個(gè)等腰三角形相似【答案】D【分析】此題主要考查了相似圖形的判定，對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的多邊形相似，缺一不可．利用相似圖形的判定方法分別判斷得出即可．【詳解】解：A、對(duì)應(yīng)角都相等，但對(duì)應(yīng)邊的比值不一定相等，故此選項(xiàng)不符合題意；B、對(duì)應(yīng)邊成比例，但對(duì)應(yīng)角不一定相等，故此選項(xiàng)不符合題意；C、對(duì)應(yīng)角相等，但對(duì)應(yīng)邊的比值不一定相等，故此選項(xiàng)不符合題意；D、有一個(gè)角等于的兩個(gè)等腰三角形相似，此角度一定是頂角，即可得出兩三角形相似，故此選項(xiàng)符合題意；故選：D．【變式2-1】如圖，兩個(gè)菱形，兩個(gè)等邊三角形，兩個(gè)矩形，兩個(gè)等腰直角三角形各成一組．每組中的一個(gè)圖形在另一個(gè)圖形的內(nèi)部，對(duì)應(yīng)邊平行，且對(duì)應(yīng)邊之間的距離都相等，則兩個(gè)圖形對(duì)應(yīng)邊不成比例的一組是（）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】本題主要考查了相似多邊形的性質(zhì)及判定，根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)及判定：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，即可判斷．【詳解】解：由題意得，B、C中三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，兩三角形相似；A中菱形四條邊均相等，所以對(duì)應(yīng)邊成比例，又角也相等，所以正方形，菱形相似；而D中矩形四個(gè)角相等，但對(duì)應(yīng)邊不一定成比例，所以D中矩形不是相似多邊形故選：D．【變式2-2】下列命題中，正確命題的個(gè)數(shù)為．①所有的正方形都相似②所有的菱形都相似③邊長(zhǎng)相等的兩個(gè)菱形都相似④對(duì)角線相等的兩個(gè)矩形都相似【答案】1【分析】根據(jù)多邊形的判定方法對(duì)①進(jìn)行判斷；利用菱形的定義對(duì)②進(jìn)行判斷；根據(jù)菱形的性質(zhì)對(duì)③進(jìn)行判斷；根據(jù)矩形的性質(zhì)和相似的定義可對(duì)④進(jìn)行判斷．【詳解】解：所有的正方形都相似，所以①正確；所有的菱形不一定相似，所以②錯(cuò)誤；邊長(zhǎng)相等的兩個(gè)菱形，形狀不一定相同，即：邊長(zhǎng)相等的兩個(gè)菱形不一定相似所以③錯(cuò)誤；對(duì)角線相等的兩個(gè)矩形，對(duì)應(yīng)邊不一定成比例，即不一定相似，所以④錯(cuò)誤；故答案是：1．【點(diǎn)睛】本題考查了判斷命題真假，熟練掌握?qǐng)D形相似的判定方法，菱形，正方形，矩形的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】形狀相同（即長(zhǎng)與寬之比相等）的矩形是相似矩形，已知一個(gè)矩形長(zhǎng)為，寬為1．

一分為二（1）如圖1，將矩形分割為一個(gè)正方形（陰影部分）和小矩形，小矩形恰與原矩形相似，則的值為______．（2）如圖2，將矩形分割為兩個(gè)矩形，使每個(gè)小矩形均與原矩形相似，則的值為______．一分為多（3）有同學(xué)說“無(wú)論為何值，該矩形總可以分割為幾個(gè)小矩形，這幾個(gè)小矩形都與原矩形相似”，你同意這個(gè)說法嗎？若同意，在圖3中畫出一種可行的分割方案；若不同意，舉出反例．一分為三（4）將矩形分割為三個(gè)矩形，使每個(gè)小矩形均與原矩形相似．畫出所有可能的分割方案的示意圖，并在每個(gè)示意圖下方直接寫出對(duì)應(yīng)的的值．【答案】（1）；（2）；（3）同意，見解析；（4）見詳解【分析】（1）先求得小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，再根據(jù)小矩形與原矩形長(zhǎng)寬比相等列方程求解即可；（2）由小矩形的長(zhǎng)以及長(zhǎng)寬比求得小矩形的寬，再根據(jù)兩個(gè)小矩形的寬之和為a列方程求解即可；（3）通過連接矩形的四條邊的中點(diǎn)可將矩形分為4個(gè)一樣的小矩形，再求小矩形的長(zhǎng)寬比便可驗(yàn)證；（4）分四種情況：①沿原矩形的長(zhǎng)3等分為三個(gè)矩形，②先將矩形分割為兩個(gè)小矩形，再將右邊矩形兩等分使寬都為，③先將矩形分割為兩個(gè)小矩形，再將右邊矩形兩等分使長(zhǎng)都為，④先將矩形分割為兩個(gè)小矩形，再將右邊矩形分割為兩個(gè)小矩形使兩個(gè)矩形的長(zhǎng)與寬的和為1；根據(jù)相似矩形的長(zhǎng)寬比，利用原矩形的長(zhǎng)和寬建立方程求解即可；【詳解】解：（1）由圖可知陰影正方形的邊長(zhǎng)為1，∴小長(zhǎng)方形的寬為，長(zhǎng)為1，∵小矩形與原矩形相似，∴，∴，解得：或（邊長(zhǎng)不能為負(fù)舍去），∴；（2）∵兩小矩形的長(zhǎng)都為1，且與原矩形的長(zhǎng)寬比相同，∴，∴，解得：或（舍去），∴；（3）同意，如下圖連接矩形的四條邊的中點(diǎn)，將矩形分為4個(gè)小矩形，

四個(gè)小矩形的長(zhǎng)和寬都為和，長(zhǎng)寬比為與原矩形長(zhǎng)寬比相同；（4）共有四種情況：①如下圖沿原矩形的長(zhǎng)3等分，

小矩形和原矩形的長(zhǎng)寬比都為a，小矩形的長(zhǎng)為1，則寬為，∴，∴，解得：或（舍去），∴；②如下圖先將矩形分割為兩個(gè)小矩形，再將右邊矩形兩等分使寬都為，

根據(jù)原矩形的長(zhǎng)寬比可得：左邊矩形的寬為，右邊矩形的長(zhǎng)為，∴，∴，解得：或（舍去），∴；③如下圖先將矩形分割為兩個(gè)小矩形，再將右邊矩形兩等分使長(zhǎng)都為，

根據(jù)原矩形的長(zhǎng)寬比可得：左邊矩形的寬為，右邊矩形的寬為，∴∴，∴，解得：或（舍去），∴；④如下圖先將矩形分割為兩個(gè)小矩形，再將右邊矩形分割為兩個(gè)小矩形使兩個(gè)矩形的長(zhǎng)與寬的和為1，

根據(jù)原矩形的長(zhǎng)寬比可得：左邊矩形的寬為，∴右邊兩矩形的寬和長(zhǎng)為，∴右上矩形的長(zhǎng)為，右下矩形的寬為，∴，∴，設(shè)，則，∴，解得：或（舍去），∴，∴；【點(diǎn)睛】本題考查了相似矩形，一元二次方程，分情況要按照先一分為二，再將其中一個(gè)一分為二的思路來(lái)討論．考點(diǎn)三：相似多邊形的性質(zhì)例3.如圖，正方形的四個(gè)頂點(diǎn)分別在正方形的四條邊上，且，則正方形與正方形的面積之比為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)，設(shè)，則，根據(jù)相似多邊形的面積之比等于相似比的平方計(jì)算即可，本題考查了勾股定理，多邊形相似的判定和性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】∵正方形與正方形，∴兩個(gè)正方形相似，∴正方形與正方形的面積之比為,根據(jù)，設(shè)，∴，∴正方形與正方形的面積之比為,故選D．【變式3-1】若兩個(gè)相似多邊形的面積之比為，則它們的相似比為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了多邊形相似的性質(zhì)．熟練掌握兩個(gè)相似多邊形的面積之比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．根據(jù)兩個(gè)相似多邊形的面積之比等于相似比的平方求解作答即可．【詳解】解：由題意知，若兩個(gè)相似多邊形的面積之比為，則它們的相似比為，故選：A．【變式3-2】如圖是兩個(gè)形狀相同的舉重圖案，則x的值是．【答案】【分析】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)，如果兩個(gè)多邊形相似，那么它們對(duì)應(yīng)邊的比相等，對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)周長(zhǎng)的比都等于相似比；它們對(duì)應(yīng)面積的比等于相似比的平方．根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)線段的比等于相似比列式求解即可．【詳解】解：由題意得，∴．故答案為：．【變式3-3】如圖，有一種復(fù)印紙，整張稱為紙，對(duì)折一分為二裁開成為紙，一分為二成為紙…，它們都是相似的矩形．(1)求的值．(2)若紙的周長(zhǎng)為286厘米，求紙的周長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)（1）由圖可知紙的長(zhǎng)為，寬為，紙的長(zhǎng)為AB，寬為，再由相似四邊形的對(duì)應(yīng)邊成比例列出比例式，求值即可．（2）由（1）可知四邊形相似比進(jìn)而可得出四邊形的周長(zhǎng)之比，直接計(jì)算即可．【詳解】（1）解：∵紙的長(zhǎng)為，寬為，紙的長(zhǎng)為AB，寬為，∴、紙的長(zhǎng)與寬對(duì)應(yīng)比成比例，得，∴；（2）∵紙的周長(zhǎng)為286厘米，；∴紙的周長(zhǎng)．考點(diǎn)四：平行判斷成比例線段例4．如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)E是邊上一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，先由平行四邊形的性質(zhì)得到，，根據(jù)，得出，根據(jù)平行線分線段成比例定理得出，然后逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：在平行四邊形中，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，，故A、D不符合題意；∴，故C符合題意；∵，，∴，故D不符合題意．故選：C．【變式4-1】如圖，已知直線，下列結(jié)論中不成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了平行線分線段成比例，熟練掌握兩直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平行線分線段成比例即可進(jìn)行解答．【詳解】解：，，，，選項(xiàng)A、B、C正確，不符合題意，故選：D．【變式4-2】在中，，平分交于點(diǎn)交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，有以下結(jié)論：①四邊形一定是平行四邊形；②連接所得四邊形一定是平行四邊形；③保持的大小不變，改變的長(zhǎng)度可使成立；④保持的長(zhǎng)度不變，改變的大小可使成立，其中所有的正確結(jié)論是：．（填序號(hào)即可）【答案】/③①【分析】本題主要考查了平行四邊形的判定以及三角形中位線定理的應(yīng)用、等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形可判斷①；只有一組對(duì)邊平行，不能證明四邊形一定是平行四邊形，故可判斷②；保持的大小不變，改變的長(zhǎng)度能使成立，故可判斷③；保持的長(zhǎng)度不變，改變的大小不一定能使成立，故可判斷④，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解答本題的關(guān)鍵．【詳解】解：①、∴四邊形是平行四邊形，故①符合題意；②、只有一組對(duì)邊平行，不能證明四邊形一定是平行四邊形，故②不符合題意；③、改變的長(zhǎng)度，與的交點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，則即為的中點(diǎn)，∴是的中位線，∵四邊形是平行四邊形，故③符合題意；④保持的長(zhǎng)度不變且時(shí)，∵平分∴為的中點(diǎn)，∴即為的中點(diǎn)，∴是的中位線，∵四邊形是平行四邊形，∴改變的大小都能使當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度不變且不等于時(shí)，點(diǎn)不是的中點(diǎn)，∴不可能使成立，故④不符合題意，綜上所述，正確的結(jié)論是，故答案為：．【變式4-3】中，D為中點(diǎn)，E為中點(diǎn)，直線交于F，求證：．【答案】見解析【分析】本題主要考查了三角形中位線的性質(zhì)及平行線分線段成比例定理，作的中點(diǎn)G，連接，證明，即可得出，進(jìn)而可證明，即可得出．【詳解】證明：作的中點(diǎn)G，連接，則，∵，∴，∴，∵，∴，∴．考點(diǎn)五：由平行線段成比例求線段的長(zhǎng)或比值例5．如圖，，若，，，則的長(zhǎng)是（

）A．3 B．5 C．4 D．【答案】D【分析】本題考查平行線分線段成比例定理，根據(jù)得出，代入數(shù)值計(jì)算出．【詳解】解：，，，．故選D．【變式5-1】如圖，在中，，點(diǎn)M在邊上，線段沿著過M的直線折疊，點(diǎn)C恰巧落在邊上的點(diǎn)N處．如果，，那么a與b滿足的關(guān)系式是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，過點(diǎn)M作于D，由折疊的性質(zhì)可得，則，，證明，再證明，得到，即可得到．【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)M作于D，由折疊的性質(zhì)可得，∵，∴，，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故選：C．【變式5-2】如圖，已知在中，點(diǎn)D、E、F分別是邊上的點(diǎn)，，且，那么等于．【答案】【分析】本題考查了平行線分線段成比例：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線），所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．根據(jù)平行線分線段成比例定理，由得到，則利用比例性質(zhì)得到，然后利用可得到．【詳解】解：∵，∴，∴，∵，∴．故答案為：．【變式5-3】如圖，，于點(diǎn)D，，交于點(diǎn)P，．若，求的長(zhǎng)．【答案】【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，平行線分線段成比例的應(yīng)用，證明，結(jié)合，可得，，從而得到，據(jù)此可得答案．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴．1．下列圖形中，不是相似圖形的一組是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根據(jù)相似圖形的定義，形狀相同但大小不同的圖形，是相似圖形，依次判斷，即可求解，本題考查了相似圖形的識(shí)別，解題的關(guān)鍵是：明確相似圖形的定義．【詳解】解：、具有相同的形狀，是相似圖形，不符合題意，、具有相同的形狀，是相似圖形，不符合題意，、具有相同的形狀，是相似圖形，不符合題意，、不具有相同的形狀，不是相似圖形，符合題意，故選：．2．如圖，已知，那么下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理逐個(gè)判斷即可．【詳解】解：A．∵，∴，故本選項(xiàng)不符合題意；B．∵，∴，故本選項(xiàng)不符合題意；C．∵，∴，故本選項(xiàng)不符合題意；D．∵，∴，故本選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，能根據(jù)平行線分線段成比例定理得出正確的比例式是解此題的關(guān)鍵．3．如圖，中，是中點(diǎn)，是的平分線，交于．若，，則的長(zhǎng)為（

）A．11 B．12 C．13 D．14【答案】C【分析】過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則為等腰三角形，由點(diǎn)為線段的中點(diǎn)可得出為的中位線，進(jìn)而可得出，代入即可得出結(jié)論．本題考查了角平分線的性質(zhì)、線段的中點(diǎn)以及平行線的性質(zhì)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)結(jié)合線段的中點(diǎn)，找出是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，如圖1所示．，是的平分線，，．是中點(diǎn)，，∴∴點(diǎn)F是的中點(diǎn)，為的中位線，．故選：C．4．如圖，有兩個(gè)形狀相同、大小不等的“中國(guó)夢(mèng)”圖片，依據(jù)圖中標(biāo)注的數(shù)據(jù)，可得x的值為（

）A．15 B．12 C．10 D．8【答案】D【分析】本題主要考查了相似圖形的性質(zhì)，相似圖形的對(duì)應(yīng)線段的比相等．利用相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，對(duì)應(yīng)角相等分析．【詳解】解：這兩個(gè)圖形兩個(gè)形狀相同，即兩個(gè)圖形相似，則對(duì)應(yīng)線段的比相等，因而，．的值是．故選：D5．如圖所示，矩形紙片被分割成六個(gè)小矩形，其中矩形矩形，若已知的面積，則一定能求出（

）A．矩形的面積 B．矩形的面積 C．矩形的面積 D．矩形的面積【答案】C【分析】本題主要考查了相似多邊形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，設(shè)，，的面積為，根據(jù)，推出，再由相似多邊形的性質(zhì)得到，即，則，據(jù)此證明，再由可以推出，據(jù)此可得答案．【詳解】解：設(shè)，，的面積為，∵，∴，∴，∴，∵矩形矩形，∴，即，∴，∴，∴，∴已知的面積，則一定能求出矩形的面積，故選：C．6．如圖，已知點(diǎn)在y軸上，點(diǎn)B為x軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，取中點(diǎn)D，連接，移動(dòng)點(diǎn)B，若，則此時(shí)點(diǎn)B橫坐標(biāo)為（

）

A．3 B．5 C．6 D．8【答案】C【分析】本題考查圖形與坐標(biāo)，平行線分線段成比例，線段垂直平分線得到性質(zhì)和判定．設(shè)與相較于點(diǎn)，則，，得到,則垂直平分，得到即可解題．【詳解】如圖,設(shè)與相較于點(diǎn)，

∵點(diǎn)是的中點(diǎn),,∴，，∴，∴垂直平分，∴,∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.故選C.7．如圖，直角三角形ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，∠BAC＝90°，AD是BC邊上的高，BE是角平分線．下列結(jié)論中：①AE＝3；②AF＝3；③DF＝2；④DE//AB．正確結(jié)論是（

）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④【答案】A【分析】先過點(diǎn)E作EG⊥BC，垂足為點(diǎn)G，根據(jù)三角形的判定定理證明△ABE≌△GBE，再設(shè)AE=x，在Rt△CGE中，根據(jù)勾股定理解得AE=3，可判斷①；根據(jù)平行線的性質(zhì)可知∠AEB=∠AFE，所以AF=AE=3，可判斷②；根據(jù)△ABC的面積可求得AD的長(zhǎng)，由②知AF=3，故可求DF的長(zhǎng)，可判斷③；根據(jù)平行線分線段成比例可知，可判斷④；【詳解】如圖：過點(diǎn)E作EG⊥BC，垂足為點(diǎn)G，∴∠EGB=∠EAB=90°，∵BE是角平分線，∴∠ABE=∠GBE，∴，∴△ABE≌△GBE(AAS)∴AE=GE，AB=BG=6，∵AC=AE+CE=8，CG=BC-BG=4，設(shè)AE=GE=x，∴CE=8-x，在Rt△CGE中，由勾股定理可得：，解得x=3，∴AE=GE=3，故①正確；由①中△ABE≌△GBE，得∠AEB=∠GEB，∵EG⊥BC，AD⊥BC，∴EG∥AD，∴∠GEB=∠AFE，∴∠AEB=∠AFE，∴AF=AE=3，故②正確；由△ABC的面積，得，即∴AD=，∴，故③不正確；由①得AE=3，CE=5，∴，在Rt△ADC中，，∴，∴，∴DE不平行于AB，故④錯(cuò)誤；故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定，平行線的性質(zhì)，平行線分線段成比例，勾股定理，三角形的面積等知識(shí)；正確把握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵；8．如圖，中，，D為中點(diǎn)，在的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)E，使得，與交于點(diǎn)F，則的值為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】過點(diǎn)作,交于點(diǎn),連接,則為的中點(diǎn),,得出是的中位線，由三角形中位線定理得出，由等腰三角形和三角形的外角性質(zhì)證出,由證明,得出，由等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出得出，由平行線分線段成比例定理得出,因此,即可得出結(jié)果.【詳解】過點(diǎn)作,交于點(diǎn),連接,如圖所示:

∵為中點(diǎn),,∴為的中點(diǎn),,∴是的中位線,∴,∵,∴D,∵,∴,在和中,，∴,∴,∵,為中點(diǎn),∴∴,，∴,∵,∴,即,∴,∴,，故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、三角形中位線定理、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)等知識(shí)；本題有一定難度，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵.9．若兩個(gè)相似多邊形的面積之比為，則它們的周長(zhǎng)之比為【答案】【分析】本題主要考查相似多邊形的性質(zhì)，根據(jù)相似多邊形對(duì)應(yīng)邊之比、周長(zhǎng)之比等于相似比，而面積之比等于相似比的平方計(jì)算．【詳解】解：∵兩個(gè)相似多邊形的面積比為，∴兩個(gè)相似多邊形的相似比為，∴兩個(gè)相似多邊形的周長(zhǎng)比兩個(gè)相似多邊形的相似比為.故答案為：．10．如下圖，直線，直線，與這三條平行線分別交于點(diǎn)，，和點(diǎn)，，．若，，則的長(zhǎng)為．【答案】【分析】本題主要考查平行線分線段成比例，掌握線段成比例的運(yùn)算方法是解題的關(guān)鍵．根據(jù)可得，由此即可求解．【詳解】解：∵，∴，，，∴，∴，故答案為：．11．如圖，正方形和正方形的邊長(zhǎng)分別為3和1，點(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)在邊上，連接，取的中點(diǎn)，連接，則的長(zhǎng)為．【答案】【分析】本題考查正方形性質(zhì)及應(yīng)用．過作于，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交于點(diǎn)，由為的中點(diǎn)，證明是的中位線，求得，，可得，從而．【詳解】解：過作于，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交于點(diǎn)，如圖：四邊形，四邊形是正方形，，，，，∴四邊形和四邊形都是矩形，∴，，∴，∵為的中點(diǎn)，∴，∴為的中點(diǎn)，∴是的中位線，，，∴，；故答案為：．12．如圖，四邊形是一張矩形紙片．將其按如圖所示的方式折疊：使邊落在邊上，點(diǎn)A落在點(diǎn)處，折痕為；使邊落在邊上，點(diǎn)落在點(diǎn)處，折痕為．若矩形與原矩形相似，，則的長(zhǎng)為．【答案】/【分析】本題考查矩形的折疊問題，相似多邊形的性質(zhì)．先根據(jù)折疊的性質(zhì)與矩形性質(zhì)，得，設(shè)的長(zhǎng)為x，則，再根據(jù)相似多邊形性質(zhì)得出，即，求解即可．【詳解】解：由折疊可得：，，∵矩形中，設(shè)的長(zhǎng)為x，則，∵矩形，∴，∵矩形與原矩形相似，∴，即，解得：（負(fù)值不符合題意，舍去）∴，故答案為：．13．如圖，矩形被分割為3個(gè)面積相等的小矩形，已知矩形與原矩形相似，則原矩形的較長(zhǎng)邊與較短邊的比值是．【答案】【分析】本題考查的是相似多邊形的性質(zhì)，掌握相似多邊形的性質(zhì)：①對(duì)應(yīng)角相等；②對(duì)應(yīng)邊的比相等是解題的關(guān)鍵．設(shè)，，則，求出，根據(jù)矩形與原矩形相似，得出，即，求出，即可得出答案．【詳解】解：設(shè)，，則，即，∴，∵矩形與原矩形相似，∴，即，∴，∵，，∴，∴，即原矩形的較長(zhǎng)邊與較短邊的比值是．故答案為：．14．如圖，矩形中，，，把沿著翻折得到，連接交于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，則的長(zhǎng)為．【答案】【分析】如圖所示，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，可證都是等腰直角三角形，點(diǎn)是的中點(diǎn)，可得是的中位線，是的中位線，再證，可得，在中根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】解：如圖所示，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，

∵四邊形是矩形，，∴，，，∵沿著翻折得到，∴，，則，∴是等腰直角三角形，，∵，∴，且，∴是等腰直角三角形，則，在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)