/專題05特殊的平行四邊形（3個考點梳理+16種題型解讀+提升訓(xùn)練）清單01矩形1.矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形.【易錯點】1）矩形一定是平行四邊形，但是平行四邊形不一定是矩形.2）對于矩形的定義要注意兩點（缺一不可）：①是平行四邊形；②有一個角是直角.3）定義說有一個角是直角的平行四邊形才是矩形，不要錯誤地理解為有一個角是直角的四邊形是矩形.反例：2.矩形的性質(zhì)定理：性質(zhì)符號語言圖示邊兩組對邊平行且相等∵四邊形ABCD是矩形∴AB=CD,AD=BC,AB∥CD,AD∥BC角四個角都是直角∵四邊形ABCD是矩形∴∠BAD=∠BCD=∠ABC=∠ADC=90°對角線兩條對角線互相平分且相等∵四邊形ABCD是矩形∴AO=CO=BO=DO【補充】1）矩形是特殊的平行四邊形，所以矩形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；2）矩形的兩條對角線將矩形分成兩對全等的等腰三角形，經(jīng)常會用到等腰三角形的性質(zhì)解決問題.3）利用矩形的性質(zhì)可以推出：在直角三角形中斜邊的中線，等于斜邊的一半.3.矩形的判定判定定理符號語言圖示角一個角是直角的平行四邊形是矩形在平行四邊形ABCD中，∵∠ABC=90°，∴平行四邊形ABCD是矩形三個角是直角的四邊形是矩形在四邊形ABCD中，∵∠B=∠A=∠D=90°，∴四邊形ABCD是矩形對角線對角線相等的平行四邊形是矩形在平行四邊形ABCD中，∵AC=BD，∴平行四邊形ABCD是矩形清單02菱形1.菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.【易錯點】1）對于菱形的定義要注意兩點（缺一不可）：①是平行四邊形；②一組鄰邊相等.2）定義說有一組鄰邊相等的平行四邊形才是菱形，不要錯誤地理解為有一組鄰邊相等的四邊形是菱形.2.菱形的性質(zhì)定理性質(zhì)定理符號語言圖示邊四條邊都相等∵四邊形ABCD是菱形∴AB=CD=AD=BC對角線對角線互相垂直，且每一條對角線平分一組對角∵四邊形ABCD是菱形∴AC⊥BD，AC平分∠BAD，AC平分∠BAD，AC平分∠BAD，AC平分∠BAD【補充】1）菱形是特殊的平行四邊形，所以菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；2）菱形的兩條對角線互相垂直，且對角線將菱形分成四個全等的直角三角形.3）對角線互相垂直的四邊形不一定是菱形.4）菱形的面積公式：①菱形的面積=底×高，即②菱形的面積=兩條對角線長的乘積的一半，即.3.菱形的判定判定定理符號語言圖示邊四條邊相等的四邊形是菱形.在四邊形ABCD中，∵AB=BC=CD=AD，∴四邊形ABCD是菱形一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.在平行四邊形ABCD中，∵AB=BC，∴平行四邊形ABCD是菱形對角線對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.在平行四邊形ABCD中，∵AC⊥BD，∴平行四邊形ABCD是菱形清單03正方形1.正方形的定義：有一組鄰邊相等且只有一個角是直角的平行四邊形是正方形.2.正方形的性質(zhì)：1）正方形的四個角都是直角，四條邊都相等，對邊平行.2）正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角.【補充】1）正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的所有性質(zhì).

2）一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形，對角線與邊的夾角是45°.

3）兩條對角線把正方形分成四個全等的等腰直角三角形.4）正方形的面積是邊長的平方，也可表示為對角線長平方的一半.3.正方形的判定：定義法平行四邊形+一組鄰邊相等+一個角為直角有一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形是正方形判定定理矩形+一組鄰邊相等有一組鄰邊相等的矩形是正方形矩形+對角線互相垂直對角線互相垂直的矩形是正方形菱形+一個角是直角有一個角是直角的菱形是正方形菱形+對角線相等對角線相等的菱形是正方形【解題技巧】判定一個四邊形是正方形通常先證明它是矩形，再證明它有一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直；或者先證明它是菱形，再證明它有一個角是直角或?qū)蔷€相等；還可以先判定四邊形是平行四邊形，再證明它有一個角為直角和一組鄰邊相等．【考點題型一】利用矩形的性質(zhì)求角度（）1．（23-24八年級下·浙江麗水·期末）如圖，是矩形的一條對角線，，依據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，與的交點為，則的度數(shù)是（用α的代數(shù)式表示）．2．（23-24八年級下·浙江溫州·期末）如圖，矩形的對角線，相交于點O，于點E，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．3．（23-24八年級下·浙江紹興·期中）如圖，在矩形中，是邊上的一點，且，，求的度數(shù)．【考點題型二】利用矩形的性質(zhì)求線段長（）4．（24-25八年級下·浙江杭州·期中）如圖，點是矩形的對角線的中點，是邊的中點．若，則線段的長為（）A．4 B．5 C．6 D．85．（20-21八年級下·浙江紹興·期末）如圖，矩形的對角線交于點O，，過點O作，交于點E，過點E作，垂足為F，則的值為．

6．（23-24八年級下·浙江湖州·期末）如圖，在矩形中，的平分線交于點E，點F，G分別是和的中點．(1)求證：是等腰直角三角形；(2)若，，求的長．【考點題型三】利用矩形的性質(zhì)求面積（）7．（24-25八年級下·浙江杭州·期中）如圖，為矩形對角線上的一點，過點作，分別交、于點、，若，，的面積為，的面積為，則（

）A．12 B．8 C．6 D．108．（23-24八年級下·浙江紹興·期末）如圖，在矩形中，是矩形內(nèi)一點，設(shè)，，，的面積分別表示為，，，，要求出的值，只需知道（

）A． B． C． D．9．（24-25九年級上·內(nèi)蒙古赤峰·階段練習(xí)）如圖，若將四根木條釘成的矩形木框變形為平行四邊形，并使其最小內(nèi)角為，則這個四邊形周長不變，面積變?yōu)樵瓉淼模?0．（21-22八年級下·浙江·開學(xué)考試）如圖，一塊長方形場地的長為，寬為，于E，于F，連接，現(xiàn)計劃在四邊形區(qū)域內(nèi)種植一種花草，已知該種花草的價格是150元/，若把四邊形區(qū)域種滿這種花草，需多少元？

【考點題型四】求矩形在坐標系中的坐標（）11．（20-21八年級下·浙江·期中）如圖，矩形中，若的坐標為，則．12．（2021·浙江杭州·模擬預(yù)測）矩形中，，，，則點坐標為．13．（24-25八年級下·重慶璧山·期中）如圖，在平面直角坐標系中，矩形的頂點、的坐標分別為，，點為，點在線段上運動，當(dāng)是腰長為5的等腰三角形時，點的坐標為．【考點題型五】矩形與折疊問題（）14．（24-25八年級上·浙江麗水·期末）如圖，長方形紙片的邊在x軸上，且過原點，連接．將紙片沿折疊，使點C恰好落在邊上的點處．若，則點D的縱坐標為（

）A．9 B．12 C．14 D．1515．（24-25八年級上·浙江嘉興·期中）如圖，在矩形中，，點和是邊上的兩點，連接、，將和沿、折疊后，點和點重合于點，則的長是（

）A．3 B．5 C．6 D．816．（24-25八年級上·浙江杭州·期中）如圖，在長方形紙片中，，，點M為上一點，將沿翻至，交于點G，交于點F，且，則的長度是17．（24-25八年級上·貴州遵義·期中）已知，如圖所示，折疊矩形的一邊，使點D落在邊的點F處，如果，，求(1)的長；(2)的長．【考點題型六】證明四邊形是矩形（）18．（24-25八年級下·浙江杭州·期中）如圖，在中，，是的角平分線，四邊形是平行四邊形．求證：四邊形是矩形．19．（20-21八年級下·山東泰安·期末）如圖，在中，，是的中點，是的中點，，交的延長線于點，連接．求證：四邊形是矩形．20．（22-23八年級下·浙江寧波·期末）如圖，在中，點O為線段的中點，延長交的延長線于點E，連接，．(1)求證：四邊形是矩形；(2)連接．若，求的長．【考點題型七】利用菱形的性質(zhì)求角度（）21．（23-24八年級下·廣東江門·期末）如圖為汽車常備的一種千斤頂?shù)脑韴D，其基本形狀是一個菱形，中間通過螺桿連接，轉(zhuǎn)動手柄可改變的大?。庑蔚倪呴L不變）．當(dāng)時，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．22．（22-23八年級下·浙江臺州·期中）如圖，在菱形中，E，F(xiàn)分別在，上，，．若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．23．（23-24八年級下·浙江杭州·期末）如圖，在菱形中，和為兩條對角線，分別作和的角平分線交于點N和M，且，則°．24．（23-24八年級下·浙江寧波·期末）如圖，菱形中，，點在對角線上，交于點，交于點．

(1)求的度數(shù)；(2)連結(jié)，當(dāng)時，判斷與的數(shù)量關(guān)系并證明．【考點題型八】利用菱形的性質(zhì)求線段長（）25．（24-25九年級上·山西運城·期中）如圖，在菱形中，對角線交于點是邊上一點，且．若，則菱形的周長為（

）A．10 B．15 C．20 D．2526．（24-25八年級上·浙江·期中）如圖，線段，點P在線段上，且，分別以點A和點B為圓心，的長為半徑作弧，兩弧相交于點C和點D，連接，則點C到邊的距離是（

）A． B． C．4 D．327．（22-23八年級下·浙江寧波·期中）如圖，在菱形中，，點E、F、G、H分別是邊、、、中點，在直線上方有一動點P，且滿足，則周長的最小值為．28．（2024八年級下·浙江·專題練習(xí)）矩形的頂點E，G分別在菱形的邊、上，頂點F，H在菱形的對角線上．

(1)求證：；(2)若E為中點，，求菱形的周長．【考點題型九】利用菱形的性質(zhì)求面積（）29．（23-24八年級下·福建泉州·階段練習(xí)）已知菱形面積為，一條對角線長為，則這個菱形的周長是（

）A． B．40 C． D．30．（23-24八年級下·浙江金華·期末）菱形的周長為，一個內(nèi)角的度數(shù)是，則該菱形的面積為（

）A． B． C． D．31．（23-24八年級下·福建福州·期末）若一個菱形的兩條對角線長分別是關(guān)于的一元二次方程的兩個實數(shù)根，且其面積為20，則該菱形兩對角線長分別為（

）A．3與11 B．4與10 C．2與10 D．5與832．（24-25九年級上·山東青島·階段練習(xí)）如圖，在菱形中，，對角線，則菱形的面積為．

33．（2023八年級下·浙江·專題練習(xí)）如圖，已知四邊形是菱形，點E、F分別是邊的中點，連接．(1)求證：是等腰三角形；(2)若，求菱形的面積．【考點題型十】求菱形在坐標系中的坐標（）34．（2023·天津河西·模擬預(yù)測）如圖，菱形中的頂點O，A的坐標分別為，，點C在x軸的正半軸上，則點B的坐標為（

）A． B． C． D．35．（2022·四川自貢·中考真題）如圖，菱形對角線交點與坐標原點重合，點，則點的坐標為（

）A． B． C． D．36．（23-24八年級下·江蘇南通·期中）如圖，平面直角坐標系中，四邊形是菱形．若點A的坐標是，則菱形的周長為．【考點題型十一】證明四邊形是菱形（）37．（24-25八年級下·浙江嘉興·階段練習(xí)）如圖，矩形的對角線，相交于點O，．求證：四邊形是菱形．38．（22-23八年級下·浙江寧波·期末）已知：如圖1，在平行四邊形中，連結(jié)，，點，分別為，的中點，連結(jié)并延長交的延長線于點．(1)如圖1，若，，求四邊形的周長；(2)如圖2，連結(jié)，．求證：四邊形是菱形．39．（23-24八年級下·浙江杭州·期末）如圖，在中，，是的中點，連接并延長，交的延長線于點，連接．(1)求證：四邊形是菱形．(2)若，，求四邊形的面積．【考點題型十二】利用正方形的性質(zhì)求角度（）40．（2023八年級下·浙江·專題練習(xí)）如圖，為正方形外一點，且是等邊三角形，的度數(shù)為（）

A． B． C． D．41．（22-23八年級下·浙江紹興·期末）如圖，正方形中，現(xiàn)分別以A，B為圓心，以為半徑畫圓弧，兩圓弧交于點O，則的度數(shù)為．

42．（2023八年級下·浙江·專題練習(xí)）如圖，在正方形中，點E是對角線上的一點，點F在的延長線上，且，交于點G．(1)求證：；(2)求的度數(shù)．【考點題型十三】利用正方形的性質(zhì)求線段長（）43．（24-25八年級上·浙江杭州·期中）如圖，面積為的正方形的頂點在數(shù)軸上，且表示的數(shù)為，若，則數(shù)軸上點所表示的數(shù)為（

）A． B． C． D．44．（23-24八年級下·浙江紹興·期末）已知點E，F(xiàn)分別在邊長為3的正方形的邊，上，且點F為的三等分點，若平分，則的長為（

）A．或 B．或 C．或 D．或45．（23-24八年級下·浙江臺州·期末）如圖，在正方形中，以B為圓心，長為半徑畫圓弧，與的延長線相交于點E，連接．(1)求的度數(shù)；(2)若，求的長．【考點題型十四】利用正方形的形狀求面積（）46．（23-24八年級下·浙江·階段練習(xí)）四邊形和四邊形都是正方形、E在上，連結(jié)交對角線于點H，交于點I、若，則這兩正方形的面積之和為（

）A． B． C． D．47．（23-24八年級上·浙江紹興·期末）如圖，以直角的每一條邊為邊長，在AB的同側(cè)作三個正方形，各個涂色部分分別用①、②、③、④、⑤表示，已知②、④兩部分的面積和為，則③、⑤兩部分的面積和為（

）．A．8 B．9 C．10 D．1148．（23-24八年級上·浙江杭州·期中）如圖，的兩條直角邊，，分別以的三邊為邊作三個正方形．若四個陰影部分面積分別為，，，．則的值為，的值為．49．（20-21八