相似三角形最值問(wèn)題（分層練習(xí)）（培優(yōu)練）單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（2023春·內(nèi)蒙古通遼·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在矩形ABDC中，AC=4cm，AB=3cm，點(diǎn)E以0.5cm/s的速度從點(diǎn)B到點(diǎn)C，同時(shí)點(diǎn)F以0.4cm/s的速度從點(diǎn)D到點(diǎn)B，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，則運(yùn)動(dòng)停止，點(diǎn)P是邊CD上一點(diǎn)，且CP=1，且Q是線段EF的中點(diǎn)，則線段QD+QP的最小值為（

）A． B．5 C． D．2．（2022秋·遼寧沈陽(yáng)·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，菱形的頂點(diǎn)B、C在x軸上（B在C的左側(cè)），頂點(diǎn)A、D在x軸上方，對(duì)角線長(zhǎng)是，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)P在菱形的邊上運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)到所在直線的距離取得最大值時(shí)，點(diǎn)P好落在的中點(diǎn)處，則菱形的邊長(zhǎng)等于（

）

A． B． C． D．33．（2022秋·浙江·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，正方形中，，，點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)（不與、重合），過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，則的最大值為（

）A．6 B．2 C．3 D．44．（2023·江蘇無(wú)錫·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿邊OA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿邊BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．作于點(diǎn)G，則運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，AG的最大值為（

）A． B． C． D．85．（2022春·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)無(wú)錫市江南中學(xué)?？计谥校┤鐖D，平面內(nèi)三點(diǎn)A、B、C，AB=8，AC=6，以BC邊為斜邊在BC右側(cè)作等腰直角三角形BCD，連接AD，則的最大值是（

）A．98 B．100 C．72 D．706．（2020秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，Rt△AOB∽R(shí)t△DOC，∠AOB＝∠COD＝90°，M為OA的中點(diǎn)，OA＝5，OB＝12，將△COD繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，連接AD，CB交于P點(diǎn)，連接MP，則MP的最大值為（）A．10 B．11 C．12 D．12.57．（2023·湖北鄂州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為原點(diǎn)，，點(diǎn)為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，，連接，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，且滿足．當(dāng)線段取最大值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是（）

A． B． C． D．8．（2023春·江蘇宿遷·九年級(jí)沭陽(yáng)縣懷文中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，矩形中，點(diǎn)在邊上，，，，點(diǎn)是矩形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，滿足，連接繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至，連接，則的最小值為（

）A． B． C． D．19．（2023春·山東泰安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在矩形中，，，若點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)作且分別交對(duì)角線，直線于點(diǎn)O、F，則在點(diǎn)移動(dòng)的過(guò)程中，的最小值為（

）

A． B． C．17 D．1810．（2023·江蘇連云港·連云港市新海實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？级＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)B是線段上任意一點(diǎn)，在射線上取一點(diǎn)C，使，在射線上取一點(diǎn)D，使．所在直線的關(guān)系式為，點(diǎn)F、G分別為線段的中點(diǎn)，則的最小值是（

）

A． B． C． D．4．8填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．（2023·江蘇無(wú)錫·統(tǒng)考三模）如圖，在直角坐標(biāo)系中，，D是上一點(diǎn)，B是y正半軸上一點(diǎn)，且，，垂足為E，（1）當(dāng)D是的中點(diǎn)時(shí)，；（2）求的最小值；

12．（2023秋·四川自貢·九年級(jí)統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，，，，與直線相切于點(diǎn)C，點(diǎn)D是線段上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．13．（2021·山東青島·統(tǒng)考中考真題）已知正方形的邊長(zhǎng)為3，為上一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為上一動(dòng)點(diǎn)，分別連接，．若，則的最小值為．14．（2021·安徽合肥·合肥市第四十五中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖所示，已知直線，、之間的距離為1，、點(diǎn)分別在直線、上，、分別為直線、直線上的動(dòng)點(diǎn)，使，且．（1）的值為.（2）在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，的最小值為．15．（2023秋·陜西西安·九年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，中，，，以為斜邊按、、順時(shí)針?lè)较蚺帕校瑯?gòu)造，且，連接，則線段的最大值為．16．（2021·陜西西安·西安市鐵一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，和為四邊形的對(duì)角線，，，，，則的最大值為．17．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考三模）如圖，在矩形紙片中，，，E是邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)C、D重合），將紙片沿過(guò)點(diǎn)A的一條直線折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)處，折痕交于點(diǎn)P，沿直線PE再折疊紙片，點(diǎn)C落在點(diǎn)處，且P、、三點(diǎn)共線．則：

（1）的度數(shù)為；（2）線段長(zhǎng)的最大值為．18．（2022春·陜西西安·八年級(jí)交大附中分校?？计谀┮阎骸鰽PD中，PA＝3，PD＝6，以AD為邊向下作矩形ABCD，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，且∠AOB＝60°，連接PO，則PO最大值為．三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）（2019秋·湖北黃石·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，和都是等腰直角三角形，，點(diǎn)P為射線BD，CE的交點(diǎn)．求證：；若，把繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)．當(dāng)時(shí)，求PB的長(zhǎng)；直接寫(xiě)出旋轉(zhuǎn)過(guò)程中線段PB長(zhǎng)的最大值與最小值．20．（8分）（2019·浙江紹興·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形中，，，點(diǎn)分別在邊，上，點(diǎn)分別在，上，，交于點(diǎn)，記.（1）若的值是1，當(dāng)時(shí)，求的值.（2）若的值是，求的最大值和最小值.（3）若的值是3，當(dāng)點(diǎn)是矩形的頂點(diǎn)，，時(shí)，求的值.21．（10分）（2019·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在中，，，．若動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿射線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度．過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒，的長(zhǎng)為．（1）求出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)為何值時(shí)，的面積有最大值或最小值，最大值或最小值為多少？參考答案1．A【分析】如圖，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，連接QB，PB．首先用t表示出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)Q在直線y=2上運(yùn)動(dòng)，求出PB的值，再根據(jù)PQ+PD=PQ+QB≥PB，可得結(jié)論．解：如圖，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，連接QB，PB．∵四邊形ABDC是矩形，∴AC=BD=4cm，AB=CD=3cm，∴C（-3，0），B（0，4），∵∠CDB=90°，∴BC==5（cm），∵EH∥CD，∴△BEH∽△BCD，∴，∴，∴EH=0.3t，BH=0.4t，∴E（-0.3t，4-0.4t），∵F（0，0.4t），∵QE=QF，∴Q（-t，2），∴點(diǎn)Q在直線y=2上運(yùn)動(dòng)，∵B，D關(guān)于直線y=2對(duì)稱(chēng)，∴QD=QB，∴QP+QD=QB+QP，∵QP+QB≥PB，PB==2（cm），∴QP+QD≥2，∴QP+QD的最小值為2．故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查軸對(duì)稱(chēng)最短問(wèn)題，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，軌跡等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)Q在直線y=2上運(yùn)動(dòng)．2．A【分析】如圖1，當(dāng)是中點(diǎn)，作于，連接，由勾股定理得，，由，可得，即當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，的值最大，如圖2，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，連接交于，交于，設(shè)，由，，可得，，由菱形，則，，，，證明，則，即，計(jì)算求解即可．解：如圖1，當(dāng)是中點(diǎn)，作于，連接，

∵，，∴，，由勾股定理得，，∵，∴，∴當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，的值最大，如圖2，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，連接交于，交于，設(shè)，

∵，，∴，，∵菱形，∴，，，∴，∵，∴，∴，∴，即，解得，∴，故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，中位線，平行線分線段成比例．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．3．D【分析】根據(jù)已知條件以及正方形的性質(zhì)得出，證明，設(shè)，則，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．解：四邊形是正方形，，，，，，，設(shè)，則，，，，，，，，，當(dāng)時(shí)，的最大值為4，故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．4．A【分析】連接OB交PQ于F，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥OC于H，連接AF，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則由已知易證明△BFQ∽△OFP，則可得PQ過(guò)定點(diǎn)F；再證明△OFH∽△OBC，則可求得點(diǎn)F的坐標(biāo)，進(jìn)而求得AF的長(zhǎng)，則由垂線段最短可確定AG的最大值．解：連接OB交PQ于F，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥OC于H，連接AF，如圖．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則BQ=2t，OP=3t，∵B、C的縱坐標(biāo)相同，∴BC∥OA，∴△BFQ∽△OFP，∴，∴PQ恒過(guò)定點(diǎn)F．∵FH∥BC，∴△OFH∽△OBC，∴，即，∴，∴．∴由勾股定理得：．∵PQ恒過(guò)定點(diǎn)F，且AG⊥PQ，∴AG≤AF，∴AG的最大值為AF，即AG的最大值為．故選：A．【點(diǎn)撥】本題是動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，確定PQ過(guò)定點(diǎn)是問(wèn)題的關(guān)鍵．5．A【分析】以AB為斜邊作等腰直角三角形?AOB，連接OD，利用相似三角形的性質(zhì)得出OD，即可得出結(jié)果．解：如圖所示，以AB為斜邊作等腰直角三角形?AOB，連接OD，∵?CBD，?AOB都是等腰直角三角形，∴，，∠ABO=∠CBD=45°，∴，∠ABC=∠OBD，∴?ABC~?OBD，∴，∴，∵AB=8，∠AOB=90°，OA=OB，∴OA=OB=，∵AD≤OA+OD，∴AD≤，AD2≤98，故選：A．【點(diǎn)撥】題目主要考查旋轉(zhuǎn)變換，相似三角形的判定和性質(zhì)，作出相應(yīng)輔助線，構(gòu)造相似三角形及確定點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題關(guān)鍵．6．D【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理證明△COB∽△DOA，得到∠OBC=∠OAD，得到O、B、P、A共圓，求出MS和PS，根據(jù)三角形三邊關(guān)系解答即可．解：取AB的中點(diǎn)S，連接MS、PS，則PM≤MS+PS，∵∠AOB＝90°，OA＝5，OB＝12，∴AB＝13，∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠COB＝∠DOA，∵△AOB∽△DOC，∴，∴△COB∽△DOA，∴∠OBC＝∠OAD，∴O、B、P、A共圓，∴∠APB＝∠AOB＝90°，又S是AB的中點(diǎn)，∴PS＝AB＝，∵M(jìn)為OA的中點(diǎn)，S是AB的中點(diǎn)，∴MS＝OB＝6，∴MP的最大值是6+＝＝12.5，故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等以及全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．7．D【分析】由題意可得點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，為半徑的上，在軸的負(fù)半軸上取點(diǎn)，連接，分別過(guò)、作，，垂足為、，先證，得，從而當(dāng)取得最大值時(shí)，取得最大值，結(jié)合圖形可知當(dāng)，，三點(diǎn)共線，且點(diǎn)在線段上時(shí)，取得最大值，然后分別證，，利用相似三角形的性質(zhì)即可求解．解：∵點(diǎn)為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，，∴點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，為半徑的上，在軸的負(fù)半軸上取點(diǎn)，連接，分別過(guò)、作，，垂足為、，

∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴當(dāng)取得最大值時(shí)，取得最大值，結(jié)合圖形可知當(dāng)，，三點(diǎn)共線，且點(diǎn)在線段上時(shí)，取得最大值，∵，，∴，∴，∵，∴，∵軸軸，，∴，∵，∴，∴即，解得，同理可得，，∴即，解得，∴，∴當(dāng)線段取最大值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是，故選D．【點(diǎn)撥】本題主要考查了勾股定理、相似三角形的判定及性質(zhì)、圓的一般概念以及坐標(biāo)與圖形，熟練掌握相似三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．C【分析】取的中點(diǎn)O，再把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至,連接，則有，即可求出，然后過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)G，連接，利用勾股定理可以得到再根據(jù)求出結(jié)果．解：如圖，取的中點(diǎn)O，再把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至,連接，∵，∴，根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得：，∴，，∴，∴，∴，∴，∴點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上移動(dòng)，

過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)G，連接，

則是矩形，∴，，∴，∴∴，故選C．【點(diǎn)撥】本題考查相似三角形，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，作輔助線構(gòu)造相似三角形確定點(diǎn)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路線是解題的關(guān)鍵．9．B【分析】過(guò)C作，取，連接，根據(jù)勾股定理得到，易得，即可得到，根據(jù)兩點(diǎn)間線段最短得到當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)最短即可得到答案；解：如圖過(guò)C作，取，過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)H，∵四邊形是矩形，∴，∴四邊形是矩形，∵，，∴，，∴，∵，∴，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，，∵，，∴四邊形是平行四邊形，∴，，∴當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)最短，∴，∴，故選B；

【點(diǎn)撥】本題考查軸對(duì)稱(chēng)最短問(wèn)題，相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問(wèn)題．10．A【分析】如圖所示，連接，設(shè)射線交射線于H，過(guò)點(diǎn)H作于M，連接，先根據(jù)三線合一定理得到，，進(jìn)而證明四邊形是矩形，得到，，故當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)M重合時(shí)，最小，即最小，最小值為，設(shè)，則，求出，證明，利用相似三角形的性質(zhì)求出或（舍去），則的最小值為．解：如圖所示，連接，設(shè)射線交射線于H，過(guò)點(diǎn)H作于M，連接，∵，，點(diǎn)F、G分別為線段的中點(diǎn)，∴，，∵，∴，即，∴四邊形是矩形，∴，，∴當(dāng)最小時(shí)，最小，∴當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)M重合時(shí)，最小，即最小，最小值為，∵點(diǎn)H在直線上，∴可設(shè)，∴，∵，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，∴或（舍去），經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，∴的最小值為，故選A．

【點(diǎn)撥】本題主要考查了一次函數(shù)與幾何綜合，矩形的性質(zhì)與判定，三線合一定理，相似三角形的性質(zhì)與判定等等，證明四邊形是矩形是解題的關(guān)鍵．11．【分析】（1）先求出，，在利用得出即可求出答案；（2）當(dāng)時(shí)，的值最小，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可求出的最小值．解：（1）∵，∴．∵D是的中點(diǎn)，∴．∴．∵，∴．又∵，∴．∴，即．∴．故答案是；（2）∵點(diǎn)E在上，∴當(dāng)時(shí)，的值最小．此時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，如圖

∵，,∴．∵，∴是邊上的中線．∴．故答案是．【點(diǎn)撥】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)題意準(zhǔn)確找到當(dāng)時(shí)，的值最小是解題的關(guān)鍵和難點(diǎn)．12．/【分析】作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)G，且交x軸于點(diǎn)E，點(diǎn)G向右平移3個(gè)單位得到點(diǎn)H，過(guò)H作軸于點(diǎn)F交于點(diǎn)D，作軸于點(diǎn)N，求得的最小值為，利用等腰直角三角形的性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)即可求解．解：∵，，∴，作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)G，且交x軸于點(diǎn)E，點(diǎn)G向右平移3個(gè)單位得到點(diǎn)H，過(guò)H作軸于點(diǎn)F交于點(diǎn)D，作軸于點(diǎn)N，此時(shí)，，∴，故的最小值為，∵，，∴是等腰直角三角形，且，∵與直線相切于點(diǎn)C，∴，則，∴是等腰直角三角形，則，∵，，∴，，，∵軸，軸，∴，∴，∴，即，∴，∴，CE＋DF的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件．13．【分析】由正方形的性質(zhì)，可得A點(diǎn)與C點(diǎn)關(guān)于BD對(duì)稱(chēng)，則有MN+CM=MN+AM≥AN，所以當(dāng)A、M、N三點(diǎn)共線時(shí)，MN+CM的值最小為AN，先證明△DCG~△FCE，再由，可得，分別求出DE=1，CE=2，CF=6，即可求出AN．解：∵四邊形ABCD是正方形，∴A點(diǎn)與C點(diǎn)關(guān)于BD對(duì)稱(chēng)，∴CM=AM，∴MN+CM=MN+AM≥AN，∴當(dāng)A、M、N三點(diǎn)共線時(shí)，MN+CM的值最小，∵AD∥CF，∴∠DAE=∠F，∵∠DAE+∠DEH=90°，∵DG⊥AF，∴∠CDG+∠DEH=90°，∴∠DAE=∠CDG，∴∠CDG=∠F，∴△DCG~△FCE，∵，∴，∵正方形邊長(zhǎng)為3，∴CF=6，∵AD∥CF，，∴DE=1，CE=2，在Rt△CEF中，EF2=CE2+CF2，∴，∵N是EF的中點(diǎn)，，在Rt△ADE中，EA2=AD2+DE2，∴，∴，∴MN+MC的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查軸對(duì)稱(chēng)求最短距離，熟練掌握正方形的性質(zhì)，用軸對(duì)稱(chēng)求最短距離的方法，靈活應(yīng)用三角形相似、勾股定理是解題的關(guān)鍵．14．【分析】（1）移動(dòng)點(diǎn)A使與點(diǎn)F重合，過(guò)A作AC⊥m于C，由EF⊥AB，由勾股定理，可證△BCA∽△ACE，，可求，由勾股定理；（2）作點(diǎn)A關(guān)于m的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，作點(diǎn)B關(guān)于n的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′，過(guò)點(diǎn)B′延長(zhǎng)A′E交n于H，連結(jié)B′H，AB與EF交于Q，當(dāng)四邊形AEBF為菱形時(shí)最短，的最小值，由四邊形AEBF為菱形，可得AE=BF，由m∥n，可得AE=HE=A′E，可得AE+FB=A′H最短，（兩點(diǎn)之間線段最短），可證△AQF∽△ENF，可得，求出即可．解：（1）移動(dòng)點(diǎn)A使與點(diǎn)F重合，過(guò)A作AC⊥m于C，∵EF⊥AB，∴∠EAB=90°，在Rt△ACB中，由勾股定理∵∠CBA+∠CAB=90°，∠CAE+∠BAC=90°，∴∠CBA=∠CAE，∴∠BCA=∠ACE=90°，∴△BCA∽△ACE，∴即，∴，在Rt△ECA中，由勾股定理，故答案為：；（2）作點(diǎn)A關(guān)于m的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，作點(diǎn)B關(guān)于n的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′，過(guò)點(diǎn)B′延長(zhǎng)A′E交n于H，連結(jié)B′H，AB與EF交于Q，當(dāng)四邊形AEBF為菱形時(shí)最短，的最小值，∵四邊形AEBF為菱形，∴AE=BF，∵m∥n，∴∠mEA=∠EAH=∠A′Em=∠EHA，∴AE=HE=A′E，∵BF=B′F=AE，∴EH=FB′∴AE+FB=A′H最短，（兩點(diǎn)之間線段最短），過(guò)E作EN⊥n于N，∵AQ⊥EF，∴∠AQF=∠ENF=90°，∵∠AFQ=∠EFN，∴△AQF∽△ENF，∴，∵，，∴，∴，∴AE=BF=，∴最小=+=．故答案為．【點(diǎn)撥】本題考查平移性質(zhì)，勾股定理，三角形相似判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短，掌握平移性質(zhì)，勾股定理，三角形相似判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短是解題關(guān)鍵．15．【分析】以為斜邊作的，連接，證明，得出則在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最大，即可求解．解：如圖所示，以為斜邊作的，連接，則∴，∴又∴∴∴則則在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，∵當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最大，最大值為故答案為：．【點(diǎn)撥】此題考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造相似三角形．16．【分析】先證出，作，使，，證明出，從而得出，在中，由勾股定理求出的長(zhǎng)度，在中，利用三角形三邊關(guān)系可得的最大值．解：取的中點(diǎn)為，連接，作，使，，連接，過(guò)點(diǎn)作于，∵，∴，∵，∴點(diǎn)與重合，∴，∴，∴，，∴，∴，∴，∴，連接，過(guò)點(diǎn)作于，∵，在中，，∴，，∴，在中，由勾股定理得：∴，∴，∴，∴的最大值為：，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查特殊角的三角函數(shù)值、相似三角形的判定及其性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，做輔助線構(gòu)造三角形是解題的關(guān)鍵．17．/90度/【分析】（1）根據(jù)折疊得出，根據(jù)，即可求出；（2）設(shè)，，則，根據(jù)翻折的性質(zhì)證明，可得，所以，整理得：，由題意可知，該方程有實(shí)數(shù)根，所以，解得，即可得出的最大值．解：（1）由折疊可知：，∵，∴；故答案為：．（2）設(shè)，則，∵，∴，∵，∴，∴，∴，整理得：，由題意可知，該方程有實(shí)數(shù)根，∴，解得：，∴的最大值為．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題主要考查了翻折變換，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，一元二次方程，綜合性較強(qiáng)，要求學(xué)生有較強(qiáng)的識(shí)圖能力．18．【分析】在AP的右側(cè)取一點(diǎn)J，使得JA＝JP，∠AJP＝120°．連接AJ，JP，OJ，過(guò)點(diǎn)J作JH⊥AP于點(diǎn)H，可求出PJ，再通過(guò)線段間的比例關(guān)系證明△PAD∽△JAO，可得到，則JO=，最后通過(guò)OP≤JP+OJ即可得出結(jié)論．解：如圖，在AP的右側(cè)取一點(diǎn)J，使得JA＝JP，∠AJP＝120°．連接AJ，JP，OJ，過(guò)點(diǎn)J作JH⊥AP于點(diǎn)H．∴JA＝JP，JH⊥AP，∴AH＝PH＝，∵∠AJP＝120°，∴∠JAP＝∠JPA＝30°，∴PJ＝2JH，∴PJ＝，JH＝，∵四邊形ABCD是矩形，∴OA＝OD，∵∠AOB＝60°，∴∠AOD＝120°，∴∠OAD＝∠ODA＝30°，∴∠PAJ＝∠DAO，∴∠PAD＝∠JAO，∵∴△PAD∽△JAO，∴∴JO＝，∵OP≤JP+OJ＝，∴OP的最大值為．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，以及相似三角形的判定與性質(zhì)．正確的畫(huà)出輔助線，構(gòu)造相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵．19．（1）詳見(jiàn)分析；（2）①或；②PB長(zhǎng)的最小值是，最大值是．【分析】欲證明，只要證明≌即可．分兩種情形a、如圖2中，當(dāng)點(diǎn)E在AB上時(shí)，由∽，得，由此即可解決問(wèn)題．b、如圖3中，當(dāng)點(diǎn)E在BA延長(zhǎng)線上時(shí)，解法類(lèi)似．、如圖4中，以A為圓心AD為半徑畫(huà)圓，當(dāng)CE在下方與相切時(shí)，PB的值最?。産、如圖5中，以A為圓心AD為半徑畫(huà)圓，當(dāng)CE在上方與相切時(shí)，PB的值最大．分別求出PB即可．解：證明：如圖1中，和是等腰直角三角形，，，，，在和中，，≌，．解：、如圖2中，當(dāng)點(diǎn)E在AB上時(shí)，．，同可證≌．．，∽．b、如圖3中，當(dāng)點(diǎn)E在BA延長(zhǎng)線上時(shí)，．，，同可證≌．．，∽，，，，綜上，或．、如圖4中，以A為圓心AD為半徑畫(huà)圓，當(dāng)CE在下方與相切時(shí)，PB的值最?。碛桑捍藭r(shí)最小，因此PB最小，是直角三角形，斜邊BC為定值，最小，因此PB最小，，由可知，≌，，，，四邊形AEPD是矩形，，．b、如圖5中，以A為圓心AD為半徑畫(huà)圓，當(dāng)CE在上方與相切時(shí)，PB的值最大．理由：此時(shí)最大，因此PB最大，是直角三角形，斜邊BC為定值，最大，因此PB最大，，由可知，≌，，，，四邊形AEPD是矩形，，．綜上所述，PB長(zhǎng)的最小值是，最大值是．【點(diǎn)撥】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、圓的有關(guān)知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用這些知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)分類(lèi)討論的思想思考問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用