兩條直線平行與垂直的判定1.掌握兩條直線平行與垂直的條件，會運(yùn)用條件判斷兩條直線是否平行或垂直.2.通過兩條直線斜率之間的關(guān)系判斷其幾何關(guān)系，初步體會數(shù)形結(jié)合思想.基礎(chǔ)新知預(yù)習(xí)1.兩條直線的平行(1)如果兩條直線的斜率存在，設(shè)這兩條直線的斜率分別為k1，k2.若兩條直線平行，則它們的斜率_____；反之，若兩條直線的斜率相等，則它們_____，即l1∥l2?_____.(2)如果兩條直線的斜率都不存在，那么這兩條直線的傾斜角都為_____，這兩條直線互相_____.相等平行k1=k290°平行自我檢測2.兩條直線的垂直(1)當(dāng)一條直線的斜率為0，另一條直線的斜率不存在時(shí)，這兩條直線_________.(2)當(dāng)兩條直線的斜率都存在時(shí)，設(shè)斜率分別為k1，k2.若兩條直線互相垂直，則它們的斜率___________；反之，若兩條直線的斜率互為負(fù)倒數(shù)，則它們_________，

l1⊥l2

_________________．

互相垂直互為負(fù)倒數(shù)互相垂直k1·k2=-1一、兩直線平行的條件探究1：已知兩直線l1與l2平行，請根據(jù)兩條直線平行的條件思考下列問題：(1)直線l1的傾斜角α1與直線l2的傾斜角α2相等嗎？提示：直線l1，l2滿足l1∥l2，即兩條直線向上方向與x軸正向夾角相等，故直線l1，l2的傾斜角相等.要點(diǎn)互動探究(2)直線l1的斜率k1與直線l2的斜率k2的關(guān)系如何？提示：①當(dāng)兩條直線的傾斜角都為90°時(shí)，兩直線的斜率都不存在；②當(dāng)兩條直線的斜率都存在時(shí)，直線l1的傾斜角α1與直線l2的傾斜角α2相等，故tanα1=tanα2，即k1=k2.探究2：設(shè)直線l1，l2的斜率分別為k1，k2，思考下列問題：(1)平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系有哪些？提示：平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系有：相交、平行及重合.(2)若k1=k2，直線l1，l2的位置關(guān)系如何？提示：若k1=k2，即tanα1=tanα2，又直線傾斜角的范圍是0°≤α<180°，所以α1=α2，故直線l1，l2平行或重合.【探究提升】直線l1，l2平行的等價(jià)條件及符號表示(1)等價(jià)條件：①兩直線不重合；②斜率都不存在或斜率相等．(2)符號：l1∥l2k1=k2，或α1=α2=90°.【拓展延伸】用傾斜角來刻畫平面上兩條直線的三種關(guān)系若考慮兩條直線可能重合，則平面上兩條直線的位置關(guān)系共有三種：平行、相交、重合.借助于傾斜角，它們之間的關(guān)系是：(1)平行：傾斜角相同，沒有公共點(diǎn).(2)相交：傾斜角不同，只有一個(gè)公共點(diǎn).(3)重合：傾斜角相同，有無數(shù)多個(gè)公共點(diǎn).二、兩直線垂直的條件探究1：如圖，直線l1，l2滿足l1⊥l2，請根據(jù)圖形，探究下面的問題：(1)斜率都存在的兩條直線l1，l2，若l1⊥l2(如圖(1))，則其傾斜角有何關(guān)系？斜率有何關(guān)系？提示：由圖可知傾斜角的關(guān)系為α2=α1+90°，所以tanα2=tan(α1+90°),即

所以

(2)當(dāng)直線l1，l2中有一條直線與x軸垂直時(shí)，問題(1)中的結(jié)論還成立嗎？提示：不成立，當(dāng)直線與x軸垂直時(shí)，其斜率不存在.此時(shí)一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為0.探究2：當(dāng)k1·k2=-1時(shí)，l1⊥l2成立嗎？提示：成立，由k1·k2=-1，可知直線l1，l2的傾斜角α1，α2滿足α2=α1+90°，故直線l1，l2垂直.【探究提升】兩條直線垂直的等價(jià)條件(1)直線的斜率存在時(shí)，l1⊥l2則

即k1·k2=-1.(2)k1，k2中一個(gè)不存在，一個(gè)為0?l1⊥l2.(3)解決直線垂直的問題時(shí)，不要忽略斜率不存在的情況.類型

一

直線的平行嘗試解答下列問題，體會尋找直線平行條件的過程，掌握兩條直線平行的等價(jià)條件及判斷技巧.1.已知直線l1與直線l2，滿足下列條件：(1)l1經(jīng)過點(diǎn)A(2，1)，B(-3，5)，l2經(jīng)過點(diǎn)C(-1，1)，D(-3，5).(2)l1的傾斜角為60°，l2經(jīng)過點(diǎn)M(

，0)，N(2，3).(3)l1平行于y軸，l2經(jīng)過點(diǎn)P(0，1)，Q(0，5).其中l(wèi)1∥l2的序號是

.例題詳解2.已知直線l1經(jīng)過點(diǎn)A(2，a)，B(a-1，3)，l2經(jīng)過點(diǎn)C(1，2)，D(-2，a+2)，若l1∥l2，求a的值.【解題指南】1.兩條直線斜率相等或斜率都不存在時(shí)，兩條直線平行.2.根據(jù)題意可知兩條直線的斜率相等，找到關(guān)于a的方程，從而求出a的值.【解析】1.根據(jù)題中的條件及斜率公式得(1)

所以

所以直線l1與l2不平行.(2)

所以l1∥l2或l1與l2重合.(3)l1斜率不存在，且直線l1與y軸不重合，而l2的斜率也不存在，且恰好是y軸，所以l1∥l2．答案：(3)2.直線l1的斜率因?yàn)閘1∥l2，所以又直線l2的斜率

所以

即

【技法點(diǎn)撥】兩條直線平行的判定技巧(1)l1∥l2?k1=k2的前提條件：①兩條直線不重合；②斜率存在.(2)條件中只有斜率存在，才會有l(wèi)1∥l2?k1=k2(l1，

l2不重合).(3)條件中只有不重合，才會有l(wèi)1∥l2?k1=k2或斜率都不存在.類型

二

直線的垂直嘗試解答下列問題，體會有關(guān)直線垂直問題求解的過程，掌握直線垂直的判定條件并總結(jié)使用斜率公式判定兩直線垂直的步驟.1.如果直線l1，l2的斜率分別是一元二次方程x2-4x-1=0的兩根，那么直線l1，l2的位置關(guān)系是(

)A.平行B.垂直C.重合D.以上均不正確2.已知定點(diǎn)A(-1，3)，B(4，2)，以AB為直徑作圓與x軸有交點(diǎn)C，求交點(diǎn)C的坐標(biāo).【解題指南】1.由k1，k2是方程x2-4x-1=0的兩根，得出k1與k2的關(guān)系，從而判定直線l1與l2的位置關(guān)系.2.設(shè)出點(diǎn)C的坐標(biāo)(x，0)，根據(jù)AC⊥BC，得出關(guān)于x的方程，從而求出點(diǎn)C的坐標(biāo).【解析】1.選B.由直線l1，l2的斜率k1，k2分別是一元二次方程x2-4x-1=0的兩根，故k1·k2=-1，所以l1⊥l2，故選B.【技法點(diǎn)撥】使用斜率公式判定兩直線垂直的步驟(1)一看：就是看所給兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是否相等，若相等，則直線的斜率不存在，若不相等，則進(jìn)行第二步.(2)二用：就是將點(diǎn)的坐標(biāo)代入斜率公式.(3)求值：計(jì)算斜率的值，進(jìn)行判斷.尤其是點(diǎn)的坐標(biāo)中含有參數(shù)時(shí)，應(yīng)用斜率公式要對參數(shù)進(jìn)行討論.類型

三

直線平行和垂直的綜合應(yīng)用嘗試解答下列題目，體會兩條直線平行與垂直之間的聯(lián)系并總結(jié)如何用兩直線平行或垂直的關(guān)系處理圖形問題.1.當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)A(2m，2)，B(-2，3m)的直線與過點(diǎn)P(1，2)，Q(-6，0)的直線：(1)平行時(shí)，m=

.(2)垂直時(shí)，m=

.2.已知A(0，3)，B(-1，0)，C(3，0)，四邊形ABCD為直角梯形(A，B，C，D按逆時(shí)針方向排列)，求D點(diǎn)的坐標(biāo).【解題指南】1.根據(jù)平行與垂直的含義，列出求解m的方程，然后求出其值.2.四邊形ABCD為直角梯形，利用直線平行與垂直的關(guān)系，列出方程，從而解得所求點(diǎn)的坐標(biāo).【解析】1.直線PQ的斜率kPQ=，當(dāng)m≠-1時(shí)，直線AB的斜率(1)因?yàn)锳B∥PQ，所以kAB=kPQ，即

解得(2)因?yàn)锳B⊥PQ，所以kAB·kPQ=-1，即解得答案：2.設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，由kAB=3，kBC=0，kAB·kBC=0≠-1，即AB與BC不垂直，故AB與BC都不可作為直角梯形的垂直于底的腰.(1)若CD是直角梯形的垂直于底的腰，則BC⊥CD，AD⊥CD.因?yàn)閗BC=0，所以CD的斜率不存在，從而有x=3，又因?yàn)閗AD=kBC，所以

=0，即y=3，此時(shí)AB與CD不平行，故所求點(diǎn)D坐標(biāo)為(3，3).(2)若AD是直角梯形的垂直于底的腰，則AD⊥AB，AD⊥CD．因?yàn)?/p>

又AD⊥AB，所以

①，又AB∥CD，

②．由①②可得

此時(shí)AD與BC不平行．綜上可知點(diǎn)D的坐標(biāo)為(3，3)或【技法