猜押03湖北省中考數(shù)學11~15題（填空題）猜押考點1年湖北真題考情分析押題依據(jù)難度實數(shù)的運算2024年湖北卷第11題基礎題型，以開放形式考查對數(shù)軸、絕對值的理解，答案不唯一延續(xù)開放性考查，可能結合數(shù)軸或絕對值綜合命題易概率2024年湖北卷第12題簡單等可能事件概率計算，直接應用概率公式生活情境化命題趨勢，可能結合游戲、統(tǒng)計等背景易函數(shù)實際應用2024年湖北卷第13題已知自變量求函數(shù)值，考查函數(shù)解析式代入運算強化函數(shù)模型應用，可能與行程、費用等實際問題結合易分式加減法運算2024年湖北卷第14題同分母分式運算，直接運用運算法則代數(shù)運算基礎，可能升級為異分母分式或化簡求值易幾何綜合（全等/相似/等邊三角形）2024年湖北卷第15題多知識點融合，涉及相似判定、全等性質、解直角三角形中考幾何壓軸題型，可能增加動態(tài)圖形或跨知識點綜合難題型一實數(shù)的運算1．（2025·湖北·模擬預測）寫出一個你愿意寫的小于的數(shù)是．【答案】（答案不唯一）【分析】本題主要考查實數(shù)的大小比較，根據(jù)絕對值越大的負數(shù)反而越小寫出合適的負數(shù)即可．【詳解】解：例如：，故答案為：（答案不唯一）2．（2025·湖北·模擬預測）寫一個小于的整數(shù)是．【答案】1（不唯一）【分析】本題主要考查了無理數(shù)的估算，掌握無理數(shù)的估算方法成為解題的關鍵．先估算無理數(shù)的大小，然后直接寫出符合題意的答案即可．【詳解】解：∵，∴比小的整數(shù)可以是1．故答案為:1（不唯一）．3．（新考向）比較大?。海ㄌ睢啊薄啊被颉啊保敬鸢浮俊痉治觥勘绢}考查了算術平方根，實數(shù)比較大小，掌握其比較方法是關鍵．根據(jù)被開方數(shù)越大，值越大，由此即可求解．【詳解】解：∵，∴，故答案為：．4．（新考向）若是有理數(shù)，寫出一個滿足條件的正整數(shù)a的值：．【答案】1【分析】本題主要考查了求一個數(shù)的算術平方根，根據(jù)算術平方根的定義寫出一個正整數(shù)即可．【詳解】解：當時，原式，是有理數(shù)故答案為：1（答案唯一）．5．（新考向）已知的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為．那么．【答案】/【分析】此題主要考查了估算無理數(shù)的大小，正確得出的取值范圍是解題關鍵．直接利用的取值范圍得出a，b的值，進而得出答案．【詳解】解：∵，∴的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為，∴，故答案為：．6．（新考向）如圖，數(shù)軸上的點表示實數(shù)、且與的積為有理數(shù)，則整數(shù)的值為．【答案】8【分析】本題考查了實數(shù)與數(shù)軸，二次根式的計算，解決本題的關鍵是熟練掌握實數(shù)與數(shù)軸及二次根式的乘法運算，先求出，再根據(jù)與的積為有理數(shù)求解即可．【詳解】解：點M在數(shù)軸上的位置在2與3之間，，，與的積為有理數(shù)，且，，故答案為：87．（新考向）據(jù)說，正五邊形的邊與對角線之比是最先被發(fā)現(xiàn)的無理數(shù)，比較大?。骸敬鸢浮俊痉治觥勘绢}考查了比較無理數(shù)的大小、無理數(shù)的估算，求出，再估算出，得出，即可得解．【詳解】解：，∵，∴，即，∴，∴，∴，故答案為：．題型二概率1．（2025·湖北十堰·模擬預測）四方山、牛頭山、白馬山是十堰市爬山的好去處，若小平同學隨機選擇一處去爬山，她選擇牛頭山的概率是．【答案】【分析】本題考查簡單概率，用概率公式可直接得出答案．【詳解】解：從四方山、牛頭山、白馬山3個山中隨機選擇一處去爬山，選擇牛頭山的概率是：，故答案為：．2．（2025·湖北·模擬預測）在，，，這4個數(shù)中隨機選擇1個數(shù)，是無理數(shù)的概率是．【答案】/0.5【分析】本題主要考查了根據(jù)概率公式計算概率，無理數(shù)的定義，根據(jù)無理數(shù)的定義得出在4個數(shù)中，無理數(shù)有π，一共2個，然后根據(jù)概率公式計算即可．【詳解】解：在4個數(shù)中，無理數(shù)有，一共2個，∴這4個數(shù)中隨機選擇1個數(shù)，是無理數(shù)的概率是：，故答案為：3．（2025·湖北·一模）如圖所示是小華設計的物理電路圖，假設開關①、②、③、④都處于斷開狀態(tài)，現(xiàn)隨機閉合其中的兩個開關，能讓小燈泡發(fā)光的概率為．【答案】【分析】本題考查列表法求概率，根據(jù)題意，列出表格，利用概率公式進行計算即可．【詳解】解：由題意，列表如下：①②③④①①，②①，③①，④②②，①②，③②，④③③，①③，②③，④④④，①④，②④，③共12種等可能的結果，其中能讓小燈泡發(fā)光的結果有4種，∴；故答案為：．4．（2025·湖北·一模）截至2024年9月，我國共13位共和國勛章獲得者，老師制作了正面分別書寫有孫家棟、于敏、袁隆平、黃旭華四位共和國勛章獲得者為國奉獻的事跡的四張卡片，除此之外背面完全相同，把這4張卡片背面朝上洗勻，從中隨機抽取兩張，則這兩張卡片上分別寫有袁隆平和黃旭華事跡的概率是．【答案】【分析】本題考查利用樹狀圖和列表法求概率，解題的關鍵在于根據(jù)題意畫出樹狀圖．利用樹狀圖展示12種等可能的結果數(shù)，從中找到符合條件的結果數(shù)，再根據(jù)概率公式計算，即可解題．【詳解】解：記孫家棟、于敏、袁隆平、黃旭華四位共和國勛章獲得者分別為A，B，C，D，根據(jù)題意可畫樹狀圖如下：由圖知，共有12種等可能的結果數(shù)，其中兩張卡片上分別寫有袁隆平和黃旭華事跡的有2種結果，所以兩張卡片上分別寫有袁隆平和黃旭華事跡的概率是．故答案為：．5．（2025·湖北·模擬預測）2025年哈爾濱亞洲冬季運動會（The9thAsianWinterGamesHarbin2025），于2025年2月7日至2月14日在中國黑龍江哈爾濱舉行，其會徽為“超越”，這是繼1996年哈爾濱亞冬會、2007年長春亞冬會后，哈爾濱第三次舉辦亞冬會．如圖，是一幅印有哈爾濱亞冬會會徽且長為，寬為的長方形宣傳畫，為測量宣傳畫上會徽圖案的面積，現(xiàn)將宣傳畫平鋪，向長方形宣傳畫內(nèi)隨機投擲骰子（假設骰子落在長方形內(nèi)的每一點都是等可能的），經(jīng)過大量重復投擲試驗，發(fā)現(xiàn)骰子落在會徽圖案上的頻率穩(wěn)定在左右，由此可估計宣傳畫上哈爾濱亞冬會會徽圖案的面積約為．【答案】/【分析】本題主要考查了根據(jù)頻率估計概率，根據(jù)概率計算數(shù)量，解題的關鍵是熟練掌握概率公式，根據(jù)骰子落在會徽圖案上的頻率穩(wěn)定在左右，得出骰子落在會徽圖案上的概率為，然后根據(jù)長方形面積計算會徽圖案的面積即可．【詳解】解：由題意可得：長方形的面積為，∵骰子落在會徽圖案上的頻率穩(wěn)定在左右，∴骰子落在會徽圖案上的概率為，∴會徽圖案的面積為：，故答案為：．6．（新情境）2025年中央電視臺的春節(jié)聯(lián)歡晚會共涉及300多項非遺項目．為弘揚中國文化，增強學生的文化自信，某中學團委準備從“中國書法”、“中國篆刻”、“中國剪紙”、“中國皮影戲”四個項目里隨機選取兩個項目進行綜合實踐活動，則選中“中國剪紙”和“中國皮影戲”的概率是．【答案】【分析】本題考查了列表法或畫樹狀圖法求隨機事件的概率，掌握列表法或畫樹狀圖法是解題的關鍵．運用列表法或畫樹狀圖法把所有等可能結果表示出來，再根據(jù)概率公式計算即可．【詳解】解：運用列表法或畫樹狀圖法把所有等可能結果表示如下，“中國書法”、“中國篆刻”、“中國剪紙”、“中國皮影戲”分別用表示，共有12種等可能結果，其中“中國剪紙”和“中國皮影戲”的有，共2種，∴選中“中國剪紙”和“中國皮影戲”的概率是，故答案為：．7．（跨學科融合）如圖所示的電路圖中，隨機閉合開關，，中的兩個，能夠點亮燈泡的概率為．【答案】【分析】本題考查的知識點是求事件的概率，利用列表法或畫樹狀圖法比較容易得出答案．用列表法或樹狀圖法列舉出所有等可能出現(xiàn)的情況，從中找出能夠“點亮燈泡”的情況數(shù)，進而求出概率．【詳解】解：用列表法表示所有可能出現(xiàn)的情況如下：，，，，，，共有6種可能出現(xiàn)的情況，其中能夠點亮燈泡的有6種，∴P（點亮燈泡），故答案為：．8．（新情境）將如圖擺放的三個正方形，分別隨機涂成黑色成白色，則相鄰正方形（兩個正方形有公共邊），顏色不同的概率是．【答案】【分析】本題考查了利用概率公式求概率．設白色和黑色分別為和，得到所有可能的結果數(shù)和顏色不同的結果數(shù)，再利用概率公式即可求解．【詳解】解：設白色和黑色分別為和，則共有，，，，，，，，共種等可能的結果數(shù)，其中相鄰正方形（兩個正方形有公共邊），顏色不同的結果數(shù)有，，共種，所求概率是，故答案為：．9．（文化背景）中國象棋中，馬走‘日’字格，如圖，“馬”位于河界下方，其可達位置已用“●”標記，則“馬”隨機移動一次，到達的位置在河界上方的概率是．

【答案】【分析】本題考查了概率公式，掌握概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比是解題關鍵．由圖形可知，“馬”移動一次可能到達的位置共有8種，其中到達的位置在河界上方有2種，直接利用概率公式求解即可．【詳解】解：由圖形可知，“馬”移動一次可能到達的位置共有8種，其中到達的位置在河界上方有2種，則“馬”隨機移動一次，到達的位置在河界上方的概率是，故答案為：．10．（文化背景）十二生肖是我國歷史悠久的民俗文化符號，是十二地支的形象化代表；根據(jù)文獻資料記載，最早并廣為流傳的完整十二生肖循環(huán)，是由東漢王充在公元1世紀期間所著《論衡》中提出的．下列四副十二生肖圖片，大小、形狀、質地完全相同，小樂從中隨機抽取一張(不放回)，再從中隨機抽取一張，兩張圖片恰好是“?！薄巴谩钡母怕适牵敬鸢浮俊痉治觥勘绢}考查列表法與樹狀圖法，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關鍵．列表可得出所有等可能的結果數(shù)以及兩張圖片恰好是“牛”“兔”的結果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．【詳解】解：列表如下：鼠?；⑼檬?鼠，牛)(鼠，虎)(鼠，兔)牛(牛，鼠)(牛，虎)(牛，兔)虎(虎，鼠)(虎，牛)(虎，兔)兔(兔，鼠)(兔，牛)(兔，虎)共有12可能的結果，其中兩張圖片恰好是“?！薄巴谩钡慕Y果有2種，∴兩張圖片恰好是“?！薄巴谩钡母怕蕿楣蚀鸢笧椋海?1．（新情境）我省普通高考實行“”模式，包括3門普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試科目（以下簡稱全國統(tǒng)考科目）和3門普通高中學業(yè)水平選擇性考試科目（以下簡稱選考科目），其中全國統(tǒng)考科目為語文、數(shù)學、外語3門，選考科目由考生從物理和歷史2門首選科目中任選1門，從思想政治、地理、化學、生物學4門再選科目中任選2門．開學初，某校對高一新生進行選科操作，若A、B兩位同學是該校高一新生，則他們選擇同一科再選科目的概率為．【答案】【分析】本題考查了列表法或樹狀圖法求概率，概率公式，列表法可以重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件，用到的知識點為：概率等于所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．列表得出所有等可能的結果數(shù)，再從中找到符合條件的結果數(shù)，然后再用概率公式求解即可．【詳解】解：將思想政治、地理、化學、生物學4門再選科目分別記為A、B、C、D，列表如下：由表格可知，共有16種等可能得情況，其中選擇同一科再選科目的情況有4種，選擇同一科再選科目的概率為，故答案為：12．（文化背景）1777年，法國科學家布豐提出了一種計算圓周率的方法－隨機投針法，即著名的布豐投針問題．在平面上畫有一組間距為的平行線，將一根長度為的針任意擲在這個平面上，求此針與平行線中任一條相交的概率，同時也證明了：這個概率是．某數(shù)學興趣小組做了這個實驗來估計的近似值．他們?nèi)。玫綄嶒灁?shù)據(jù)如下：實驗次數(shù)500相交頻數(shù)149相交頻率0.298由此估計的近似值為（精確到0.01）．【答案】3.36【分析】本題考查了頻率估計概率，根據(jù)這個概率是，，得出，即可作答．【詳解】解：∵，，∴，則，∴的近似值為3.36，故答案為：3.36．13．（新考向）一個不透明的袋子中，裝有5個紅球和8個白球，這些球除顏色外無其他差別．從袋子中隨機摸球，給出如下說法：甲說：若摸出一個球，則摸出的這個球可能是紅球；乙說：若摸出一些球，則這些球中不可能有黑球；丙說：若要確保摸出的球中一定有一個紅球，則至少要摸出9個球：丁說：若摸出一個球，則摸出的球是紅球的概率和是白球的概率相等．上述說法中正確的是．（在橫線上填寫“甲”“乙”“丙”或“丁”）【答案】甲乙丙【分析】本題考查的是可能性的大?。苯痈鶕?jù)概率公式解答即可．【詳解】解：甲說：若摸出一個球，則摸出的這個球可能是紅球，說法正確；乙說：若摸出一些球，則這些球中不可能有黑球，說法正確；丙說：若要確保摸出的球中一定有一個紅球，則至少要摸出9個球，說法正確：丁說：若摸出一個球，則摸出的球是紅球的概率是，摸出的球是白球的概率是，不可能相等，原說法錯誤．故答案為：甲乙丙．題型三函數(shù)實際應用1．（2025·湖北十堰·模擬預測）已知物體所受重力G（單位：）大小與物體質量m（單位：）之間的函數(shù)關系為．某校九年級學生小東的質量為，則他所受的所受重力為．【答案】【分析】本題考查一次函數(shù)的應用，將m的值代入即可．【詳解】解：當時，，即小東所受的所受重力為．故答案為：．2．（2025·湖北·模擬預測）聲音在空氣中傳播的速度與氣溫（）之間的關系式為．當時，某人看到煙花燃放后才聽到聲音，則此人與燃放煙花所在地的距離為．【答案】1695【分析】此題考查了一次函數(shù)的應用．先求出當時聲音在空氣中傳播的速度，根據(jù)路程等于速度乘以時間即可求出答案．【詳解】解：當時，∴（米）．答：此人與燃放煙花所在地距離是1695米．故答案為：1695．3．（2025·湖北孝感·一模）在物理實驗中，彈簧長度與懸掛物質量的關系為．當懸掛物質量為時，彈簧長度為．【答案】20【分析】本題考查一次函數(shù)的應用，解題的關鍵是將給定的自變量的值代入函數(shù)關系式中求解因變量的值．已知彈簧長度與懸掛物質量的函數(shù)關系式，要求當時的值，只需將代入函數(shù)式計算．【詳解】當懸掛物質量時，將代入中，，故答案為：20．4．（2025·湖北黃岡·一模）漏刻是我國古代的一種計時工具，據(jù)史書記載，西周時期就出現(xiàn)了漏刻，這是中國古代人民對函數(shù)思想的創(chuàng)造性應用．張歡同學依據(jù)漏刻的原理制作了一個簡單的漏刻計時工具模型，研究中發(fā)現(xiàn)水位（單位：）是時間（單位：）的一次函數(shù)，表中是張歡記錄的部分數(shù)據(jù)，當為時，對應的高度為．…123……2…【答案】【分析】本題考查了一次函數(shù)的實際應用，根據(jù)表格信息，掌握待定系數(shù)法求解析式是關鍵．一次函數(shù)解析式為，運用待定系數(shù)法求出解析式為，把代入計算即可求解．【詳解】解：研究中發(fā)現(xiàn)水位（單位：）是時間（單位：）的一次函數(shù)，∴設一次函數(shù)解析式為，∴，解得，，∴一次函數(shù)解析式為，∴當時，，∴當為時，對應的高度為，故答案為：．5．（新考向）山西地處黃河中游，是中國面食文化的發(fā)祥地，其中的面條文化至今已有兩干多年的歷史東漢稱面條為“煮餅”．廚師將一定質量的面團做成拉面時，面條的總長度單位：是面條橫截面面積單位：的反比例函數(shù)，當面條橫截面面積為時，面條的總長度為，則當面條的總長度為時，面條橫截面面積為．【答案】【分析】本題考查的知識點是反比例函數(shù)的應用，解題關鍵是確定兩個變量之間的函數(shù)關系并用待定系數(shù)法求出它們的關系式．利用待定系數(shù)法得出反比例函數(shù)解析式，將代入反比例函數(shù)的關系式，即可得到面條橫截面面積．【詳解】解：，，設與之間的函數(shù)表達式為：，將，代入可得：，，與之間的函數(shù)表達式為：，當時，，解得，經(jīng)檢驗，是分式方程的解，即當面條的總長度為時，面條橫截面面積為．故答案為：．6．（新考向）如圖1，是在空中參與飛行表演的兩架無人機，如圖2，在平面直角坐標系中，線段OA，BC分別表示1號、2號無人機在隊形變換中飛行高度y1，y2()與飛行時間x()的函數(shù)關系，其中，線段OA與BC相交于點P，AB⊥y軸于點B，點A的橫坐標為25，則在第秒時1號和2號無人機飛行高度差為20米．【答案】13或17【分析】本題考查一次函數(shù)的應用．當時，，求出點的坐標，進而求出的解析式，由題意得，解之即可得到答案．【詳解】解：，當時，，∴點的坐標為，由題意知點的坐標為，設，將代入得，∴，∴，∴線段對應的函數(shù)表達式為：，由題意得，整理得，解得：或，∴在第13秒或17秒時，1號和2號無人機飛行高度差為20米，故答案為：13或17．7．（新考向）炎炎夏日，清涼爽口的西瓜是最受歡迎的水果之一．某大型超市每天從當?shù)氐奈鞴戏N植基地購進甲、乙兩種西瓜共600千克．根據(jù)以往的銷售經(jīng)驗，甲種西瓜的進貨量不低于乙種西瓜的進貨量，但不能超過乙種西瓜進貨量的3倍．若甲種西瓜每千克獲利1.2元，乙種西瓜每千克獲利1.4元，則該超市每天能獲得的最大利潤是元．【答案】780【分析】本題主要考查了一次函數(shù)的應用，一元一次不等式組的應用，設購進甲種西瓜x千克，可知乙種西瓜為千克，再根據(jù)不等式關系得，進而得出取值范圍，然后根據(jù)利潤得出一次函數(shù)，最后結合自變量取值范圍討論最大值即可．【詳解】解：設購進甲種西瓜x千克，可知乙種西瓜為千克，每天獲得利潤為y元，根據(jù)題意，得，解得，且．∵，∴函數(shù)值y隨著x的增大而減小，即當時，（元）．所以該超市每天獲得的最大利潤是780元．故答案為：780．8．（新考向）已知一輛汽車勻速通過某段公路，所需時間（單位：）與行駛速度（單位：）成反比例關系，函數(shù)圖象如圖所示．若該路段限速，則該汽車通過該路段至少需要．【答案】/【分析】本題考查了反比例函數(shù)的實際應用，現(xiàn)實生活中存在大量成反比例函數(shù)的兩個變量，解答該類問題的關鍵是確定兩個變量之間的函數(shù)關系，然后利用待定系數(shù)法求出它們的關系式．設反比例函數(shù)的解析式為，把代入得到反比例函數(shù)的解析式是，把代入解析式，得到汽車通過該段路段的時間最少是．【詳解】解：設反比例函數(shù)的解析式為，把代入得，解得，則反比例函數(shù)的解析式是，把代入解析式得，則當汽車通過該段路段的時間最少是．故答案為：．9．（新考向）從地面豎直向上發(fā)射的物體離地面的高度滿足關系式，其中是物體運動的時間，是物體被發(fā)射時的速度．社團活動時，科學小組在實驗樓前從地面豎直向上發(fā)射小球，發(fā)射時的速度為．小球離地面的高度有兩次與實驗樓的高度相同．已知實驗樓高，則這兩次間隔的時間為．【答案】2【分析】本題考查了二次函數(shù)的應用以及因式分解法解一元二次方程，根據(jù)題意可得：，從而可得當時，，然后進行計算即可解答．【詳解】解：由題意得：，∴，當時，，解得：，，∴，∴這兩次間隔的時間為，故答案為：2．10．（新考向）全世界大部分國家都采用攝氏溫標預報天氣，但美國等個別國家采用華氏溫標，小明同學通過查閱資料，得到了相關數(shù)據(jù)，如下表：攝氏溫度值/℃01020304050華氏溫度值/℉32506886104122小軍看到小明表格中的數(shù)據(jù)后，認為相應的值一直大于值，小明不認同這個觀點，并運用所學數(shù)學知識計算得出，當?shù)娜≈捣秶菚r，值小于值．【答案】【分析】本題考查了一次函數(shù)關系的判斷、待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式的運用和解不等式，由函數(shù)值求自變量的值的運用，求出函數(shù)的解析式是解題的關鍵．根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，判斷與的函數(shù)關系是一次函數(shù)，設函數(shù)解析式，再根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，求出函數(shù)解析式，結合題意得到不等式，求解即可．【詳解】解：由表格可知，每增加，就增加，則兩種溫標計量值的對應關系是一次函數(shù)，設華氏溫度與攝氏溫度之間的函數(shù)關系式為，由表中的數(shù)據(jù)，得，解得，，∵值小于值∴，解得，故答案為：．11．（新考向）如圖①，“東方之門”通過簡單的幾何曲線處理，將傳統(tǒng)文化與現(xiàn)代建筑融為一體，最大程度地傳承了蘇州的歷史文化．如圖②，“門”的內(nèi)側曲線呈拋物線形，已知其底部寬度為80米，高度為200米．則離地面150米處的水平寬度（即的長）為米．【答案】40【分析】本題考查了二次函數(shù)在實際問題中的應用．以底部所在的直線為軸，以線段的垂直平分線所在的直線為軸建立平面直角坐標系，用待定系數(shù)法求得內(nèi)側拋物線的解析式，則可知點、的橫坐標，從而可得的長．【詳解】解：以底部所在的直線為軸，以線段的垂直平分線所在的直線為軸建立平面直角坐標系：，，，設拋物線的解析式為，將代入，得：，解得：，拋物線的解析式為，將代入得：，解得：，，，米，故答案為：40．題型四分式加減法運算1．（2025·湖北孝感·一模）化簡【答案】/【分析】本題主要考查了分式的約分、因式分解的應用等知識點，掌握運用平方差公式因式分解成為解題的關鍵．先運用平方差公式對分子因式分解，然后再約分即可．【詳解】解：．故答案為：．2．（2025·湖北孝感·一模）化簡：．【答案】【分析】本題考查了分式的加減法法則，根據(jù)同分母分式加減法法則：同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減計算即可．【詳解】解：．故答案為：．3．（2025·湖北黃石·模擬預測）化簡：．【答案】【分析】本題考查分式的混合運算，先通分計算括號內(nèi)，除法變乘法，約分化簡即可．【詳解】解：；故答案為：．4．（2025·湖北黃岡·一模）化簡：．【答案】【分析】本題考查了分式的化簡，掌握分式的性質，混合運算法則是解題的關鍵．根據(jù)分式的性質化簡，分式的混合運算法則計算即可求解．【詳解】解：，故答案為：．5．（2025·湖北·一模）在函數(shù)中，自變量x的取值范圍是．【答案】且【分析】本題考查了函數(shù)自變量的取值范圍，二次根式有意義的條件，分式有意義的條件，解題關鍵是掌握函數(shù)自變量的范圍一般從三個方面考慮：①當函數(shù)表達式是整式時，自變量可取全體實數(shù)；②當函數(shù)表達式是分式時，考慮分式的分母不能為0；③當函數(shù)表達式是二次根式時，被開方數(shù)是非負數(shù)．根據(jù)二次根式和分式有意義的條件求解即可．【詳解】解：，，，且，故答案為：且．6．（2025·湖北·模擬預測）化簡：．【答案】【分析】本題考查的是分式的除法運算，把除法化為乘法運算，再約分即可．【詳解】解：；故答案為：7．（2025·湖北·模擬預測）計算：．【答案】【分析】本題考查了同分母分式加減法，分母不變，分子直接想減，據(jù)此進行作答即可．【詳解】解：依題意，故答案為：．8．（新考向）若在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實數(shù)x的取值范圍是．【答案】且【分析】本題考查了二次根式有意義的條件和分式有意義的條件，根據(jù)二次根式有意義的條件和分式有意義的條件即可求解，掌握相關知識是解題的關鍵．【詳解】解：由題意可得：，且，∴且，故答案為：且．9．計算：．【答案】/【分析】本題考查了同分母分式的加法運算，掌握運算法則是解題的關鍵．根據(jù)同分母的分式加法法則進行計算即可．【詳解】．故答案為：．10．計算：．【答案】/【分析】先變形成分母一致，再利用平方差公式對分子進行因式分解，然后約分即可．本題考查了分式的加減，解題的關鍵是熟練掌握分式加減的運算法則．【詳解】解：．故答案為：11．（新考向）已知，，則．【答案】【分析】本題考查了分式的基本性質，熟練掌握是解題的關鍵．先通分再帶入計算即可．【詳解】解：．故答案為．12．（新考向）已知，則代數(shù)式的值為．【答案】/【分析】本題主要考查分式的加減法，將已知條件變形為，再將要求的分式變形為，然后整體代入求值即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，故答案為：．題型五幾何綜合1．（2025·湖北黃岡·一模）已知：如圖，正方形的邊長為，點是正方形的邊上的一點，與對角線相交于點，若．則的度數(shù)是；的長為．【答案】/度【分析】根據(jù)正方形的性質可得，得到，由此得到，根據(jù)直角三角形兩銳角互余即可求解的度數(shù)；根據(jù)含角的直角三角形的性質，勾股定理得到，則，由即可求解的長．【詳解】解：∵四邊形是正方形，是對角線，∴，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，則，在中，，∴，解得，；在中，，∴，∴，即，解得，（負值舍去），∴，，∴；故答案為：①；②．【點睛】本題考查了正方形的性質，等邊對等角，全等三角形的判定和性質，三角形外角的性質，含角的直角三角形的性質，掌握正方形的性質，全等三角形的判定和性質的運用是解題的關鍵．2．（24-25九年級上·湖北黃岡·期末）如圖所示，在中，，，，將繞點逆時針旋轉得到，連接，，并延長交于點，則的度數(shù)是，的長為．【答案】【分析】本題考查旋轉的性質，等腰直角三角形的性質，相似三角形的判定和性質．過點作交的延長線于點．由旋轉的性質，得，，，．所以，，得到是等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理，求得．證明，求得的長．再根據(jù)求解即可．【詳解】解：如圖，過點作交的延長線于點．由旋轉的性質，得，，，．∴，∴，，∴是等腰直角三角形，∴根據(jù)勾股定理，得，在中，，∴，∴，即，∴，∴．故答案為：，．3．（2025·湖北·模擬預測）如圖，以為一邊在其兩側作等邊和等邊，連接，和相較于，過作與，連接，，且．則：（1）；（2）．【答案】/30度/厘米【分析】（1）根據(jù)等邊三角形性質得出，，證明四邊形為菱形，根據(jù)菱形的性質得出，，，，根據(jù)等邊三角形性質得出，根據(jù)直角三角形性質得出，最后求出結果即可；（2）過作于，根據(jù)勾股定理得出，根據(jù)直角三角形性質得出，根據(jù)勾股定理得出，即可．【詳解】解：（1）∵和都是等邊三角形，∴，，∴四邊形為菱形，∴，，，，∵為等邊三角形，，∴，∴，∴；（2）過作于，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，在中，．故答案為：；．【點睛】本題主要考查了菱形的判定和性質，勾股定理，直角三角形的性質，解題的關鍵是熟練掌握菱形的判定和性質．4．（2025·湖北恩施·一模）如圖，在中，，，將繞點順時針旋轉得到，若點為上一動點，旋轉后點的對應點，則線段的最小值是．【答案】【分析】本題考查旋轉的性質，等腰三角形的性質，角的直角三角形的性質，勾股定理，垂線段最短，掌握旋轉的性質是解題的關鍵．【詳解】解：如圖，連接、，過點作于點，∴，∵在中，，，∴，∴，∴，∵將繞點順時針旋轉得到，∴，，∴，∵點為上一動點，旋轉后點的對應點，∴當點與點重合時，有最小值為，∴線段的最小值是．故答案為：．5．（2025·湖北孝感·二模）已知，如圖，在邊長為的正方形中，是邊的中點，于，交于，連接、．則的度數(shù)是；的長是．【答案】/度【分析】延長交于點，連接，取的中點，以為圓心，為直徑作圓，得出四點共圓，且是直徑，進而根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補得出，進而證明得出是等腰直角三角形，根據(jù)同弧所對的圓周角相等得出；過點作交于點，得出，根據(jù)等面積法求得，進而根據(jù)相似三角形的性質得出，在中，勾股定理即可求解．【詳解】解：如圖所示，延長交于點，連接，取的中點，以為圓心，為直徑作圓，∵四邊形是正方形∴，又∵，∴∴四點共圓，且是直徑，∴又∵∴∵，∴∴，∵是的中點∴，∴∴是等腰直角三角形，又∴；∴過點作交于點，在中，∴，∵∴∵∴∴即∴，∴，∴在中，故答案為：，．【點睛】本題考查了本題考查了直角所對的弦是直徑，圓內(nèi)接四邊形對角互補，方形的性質，全等三角形的性質，同弧所對的圓周角相等，勾股定理，相似三角形的性質與判定，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．6．（24-25九年級下·湖北黃石·階段練習）如圖，在中，，，為內(nèi)一點，連接，若，則的面積為．【答案】【分析】本題考查含角的直角三角形、相似三角形的判定與性質，解直角三角形，三角形的面積等知識，關鍵是對這些知識的掌握和運用．過點作，交的延長線于點，過點作，交的延長線于點，然后由三角形的判定定理得出∽，然后由相似三角形的性質得出，然后在含有度角的直角三角形中求出，在含有度角的直角三角形中得出，由求出，再由三角形的面積公式求出的面積．【詳解】解：如圖，過點作，交的延長線于點，過點作，交的延長線于點，，，，，又，，，在中，，，在中，，，，，．故答案為：．7．（2025·湖北·一模）在中，，，E是的中點，D是上的一點，以為對稱軸作的對稱，且保持在的上方．（1）如圖1，當點F落在上時，則的長為；（2）如圖2，連接、，當平分時，＝．【答案】//【分析】（1）連接，利用勾股定理求出，根據(jù)題意得點D為的中點，推出是的中位線，，由等面積法求出即可；（2）延長交于點G，證明是的斜邊上的中線得,證明得,利用相似三角形的性質求出，再證明，從而,然后利用相似三角形面積的比等于相似比的平方即可求解.【詳解】解：（1）連接，在中，，，，點F落在上，與關于對稱，，，點D為的中點，E是的中點，是的中位線，，，，，，，，故答案為：；（2）延長交于點G，與關于對稱，,，∴垂直平分，∴，∵平分,∴是的斜邊上的中線，∴,由折疊的性質可知，，∴，由三角形外角的性質，得，∴，∴，∴,∴,∴.∵，∴,∵,∴,∴,∵E是的中點，∴,.故答案為：．【點睛】本題考查了三角形的中線的應用，對稱的性質，相似三角形的判定與性質，勾股定理，直角三角形斜邊中線的性質，，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解題的關鍵．8．（2025·湖北·模擬預測）如圖，在菱形中，，，點E、F分別在、上，且，連接、交于點G，則的度數(shù)為，四邊形面積的最大值為．【答案】/度【分析】如圖，連接，證明．可得．，證明點B，C，D，G四點共圓．如圖，連接交于，過作于，過作于，可得當經(jīng)過圓心O時，取得最大值，取得最大值，四邊形面積取得最大值，再進一步求解即可．【詳解】解：如圖，連接．∵四邊形是菱形，，∴為等邊三角形，，∴，．∵，∴，∴．∵，，∴．∵，∴．∴，∴點B，C，D，G四點共圓．如圖，連接交于，過作于，過作于，∴四邊形面積，∵，，∴當經(jīng)過圓心O時，取得最大值，取得最大值，∴四邊形面積取得最大值，此時，∵為直徑，∴，∵，∴，∴的最大值為4．∴四邊形面積取得最大值為；故答案為：，．【點睛】本題考查的是等邊三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，菱形的性質，圓周角定理的應用，銳角三角函數(shù)的應用，作出合適的輔助線是解本題的關鍵．9．（24-25九年級下·湖北武漢·階段練習）如圖，在中，，，，，以為頂點作直角分別交邊于點，點為的中點，當點從點運動到點時，點運動的路徑長是（用含的式子表示）．【答案】【分析】過點C作于點，先確定點D只能在點T或者點T的左側，才能符合題意，連接，根據(jù)直角三角形斜邊上中線的性質確定點M的軌跡為線段的垂直平分線，記線段的垂直平分線交于點，交于，然后再確定運動路徑為，再分別求和即可．【詳解】解：過點C作于點，當點D與點T重合時，點F在點B時，點E在點C處，若點D在點T右邊，則點F在點B時，點E不在上，∴點D只能在點T或者點T的左側，才能符合題意，連接，∵，點M為中點，∴，∴點M的軌跡為線段的垂直平分線，記線段的垂直平分線交于點，交于，則，當點F運動到點C處，此時點重合，如圖：當點F與點B重合時，如圖，∴當點從點運動到點時，點運動的路徑長為上圖的長，∵，，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴四點共圓，∴，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了動點的運動路徑問題，解題的關鍵在于確定軌跡，涉及解直角三角形的計算，圓周角定理，勾股定理，直角三角形的性質，難度很大，計算復雜．10．（2025·湖北孝感·一模）如圖，正方形邊長為4，點在邊上，且．將沿翻折至．（1）；（2）連接．則．【答案】//【分析】本題主要考查了正方形的性質、解直角三角形、相似三角形的判定與性質、勾股定理等知識點，靈活運用相關知識成為解題的關鍵．（1）由正方形的性質以及勾股定理可得，再根據(jù)翻折的性質可得，然后根據(jù)正切的定義解答即可；（2）如圖：連接交于O，作，垂足為G，作，垂足為H，則，由折疊的性質可得垂足平分，即，，；再證明可得，即；再根據(jù)平行線的性質、等腰三角形的性質以及等量代換可得，再解直角三角形可得，則；再證明四邊形是矩形可得，進而得到，再運用勾股定理以及線段的和差可得，最后根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：（1）∵正方形邊長為4，∴，∴，∵將沿翻折至，∴，∴．故答案為：．（2）如圖：連接交于O，作，垂足為G，作，垂足為H，則，∵將沿翻折至，∴垂足平分，即，，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，解得：，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，即，解得：，∴，∵，，，∴四邊形是矩形，∴，∴，∴，∴．故答案為：．11．如圖，在等腰直角三角形中，，，點為上一點，且，將繞點旋轉，得到，連接，過點作于點，則的最小值為，最大值為．【答案】【分析】本題主要考查了三角函數(shù)比，旋轉的性質，相似三角形的判定和性質，切線的性質，勾股定理，線段的最值問題等知識點，解題的關鍵是根據(jù)題意構造出相關切線，并靈活運用各性質求解．根據(jù)題意構造出圓，切線在圓的右側時，線段取最小值，切線在圓的左側時，線段取最大值，根據(jù)勾股定理，相似三角形的性質和三角函數(shù)比等知識最后可求得結果．【詳解】解：①如圖所示,以點為圓心，長為半徑作圓，∵將繞點旋轉，得到，∴點在以點為圓心，長為半徑的上，當直線與右側相切時，切點為點,此時取值最小，交于點，，在中，由勾股定理得，，，，，，，，，，，，，故的最小值為．②如圖所示，當直線與左側相切時，切點為點,此時取值最大，交的延長線于點，在中，，，，，，，，故的最大值為．故答案為：，12．如圖，在矩形中，，，點M是平面內(nèi)任意一點，連接，點N是的中點，連接，若，則的最大值為．【答案】【分析】如圖，延長到J，使得，連接，證明，求出的最大值可得結論．【詳解】解：如圖，延長到J，使得，連接，，，，四邊形都是矩形，，，，，，，的最大值為，的最大值為故答案為：【點睛】本題考查矩形的性質，三角形三邊關系，三角形中位線定理，勾股定理等知識，解題的關鍵是掌握相關知識解決問題．13．（新考向）如圖，菱形的邊長為，，點為菱形內(nèi)一動點，連接，，點為的中點，連接，則的最小值為．【答案】【分析】取中點K，連接，過D作交的延長線于N，判定，推出，得到，由含30度角的直角三角形的性質得到，，由勾股定理求出，由三角形三邊關系定理得到，即可得到的最小值．【詳解】解：取中點K，連接，過D作交的延長線于N，∴，∵H是中點，∴，∵四邊形是邊長為4的菱形，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴的最小值為．故答案為：．【點睛】本題考查菱形的性質，全等三角形的判定和性質，三角形三邊關系，含30度角的直角三角形，關鍵是判定，推出，由三角形三邊關系定理得到．14．（新考向）如圖，在矩形中，是矩形內(nèi)部的一個動點，連接，則下列結論：①；②若，則的最大值為23；③無論點在何位置，總有；④若，則線段的最小值為8．其中正確的結論是。（填序號）【答案】①③④【分析】根據(jù)在矩形性質及勾股定理得，再根據(jù)點在矩形內(nèi)部得，由此可對①進行判斷；過點作于，的延長線交于，于N，的延長線交于，設，，，，證四邊形，，，均為矩形，然后利用由勾股定理得，，由此可對③進行判斷；以為直徑作圓，圓心為，連接交于點，則，根據(jù)得點在矩形內(nèi)部的半圓上運動，據(jù)此得當點與點重合時，為最小，最小值為的長，然后求出，進而可對④進行判斷；先根據(jù)矩形性質及得，進而得，在矩形內(nèi)部，以為一邊作等邊，以點為圓心，以為半徑作，延長交于，延長到，使，則，，的直徑為20，進而得點在優(yōu)弧上運動，當為的直徑時為最大，最大值為20，據(jù)此可對②進行判斷，綜上所述即可得出答案．【詳解】解：在矩形中，，，，又點在矩形內(nèi)部，，故①正確，符合題意；過點作于，的延長線交于，于N，的延長線交于，如圖1所示：設，，，，四邊形為矩形，，，，，四邊形，四邊形，四邊形，四邊形均為矩形，由勾股定理得：，，，，，，，故③正確，符合題意；以為直徑作圓，圓心為，連接交于點，如圖2所示：則，，即，點在矩形內(nèi)部的半圓上運動，根據(jù)點與圓的位置關系得：當點與點重合時，為最小，最小值為的長，在中，，，由勾股定理得：，，即線段的最小值為8，故④正確，符合題意；四邊形為矩形，，，，，在矩形內(nèi)部，以為一邊作等邊，以點為圓心，以為半徑作，延長到，使，如圖3所示：，，，的直徑為20又，，點在優(yōu)弧上運動，為的弦，根據(jù)“直徑是圓內(nèi)最大的弦”得：當為的直徑時為最大，最大值為20，故②不正確，不符合題意．故答案為：①③④．【點睛】此題主要考查了矩形的性質與判定，等邊三角形和直角三角形的性質，圓的有關概念，理解矩形的性質，等邊三角形和直角三角形的性質是解決問題的關鍵，準確地構造相關的圓，利用圓的有關概念解決問題是難點．15．（新考向）如圖，這是一張矩形紙片，為上的一點，，點在邊上，把該紙片沿折疊，點，的對應點分別為，，與相交于點，且的延長線經(jīng)過點．

（1）若，則．（用含的式子表示）（2）若，，則．【答案】【分析】（1）根據(jù)題意，表示出，再利用，得，從而得到結果；（2）由題意，表示出，利用，求出，結合勾股定理，得到結果．【詳解】解：（1）∵四邊形是矩形，，∴，，∴，∵把矩形紙片沿折疊，點，的對應點分別為，，∴，，∵，∴，∴，在中，，故答案為：；（2）∵，，設，則，∵，∴，∵把矩形紙片沿折疊，點，的對應點分別為，，，∴，，，，∴，∴，∴，∴，∴，即，∴．在中，，即，解得：或（負值不符合題意，舍去），∴，故答案為：．【點睛】本題考查折疊的性質，矩形的性質，勾股定理的應用，相似三角形的判定和性質，掌握折疊的性質、相似三角形的判定和性質是解題的關鍵．16．（新考向）如圖，在中，，D是平面內(nèi)一點，，連接、E為的中點，連接，則的最小值為，最大值為．【答案】23【分析】如圖，取的中點，連接，求解，在以為圓心，為半徑的上運動，連接交于，則為最小，為最長，再進一步求解即可．【詳解】解：如圖，取的中點，連接，∵為的中點，，∴，∴在以為圓心，為半徑的上運動，連接交于，則為最小，為最長，∵，∴，∴，∵為中點，∴，∴，，∴的最小值為2，最大值為3；故答案為：2，3【點睛】本題考查的是勾股定理的逆定理的應用，直角三角形斜邊上的中線的性質，圓的確定，圓外一點與圓上各點的距離的最值問題，確定E的軌跡是解本題的關鍵．17．（新考向）如圖，點為等邊的邊上的一個動點，，過點作于點，交邊于點，連接，則的面積最大值為．【答案】【分析】本題考查等邊三角形的性質，直角三角形的性質，二次函數(shù)的最值，過作于，根據(jù)等邊三角形可得，，都是直角三角形，設，利用直角三角形的性質和勾股定理即可表示出，，然后根據(jù)列出解析式，最后根據(jù)二次函數(shù)的性質求最大值即可．【詳解】解：過作于，∵等邊，，∴，，∵，，∴，∴，∴，∴，設，則，中，，，∴，，同理，中，由可得，中，由可得，∴，∵，∴當時，最大，即的面積最大值為．18．如圖，在矩形中，平分，，分別交于點．若，，則的長為．【答案】【分析】本題考查了矩形的性質，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，先證明，可得，，再利用矩形的性質和勾股定理得，即得，進而由得，即得，即可得，再根據(jù)求出即可求解，掌握以上知識點是解題的關鍵．【詳解】解：∵平分，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，，∵四邊形是矩形，∴，，，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：．19．如圖，在中，已知，，，點、分別是、邊上的兩個動點，且始終保持，連接，則當取最小值時，．【答案】【分析】本題考查相似三角形和全等三角形的綜合應用，同時涉及勾股定理和最值問題．本題綜合性較強，能合理構建出全等三角形以及轉化線段是學生解決本題的關鍵．先構建出，轉化，即可利用三角形三邊關系得出，進一步根據(jù)以及勾股定理進行分析即可．【詳解】解：將移動至，使與、與分別重合，則，，,，當三點共線時，,，,,，，，此時,，在中由勾股定理可得，，．故答案為：．20．（新考向）如圖，在四邊形中，，，，，點E、G、H分別為線段上的點，將沿折疊至（點F在四邊形內(nèi)部，且與點B為對應點），則周長的最小值為．【答案】/【分析】過點B作于點，則四邊形是矩形，則，可得，那么，可求，由翻折得，，則點F在以A為圓心，1為半徑的圓上運動，連接，過點分別作的對稱點，連接，過點作于點R，由翻折得到，可求，，解直角三角形得到，則周長：，由勾股定理得，則，當點共線，且共線時，周長取得最小值為．【詳解】解：過點B作于點，∴，∴四邊形是矩形，∴，∴，∴垂直平分，∴，∴，∵，∴，∴，由翻折得，，∴點F在以A為圓心，1為半徑的圓上運動，連接，過點分別作的對稱點，連接，過點作于點R，∴，∴，，∴，∴，∴周長：，∵，∴，∴，當點共線，且共線時，周長取得最小值為，故答案為：．【點睛】本題考查了翻折的性質，圓的定義，矩形的判定與性質，勾股定理，解直角三角形等知識點，難度大，解題的關鍵在于轉化思想的應用．21．如圖，在中，，，．點是上的一點，將線段繞點順時針旋轉得到線段，連接，取的中點，連接．（1）；（2）當取得最小值時，的長為．【答案】75