/2024-2025學(xué)年福州金山中學(xué)第二學(xué)期期末考試高一年級數(shù)學(xué)試卷一?單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分）1.已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），設(shè)是的共軛復(fù)數(shù)，則的虛部是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出共軛復(fù)數(shù)，從而可求出其虛部【詳解】由，得，所以的虛部是，故選：B2.下列結(jié)論正確的是()A.對事件A的概率P(A)必有0<P(A)<1B.若事件A的概率P(A)=0.999,則事件A是必然事件C.用某種藥物對患有胃潰瘍的500名病人治療,結(jié)果有380人有明顯的療效,現(xiàn)有胃潰瘍的病人服用此藥,則估計其會有明顯療效可能性為76%D.某獎券中獎率為50%,則某人購買此獎券10張,一定有5張中獎【答案】C【解析】【詳解】由概率的基本性質(zhì),事件A的概率P(A)的值滿足0?P(A)?1，故A錯誤；必然事件概率為1，故B錯誤；某獎券中獎率為50%，則某人購買此券10張，不一定有5張中獎，故D錯誤．故選C.3.已知向量，，則下列結(jié)論正確的是（）A.向量是單位向量 B.與不能作為基底C. D.與的夾角為【答案】D【解析】【分析】根據(jù)向量的模定義去判斷A的正誤；以基底的要求去判斷B的正誤；以向量垂直的要求去判斷C的正誤；根據(jù)向量的夾角定義去判斷D的正誤.【詳解】對于A:由得，不是單位向量；對于B:與是不共線的非零向量，可以作為基底使用；對于C:，不垂直；對于D:，又向量夾角范圍為,故與的夾角為.正確.故選：D4.為考察兩名運動員的訓(xùn)練情況，下面是兩名運動員連續(xù)10天完成訓(xùn)練指標任務(wù)的綜合得分的折線圖，給出下列四個結(jié)論，其中錯誤的結(jié)論是（）A.第2天至第7天兩名運動員的得分均逐日提高B.第4天至第10天兩名運動員綜合得分均超過80分C.第2天至第6天運動員的得分增量大于運動員的得分增量D.運動員第1天至第3天的得分方差大于第2天至第4天的得分方差【答案】D【解析】【分析】根據(jù)圖象，逐一分析選項，即可得答案.【詳解】由圖象可得，第2天至第7天兩名運動員的得分逐日提高，故A正確；由圖象可得，第4天至第10天兩名運動員綜合得分均超過80分，故B正確；第2天至第6天運動員的得分增量接近4，第2天至第6天運動員的得分增量大概3，故C正確；在1天至第3天的得分統(tǒng)計中，A運動員最小得分78最高得分80，在第2天至第4天的得分統(tǒng)計中，A運動員最小得分78最高得分高于80，所以第2天至第4天的得分波動更大，所以第1天至第3天方差小于第2天至第4天的方差，故D錯誤.故選：D.5.在中，，，，則為（）A. B. C.或 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件利用正弦定理并結(jié)合大邊對大角求解即得.【詳解】在中，因，，，則由正弦定理得：，因，則，于是得，所以為.故選：B6.在一個底面圓直徑和高都是2的圓柱內(nèi)挖去一個圓錐，圓錐的底面與圓柱的下底面重合，圓錐的頂點是圓柱的上底面中心．這個幾何體的表面積為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先求得挖去的圓錐的母線長,從而求得圓錐的側(cè)面積，再求圓柱的側(cè)面積和一個底面積，從而求得組合體的表面積.【詳解】挖去的圓錐的母線長為，則圓錐的側(cè)面積等于，圓柱的側(cè)面積為，圓柱的一個底面面積為，所以組合體的表面積為.故選：A7.平行四邊形中，，，，是線段的中點，則（）A.0 B.2 C.4 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)條件即可得出，，從而得出，然后進行數(shù)量積的運算即可．【詳解】解：如圖，根據(jù)題意：，，且，，，．故選：．【點睛】本題考查了向量加法的平行四邊形法則，向量加法和數(shù)乘的幾何意義，向量的數(shù)量積的運算，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．8.如果空間凸多面體的頂點數(shù)為，棱數(shù)為，面數(shù)為，那么，這個定理是由瑞士數(shù)學(xué)家歐拉在1752年提出的，該定理提供了拓撲變換的不變量而發(fā)展了拓撲學(xué)，被稱為拓撲學(xué)的歐拉定理或歐拉公式.1996年諾貝爾化學(xué)獎授予對發(fā)現(xiàn)有重大貢獻的三位科學(xué)家，是由60個原子構(gòu)成的分子，它是形如足球的多面體，這個多面體有60個頂點，以每一個頂點為端點都有三條棱，面的形狀只有五邊形和六邊形，則分子中六邊形的個數(shù)為（）A12 B.16 C.18 D.20【答案】D【解析】【分析】根據(jù)幾何體的特征，得到頂點數(shù)，棱數(shù)，結(jié)合，計算面數(shù)，再利用棱數(shù)關(guān)系，列式求六邊形的個數(shù).【詳解】，，則設(shè)六邊形個，則五邊形個，則，得：.故選：D.二?多選題（本大題共4小題，共20分）9.有甲、乙兩組數(shù)據(jù)，甲：1、2、a、b、10，乙：1、2、5、6、11，其中，若甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)等于乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，要使甲組數(shù)據(jù)的方差小于乙組數(shù)據(jù)的方差，則可以為（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)與方差的定義，得到，滿足的條件，求解即可．【詳解】解：由題意可得，，所以，平均數(shù)為5，又乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)因為甲組數(shù)據(jù)的方差小于乙組數(shù)據(jù)的方差，所以，即，又，所以可以為，，，，．故選：BCD．10.對任意復(fù)數(shù)，，為虛數(shù)單位，是的共軛復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的運算性質(zhì)分析求解即可【詳解】對于A，由，得，所以，所以A錯誤，對于B，因為，，所以，所以B錯誤，對于C，因為，所以，所以C正確，對于D，因為，所以D正確，故選：CD11.已知事件，，且，，則下列結(jié)論正確的是（）A.如果，那么，B.如果與互斥，那么，C.如果與相互獨立，那么，D.如果與相互獨立，那么，【答案】BD【解析】【分析】A選項在前提下，計算出，，即可判斷；B選項在與互斥前提下，計算出，，即可判斷；C、D選項在與相互獨立前提下，計算出，，，，即可判斷.【詳解】解：A選項：如果，那么，，故A選項錯誤；B選項：如果與互斥，那么，，故B選項正確；C選項：如果與相互獨立，那么，，故C選項錯誤；D選項：如果與相互獨立，那么，，故D選項正確.故選：BD.【點睛】本題考查在包含關(guān)系，互斥關(guān)系，相互獨立的前提下的和事件與積事件的概率，是基礎(chǔ)題.12.正方體中，，點在線段上運動，則下列說法中正確有（）A.B.點從向運動過程中，三棱錐的體積先增大后減小C.當為中點時，三棱錐的外接球的表面積為D.若，設(shè)與底面所成的角為，二面角的平面角為，則【答案】ACD【解析】【分析】A.由正方體的特征，易證平面判斷；B.由正方體的特征知：易知和是定值判斷；C.易知當為中點時，三棱錐的外接球的球心為AC的中點求解判斷；D.分別找出與底面所成的角為，二面角的平面角求解判斷.【詳解】如圖所示：A.由正方體的特征知：，又，所以平面，則，同理，又，所以平面，所以，故正確；B.由正方體的特征知：，所以點從向運動過程中，點P到平面的距離不變，又是定值，所以三棱錐的體積不變，故錯誤；C.當為中點時，三棱錐的外接球的球心為AC的中點，所以R=，所以外接球的表面積為，故正確；D.如圖所示：，過點P作，連接AO，則與底面所成的角，二面角的平面角，因為，所以，則，又，所以，故正確；故選：ACD三?填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.已知，復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)的點在虛軸上，則m=_____________．【答案】或6【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可得對應(yīng)點位置，再由橫坐標的值解方程求得結(jié)果.【詳解】復(fù)數(shù)對應(yīng)點的坐標為，，因為點在虛軸上，則，解得或．故答案為：或6.14.如圖是正方體的平面展開圖，則在這個正方體中，與所成角的大小為___________.【答案】##【解析】【分析】把正方體的平面展開圖還原成正方體,由此能求出與所成角的大小.【詳解】如圖,把正方體的平面展開圖還原成正方體，，，,在這個正方體中,與所成角的大小為.故答案為：.15.已知非零向量，滿足，且，則與的夾角為______________．【答案】##【解析】【分析】由垂直轉(zhuǎn)化得數(shù)量積為0，再將數(shù)量積轉(zhuǎn)化為模長公式，即可求解.【詳解】由可得，即，因為，不妨令，則，，代值化簡得，因為向量夾角范圍為，故與的夾角為.故答案為：16.在《九章算術(shù)》中，將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑（biēnào）.已知在鱉臑中，，，則該鱉臑的表面積為__________，它的內(nèi)切球的半徑為__________．【答案】①.##②.##【解析】【分析】（1）先把四個面的底和高求出來，再求三棱錐得表面積；（2）以等體積法求三棱錐內(nèi)切球半徑.【詳解】如圖：鱉臑中，，，則該鱉臑中，，,（1）鱉臑的表面積為：（2）設(shè)鱉臑的內(nèi)切球的半徑為r，球心為O，則有即解之得故答案為：（1）（2）四?解答題（本大題共6小題，共70.0分）17.已知是關(guān)于的方程的一個根，其中為虛數(shù)單位.（1）求的值;（2）記復(fù)數(shù)，求復(fù)數(shù)的模.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）將代入方程，利用復(fù)數(shù)相等，得到方程，求出；（2）在第一問的基礎(chǔ)上得到，從而求出模長.【小問1詳解】由題意得:，即，所以，所以，，解得：；【小問2詳解】，，所以18.如圖，正三棱柱中，，，N為AB的中點.（1）求證：平面；（2）求A到平面的距離.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）作輔助線，利用線面平行的判定定理即可證明結(jié)論；（2）求得三棱錐的體積，根據(jù)，求得答案.【小問1詳解】連接交于點O,連接,在正三棱柱中四邊形為平行四邊形，故O為的中點，又N為AB的中點，則,又平面，平面，所以平面；【小問2詳解】設(shè)點A到平面的距離為d,正三棱柱中平面,則為三棱錐的高，則，因為平面,所以，則，又平面,平面,故,又平面，所以平面,平面，所以,正三棱柱中，，則,故，故由，可得，解得，故A到平面的距離為.19.甲、乙、丙三人參加一家公司的招聘面試，面試合格者可正式簽約．甲表示只要面試合格就簽約，乙丙則約定：兩人面試都合格就一同簽約，否則兩人都不簽約．設(shè)甲面試合格的概率為，乙丙每人面試合格的概率都是，且三人面試是否合格互不影響．求：（1）恰有一人面試合格的概率；（2）至多一人簽約的概率．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)相互獨立事件概率乘法公式和互斥事件概率的加法公式可得答案；（2）事件E：至多一人簽約，事件F：恰好一人簽約，事件G：沒人簽約，根據(jù)互斥事件概率加法公式和相互獨立事件概率乘法公式可得．【詳解】（1）記事件A：甲面試合格，事件B：乙面試合格事件C：丙面試合格事件D：恰好有一人面試合格依題意，事件A、B、C相互獨立.（2）至多一人簽約包括甲簽約乙丙沒有簽約、三人都沒有簽約兩種情況，事件F：甲簽約乙丙沒有簽約，事件G：三人都沒有簽約，事件E：至多一人簽約，因為F與G互斥，所以，，，，所以至多一人簽約的概率為．20.在①；②；③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并作答.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且___________.（1）求角B的大?。唬?）若點D滿足，且，求面積的最大值.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.【答案】（1），（2）面積最大值為.【解析】【分析】（1）選①：由正弦定理得，整理得，再利用余弦定理可得解；選②：利用余弦定理得，再利用余弦定理可得解；選③：利用余弦定理得，化簡得，即可求解；（2）由，通過以與作為基底，可以得到，再將上述向量式轉(zhuǎn)化為數(shù)量式，兩邊同平方得，最后再利用基本不等式即可求出最值，也就得到三角形面積最值.【小問1詳解】若選①，由正弦定理得，所以，整理得，所以，又,所以.若選②，由余弦定理得，化簡得所以，又，所以.若選③，由余弦定理得，化簡得，又，所以.【小問2詳解】，=，兩邊同平方得，化簡得，代入，，化簡為，即，，當且僅當，即，時等號成立

，故面積最大值為.21.2021年起，遼寧省將實行“3+1+2”高考模式，為讓學(xué)生適應(yīng)新高考的賦分模式某校在一次校考中使用賦分制給高三年級學(xué)生的化學(xué)成績進行賦分，具體賦分方案如下：先按照考生原始分從高到低按比例劃定A、B、C、D、E共五個等級，然后在相應(yīng)賦分區(qū)間內(nèi)利用轉(zhuǎn)換公式進行賦分A等級排名占比15%，賦分分數(shù)區(qū)間是86-100；B等級排名占比35%，賦分分數(shù)區(qū)間是71-85；C等級排名占比35%，賦分分數(shù)區(qū)間是56-70；D等級排名占比13%，賦分分數(shù)區(qū)間是41-55；E等級排名占比2%，賦分分數(shù)區(qū)間是30-40；現(xiàn)從全年級的化學(xué)成績中隨機抽取100名學(xué)生的原始成績(未賦分)進行分析，其頻率分布直方圖如圖所示：（1）求圖中a的值；（2）用樣本估計總體的方法，估計該校本次化學(xué)成績原始分不少于多少分才能達到賦分后的C等級及以上(含C等級)？（結(jié)果保留整數(shù)）（3）若采用分層抽樣的方法，從原始成績在[40，50)和[50，60)內(nèi)的學(xué)生中共抽取5人，查看他們的答題情況來分析知識點上的缺漏，再從中選取2人進行調(diào)查分析，求這2人中恰有一人原始成績在[40，50)內(nèi)的概率.【答案】（1）a0.030；（2）54分；（3）.【解析】【分析】（1）由各組頻率和為1列方程即可得解；（2）由頻率分布直方圖結(jié)合等級達到C及以上所占排名等級占比列方程即可的解；（3）列出所有基本事件及滿足要求的基本事件，由古典概型概率公式即可得解.【詳解】（1）由題意，(0.0100.0150.015a0.0250.005)101，所以a0.030；（2）由已知等級達到C及以上所占排名等級占比為15%+35%+35%=85%，假設(shè)原始分不少于x分可以達到賦分后的C等級及以上，易得，則有(0.0050.0250.0300.015)10(60x)0.0150.85，解得x≈53.33(分)，所以原始分不少于54分才能達到賦分后的C等級及以上；（3）由題知得分在[40,50)和[50,60)內(nèi)的頻率分別為0.1和0.15，則抽取的5人中，得分在[40,50)內(nèi)的有2人，得分在[50,60)的有3人記得分在[50,60)內(nèi)的3位學(xué)生為a，b，c，得分在[40,50)內(nèi)的2位學(xué)生為D，E，則從5人中任選2人，樣本空間可記為{ab，ac，aD，aE，bc，bD，bE，cD，cE，DE},共包含10個樣本用A表示“這2人中恰有一人得分在[40,50)內(nèi)”，則A{aD