第2節(jié)與球有關(guān)的切、接問(wèn)題

考試要求1.能根據(jù)多面體、旋轉(zhuǎn)體的幾何性質(zhì)確定內(nèi)切、外接球的球心.2會(huì)解

決幾何體的內(nèi)切球、外接球相關(guān)問(wèn)題.

■考點(diǎn)聚焦突破

考點(diǎn)一外接球

角度1補(bǔ)形法——存在側(cè)棱與底面垂直

例1（2024?湖州調(diào)研）己知三棱錐P-48c的四個(gè)頂點(diǎn)在球。的球面上，PA=PB

=PC,△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，E,產(chǎn)分別是孫，AB的中點(diǎn)，ZCEF=

90°,則球。的體積為（）

A.A/6TTB.6TTC.24TI

答案A

解析設(shè)必=P3=PC=2x,E,尸分別為布，AB的中點(diǎn)，

:.EF//PB,EF=\PB=xiAE=^PA=x.

連接CE???△48C是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,

:?CF=?

又NCEb=90。，：.CE=y]3-^.

在七C中，由余弦定理得

1+4—(3—X2)2,F+1

cos

/EAC=2X2x4x

過(guò)點(diǎn)P作尸。_LAC于點(diǎn)D.

,:PA=PC、JO為PC的中點(diǎn),

AcosNE4C=*=(，

???馬（:!，解得不=乎（負(fù)值舍去），

:?必=PB=PC=巾,

又AB=3C=AC=2,

：.PAfPB,PC兩兩垂直,

即三棱錐尸一ABC是以外,PB,PC為棱的正方體的一部分,

???球。的直徑2R=[2+2+2=黃,

則球0的體積V=%R'=$X=#兀，故選A.

角度2補(bǔ)形法一一對(duì)棱相等

例2（2024.濟(jì)南質(zhì)檢）若正四面體的表面積為8^3,則其外接球的體積為.

答案4小兀

解析設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為m則正四面體的表面積為4X小〃2=8小，解得〃=

272.

法一將正四面體放入正方體內(nèi)，則正四面體的棱為正方體的面對(duì)角線，故正方

體的棱代x滿足近r=“，解得x=2.

易知正四面體的外接球即正方體的外接球，

設(shè)外接球的半徑為凡

則R滿足2/?=小心故/?=小，

???外接球的體積為%3=4弧.

法二易求得正四面體的高

設(shè)正四面體的外接球半徑為R,

貝R=%=小，

???外接球的體積為強(qiáng)3=4小兀

法三易求得正四面體的高

設(shè)正四面體的外接球半徑為七

則/?2=(〃-杼+聯(lián)判，解得R=5

???外接球的體積為笑3=4小兀.

角度3借助三角形外心確定球心位置

例3若半徑為1的球的內(nèi)接正三棱柱的側(cè)面為正方形，則該正三棱柱的體積為

，表面積為.

18s36+6"J5

答案497~

解析如圖，記正三棱柱為三棱柱ABC-DEF,O為外接球的球心，G為底面

△DEF的重心，連接0G,則OG_L底面。EE連接。G,0D.

設(shè)正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為m則由題意知，DG^OG^DO2.

即岸〃x|)+(%)=1,得片率，

故正三棱柱的體積為52x坐乂。=喈，

表面積為3/+2X52X坐昔+隼=出普.

感悟提升1.補(bǔ)形法的解題策略

(1)側(cè)面為直角三角形或正四面體，或?qū)饩嗟鹊哪Ｐ?，可以放到正方體或長(zhǎng)方

體中去求解；

⑵直三棱錐補(bǔ)成三棱柱求解.

2.iF方體與球的切、接間撅的常用結(jié)論

正方體的棱長(zhǎng)為4,球的半徑為R,

(1)若球?yàn)檎襟w的外接球，貝1」2/?=30

(2)若球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，則2寵=出

(3)若球與正方體的各棱相切，則27?=也%

3.若長(zhǎng)方體的共頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為a,b,c,外接球的半徑為R,則2R=

>\/(72+Z?2+C2.

訓(xùn)練1(1)在三棱錐A-BC。中，側(cè)棱AB,AC,AD兩兩垂直，△ABC,AACD,

△ADB的面積分別為坐坐,幸,

乙乙乙則三棱錐A-BCD的外接球的體積為

答案般花

解析在三棱錐4-BCO中，側(cè)棱A8,AC,AQ兩兩垂直，將其補(bǔ)成長(zhǎng)方體，兩

者的外接球是同一個(gè)，長(zhǎng)方體的體對(duì)角線就是球的直徑.

設(shè)長(zhǎng)方體同一頂點(diǎn)處的三條棱長(zhǎng)分別為。，b,c,

由題意得而=玳,ac=小,bc=y[2,

解得a=5,b=?。=1,

所以球的直徑為、(#)2+(啦)2+匚加,

它的半徑為坐，球的體積為普乂閨二,兀

⑵(2023?焦作模擬)已知三棱錐P—A8C的每條側(cè)棱與它所對(duì)的底面邊長(zhǎng)相等，且

%=36，PB=PC=5,則該三棱錐的外接球的表面積為.

答案34兀

解析根據(jù)題意，三棱錐?一A6c可以嵌入一個(gè)長(zhǎng)方體內(nèi)，且三棱錐的每條棱均

是長(zhǎng)方體的面對(duì)角線，

設(shè)長(zhǎng)方體交于一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為a,b,c,如圖所示,

則/+從=%2=]8,(r-\-c1=PB1=25,廬+(?=2。2=25,解得。=3,b=3,

=4.

所以該三棱錐的外接球的半徑

4序+廬+廿＜32+32+426

所以該三棱錐的外接球的表面積

=34兀

⑶如圖，在四面體A3c。中，ZkAB。和△3CD都是等腰直角三角形，AB=6,

ZBAD=ZCBD=^立面ABOJ_平面C8Q,則四面體A8CQ外接球的表面積為

答案8兀

解析如圖所示，取3D,CO中點(diǎn)M,N,連接AM,MN,AN,BN.

BrD

在等腰直角△ABO中，"=啦，ZBAD=^

：.AMLBDtAM=3M=OM=1,

在等腰直角△AC力中，NCBD=E

:?MNLBD,MN=\,BC=2,CN=ND=BN=&

又平面430_L平面CBD,

:?AN=?

即N為四面體外接球的球心，R=也

則四面體A8CO外接球的表面積為4兀2=8兀.

考點(diǎn)二內(nèi)切球

例4一個(gè)四面體的四個(gè)頂點(diǎn)是四個(gè)半徑為3且兩兩外切的球的球心，則該多面

體內(nèi)切球的半徑為；內(nèi)切球的體積為.

卷案啦魚

口呆23

解析設(shè)這四個(gè)球心分別為A,C,。，由球的幾何性質(zhì)可知，四個(gè)半徑為仍

且兩兩外切的球的球心A,B,C,?？蓸?gòu)成邊長(zhǎng)為2小的正四面體A8CO,設(shè)頂

點(diǎn)A在底面BC。的射影為P,如圖所示，則尸為等邊三角形BCO的中心,

:?AP=、AB2—BP2=2、E，S^=1x（2V3）2Xsin畀35，VA-BCD^S^BCD-AP.

A

設(shè)正四面體4BC。的內(nèi)切球球心為。，該內(nèi)切球的半徑為6則以一BCO=Vo—A8C

+Vo-ABI）-\-Vo-ACD~\~Vo-BCD=4Vo-BCD=4X^S/sBCDXr=^S^BCD-AP,

；.r=%P=*,

???正四面體ABC。的內(nèi)切球的體積為V=Tnr3X=^Tt.

J?J\乙JJ

感悟提升簡(jiǎn)單多面體內(nèi)切球問(wèn)題

(1)利用內(nèi)切球的定義直接找球心和半徑的關(guān)系；

⑵利用等體積法直接來(lái)求半徑(球內(nèi)切于多面體，則球心到各個(gè)面的距離相等).

(3)常見幾何體內(nèi)切球半徑的求法：

①棱長(zhǎng)為。的正方體內(nèi)切球半徑為系

②棱長(zhǎng)為。的正四面體內(nèi)切球的半徑片普〃，即高的作

訓(xùn)練2如圖所示，直三棱柱ABC-ABiG是一塊石材，測(cè)量可得NABC=90。，

A3=6,6C=8,A4i=13.若將該石材切削、打磨，加工成幾個(gè)大小相同的健身手

球，則一個(gè)加工所得的健身手球的最大體積及此時(shí)加工成的健身手球的個(gè)數(shù)分別

為()

B

A327t.c971r

4B.^~,3

C.6兀，43

答案D

解析依題意知，當(dāng)健身手球與直三棱錐的三個(gè)側(cè)面均相切時(shí)，健身手球的體積

最大.

易知AC=ylAB2-\~BC2=10,

設(shè)健身手球的最大半徑為R,

則Jx(6+8+l())XR=；X6X8,解得H=2.

則健身手球的最大直徑為4.

因?yàn)锳4i=13,所以最多可加工3個(gè)健身手球.

于是一個(gè)健身手球的最大體積

V=$R3=,7tX23=^1^.

■課時(shí)

【A級(jí)基礎(chǔ)鞏固】

1.正方體的外接球與內(nèi)切球的表面積比值為()

A4B.3小C.3D.1

答案C

解析設(shè)正方體的外接球的半徑為R,內(nèi)切球的半徑為廣，棱長(zhǎng)為1,

則正方體的外接球的直徑為正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)，

L也

即2R=小,所以R=￥，

正方體內(nèi)切球的直徑為正方體的棱長(zhǎng)，

即2r=1,即尸=：，所以§=小，

所以正方體的外接球與內(nèi)切球的表面積比值為誓=當(dāng)=3.

2.若圓錐的內(nèi)切球與外接球的球心重合，且內(nèi)切球的半徑為1,則圓錐的體積為

（）

A.KB.2兀C.3兀D.4兀

答案C

解析過(guò)圓錐的旋轉(zhuǎn)軸作軸截面，得△ABC及其內(nèi)切圓。Oi和外接圓。。2,

且兩圓同圓心，即△A3C的內(nèi)心與外心重合，易得△ABC為正三角形，

由題意得0。的半仔為r=l,

???△ABC的邊長(zhǎng)為2小，

???圓錐的底面半徑為北,高為3,

.?.V=|xnX3X3=3K.

47T

3.已知一個(gè)三棱柱，其底面是正三角形，且側(cè)棱與底面垂直，一個(gè)體積為手的球

體與棱柱的所有面均相切，那么這個(gè)三棱柱的表面積是（）

A.6V§B.125C.l8sD.24小

答案C

解析根據(jù)已知可得球的半徑等于1,故三棱柱的高等于2,底面三角形內(nèi)切圓的

半徑等于1,即底面三角形的高等于3,邊長(zhǎng)等于2#,

所以這個(gè)三棱柱的表面積等于3X2/乂2+2*我25又3=18小.

4.已知棱長(zhǎng)為1的正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則這個(gè)球的體積為（）

A亞R也「亞n立

A.KB.才兀C%-兀D.q-兀

答案A

解析如圖將棱長(zhǎng)為1的正四面體3I-AC￡>I放入正方體ABCO-AiBC。中，

且正方體的棱長(zhǎng)為lXcos45Q=號(hào),

所以正方體的體對(duì)角線

所以正方體外接球的半徑尺=亨=苧,

所以正方體外接球的體積為

因?yàn)檎拿骟w的外接球即為正方體的外接球，

所以正四面體的外接球的體積為幸兀

O

5.（2024.青島調(diào)研）一個(gè)球與一個(gè)正三棱柱（底面為等邊三角形，側(cè)棱與底面垂直）

的兩個(gè)底面和三個(gè)側(cè)面都相切，若棱柱的體積為48陋，則球的表面積為（）

A.167tB.4nC.8nD.32兀

答案A

解析由題意，設(shè)正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為m則其內(nèi)切球的半徑一=!乂羋〃=￡,

32o

所以正三棱柱的高h(yuǎn)=2r=^-a.

棱柱的體積?〃=坐々2坐々=牛=48小,得a=44,

所以球的表面積5=4/=4兀?（*j=款=16兀.故選A.

6.（2024?福建聯(lián)合測(cè)評(píng)）已知在正三棱錐產(chǎn)一ABC中，。為△ABC的中心，AB=6,

ZAPB=2ZPAO,則該正三棱銖的外接球的表面積為（）

A.49nB.367rC.32兀D.28兀

答案A

解析設(shè)正三棱錐產(chǎn)一ABC的側(cè)棱長(zhǎng)為r

易知OA=,X坐X6=2A/§,

則cos/%。=鬻=乎，

f+x2-36X2-18

cosNAPB=---斤---=-p-.

因?yàn)镹4尸8=2/%0,

所以cosZAPB=cos2/以O(shè),

2

所以平

-1

解得光=如(負(fù)值舍去〕,

所以00=#必2_0-2=3.

設(shè)外接球球心為M,半徑為R,

則MP=MA=R,MO=\3-R\.

因?yàn)镸A2=MO2+O42,

所以R2=(3—R)2+(2#)2,解得R=￡,

所以外接球表面積5=4兀產(chǎn)=49兀故選A.

7.(2024?金華質(zhì)檢)在Rl/\ABC中，CA=CB=?以AB為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周得到

一個(gè)幾何體，則該兒何體的內(nèi)切球的體積為(

A*B.嚓-2兀

C.2nD.—

答案A

解析如圖所示，旋轉(zhuǎn)體的軸截面為邊長(zhǎng)為夷的正方形,

C

AB

O

設(shè)。為內(nèi)切球的球心.

內(nèi)切球半徑r=；AC=￥，

所以該幾何體的內(nèi)切球的體積為

，義兀x（坐］=與，故選A.

8.（2024?南陽(yáng)調(diào)研）已知等腰直角三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)在球O的表面上，且AC

=pAB=8?連接CO并延長(zhǎng)交球。的表面于點(diǎn)。，連接D4,OB若球。的

體積為288兀，則直線AC,8。所成角的正切值為（）

國(guó)R恒「小D亞

/A?17o.42i-j?3

答案C

解析由題意可知，3C=A8=8,且CQ為球的直徑，

所以RDIRC,ACIAD.

4

因?yàn)榍?。的體積為1兀"=288兀（/?為球。的半徑），

所以R=6,所以CO=12,

由勾股定理可得BD=^CD2-BC2=4y/5.

設(shè)直線AC,BD所成角為仇

\ACBD\IAC-（AD-AB）\|AcAb-AcAB||0一8/X8Xcos45。|

則cos0=__=二^==以歷X4、h

\AC\-\BD\\AC\-\BD\\AC\-\BD\

_Vib

一5，

所以sin0=71—cos%=^K

J

叱?八sin9v6

所以tan0-n—,故選C.

9.在三棱錐A-BCD中，若AO_L平面BCQ,ABLBC,AD=BD=2,CD=4,點(diǎn)、

4B,C,。在同一個(gè)球面上，則該球的表面積為.

答案20兀

解析根據(jù)題意得，8CJ_平面A3。，則8C_LBQ,即4/）,BC,3。三條線兩兩

垂直，所以可將三棱錐A-8CO放置于長(zhǎng)方體內(nèi)，如圖所示，

A

該三棱錐的外接球即為長(zhǎng)方體的外接球，球心為長(zhǎng)方體體對(duì)角線的中點(diǎn)，

即外接球的半徑為長(zhǎng)方體體對(duì)角線長(zhǎng)的一半，

此時(shí)AC為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線，即為外接球的直徑，

所以該球的表面積

S=4兀R2=7l.AC2=7rQ2+42）=20兀

10.如圖所示是古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻著一個(gè)圓柱，圓柱內(nèi)有

一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球的直徑恰好與圓柱的高相等，相傳這個(gè)圖形表達(dá)了阿基米德

最引以為豪的發(fā)現(xiàn).我們來(lái)重溫這個(gè)偉大發(fā)現(xiàn)，圓柱的體積與球的體積之比為

，圓柱的表面積與球的表面積之比為.

33

答

案--

22

解析由題意，知圓柱底面半徑為廠，球的半徑為R,

則/?=〃，圓柱的高力=2R,則八=黜3,

V^=7trh=7tR22R=2TtR^.

.丫-_2兀/?3_3

“一加一才

又YS球=4兀/已

S柱=2口2+2?！?=2兀/?2+2兀刈2/?=6兀/?2.

.S._6TTR2_3

?'S^=4^=2-

11.（2024?寶雞質(zhì)檢）如圖，在正四棱臺(tái)48。）一48。。|中，。，Oi分別是正方形

ABCD,的中心.若以O(shè)i為球心，OIAI為半徑的球與平面ABCO相切，

且。是該四樓臺(tái)的外接球的球心，則該四棱臺(tái)的體積與其外接球的體積之比為

2+3也

答案

8兀

解析連接。4（圖略），

設(shè)Ai8i=a,AB=b,00\=h,

因?yàn)橐設(shè)i為球心，Oi4為半徑的球與平面A8CQ相切,

所以仁冬.

因?yàn)椤Ｊ窃撍睦馀_(tái)外接球的球心，

所以。4=\^序+（乎〃）=乎。，

即〃=啦4,

所以四棱臺(tái)的體積

%=*?（/+〃+（⑼=,

3

12.在三棱錐P-ABC中，平面%CJ_平面4BC,%=PC=AB=2小,AC=4,NBAC

=30°,則該三棱錐外接球的體積為.

答案兀

解析如圖所示，在△ABC中，由余弦定理得

p

BC2=（2小了+4?—2X2小義4cos30°=4.

所以AB2-\-BC2=\6=AC2,

即△ABC為直角三角形.

故△ABC外接圓的圓心為斜邊AC的中點(diǎn).

取AC的中點(diǎn)為。,連接尸Oi,則PO」AC.

由平面B4C_L平面ABC,得P?！蛊矫鍭8C.

該三棱錐外接球的球心在線段POi上.

設(shè)球心為O,連接04,則QA=OP,且均為外接球的半徑.

在Rt△尸0M中，P0i=?（2亞2-22=2吸.

在RtZ\OOiA中，OA2=OOHAOt

即汽=（2啦一/?）2+4,則R=乎.

所以外接球的體積仁初仁手仔判=外/5TL

【B級(jí)能力提升】

13.（2022.全國(guó)乙卷）已知球。的半徑為1,四棱錐的頂點(diǎn)為。，底面的四個(gè)頂點(diǎn)均

在球。的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)，其高為（）

A1C近D應(yīng)

答案c

解析該四棱錐的體積最大，即以底面外接圓和頂點(diǎn)。組成的圓錐體積最大，

設(shè)圓錐的高為〃（0</?<1）,底面半徑為廠，

則圓錐的體積V=^7ir2/i=-j7t（l

則^=%（1-3?）,

令兀（1—3力2）=0,得/?=生，

所以丫=；兀（1—序）〃在0,坐^上單調(diào)遞增，

在1）上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)〃=乎時(shí)，四棱錐的體積最大，故選C.

14.在三棱錐。一ABC中，AB=BC=2,AC=2小，BD=4,BQJ_平面48C,則

三棱錐D-ABC外接球的表面積為.

答案32兀

解析???8。，平面48。，故可將三棱錐補(bǔ)為直三棱柱，如圖所示，

9

：AB=BC=2fAC=2小,

故三棱柱的上、下底面三角形的外接圓圓心在底邊中線的延長(zhǎng)線上，

設(shè)為。，。2,易得NOi8C=60。,

故。歸=OC=8C=2,

???三棱柱外接球球心為上、下底面外心所連線段的中點(diǎn)O,即為三棱錐。一48C

外接球球心，

設(shè)該外接球半徑為七

則在RtAOCOi中,配=?。?22=8,

故三棱錐D-ABC外接球的表面積為4兀心=32兀

15.如圖，己知平行四邊形ABC。中，AC=AB=m,NRAO=120。，將△48C沿

對(duì)角線AC翻折至所在的位置，若二面角辦一4。一。的大小為120。，則

過(guò)A,Bi,C,。四點(diǎn)的外接球的表面積為_____.

答案會(huì)"?

解析由已知得△BMC與△D4C均為邊長(zhǎng)是，〃的正三角形，取AC中點(diǎn)G,

連接。G,BiG,如圖，

則有。G_LAC,BiGlAC,

于是得NBG。是二面角B—AC—Q的平面角，則NBiGO=120。，

顯然有AC_L平面8G。，即有平面SGO_L平面BiAC,平面8iGOJ_平面ZMC,

令正△8AC與正△D4C的中心分別為E,F,過(guò)E,尸分別作平面8AC,平面

ZMC的垂線，

則兩垂線都在平面以G