高中橢圓題目及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.橢圓\(\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1\)的長半軸長是（）A.5B.3C.4D.102.橢圓\(\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{4}=1\)的離心率為（）A.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)B.\(\frac{1}{2}\)C.\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)D.\(\frac{\sqrt{5}}{5}\)3.橢圓\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)的一個焦點坐標(biāo)是（）A.\((a,0)\)B.\((0,b)\)C.\((c,0)\)D.\((0,c)\)（其中\(zhòng)(c^{2}=a^{2}-b^{2}\)）4.橢圓\(x^{2}+4y^{2}=16\)的短軸長是（）A.2B.4C.8D.165.已知橢圓\(\frac{x^{2}}{m}+\frac{y^{2}}{4}=1\)的焦距為2，則\(m\)的值為（）A.5B.3C.5或3D.66.橢圓\(\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1\)上一點\(P\)到一個焦點的距離為3，則\(P\)到另一個焦點的距離為（）A.2B.3C.5D.77.橢圓\(\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{2}=1\)的焦點在（）A.\(x\)軸B.\(y\)軸C.無法確定D.原點8.橢圓\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)中，若\(a=2b\)，則離心率\(e\)為（）A.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)B.\(\frac{\sqrt{5}}{5}\)C.\(\frac{1}{2}\)D.\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)9.橢圓\(4x^{2}+9y^{2}=36\)的長軸端點坐標(biāo)是（）A.\((\pm3,0)\)B.\((0,\pm2)\)C.\((\pm2,0)\)D.\((0,\pm3)\)10.與橢圓\(\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1\)有相同焦點的橢圓是（）A.\(\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1\)B.\(\frac{x^{2}}{10}+\frac{y^{2}}{5}=1\)C.\(\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{7}=1\)D.\(\frac{x^{2}}{5}+\frac{y^{2}}{10}=1\)二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有（）A.\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)B.\(\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)C.\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}}=1\)D.\(\frac{x^{2}}{b^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)2.橢圓\(\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1\)的性質(zhì)正確的有（）A.長軸長為8B.短軸長為6C.焦點坐標(biāo)為\((\pm\sqrt{7},0)\)D.離心率為\(\frac{\sqrt{7}}{4}\)3.以下關(guān)于橢圓的說法正確的是（）A.橢圓是平面內(nèi)到兩個定點的距離之和為常數(shù)的點的軌跡B.橢圓的離心率\(e\)滿足\(0\lte\lt1\)C.橢圓的長軸長一定大于短軸長D.橢圓的焦點一定在坐標(biāo)軸上4.橢圓\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)，若\(a\)增大，\(b\)不變，則（）A.橢圓變扁B.橢圓變圓C.離心率增大D.離心率減小5.橢圓\(9x^{2}+4y^{2}=36\)的相關(guān)性質(zhì)正確的是（）A.標(biāo)準(zhǔn)方程為\(\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1\)B.焦點在\(y\)軸C.長軸長為6D.離心率為\(\frac{\sqrt{5}}{3}\)6.若橢圓\(\frac{x^{2}}{m}+\frac{y^{2}}{n}=1(m\gt0,n\gt0)\)的焦點在\(x\)軸上，則（）A.\(m\gtn\)B.\(m\ltn\)C.焦點坐標(biāo)為\((\pm\sqrt{m-n},0)\)D.離心率\(e=\frac{\sqrt{m-n}}{\sqrt{m}}\)7.橢圓的離心率與橢圓形狀的關(guān)系，正確的是（）A.離心率越接近0，橢圓越圓B.離心率越接近1，橢圓越扁C.離心率為0時，橢圓為圓D.離心率為1時，橢圓為線段8.已知橢圓\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)，以下哪些點可能在橢圓上（）A.\((a,0)\)B.\((0,b)\)C.\((-a,0)\)D.\((0,-b)\)9.橢圓\(\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1\)上的點到焦點的距離可以是（）A.2B.3C.4D.610.對于橢圓\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)和\(\frac{x^{2}}{A^{2}}+\frac{y^{2}}{B^{2}}=1(A\gtB\gt0)\)，若\(\frac{a}=\frac{B}{A}\)，則（）A.兩橢圓離心率相同B.兩橢圓形狀相同C.兩橢圓長軸長相等D.兩橢圓短軸長相等三、判斷題（每題2分，共10題）1.平面內(nèi)到兩個定點\(F_1,F_2\)的距離之和等于常數(shù)的點的軌跡是橢圓。（）2.橢圓\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)中，\(a\)是長半軸長，\(b\)是短半軸長。（）3.橢圓的離心率\(e\)越大，橢圓越圓。（）4.橢圓\(\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{25}=1\)的焦點在\(x\)軸上。（）5.橢圓上一點到兩焦點距離之和為長軸長\(2a\)。（）6.若橢圓\(\frac{x^{2}}{m}+\frac{y^{2}}{4}=1\)的焦點在\(y\)軸上，則\(m\gt4\)。（）7.橢圓\(x^{2}+4y^{2}=1\)的離心率為\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)。（）8.橢圓的長軸長一定是短軸長的\(2\)倍。（）9.橢圓\(\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1\)與\(\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1\)的離心率相同。（）10.橢圓\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)中，\(c^{2}=a^{2}+b^{2}\)（\(c\)為半焦距）。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.求橢圓\(\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1\)的焦點坐標(biāo)和離心率。-答案：\(a^{2}=25\)，\(a=5\)；\(b^{2}=16\)，\(b=4\)。\(c^{2}=a^{2}-b^{2}=9\)，\(c=3\)。焦點坐標(biāo)為\((\pm3,0)\)，離心率\(e=\frac{c}{a}=\frac{3}{5}\)。2.已知橢圓焦點在\(y\)軸上，且\(a=5\)，\(c=3\)，求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程。-答案：\(b^{2}=a^{2}-c^{2}=25-9=16\)，焦點在\(y\)軸，標(biāo)準(zhǔn)方程為\(\frac{y^{2}}{25}+\frac{x^{2}}{16}=1\)。3.橢圓\(\frac{x^{2}}{m}+\frac{y^{2}}{4}=1\)的離心率為\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)，求\(m\)的值。-答案：當(dāng)焦點在\(x\)軸，\(a^{2}=m\)，\(b^{2}=4\)，\(c^{2}=m-4\)，\(e=\frac{\sqrt{m-4}}{\sqrt{m}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)，解得\(m=8\)；當(dāng)焦點在\(y\)軸，\(a^{2}=4\)，\(b^{2}=m\)，\(c^{2}=4-m\)，\(e=\frac{\sqrt{4-m}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)，解得\(m=2\)。4.橢圓的離心率\(e\)反映了橢圓的什么性質(zhì)？-答案：離心率\(e\)反映橢圓的扁平程度。\(e\)越接近\(0\)，橢圓越圓；\(e\)越接近\(1\)，橢圓越扁，\(e=\frac{c}{a}\)（\(c\)為半焦距，\(a\)為長半軸長）。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論橢圓\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)和\(\frac{x^{2}}{b^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)的異同點。-答案：相同點：\(a\)、\(b\)相同，長軸長\(2a\)，短軸長\(2b\)，焦距\(2c\)（\(c^{2}=a^{2}-b^{2}\)）相同，離心率相同。不同點：焦點位置不同，前者焦點在\(x\)軸，后者在\(y\)軸；標(biāo)準(zhǔn)方程形式不同。2.若橢圓\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)上一點\(P\)到兩焦點距離之積為\(m\)，討論\(m\)的取值范圍。-答案：設(shè)\(|PF_1|=x\)，\(|PF_2|=2a-x\)（\(F_1,F_2\)為兩焦點），則\(m=x(2a-x)=-x^{2}+2ax\)，\(x\in[a-c,a+c]\)。該二次函數(shù)對稱軸為\(x=a\)，當(dāng)\(x=a\)時，\(m\)取最大值\(a^{2}\)；當(dāng)\(x=a\pmc\)時，\(m\)取最小值\(b^{2}\)，所以\(m\in[b^{2},a^{2}]\)。3.如何根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程判斷焦點位置？-答案：對于橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程\(\frac{x^{2}}{A}+\frac{y^{2}}{B}=1(A\gt0,B\gt0)\)，若\(A\gtB\)，焦點在\(x\)軸；若\(A\ltB\)，焦點在\(y\)軸。也就是看\(x^{2}\)與\(y^{2}\)分母大小，分母大的對應(yīng)的軸就是焦點所在軸。4.討論改變橢圓方程中的\(a\)、\(b\)值對橢圓形狀的影響。-答案：\(a\)決定長軸長度，\(b\)決定短軸長度。\(a\)不變，\(b\)增大，橢圓越圓；\(b\)減小，橢圓越扁。\(b\)不變，\(a\)增大，橢圓越扁；\(a\)減小，橢圓越圓。離心率\(e=\frac{c}{a}=\sqrt{1-(\frac