虹口區(qū)2024-2025學(xué)年第二學(xué)期高二年級(jí)數(shù)學(xué)期末2025.6一、填空題（本大題共有12題,滿分54分,第1-6題每題4分,第7-12題每題5分）

1．拋物線的準(zhǔn)線方程為.

2．函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

3．經(jīng)過(guò)平面外一點(diǎn)與該平面平行的直線有條.

4．直線與的夾角大小為.

5．若一個(gè)球的體積為，則該球的表面積為.

6．二項(xiàng)式展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（用數(shù)字作答）.

7．在正四面體中，直線與所成角的大小為.

8．某校高一年級(jí)100名同學(xué)在一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中成績(jī)（百分制，均為整數(shù)）的頻率分布直方圖如右圖，則成績(jī)?cè)谥g的學(xué)生人數(shù)為.

9．從甲、乙等7名學(xué)生中選派4名學(xué)生參加演講比賽，則甲和乙至少一人參加的概率為.10．已知圓錐的母線長(zhǎng)為6，其側(cè)面展開圖是一個(gè)圓心角為的扇形，則該圓球的表面積為.

11．如圖，是橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn)，分別是在第二、四象限的公共點(diǎn)，若四邊形為矩形，則的漸近線方程為.

12．曲線與曲線分別交于兩點(diǎn)，設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，若，則.

二、選擇題（本題共有4題，滿分20分，每題5分）.

13．已知是兩條不重合的直線，是兩個(gè)不重合的平面，則（）.

A．若，則 B．若，則 C．若，則 D．若，則

14．隨著Deepseek的流行，各種大模型層出不窮，現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)大模型，在對(duì)甲、乙兩個(gè)大模型進(jìn)行深度體驗(yàn)后，6位評(píng)委分別對(duì)甲、乙進(jìn)行打分（滿分10分），得到如圖所示的統(tǒng)計(jì)表格：模型名稱評(píng)委編號(hào)123456甲8.09.28.08.28.68.4乙7.89.08.38.48.58.5則下列結(jié)論正確的是（）.

A．甲得分的平均數(shù)大于乙得分的平均數(shù)B．甲得分的中位數(shù)大于乙得分的中位數(shù)C．甲得分的極差大于乙得分的極差D．甲得分的方差大于乙得分的方差

15．對(duì)于定義在上的兩個(gè)函數(shù)，若是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則時(shí)，下列結(jié)論一定成立的是（）.

A．B．C．D．16．對(duì)于曲線，給出兩個(gè)結(jié)論：（1）曲線所圍成的封閉圖形的面積小于8；

（2）曲線上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最大值為，則（）.

A．（1）成立，（2）成立B．（1）成立，（2）不成立C．（1）不成立，（2）成立D．（1）不成立，（2）不成立

三、解答題（本大題共有5題，滿分76分）．

17．（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）

已知圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且圓心為．

（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若直線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，且與圓相交于點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)．

18．（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，分別為、中點(diǎn)．

（1）求證：平面；

（2）若，平面平面，求二面角的余弦值．19．（本題滿分14分，第1小題滿分4分，第2小題滿分4分，第3小題滿分6分）某校為了解學(xué)生的身高情況，從高一、高二、高三三個(gè)年級(jí)中采用分層抽樣的方法抽取了100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，其中高一、高二、高三的學(xué)生人數(shù)之比為4：3：3．

（1）求從高一、高二、高三各年級(jí)抽取的學(xué)生人數(shù)；

（2）從抽取的100名學(xué)生中隨機(jī)選取2人協(xié)助工作人員調(diào)查，求這2人來(lái)自不同年級(jí)的概率（用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示）；

（3）經(jīng)過(guò)調(diào)查，抽取的高二學(xué)生身高的平均數(shù)為，方差為60，其中被抽中的小李身高是.試求除去小李后其余被抽中的高二學(xué)生身高的平均數(shù)與方差（結(jié)果精確到.

20．（本題滿分16分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分）設(shè)．

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若曲線在點(diǎn)處的切線與曲線也相切，求的值；

（3）若函數(shù)的圖像恒在函數(shù)的圖像的上方，求的取值范圍．

21．（本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分）在平面直角坐標(biāo)系中，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)．

（1）若的離心率為，且，求的方程；

（2）若過(guò)原點(diǎn)的直線與相交于兩點(diǎn)，是上異于的任意一點(diǎn)，求證：直線的斜率之積是定值；

（3）設(shè)直線的一個(gè)法向量為是上任意一點(diǎn)，對(duì)于平面內(nèi)的一定點(diǎn)，定義．證明：若，則直線與橢圓相切．

虹口區(qū)2024-2025學(xué)年第二學(xué)期高二年級(jí)數(shù)學(xué)期末2025.6一、填空題（本大題共有12題,滿分54分,第1-6題每題4分,第7-12題每題5分）

1．拋物線的準(zhǔn)線方程為.

【答案】2．函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

【答案】3．經(jīng)過(guò)平面外一點(diǎn)與該平面平行的直線有條.

【答案】無(wú)數(shù)4．直線與的夾角大小為.

【答案】5．若一個(gè)球的體積為，則該球的表面積為.

【答案】6．二項(xiàng)式展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（用數(shù)字作答）.

【答案】247．在正四面體中，直線與所成角的大小為.

【答案】8．某校高一年級(jí)100名同學(xué)在一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中成績(jī)（百分制，均為整數(shù)）的頻率分布直方圖如右圖，則成績(jī)?cè)谥g的學(xué)生人數(shù)為.

【答案】59．從甲、乙等7名學(xué)生中選派4名學(xué)生參加演講比賽，則甲和乙至少一人參加的概率為.【答案】10．已知圓錐的母線長(zhǎng)為6，其側(cè)面展開圖是一個(gè)圓心角為的扇形，則該圓球的表面積為.

【答案】11．如圖，是橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn)，分別是在第二、四象限的公共點(diǎn)，若四邊形為矩形，則的漸近線方程為.

【答案】12．曲線與曲線分別交于兩點(diǎn)，設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，若，則.

【答案】【解析】因?yàn)榈膱D像與的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，且函數(shù)的圖像像關(guān)于直線對(duì)稱，可知點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，設(shè)，則，由于，故．

設(shè)，賬，由題意可得：，解得或（舍去），可得，則，所以．二、選擇題（本題共有4題，滿分20分，每題5分）.

13．已知是兩條不重合的直線，是兩個(gè)不重合的平面，則（）.

A．若，則 B．若，則 C．若，則 D．若，則

【答案】C14．隨著Deepseek的流行，各種大模型層出不窮，現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)大模型，在對(duì)甲、乙兩個(gè)大模型進(jìn)行深度體驗(yàn)后，6位評(píng)委分別對(duì)甲、乙進(jìn)行打分（滿分10分），得到如圖所示的統(tǒng)計(jì)表格：模型名稱評(píng)委編號(hào)123456甲8.09.28.08.28.68.4乙7.89.08.38.48.58.5則下列結(jié)論正確的是（）.

A．甲得分的平均數(shù)大于乙得分的平均數(shù)B．甲得分的中位數(shù)大于乙得分的中位數(shù)C．甲得分的極差大于乙得分的極差D．甲得分的方差大于乙得分的方差

【答案】D15．對(duì)于定義在上的兩個(gè)函數(shù)，若是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則時(shí)，下列結(jié)論一定成立的是（）.

A．B．C．D．【答案】B16．對(duì)于曲線，給出兩個(gè)結(jié)論：（1）曲線所圍成的封閉圖形的面積小于8；

（2）曲線上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最大值為，則（）.

A．（1）成立，（2）成立B．（1）成立，（2）不成立C．（1）不成立，（2）成立D．（1）不成立，（2）不成立

【答案】A對(duì)（1）：因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故曲線在一個(gè)長(zhǎng)為4，寬為2的矩形內(nèi)部，故曲線所圍成的封閉圖形的面積小于，正確；

對(duì)（2）：設(shè)曲線上一長(zhǎng)為，則，設(shè)，到原點(diǎn)的距離的平方為，當(dāng)時(shí)，距青嚴(yán)方在最大值為，故距離的最大值為，正確．三、解答題（本大題共有5題，滿分76分）．

17．（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）

已知圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且圓心為．

（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若直線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，且與圓相交于點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)．

【答案】（1）（2）【解析】（1）由題意知，圓的半徑．（3分）

所以圖的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（6分）

（2）由題意知，直線的斜率為，（8分）

故它的方程為，即．（10分）

所以，圓心到直線的距離為．（12分）故線段的長(zhǎng)等于．（14分）18．（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，分別為、中點(diǎn)．

（1）求證：平面；

（2）若，平面平面，求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】（1）取中點(diǎn)，連接．在中，分別為中點(diǎn).

∴點(diǎn)．（2分）

又正方形中，為中點(diǎn).（4分）

∴且．（6分）

∴四邊形BMNE為平行四通形，∴.

∵平面平面平面.（2）設(shè)的中點(diǎn)分別為，連接，在中，故，∵平面平面平面，∵平面平面，

∴平面，又四邊形為正方形，∴．（8分）

以所在直線分別為軸，建立如圖所示的空聞直角坐標(biāo)系，則由，得，

所以．（10分）

設(shè)平面的法向量為，則，取，則．而平面的一個(gè)法向量為．（12分）于是．易知二面角為銳角，故其余弦為．（14分）19．（本題滿分14分，第1小題滿分4分，第2小題滿分4分，第3小題滿分6分）某校為了解學(xué)生的身高情況，從高一、高二、高三三個(gè)年級(jí)中采用分層抽樣的方法抽取了100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，其中高一、高二、高三的學(xué)生人數(shù)之比為4：3：3．

（1）求從高一、高二、高三各年級(jí)抽取的學(xué)生人數(shù)；

（2）從抽取的100名學(xué)生中隨機(jī)選取2人協(xié)助工作人員調(diào)查，求這2人來(lái)自不同年級(jí)的概率（用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示）；

（3）經(jīng)過(guò)調(diào)查，抽取的高二學(xué)生身高的平均數(shù)為，方差為60，其中被抽中的小李身高是.試求除去小李后其余被抽中的高二學(xué)生身高的平均數(shù)與方差（結(jié)果精確到.

【答案】（1）40,30,30（2）（3）【解析】（1）高一、高二、高三的學(xué)生人數(shù)之比為，總份數(shù)為．

所以從高一、高二、高三抽取的學(xué)生人數(shù)分別為：人、人、人．

（2）從100名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，抽法總數(shù)為：．（6分）

所抽取的2人來(lái)自不同年級(jí)的情況數(shù)為：

高一和高二：，高一和高三：，

高二和高三：．（8分）

所以2人來(lái)自不同年級(jí)的情況總數(shù)為：．

因此2人來(lái)自不同年級(jí)的概率為：．（10分）

（3）設(shè)從高二學(xué)生中抽出的30人的身高分別為，則由條件，這30人身高的平均數(shù)為，身高的方差為．（12分）

不妨設(shè)小李的身高為，則除去小李后其余被抽中的29位高二學(xué)生的身高平均數(shù)、方差分別為20．（本題滿分16分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分）設(shè)．

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若曲線在點(diǎn)處的切線與曲線也相切，求的值；

（3）若函數(shù)的圖像恒在函數(shù)的圖像的上方，求的取值范圍．

【答案】（1）在上嚴(yán)格減，在上嚴(yán)格增．（2）（3）【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，其定義域?yàn)椋?，于是?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．

因此，函數(shù)在上嚴(yán)格減，在上嚴(yán)格增．（4分）

（2）因，故曲線在點(diǎn)處的切線的方程為．（6分）

設(shè)直線與曲線相切于點(diǎn)，且（8分）

則，且，解得．（10分）

（3）由題意得，分離參數(shù)得．（12分）

設(shè)，則．令，得；令，得．（14分）

即函數(shù)在上嚴(yán)格增，在上嚴(yán)格減．故函數(shù)的最大值為．因此的取值范圍為．（16分）21．（本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分）在平面直角坐標(biāo)系中，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)．

（1）若的離心率為，且，求的方程；

（2）若過(guò)原點(diǎn)的直線與相交于兩點(diǎn)，是上異于的任意一點(diǎn)，求證：直線的斜率之積是定值；

（3）設(shè)直線的一個(gè)法向量為是上任意一點(diǎn)，對(duì)于平面內(nèi)的一定點(diǎn)，定義．證明：若，則直線與橢圓相切．【答案】（1）（2）