2023-2025北京高三（上）期末數(shù)學(xué)匯編

離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征

一、解答題

1.（2025北京昌平高三上期末）某旅游景區(qū)為吸引更多游客，計(jì)劃在官方網(wǎng)站平臺(tái)和短視頻平臺(tái)同時(shí)進(jìn)行

廣告宣傳,兩平臺(tái)的瀏覽用戶(hù)均可通過(guò)手機(jī)掃描景區(qū)提供的二維碼，網(wǎng)上購(gòu)買(mǎi)該景區(qū)門(mén)票,每人限購(gòu)一張.為

了解兩平臺(tái)的售票情況，從兩平臺(tái)的瀏覽用戶(hù)中各隨機(jī)抽取了1000人，對(duì)其是否購(gòu)買(mǎi)了該景區(qū)門(mén)票進(jìn)行統(tǒng)

計(jì)，獲得數(shù)據(jù)如下：

用戶(hù)

購(gòu)買(mǎi)景區(qū)門(mén)票用戶(hù)（人）未購(gòu)買(mǎi)景區(qū)門(mén)票用戶(hù)（人）

平臺(tái)

官方網(wǎng)站250750

短視頻200800

景區(qū)門(mén)票在官方網(wǎng)站平臺(tái)和短視頻平臺(tái)的售價(jià)均為100元/人，其售票利潤(rùn)率分別是5%和2%.假設(shè)所有瀏

覽用戶(hù)是否購(gòu)買(mǎi)景區(qū)門(mén)票相互獨(dú)立.用頻率估計(jì)概率.

（1）從短視頻平臺(tái)瀏覽用戶(hù)中隨機(jī)選取1人，估計(jì)此人為購(gòu)買(mǎi)景區(qū)門(mén)票用戶(hù)的概率；

（2）從官方網(wǎng)站平臺(tái)瀏覽用戶(hù)中，隨機(jī)選取3人，用X表示這3人的購(gòu)票費(fèi)用總和，求隨機(jī)變量X的分布列

和期望；

（3）經(jīng)統(tǒng)計(jì)，官方網(wǎng)站平臺(tái)和短視頻平臺(tái)的瀏覽用戶(hù)分別為15萬(wàn)人和40萬(wàn)人左右.該景區(qū)按瀏覽用戶(hù)的人數(shù)

向兩平臺(tái)支付廣告宣傳費(fèi)用，向官方網(wǎng)站平臺(tái)按5元/100人的標(biāo)準(zhǔn)支付，向短視頻平臺(tái)按4元/100人的標(biāo)準(zhǔn)

支付.為了獲得最大的凈利潤(rùn)（凈利潤(rùn)=售票利潤(rùn)-廣告宣傳費(fèi)用），試分析該景區(qū)應(yīng)選擇在哪個(gè)平臺(tái)繼續(xù)加大

廣告宣傳費(fèi)用投入力度，并說(shuō)明理由.

2.（2025北京海淀高三上期末）某校為評(píng)價(jià)學(xué)生參加選修課的學(xué)習(xí)效果，組織了選修課學(xué)習(xí)的過(guò)程性評(píng)價(jià)

測(cè)試.選修課程甲的所有學(xué)生的原始成績(jī)統(tǒng)計(jì)如下：

原始成

8.758.258.256.756.756.565.55.254.253.753.25

績(jī)

排名122446789101112

（1）從這12名學(xué)目二中隨機(jī)抽取2人，求這2人原始成績(jī)7R同的概率；

（2）對(duì)課程甲采取“四分位數(shù)賦分法”進(jìn)行賦分，記選修該課程的總?cè)藬?shù)為N,規(guī)定原始成績(jī)排名為〃的學(xué)生

賦分成績(jī)?nèi)缦拢?/p>

當(dāng)0</V25%時(shí)，賦分成績(jī)?yōu)?00分；當(dāng)25%<2450%,賦分成績(jī)?yōu)?5分；

NN

當(dāng)50%475%時(shí)，賦分成績(jī)?yōu)?0分；當(dāng)75%〈卷時(shí)，賦分成績(jī)?yōu)?0分.

NN

①?gòu)恼n程甲的原始成績(jī)不低于6.5的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，記X為這2人賦分成績(jī)之和，求X的分布列和數(shù)

學(xué)期望；

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②選修課程乙的所有學(xué)生的原始成績(jī)統(tǒng)計(jì)如下:

原始成績(jī)9.75887.57.565.755.75

排名12244677

原始成績(jī)54.754.54.54.2543.753.5

排名910111113141516

對(duì)課程乙也采取“四分位數(shù)賦分法”進(jìn)行賦分.現(xiàn)從課程甲、課程乙的學(xué)生中分別隨機(jī)抽取1人，記這2人的

賦分成績(jī)分別為X■，直接寫(xiě)出數(shù)學(xué)期望胤乂)和￡化)的大小關(guān)系.

3.(2025北京房山高三上期末)近年中國(guó)新能源汽車(chē)進(jìn)入高速發(fā)展時(shí)期，2024年中國(guó)新能源汽車(chē)銷(xiāo)售量已

超過(guò)1100萬(wàn)輛，繼續(xù)領(lǐng)跑全球.某市場(chǎng)部為了解廣大消費(fèi)者購(gòu)買(mǎi)新能源汽車(chē)和燃油汽車(chē)的情況，從某市眾多

4s店中任意抽取8個(gè)作為樣本，對(duì)其在12月份的新能源汽車(chē)、燃油汽車(chē)銷(xiāo)售量(單位：輛)進(jìn)行調(diào)查.統(tǒng)

計(jì)結(jié)果如下：

1店2店3店4店5店6店7店8店

新能源汽車(chē)銷(xiāo)售

108162320182211

量

燃油汽車(chē)銷(xiāo)售量1411131921252326

(1)若從該市眾多門(mén)店中隨機(jī)抽取1個(gè)，估計(jì)該門(mén)店12月份新能源汽車(chē)銷(xiāo)售量超過(guò)燃油汽車(chē)銷(xiāo)售量的概率；

(2)若從樣本門(mén)店中隨機(jī)抽取3個(gè)，其中12月份新能源汽車(chē)銷(xiāo)售量不低于20輛的門(mén)店個(gè)數(shù)記為X,求X的

分布列和數(shù)學(xué)期望；

(3)新能源汽車(chē)銷(xiāo)售量和燃油汽車(chē)銷(xiāo)售量的樣本方差分別記為和S；.試比較和的大小.(結(jié)論不要求證

明)

4.(2025北京通州高三上期末)為服務(wù)北京城市副中心三大文化建筑(北京藝術(shù)中心，北京城市圖書(shū)館和

北京大運(yùn)河博物館)游客差異化出行需求，北京市交通委于2024年開(kāi)通三大文化建筑周邊自動(dòng)駕駛微公交

接駁服務(wù).無(wú)人駕駛微公交每輛車(chē)滿(mǎn)載可乘坐9名乘客，為預(yù)測(cè)未來(lái)某站點(diǎn)在客流量高峰期乘車(chē)人數(shù)的規(guī)律,

收集了以往某個(gè)客流量高峰期連續(xù)20輛微公交的乘車(chē)人數(shù)數(shù)據(jù).如下：

車(chē)次序號(hào)乘車(chē)人數(shù)

1-10號(hào)8999899997

11-20號(hào)9989999978

用頻率估計(jì)概率.

(1)試估計(jì)該站點(diǎn)客流量高峰期微公交乘車(chē)人數(shù)為9人的概率；

(2)假設(shè)微公交乘車(chē)人數(shù)相互獨(dú)立，記X為未來(lái)該站點(diǎn)客流量高峰期兩輛微公交乘車(chē)人數(shù)之和，求X的分布

列及數(shù)學(xué)期望￡(X)；

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(3)假設(shè)客流量高峰期該站點(diǎn)每輛微公交乘車(chē)人數(shù)只受前一輛微公交乘車(chē)人數(shù)影響，若該站點(diǎn)連續(xù)兩輛微公

交都滿(mǎn)載9人的概率不低于50%,則需要縮短連續(xù)兩輛微公交的時(shí)間間隔，判斷公交公司在客流量高峰期

是否需要縮短發(fā)車(chē)間隔.(寫(xiě)出結(jié)論，不用說(shuō)明理由)

5.(2025北京東城高三上期末)某甜品店打算推出三款新品，在前期市場(chǎng)調(diào)研時(shí)，將顧客按照年齡分為青

少年組中年組和老年組，隨機(jī)調(diào)查了200名顧客對(duì)這三款新品的購(gòu)買(mǎi)意愿，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下(單位：人)：

青少年組中年組老年組

愿意不愿意愿意不愿意愿意不愿意

第一款402080202020

第二款303060403010

第三款501080201030

假設(shè)顧客的購(gòu)買(mǎi)意愿相互獨(dú)立用頻率估計(jì)概率.

(1)從顧客中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)該名顧客愿意購(gòu)買(mǎi)第一款新品的概率；

(2)從三個(gè)不同年齡組的顧客中各隨機(jī)抽取1人，記X為這3人中愿意購(gòu)買(mǎi)第二款新品的人數(shù)，求X的分布

列和數(shù)學(xué)期望EX;

⑶用“(=l(z=1,2,3)”表示顧客愿意購(gòu)買(mǎi)第i款新品，“&=0(/=1,2,3)”表示顧客不愿意購(gòu)買(mǎi)第，款新品.直

接寫(xiě)出方差。髭。務(wù)的大小關(guān)系.

6.(2025北京豐臺(tái)高三上期末)為弘揚(yáng)社會(huì)主義核心價(jià)值觀，加強(qiáng)校園誠(chéng)信文化建設(shè)，提升中小學(xué)生的信

息技術(shù)素養(yǎng)，某市開(kāi)展了“中小學(xué)誠(chéng)信主題短視頻征集展示活動(dòng)”，入圍短視頻在某公共平臺(tái)展播.其中4B,

C,D,E,F,G這7個(gè)入圍短視頻展播前7天的累計(jì)播放量如下表：

短視頻ABCDEFG

前7天累計(jì)播放量(萬(wàn)

2.93.54.52.54.11.45.6

次)

(1)從這7個(gè)入圍短視頻中隨機(jī)選取1個(gè)，求該短視頻前7天的累計(jì)播放量超過(guò)4萬(wàn)次的概率；

(2)某學(xué)生從這7個(gè)入圍短視頻中隨機(jī)選取3個(gè)觀看，記X為選取的3個(gè)短視頻中前7天的累計(jì)播放量超過(guò)

4萬(wàn)次的個(gè)數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X)；

(3)若這7個(gè)入圍短視頻第8天的單日播放量如下表：

短視頻ABCDEFG

第8天單日播放量(萬(wàn)

0.40.40.60.30.50.10.8

次)

記這7個(gè)入圍短視頻展播前7天的累計(jì)播放量的方差為s；,前8天的累計(jì)播放量的方差為s；,試比較s；與s；

的大小關(guān)系.(結(jié)論不要求證明)

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7.(2025北京順義高三上期末)某景點(diǎn)奶茶店的甲、乙、丙三款奶茶在國(guó)慶黃金周期間的日銷(xiāo)售量數(shù)據(jù),

如下表(單位：杯)：

10月1日10月2日10月3日10月4日10月5日10月6日10月7日

甲60656665676663

乙57626362646360

丙55606160626158

(1)從10月1日至7日中隨機(jī)選取一天，求該天甲款奶茶日銷(xiāo)售量大于65杯的概率；

(2)從乙、丙兩款奶茶的日銷(xiāo)售量數(shù)據(jù)中各隨機(jī)選取1個(gè)，這2個(gè)數(shù)據(jù)中大于60的個(gè)數(shù)記為X,求X的分

布列和數(shù)學(xué)期望E(X);

(3)記乙款奶茶日銷(xiāo)售量數(shù)據(jù)的方差為s；,表格中所有的日銷(xiāo)售量數(shù)據(jù)的方差為試判斷s；和門(mén)的大

小.(結(jié)論不要求證明)

8.(2024北京順義高三上期末)某學(xué)生在上學(xué)路上要經(jīng)過(guò)三個(gè)路口，在各個(gè)路口遇到紅燈的概率及停留的

時(shí)間如下：

路口路口一路口二路口三

j_j_

遇到紅燈的概率

43

遇到紅燈停留的時(shí)

3分鐘2分鐘1分鐘

間

假設(shè)在各路口是否遇到紅燈相互獨(dú)立.

(1)求這名學(xué)生在上學(xué)路上到第三個(gè)路口時(shí)首次遇到紅燈的概率；

(2)求這名學(xué)生在上學(xué)路上因遇到紅燈停留的總時(shí)間大于3分鐘的概率;

(3)假設(shè)交管部門(mén)根據(jù)實(shí)際路況，5月1日之后將上述三個(gè)路口遇到紅燈停留的時(shí)間都變?yōu)?分鐘.估計(jì)5

月1日之后這名學(xué)生在上學(xué)路上因遇到紅燈停留的總時(shí)間的變化情況，是“增加，不變還是減少結(jié)論不

要求證明)

9.(2024北京通州高三上期末)民航招飛是指普通高校飛行技術(shù)專(zhuān)業(yè)(本科)通過(guò)高考招收飛行學(xué)生，報(bào)

名的學(xué)生參加預(yù)選初檢、體檢鑒定、飛行職業(yè)心理學(xué)檢測(cè)、背景調(diào)查、高考選拔等5項(xiàng)流程，其中前4項(xiàng)流程選

拔均通過(guò)，則被確認(rèn)為有效招飛申請(qǐng)，然后參加高考，由招飛院校擇優(yōu)錄取.據(jù)統(tǒng)計(jì)，每位報(bào)名學(xué)生通過(guò)前

31?

4項(xiàng)流程的概率依次約為假設(shè)學(xué)生能否通過(guò)這5項(xiàng)流程相互獨(dú)立,現(xiàn)有某校高三學(xué)生甲、乙、丙三人

433

報(bào)名民航招飛.

(1)估計(jì)每位報(bào)名學(xué)生被確認(rèn)為有效招飛申請(qǐng)的概率；

(2)求甲、乙、丙三人中恰好有一人被確認(rèn)為有效招飛申請(qǐng)的概率；

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233

(3)根據(jù)甲、乙、丙三人的平時(shí)學(xué)習(xí)成績(jī)，預(yù)估高考成績(jī)能被招飛院校錄取的概率分別為設(shè)甲、乙、丙

三人能被招飛院校錄取的人數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

10.(2024北京石景山高三上期末)某學(xué)校體育課進(jìn)行投籃練習(xí)，投籃地點(diǎn)分為A區(qū)和3區(qū)，每一個(gè)球可以

選擇在A區(qū)投籃也可以選擇在B區(qū)投籃，在A區(qū)每投進(jìn)一球得2分，沒(méi)有投進(jìn)得0分；在B區(qū)每投進(jìn)一球得

3分，沒(méi)有投進(jìn)得0分.學(xué)生甲在A,B兩區(qū)的投籃練習(xí)情況統(tǒng)計(jì)如下表:

甲A區(qū)B區(qū)

投籃次

3020

數(shù)

得分4030

假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且學(xué)生甲每次投籃相互獨(dú)立.

(1)試分別估計(jì)甲在A區(qū)，B區(qū)投籃命中的概率；

(2)若甲在A區(qū)投3個(gè)球，在3區(qū)投2個(gè)球，求甲在A區(qū)投籃得分高于在B區(qū)投籃得分的概率；

(3)若甲在A區(qū)，B區(qū)一共投籃5次，投籃得分的期望值不低于7分，直接寫(xiě)出甲選擇在A區(qū)投籃的最多次

數(shù).(結(jié)論不要求證明)

11.(2024北京朝陽(yáng)高三上期末)某學(xué)校開(kāi)展健步走活動(dòng)，要求學(xué)校教職員工上傳11月4日至11月10日

的步數(shù)信息.教師甲、乙這七天的步數(shù)情況如圖1所示.

30000

Z29874

25000

20000

15000

10000

5000

°’11月4日’11月5日’11月6日’11月7日’11月8日’11月9日’11月10/

(1)從11月4日至11月10日中隨機(jī)選取一天，求這一天甲比乙的步數(shù)多的概率;

(2)從11月4日至11月10日中隨機(jī)選取三天，記乙的步數(shù)不少于20000的天數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)

期望;

第5頁(yè)/共29頁(yè)

（3）根據(jù)11月4日至11月10日某一天的數(shù)據(jù)制作的全校800名教職員工步數(shù)的頻率分布直方圖如圖2所示.

已知這一天甲與乙的步數(shù)在全校800名教職員工中從多到少的排名分別為第501名和第221名，判斷這是

哪一天的數(shù)據(jù).（只需寫(xiě)出結(jié)論）

12.（2024北京房山高三上期末）某移動(dòng)通訊公司為答謝用戶(hù)，在其APP上設(shè)置了簽到翻牌子贏流量活動(dòng).

：MB）數(shù)據(jù)，如圖所示.

（1）從2023年12月1日至7日中任選一天，求該天乙獲得流量大于丙獲得流量的概率；

（2）從2023年12月1日至7日中任選兩天，設(shè)X是選出的兩天中乙獲得流量大于丙獲得流量的天數(shù)，求X

的分布列及數(shù)學(xué)期望￡（x）；

⑶將甲、乙、丙3位該公司用戶(hù)在2023年12月1日至7日獲得流量的方差分別記為s；,s；,s；,試比較s；,

s，s；的大?。ㄖ恍鑼?xiě)出結(jié)論）.

13.（2024北京大興高三上期末）為了解客戶(hù)對(duì)A,B兩家快遞公司的配送時(shí)效和服務(wù)滿(mǎn)意度情況，現(xiàn)隨機(jī)

獲得了某地區(qū)客戶(hù)對(duì)這兩家快遞公司評(píng)價(jià)的調(diào)查問(wèn)卷，已知A,B兩家公司的調(diào)查問(wèn)卷分別有120份和80

份，全部數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：

快遞公司/快遞公司B快遞公司

項(xiàng)

目服務(wù)滿(mǎn)意服務(wù)滿(mǎn)意

配送時(shí)效配送時(shí)效

份數(shù)評(píng)度度

價(jià)分?jǐn)?shù)

85<x<9529241612

75<x<8547564048

65<x<7544402420

假設(shè)客戶(hù)對(duì)A,B兩家快遞公司的評(píng)價(jià)相互獨(dú)立，用頻率估計(jì)概率.

（1）從該地區(qū)選擇A快遞公司的客戶(hù)中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)該客戶(hù)對(duì)A快遞公可配送時(shí)效的評(píng)價(jià)不低于75

分的概率：

（2）分別從該地區(qū)A和B快遞公司的樣本調(diào)查問(wèn)卷中，各隨機(jī)抽取1份，記X為這2份問(wèn)卷中的服務(wù)滿(mǎn)意度

評(píng)價(jià)不低于75分的份數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望：

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⑶記評(píng)價(jià)分?jǐn)?shù)x>85為“優(yōu)秀”等級(jí),754x<85為“良好”等級(jí)，65<x<75為“一般”等級(jí)、已知小王比較看重

配送時(shí)效的等級(jí)，根據(jù)該地區(qū)A,B兩家快遞公司配送時(shí)效的樣本評(píng)價(jià)分?jǐn)?shù)的等級(jí)情況，你認(rèn)為小王選擇A,

B哪家快遞公司合適？說(shuō)明理由，

14.(2023北京東城高三上期末)“雙減”政策執(zhí)行以來(lái)，中學(xué)生有更多的時(shí)間參加志愿服務(wù)和體育鍛煉等課

后活動(dòng).某校為了解學(xué)生課后活動(dòng)的情況，從全校學(xué)生中隨機(jī)選取100人，統(tǒng)計(jì)了他們一周參加課后活動(dòng)的

時(shí)間(單位：小時(shí))，分別位于區(qū)間[7,9),[9,11),[11,13),[13,15),[15,17),[17,19],用頻率分布直方圖

表示如下，假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且每個(gè)學(xué)生參加課后活動(dòng)的時(shí)間相互獨(dú)立.

(1)估計(jì)全校學(xué)生一周參加課后活動(dòng)的時(shí)間位于區(qū)間[13,17)的概率;

(2)從全校學(xué)生中隨機(jī)選取3人，記J表示這3人一周參加課后活動(dòng)的時(shí)間在區(qū)間[15,17)的人數(shù)，求J的分

布列和數(shù)學(xué)期望E(9；

(3)設(shè)全校學(xué)生一周參加課后活動(dòng)的時(shí)間的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的估計(jì)值分別為。，b,c,請(qǐng)直接寫(xiě)出這

三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系.(樣本中同組數(shù)據(jù)用區(qū)間的中點(diǎn)值替代)

15.(2023北京順義高三上期末)為調(diào)查工,3兩種同類(lèi)藥物在臨床應(yīng)用中的療效，藥品監(jiān)管部門(mén)收集了只

服用藥物/和只服用藥物3的患者的康復(fù)時(shí)間，經(jīng)整理得到如下數(shù)據(jù)：

康復(fù)時(shí)間只服用藥物/只服用藥物3

7天內(nèi)康復(fù)360人160人

8至14天康復(fù)228人200人

14天內(nèi)未康復(fù)12人40人

假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且只服用藥物/和只服用藥物3的患者是否康復(fù)相互獨(dú)立.

(1)若一名患者只服用藥物N治療，估計(jì)此人能在14天內(nèi)康復(fù)的概率；

(2)從樣本中只服用藥物/和只服用藥物B的患者中各隨機(jī)抽取1人，以X表示這2人中能在7天內(nèi)康復(fù)的

人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望：

(3)從只服用藥物/的患者中隨機(jī)抽取100人，用“(左)”表示這100人中恰有人人在14天內(nèi)未康復(fù)的概率,

其中左=0,1,2,…,100.當(dāng)60c(左)最大時(shí),寫(xiě)出人的值.(只需寫(xiě)出結(jié)論)

16.(2023北京通州高三上期末)為了解45兩個(gè)購(gòu)物平臺(tái)買(mǎi)家的滿(mǎn)意度，某研究性學(xué)習(xí)小組采用隨機(jī)抽

樣的方法，獲得/平臺(tái)問(wèn)卷100份，8平臺(tái)問(wèn)卷80份.問(wèn)卷中，對(duì)平臺(tái)的滿(mǎn)意度等級(jí)為：好評(píng)、中評(píng)、差評(píng),

第7頁(yè)/共29頁(yè)

對(duì)應(yīng)分?jǐn)?shù)分別為：5分、3分、1分，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下:

好評(píng)中評(píng)差評(píng)

A平臺(tái)75205

2平臺(tái)6488

假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且買(mǎi)家對(duì)43平臺(tái)的滿(mǎn)意度評(píng)價(jià)相互獨(dú)立.

(1)估計(jì)買(mǎi)家對(duì)/平臺(tái)的評(píng)價(jià)不是差評(píng)的概率；

(2)從所有在/平臺(tái)購(gòu)物的買(mǎi)家中隨機(jī)抽取2人，從所有在3平臺(tái)購(gòu)物的買(mǎi)家中隨機(jī)抽取2人，估計(jì)這4人

中恰有2人給出好評(píng)的概率；

(3)根據(jù)上述數(shù)據(jù)，你若購(gòu)物，選擇4B哪個(gè)平臺(tái)？說(shuō)明理由.

17.(2023北京朝陽(yáng)高三上期末)跳長(zhǎng)繩是中國(guó)歷史悠久的運(yùn)動(dòng)，某中學(xué)高三年級(jí)舉行跳長(zhǎng)繩比賽(該校高

三年級(jí)共4個(gè)班)，規(guī)定每班22人參加，其中2人搖繩，20人跳繩，在2分鐘內(nèi)跳繩個(gè)數(shù)超過(guò)120個(gè)的班

級(jí)可獲得優(yōu)勝獎(jiǎng)，跳繩個(gè)數(shù)最多的班級(jí)將獲得冠軍，為預(yù)測(cè)獲得優(yōu)勝獎(jiǎng)的班級(jí)個(gè)數(shù)及冠軍得主，收集了高

三年級(jí)各班訓(xùn)練時(shí)在2分鐘內(nèi)的跳繩個(gè)數(shù)，并整理得到如下數(shù)據(jù)(單位：個(gè))：

高三(1)班：142,131,129,126,121,109,103,98,96,94；

高三(2)班:137,126,116,108；

高三(3)班：163,134,112,103；

高三(4)班：158,132,130,127,110,106.

假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且高三年級(jí)各班在2分鐘內(nèi)的跳繩個(gè)數(shù)相互獨(dú)立.

(1)估計(jì)高三(1)班在此次跳長(zhǎng)繩比賽中獲得優(yōu)勝獎(jiǎng)的概率；

(2)用X表示此次跳長(zhǎng)繩比賽中獲得優(yōu)勝獎(jiǎng)的班級(jí)個(gè)數(shù)，估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望；

(3)在此次跳長(zhǎng)繩比賽中，哪個(gè)班獲得冠軍的概率估計(jì)值最大？(結(jié)論不要求證明)

18.(2023北京西城高三上期末)近年來(lái)，新能源汽車(chē)受到越來(lái)越多消費(fèi)者的青睞.據(jù)統(tǒng)計(jì)，2021年12月

至2022年5月全國(guó)新能源市場(chǎng)三種車(chē)型月度零售銷(xiāo)量數(shù)據(jù)如下(單位：萬(wàn)輛)：

12月1月2月3月4月5月

轎車(chē)28.421.315.426.016.721.0

MPV0.80.20.20.30.40.4

SUV18.113.711.718.111.314.5

(1)從2021年12月至2022年5月中任選1個(gè)月份，求該月MPV零售銷(xiāo)量超過(guò)這6個(gè)月該車(chē)型月度零售銷(xiāo)

量平均值的概率；

(2)從2022年1月至2022年5月中任選3個(gè)月份，將其中SUV的月度零售銷(xiāo)量相比上個(gè)月份增加的月份個(gè)

數(shù)記為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX；

(3)記2021年12月至2022年5月轎車(chē)月度零售銷(xiāo)量數(shù)據(jù)的方差為s；,同期各月轎車(chē)與對(duì)應(yīng)的MPV月度零

第8頁(yè)/共29頁(yè)

售銷(xiāo)量分別相加得到6個(gè)數(shù)據(jù)的方差為s。寫(xiě)出s；與s；的大小關(guān)系.（結(jié)論不要求證明）

19.（2023北京昌平高三上期末）不粘鍋是家庭常用的廚房用具，近期，某市消費(fèi)者權(quán)益保護(hù)委員會(huì)從市場(chǎng)

上購(gòu)買(mǎi)了12款不粘鍋商品，并委托第三方檢測(cè)機(jī)構(gòu)進(jìn)行檢測(cè).本次選取了食物接觸材料安全項(xiàng)目中與消費(fèi)者

使用密切相關(guān)的6項(xiàng)性能項(xiàng)目進(jìn)行比較試驗(yàn)，性能檢測(cè)項(xiàng)目包含不粘性、耐磨性、耐堿性、手柄溫度、溫度均勻

性和使用體驗(yàn)等6個(gè)指標(biāo).其中消費(fèi)者關(guān)注最多的兩個(gè)指標(biāo)“不沾性、耐磨性”檢測(cè)結(jié)果的數(shù)據(jù)如下：

檢測(cè)結(jié)果

序號(hào)品牌名稱(chēng)不粘性耐磨性

1品牌1I級(jí)I級(jí)

2品牌2n級(jí)1級(jí)

3品牌3I級(jí)I級(jí)

4品牌4n級(jí)n級(jí)

5品牌5I級(jí)I級(jí)

6品牌6n級(jí)I級(jí)

7品牌7I級(jí)I級(jí)

8品牌8I級(jí)I級(jí)

9品牌9n級(jí)n級(jí)

10品牌10U級(jí)n級(jí)

11品牌11n級(jí)n級(jí)

12品牌12n級(jí)n級(jí)

（I級(jí)代表性能優(yōu)秀，II級(jí)代表性能較好）

（1）從這12個(gè)品牌的樣本數(shù)據(jù)中隨機(jī)選取兩個(gè)品牌的數(shù)據(jù)，求這兩個(gè)品牌的“不粘性”性能都是I級(jí)的概率；

（2）從前六個(gè)品牌中隨機(jī)選取兩個(gè)品牌的數(shù)據(jù)，設(shè)為性能都是I級(jí)的品牌個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)

期望；

（3）從后六個(gè)品牌中隨機(jī)選取兩個(gè)品牌的數(shù)據(jù)，設(shè)丫為性能都是I級(jí)的品牌個(gè)數(shù)，比較隨機(jī)變量X和隨機(jī)變量

￥的數(shù)學(xué)期望的大?。ńY(jié)論不要求證明）.

20.（2023北京房山高三上期末）為弘揚(yáng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，營(yíng)造良好的文化氛圍，增強(qiáng)文化自覺(jué)和文化自

信，某區(qū)組織開(kāi)展了中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化知識(shí)競(jìng)答活動(dòng)，該活動(dòng)有單人賽和PK賽，每人只能參加其中的一項(xiàng).

據(jù)統(tǒng)計(jì)，中小學(xué)生參與該項(xiàng)知識(shí)競(jìng)答活動(dòng)的人數(shù)共計(jì)4.8萬(wàn)，其中獲獎(jiǎng)學(xué)生情況統(tǒng)計(jì)如下：

獎(jiǎng)項(xiàng)組別單人賽PK賽獲獎(jiǎng)

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一等獎(jiǎng)二等獎(jiǎng)三等獎(jiǎng)

中學(xué)組4040120100

小學(xué)組3258210100

(1)從獲獎(jiǎng)學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，若已知抽到的學(xué)生獲得一等獎(jiǎng)，求抽到的學(xué)生來(lái)自中學(xué)組的概率；

(2)從中學(xué)組和小學(xué)組獲獎(jiǎng)?wù)咧懈麟S機(jī)抽取1人，以X表示這2人中PK賽獲獎(jiǎng)的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)

學(xué)期望；

(3)從獲獎(jiǎng)學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，設(shè)這3人中來(lái)自中學(xué)組的人數(shù)為占來(lái)自小學(xué)組的人數(shù)為〃，試判斷。信)與

的大小關(guān)系.(結(jié)論不要求證明)

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參考答案

（2）分布列見(jiàn)解析，75

（3）該景區(qū)應(yīng)選擇官方網(wǎng)站平臺(tái)，理由見(jiàn)解析

【分析】（1）根據(jù)條件，利用頻率來(lái)表示概率，即可求解；

（2）由題知X的所有可能取值為0,100,200,300,利用獨(dú)立重復(fù)事件的概率公式，求出相應(yīng)的概率，即可

出分布列；再利用期望的計(jì)算公式，即可求解；

（3）分別求出兩個(gè)平臺(tái)的凈利潤(rùn)，即可求解.

【詳解】（1）設(shè)“從短視頻平臺(tái)瀏覽用戶(hù)中隨機(jī)選取1人，此人為購(gòu)買(mǎi)景區(qū)門(mén)票用戶(hù)”為事件A,則

5

（2）設(shè)“從官方網(wǎng)站瀏覽平臺(tái)用戶(hù)中隨機(jī)選取1人，此人為購(gòu)買(mǎi)景區(qū)門(mén)票用戶(hù)”為事件5,

則用頻率估計(jì)概率，產(chǎn)⑻=荒4

由題意，X的所有可能取值為0,100,200,300,

貝p(^=0)=C?(i)°(1)3=卷，尸(X=100)=C；(；y(92=總，

1Q9131

P(X=200)=C^(-)2(,P(X=300)=CK-)3(-)°=

44644464.

所以隨機(jī)變量X的分布列為

X0100200300

272791

P

64646464

2727914800

^^^jE(X)=0x—+100x—+200x—+300x—=-^=75

6464646464

⑶官方網(wǎng)站平臺(tái)的凈利潤(rùn)為（100x5%）x（15。。。。。一喘%=18。。。。（元）,

短視頻平臺(tái)的凈利潤(rùn)為（100X2%）X（400000x1）-喘3x4=l44000（元）.

所以該景區(qū)應(yīng)選擇官方網(wǎng)站平臺(tái)繼續(xù)加大廣告宣傳費(fèi)用的投入力度.

32

2.（1）—；

~33

（2）①分布列見(jiàn)解析,數(shù)學(xué)期望為185；②磯耳）＜列&）.

【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用古典概率公式，結(jié)合組合計(jì)數(shù)問(wèn)題列式計(jì)算.

（2）①根據(jù)表格中數(shù)據(jù)，原始成績(jī)不低于6.5的學(xué)生賦分成績(jī)，再求出X的可能值及對(duì)應(yīng)的概率，列出分

布列求出期望；②求出課程甲、乙的賦分成績(jī)，再求出期望北比較大小.

【詳解】（1）設(shè)“從這12名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，且2人原始成績(jī)不同”為事件A,

第11頁(yè)/共29頁(yè)

依據(jù)題中數(shù)據(jù)，僅有排名為2和4的兩對(duì)學(xué)生原始成績(jī)相同，

C2-232

由古典概型，得尸

（2）①根據(jù)題中數(shù)據(jù)，課程甲中原始成績(jī)不低于6.5的學(xué)生共有6人，

賦分依次為100,100,100,85,85,85,則X的所有可能值為170,185,200,

C21c'C13C21

尸（X=170）=發(fā)=大尸（X=185）=-^=P（X=200）奉二,

所以X的分布列如下：

X170185200

￡3￡

P

555

131

￡X=170x-+185x-+200x-=185

555'

②對(duì)課程甲進(jìn)行賦分，賦分依次為：100,100,100,85,85,85,70,70,70,60,60,60,

對(duì)課程乙進(jìn)行賦分，賦分依次為：100,100,100,100,100,85,85,85,70,70,70,70,60,60,60,60,

因此尸（乂=100）=P（Yt=85）=P（乂=70）=P（YX=60）=|,

￡,（E）=100xl+85x-+70x1+60=78.75；

'"444

531

P（Y=100）=—,P（^=85）=二產(chǎn)七=70）=P（Y=60）=-,

2lolo42

5311

￡（K）=100x-+85x—+70x-+60x-=79.6875,

v7161644

所以￡（X）＜E（B）.

3.（1）；

9

（2）分布列見(jiàn)解析，-

o

⑶=

【分析】（1）根據(jù)新能源汽車(chē)銷(xiāo)售量超過(guò)燃油汽車(chē)銷(xiāo)售量的有2家，利用古典概型概率公式求解即可.

（2）X的所有可能取值為0,1,2,3,分別求出隨機(jī)變量對(duì)應(yīng)的概率即可得到分布列，然后利用數(shù)學(xué)期望

公式求解即可；

（3）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)，計(jì)算樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)，再利用方差公式求出樣本方差，然后直接判斷即可.

【詳解】（1）由題可知：8家門(mén)店中新能源汽車(chē)銷(xiāo)售量超過(guò)燃油汽車(chē)銷(xiāo)售量的有2家，分別是：門(mén)店3,門(mén)

店4,

所以若從該市眾多門(mén)店中隨機(jī)抽取1個(gè)，估計(jì)該門(mén)店12月份新能源汽車(chē)銷(xiāo)售量超過(guò)燃油汽車(chē)銷(xiāo)售量的概率

p=2

84

第12頁(yè)/共29頁(yè)

（2）12月份新能源汽車(chē)銷(xiāo)售量不低于20輛的門(mén)店個(gè)數(shù)為3,分別是：門(mén)店4,門(mén)店5,門(mén)店7,

從樣本門(mén)店中隨機(jī)抽取3個(gè)，12月份新能源汽車(chē)銷(xiāo)售量不低于20輛的門(mén)店個(gè)數(shù)記為X,X的所有可能取

值為：0,1,2,3

所以P(X=O)=*￡尸(x=D=等

1^8ZoLzgZo

尸(X=2)=*=?,尸(X=3)=*=，

1/C；561/C；56

所以'的分布列為

X0123

515151

P

28285656

求X的分布列和數(shù)學(xué)期望

015cl639

￡,（X）=0x—+lx—+2x——+3x——=——=—；

v'28285656568

（3）新能源汽車(chē)銷(xiāo)售看1的樣本平均數(shù)

10+8+16+23+20+18+22+11”

------------------------------------------=16

8

新能源汽車(chē)銷(xiāo)售量的樣本方差

S；=:[(10-16)2+(8-16)2+(16-16)2+(23-16)2+(20-16)2+08-16)2+(22-16『+(11一16)1=與

燃油汽車(chē)銷(xiāo)售量的樣本平均數(shù)

14+11+13+19+21+25+23+26―

-------------------------------------------=19

8

燃油汽車(chē)銷(xiāo)售量的樣本方差

sf=1[(14-19)2+(11-19)2+(13-19()24(19-1^2H(21一叫2?25-1^2+23-1,2f26-1>=

所以S；=S；

⑵分布列見(jiàn)解析，頤X）=17.2

（3）公交公司在客流量高峰期需要縮短發(fā)車(chē)間隔

【分析】（1）結(jié)合數(shù)據(jù)，20輛微公交的乘車(chē)人數(shù)為9人的共有14輛，求得概率；

（2）結(jié)合數(shù)據(jù)，求出X的可能取值，求出概率，列出分布列求出期望；

（3）結(jié)合古典概型，求出連續(xù)兩輛微公交都滿(mǎn)載9人的可能情況，求出概率.

【詳解】（1）根據(jù)數(shù)據(jù)可得，20輛微公交的乘車(chē)人數(shù)為9人的共有14輛，

所以該站點(diǎn)客流量高峰期微公交乘車(chē)人數(shù)為9人的概率為E14=、7.

（2）根據(jù)數(shù)據(jù)，20輛微公交的乘車(chē)人數(shù)為7人的共有2輛，8人的共有4輛，9人的共有14輛,

第13頁(yè)/共29頁(yè)

所以乘車(chē)人數(shù)為7人的概率為52=自1，乘車(chē)人數(shù)為8人的概率為4=1乘車(chē)人數(shù)為9人的概率為芳14=自7，

記X為未來(lái)該站點(diǎn)客流量高峰期兩輛微公交乘車(chē)人數(shù)之和，則X可能取值為14,15,16,17,18.

111

P（x=14）=—X——：一,

1010100

11111

P（x=15）=—X-+—X—二，

10551025

177111_9

產(chǎn)（x=16）=—X-------1--------x—+-X

1010101055-50）

17717

尸（尤=17）=—X‘、--------1-—X—=

51010525,

77_49

P（x=18）=—X——：一?

1010100

所以X的分布列為:

X1415161718

119749

P

100255025100

19749

￡m=i4x—+15x——+16x—+17x—+18x——=17.2

100255025100

（3）公交公司在客流量高峰期需要縮短發(fā)車(chē)間隔,

理由：20輛公交車(chē)連續(xù)兩輛共有19種可能，其中共有10種兩輛微公交都滿(mǎn)載9人,

其連續(xù)兩輛微公交都滿(mǎn)載9人的概率F=—>50%,

所以公交公司在客流量高峰期需要縮短發(fā)車(chē)間隔.

5.（1）0.7

37

（2）分布列見(jiàn)解析，￡（'）=、

（3聲催）>。倡）=。（女）

【分析】（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)求出相應(yīng)頻率，用頻率估計(jì)概率即可；

（2）X的可能取值為04,2,3,求出相應(yīng)的概率值，即可得到分布列與期望;

（3）根據(jù)離散型隨機(jī)變量的概率公式求解即可.

【詳解】（1）由表可知200名顧客中愿意購(gòu)買(mǎi)第一款新品的人數(shù)為40+80+20=140人,

140

用頻率估計(jì)概率，從顧客中隨機(jī)抽取5,估計(jì)該名顧客愿意購(gòu)買(mǎi)第一款新品的概率為麗7.

（2）用頻率估計(jì)概率，由表可知從青少年組中抽取1人，愿意購(gòu)買(mǎi)第二款新品的概率為^^=7

30+302

從中年組中抽取1人，愿意購(gòu)買(mǎi)第二款新品的概率為訴方

第14頁(yè)/共29頁(yè)

303

從老年組中抽取1人，愿意購(gòu)買(mǎi)第二款新品的概率為

30+104

由題意X的可能取值為0,1,2,3,

311

XY

440

1311339

p(X=2)=-x-x1-|+—XX+1x—x—=——

2-Il25420

所以X的分布列為

X0123

11199

P

20402040

1119,937

￡(X)=0x----Fix-----l-2x----F3X——=——

2040204020

40+80+207

（3）用頻率估計(jì)概率，由表可知顧客愿意購(gòu)買(mǎi)第1款新品的概率為

20010

30+60+303

顧客愿意購(gòu)買(mǎi)第2款新品的概率為

2005

50+80+107

顧客愿意購(gòu)買(mǎi)第3款新品的概率為

20010

733

所以磯?mèng)?￡值）=1x—+0x|1--

1010355

2

7

所以。倡）=。值）=0Ix|1--1=0.21,

X》1010

所以。催）＞。信）=。倡）.

3

6.（l）y

9

（2）分布列見(jiàn)解析，E（X）=-

⑶s"

【分析】（1）利用“古典概型”的計(jì)算公式求解.

（2）明確X的可能取值，求出相應(yīng)事件的概率，可得分布列，在利用期望的概念求￡（X）.

（3）分別計(jì)算s：與s。比較它們的大小.

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【詳解】(1)這7個(gè)入圍短視頻中，前7天的累計(jì)播放量超過(guò)4萬(wàn)次的有3個(gè).

設(shè)事件”="從這7個(gè)入圍短視頻中隨機(jī)選取1個(gè)，該短視頻前7天的累計(jì)播放量超過(guò)4萬(wàn)次”,

3

則尸(4)=亍

(2)X的所有可能取值為0,1,2,3,

「3A1O

P(X=0)=W=2,尸(x=l)=^^=V,

C；35C；35

l23

夕(X=2)="C^C=L12,P(X=3)=C^=1—,

C35C；35

所以X的分布列為：

X0123

418121

p

35353535

L「18c

E(X)=0x§-+lx——+2x區(qū)+3XL"

53535357

——1

(3)前7天累計(jì)播放量的平均數(shù)為：X]=,(2.9+3.5+4.5+2.5+4.1+1.4+5.6)=3.5,

所以

22222

s；=；[(2.9-3.5)2+(3.5-36)2+^4.5-3.5)+(2.5-3.5)+(4.1-3.5)+(1.4-3.5)+(5.6-3.5)]

11.54,「

=-------?1.65.

7

前8天累計(jì)播放量的平均數(shù)為：

___11OO

x2=y[3.5x7+(O.4+0.4+0.6+0.3+0.5+0.1+0.8)]=—?3.94

所以

s；~|[(2.9+0.4-3.94)2+(3.5+0.4-3.94)2+(4.5+0.6-3.94)2+(2.5+0.3-3.94)2+(4.1+0.5-3.94)2+

(1.4+0.1-3.94)2+(5.6+0.8-3.94)2]?2.21

所以s；<sf.

(2)分布列見(jiàn)解析，￡(用=尢

(3)s；＞s：

【分析】(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)可求頻率，從而可求概率；

(2)先求出“乙款奶茶日銷(xiāo)售量大于60杯”、“丙款奶茶日銷(xiāo)售量大于60杯”的概率，再根據(jù)獨(dú)立事件的概

率可求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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（3）根據(jù)方差公式可求s；和從而可比較它們的大小.

【詳解】（1）對(duì)于甲款奶茶，7天中共有3天銷(xiāo)量大于65,

3

設(shè)A為：“該天甲款奶茶日銷(xiāo)售量大于65杯”，貝IJ尸（/）=].

（2）設(shè)3為：“乙款奶茶日銷(xiāo)售量大于60杯”，C為：“丙款奶茶日銷(xiāo)售量大于60杯”,

則尸（5）=：P（C）=-）

748

而X