2024-2025學(xué)年人教版數(shù)學(xué)七年級下學(xué)期期中復(fù)習(xí)知識串講（優(yōu)等生培優(yōu)版）【2024新教材】

第8章實數(shù)

（思維導(dǎo)圖+知識梳理+易錯點撥+11大考點講練+優(yōu)選壓軸題專練共43題）

目錄

講義編寫說明..................................................................................2

思維導(dǎo)圖指引..................................................................................2

全章節(jié)知識精講梳理............................................................................2

知識點梳理01：平方根和立方根.............................................................2

知識點梳理02：實數(shù)........................................................................3

易錯考點梳理點撥..............................................................................4

易錯知識點01：有理數(shù)與無理數(shù)的混淆.......................................................4

易錯知識點02：平方根與算術(shù)平方根的混淆...................................................4

易錯知識點03：立方根的性質(zhì)誤解...........................................................4

易錯知識點04：非負(fù)數(shù)的應(yīng)用錯誤...........................................................5

易錯知識點05：運(yùn)算法則中符號處理錯誤.....................................................5

易錯知識點06：運(yùn)算順序與律法誤用.........................................................5

易錯知識點07：平方根與立方根運(yùn)算混淆.....................................................5

易錯知識點08：數(shù)軸上的點對應(yīng)錯誤.........................................................5

易錯知識點09：絕對值化簡錯誤.............................................................5

期中真題匯編考點講練..........................................................................5

重點考點講練01：平方根....................................................................5

重點考點講練02：算術(shù)平方根...............................................................6

重點考點講練03：非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：算術(shù)平方根.................................................8

重點考點講練04：立方根...................................................................12

重點考點講練05：無理數(shù)...................................................................14

重點考點講練06：實數(shù).....................................................................15

重點考點講練07：實數(shù)的性質(zhì)..............................................................17

重點考點講練08：實數(shù)與數(shù)軸..............................................................18

重點考點講練09：實數(shù)大小比較............................................................22

重點考點講練10：估算無理數(shù)的大小........................................................24

重點考點講練11:實數(shù)的運(yùn)算26

優(yōu)選壓軸真題專練.............................................................................28

［進(jìn)X編篁說明____________________________________________________________

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一思維導(dǎo)圖指引

1金中節(jié)如以梳理精講_____________________________________________________

知識點梳理01：平方根和立方根

類型

平方根立方根

項目

被開方數(shù)非負(fù)數(shù)任意實數(shù)

符號表示±y[a\[a

一個正數(shù)有兩個平方根，且互為一個正數(shù)有一個正的立方根；

性質(zhì)相反數(shù)；一個負(fù)數(shù)有一個負(fù)的立方根；

零的平方根為零；零的立方根是零；

負(fù)數(shù)沒有平方根；

23

(V^)=>0)(V^)=a

重要結(jié)論a(a>0)

Va2=同=<=a

-a(a<0)\/-a二-y[a

知識點梳理02：實數(shù)

有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù).

1.實數(shù)的分類

按定義分：

(有理數(shù)：有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)

實數(shù)［4無理數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù)

按與o的大小關(guān)系分：

正有理數(shù)

正數(shù)＜

正無理數(shù)

實數(shù)0

'負(fù)有理數(shù)

負(fù)數(shù)

負(fù)無理數(shù)

【易錯點剖析】

(1)所有的實數(shù)分成三類：有限小數(shù)，無限循環(huán)小數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù).其中有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)統(tǒng)

稱有理數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù).

(2)無理數(shù)分成三類：①開方開不盡的數(shù)，如百，次等；

②有特殊意義的數(shù)，如“；

③有特定結(jié)構(gòu)的數(shù),如0.1010010001-

(3)凡能寫成無限不循環(huán)小數(shù)的數(shù)都是無理數(shù)，并且無理數(shù)不能寫成分?jǐn)?shù)形式.

(4)實數(shù)和數(shù)軸上點是一一對應(yīng)的.

2.實數(shù)與數(shù)軸上的點---對應(yīng).

數(shù)軸上的任何一個點都對應(yīng)一個實數(shù)，反之任何一個實數(shù)都能在數(shù)軸上找到一個點與之對應(yīng).

3.實數(shù)的三個非負(fù)性及性質(zhì)：

在實數(shù)范圍內(nèi)，正數(shù)和零統(tǒng)稱為非負(fù)數(shù)。我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過的非負(fù)數(shù)有如下三種形式:

(1)任何一個實數(shù)a的絕對值是非負(fù)數(shù)，即|。|20；

（2）任何一個實數(shù)。的平方是非負(fù)數(shù)，即標(biāo)20；

（3）任何非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù)，即620（?>0）.

非負(fù)數(shù)具有以下性質(zhì)：

（1）非負(fù)數(shù)有最小值零；

（2）有限個非負(fù)數(shù)之和仍是非負(fù)數(shù)；

（3）幾個非負(fù)數(shù)之和等于0,則每個非負(fù)數(shù)都等于0.

4.實數(shù)的運(yùn)算：

數(shù)。的相反數(shù)是一a；一個正實數(shù)的絕對值是它本身；一個負(fù)實數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值

是0.

有理數(shù)的運(yùn)算法則和運(yùn)算律在實數(shù)范圍內(nèi)仍然成立.實數(shù)混合運(yùn)算的運(yùn)算順序：先乘方、開方、再乘除，

最后算加減.同級運(yùn)算按從左到右順序進(jìn)行，有括號先算括號里.

5.實數(shù)的大小的比較：

有理數(shù)大小的比較法則在實數(shù)范圍內(nèi)仍然成立.

法則1.實數(shù)和數(shù)軸上的點一一對應(yīng)，在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大；

法則2.正數(shù)大于0,0大于負(fù)數(shù)，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)，兩個負(fù)數(shù)比較，絕對值大的反而??；

法則3.兩個數(shù)比較大小常見的方法有：求差法，求商法，倒數(shù)法，估算法，平方法.

1易錯壽惠橫理AM____________________________________

易錯知識點01：有理數(shù)與無理數(shù)的混淆

學(xué)生常將無限循環(huán)小數(shù)（如0.333…）誤判為無理數(shù)，或認(rèn)為所有帶根號的數(shù)（如J4）都是無理數(shù)，忽略

其可能為有理數(shù)的情況。

關(guān)鍵區(qū)分：無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)（如n、V2）,而有理數(shù)可表示為分?jǐn)?shù)或有限/無限循環(huán)小數(shù)。

易錯知識點02：平方根與算術(shù)平方根的混淆

平方根包含正負(fù)兩個值（如±J9=±3）,而算術(shù)平方根僅取非負(fù)值（如J9=3）。學(xué)生易在符號表示和數(shù)

值個數(shù)上出錯，例如將“Ja”直接等同于平方根。

易錯知識點03：立方根的性質(zhì)誤解

立方根可為正、負(fù)或零（如3V8=2,3V-8=-2）o學(xué)生易忽略負(fù)數(shù)也存在立方根，或誤認(rèn)為立方根符號

（3Ja）的結(jié)果符號與原數(shù)無關(guān)。

易錯知識點04：非負(fù)數(shù)的應(yīng)用錯誤

如“幾個非負(fù)數(shù)的和為0,則每個非負(fù)數(shù)必須為0"。例如，若Ja+|b|=0,需同時滿足a=0且b=0,學(xué)

生可能僅關(guān)注其中一個條件。

易錯知識點05：運(yùn)算法則中符號處理錯誤

在絕對值、相反數(shù)、倒數(shù)等運(yùn)算中，學(xué)生易忽略符號變化。例如，I-a|不一定等于a,需先判斷a的正負(fù)；

負(fù)數(shù)的倒數(shù)符號易漏寫。

易錯知識點06：運(yùn)算順序與律法誤用

復(fù)雜運(yùn)算中易混淆運(yùn)算順序（如先乘除后加減），或錯誤使用分配律（如將a（b+c）誤拆為ab+c）

易錯知識點07：平方根與立方根運(yùn)算混淆

例如，V（a2）=|a|（需分情況討論a的正負(fù)），而3V（a3）=a（無論a正負(fù)）。學(xué)生可能將兩者規(guī)則混

用。

易錯知識點08：數(shù)軸上的點對應(yīng)錯誤

實數(shù)與數(shù)軸一一對應(yīng)，但學(xué)生可能在表示無理數(shù)（如J2）時位置偏差，或誤判線段長度（如將正方形邊長

與面積混淆導(dǎo)致坐標(biāo)計算錯誤）。

易錯知識點09：絕對值化簡錯誤

例如，化簡|c-a|-|b+a|時，需根據(jù)數(shù)軸上點的位置判斷符號。若未正確分析a、b、c的大小關(guān)系，易導(dǎo)

致結(jié)果錯誤。

1期中真題匯編考京進(jìn)練_________________________________________________

重點考點講練01：平方根

【母題精講】（2024春?涼州區(qū)期中）一個正數(shù)的平方根是2〃-1與-。+2,求。和這個正數(shù).

【思路點撥】首先根據(jù)正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)可得2a-1-a+2=0,解方程可得八然后再

求出這個正數(shù)即可.

【規(guī)范解答】解：由題意得：2a—1—a+2=0,

解得：o=-1,

2Q—1=~3,—a+2=3,

則這個正數(shù)為9.

【考點評析】此題主要考查了平方根，關(guān)鍵是掌握一個正數(shù)有兩個平方根，這兩個平方根互為相反數(shù).

【訓(xùn)練1】（2022春?寧洱縣校級期中）已知一個正數(shù)的平方根是a+3和2a-15.

（1）求這個正數(shù)；

（2）求Ja+12的平方根.

【思路點撥】（1）根據(jù)平方根定義得出a+3+2a-15=0,求出。，求出a+3,即可求出答案；

（2）求出五的值，根據(jù)平方根定義求出即可.

【規(guī)范解答】解：（1）?.,一個正數(shù)的平方根是a+3和2a-15,

a+3+2Q—15=0,

6Z=4,

a+3=7，

這個正數(shù)為7?=49；

（2）a+12=4+12=16,

\Ja+12=4,

Ja+12的平方根是±衣=±2

【考點評析】本題考查了平方根的定義，能熟記平方根定義是解此題的關(guān)鍵，注意：的平方根是土&.

【訓(xùn)練2】（2021春?東莞市校級期中）一個正數(shù)x的兩個不同的平方根是3a-4和1-6°,求。及尤的值.

【思路點撥】由于應(yīng)該正數(shù)的兩個平方根互為相反數(shù)，據(jù)此可列出關(guān)于。的方程，求出。的值，進(jìn)而可求出

x的值.

【規(guī)范解答】解：由題意，得：3。一4+1-6a=0,

解得a=-1；

所以正數(shù)x的平方根是：7和-7,故正數(shù)x的值是49.

【考點評析】本題考查了平方根的定義.注意一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù).

重點考點講練02：算術(shù)平方根

【母題精講】（2023春?上杭縣期中）已知x=l-2a,y=3a-4.

（1）已知x的算術(shù)平方根為3,求a的值；

（2）如果x,y都是同一個數(shù)的平方根，求這個數(shù).

【思路點撥】(1)根據(jù)平方運(yùn)算，可得1-2a,根據(jù)解一元一次方程，可得答案；

(2)根據(jù)同一個數(shù)的平方根相等或互為相反數(shù)，可得。的值，根據(jù)平方運(yùn)算，可得答案.

【規(guī)范解答】解：(1)???X的算術(shù)平方根是3,

.,.1—2〃=9,

解得4=Y.

故a的值是Y；

(2)x,y都是同一個數(shù)的平方根，

1——3a—4，1—2a+(3a-4)=0

解得a=1,或a=3,

(1-2不=(1-2)2=1,

(l-2a)2=(l-6)2=25.

答：這個數(shù)是1或25.

【考點評析】本題考查了算術(shù)平方根，注意符合條件的答案有兩個，以防漏掉.

【訓(xùn)練1】(2023秋?市南區(qū)校級期中)某市在招商引資期間，把已倒閉的機(jī)床廠租給外地某投資商，該投

資商為減小固定資產(chǎn)投資，將原有的正方形場地改建成800平方米的長方形場地，且其長、寬的比為5:2.

(1)求改建后的長方形場地的長和寬為多少米？

(2)如果把原來面積為900平方米的正方形場地的金屬柵欄圍墻全部利用，來作為新場地的長方形圍墻,

柵欄圍墻是否夠用？為什么？

【思路點撥】(1)設(shè)長方形圍場長為5x米，則其寬為2x米，根據(jù)長方形面積列出方程求出x的值，進(jìn)而

可知長方形長與寬；

(2)由(1)中長方形的長與寬可知長方形周長，同理可得正方形的周長，比較大小可知是否夠用.

【規(guī)范解答】解：設(shè)長方形圍場長為5x米，則其寬為2x米，根據(jù)題意，

得：5x-2x=8(X),

解得：x=4^/5或x=-(舍)，

.?.長=4百x5=2O小，寬=4如X2=8B

答：改建后的長方形場地的長和寬分別為206米、8喬米；

(2)設(shè)正方形邊長為y,則y2=900,

解得：y=30或y=-30（舍）,

原正方形周長為120米，

新長方形的周長為（20喬+8-）x2=56百，

?.-120<56^,

柵欄不夠用，

答：這些金屬柵欄不夠用.

【考點評析】本題主要考查一元二次方程的簡單應(yīng)用，根據(jù)題意設(shè)出合適未知數(shù)是基礎(chǔ)，依據(jù)相等關(guān)系列

出方程求出各自周長是解題的關(guān)鍵.

【訓(xùn)練2】（2023春?霍邱縣期中）某地氣象資料表明，當(dāng)?shù)乩子瓿掷m(xù)的時間/①）可以用公式產(chǎn)=得來估

計，其中或加）是雷雨區(qū)域的直徑，如果雷雨區(qū)域的直徑為9而1,那么這場雷雨大約能持續(xù)多長時間？

【思路點撥】先依據(jù)算術(shù)平方根的性質(zhì)得到z=J?、，然后將d=9代入計算即可.

V900

【規(guī)范解答】解：

900

熊=°8

將d=9代入得：t=

那么這場雷雨大約能持續(xù)0.971時間.

【考點評析】本題主要考查的是算術(shù)平方根的性質(zhì)，熟練掌握算術(shù)平方根的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

重點考點講練03：非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：算術(shù)平方根

【母題精講】（2024春?松山區(qū)期中）若^/^^+（y+2）2=0,則5+?必等于（）

A.-1B.1C.32023D.-32023

【思路點撥】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出x=l,y=-2,再將其值代入。+》產(chǎn)24計算即可.

【規(guī)范解答】解：?.?GT+（y+2）2=0,

/.x—1=0,y+2=0,

.'.x=lfy=—29

故選：B.

【考點評析】此題考查了代數(shù)式求值，算術(shù)平方根的非負(fù)性，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出尤、y的值是解題的關(guān)

鍵.

【訓(xùn)練1】（2022春?江津區(qū)校級期中）小聰準(zhǔn)備了四根木棍AB、CD、EF、MN（木棍均足夠長），擺

放位置如圖1所示，ABHCD,點E、M分別在他、CD上，木棍EF從開始繞點E順時針旋轉(zhuǎn)至K4

便立即往回旋轉(zhuǎn)，木棍"N從A/C開始繞點M順時針旋轉(zhuǎn)至便立即往回旋轉(zhuǎn)，兩根木棍不斷來回旋

轉(zhuǎn).若木棍EF轉(zhuǎn)動的速度是a。/秒，木棍轉(zhuǎn)動的速度是6。/秒，且a,。滿足|a-11+7T拓=0,EF

與MN相交于點P.

（1）當(dāng)EF轉(zhuǎn)動30。，轉(zhuǎn)動135。時，ZEPM=75°；

（2）若木棍EF先轉(zhuǎn)動30秒，木棍才開始轉(zhuǎn)動，木棍砂到達(dá)E4之前（木棍￡F轉(zhuǎn)動角度小于180。），

木棍轉(zhuǎn)動幾秒時，兩根木棍互相平行？

（3）如圖2,ZCME^nO°,兩根木棍同時開始轉(zhuǎn)動，在木棍到達(dá)之前（即木棍MN轉(zhuǎn)動角度小

于180。），若兩根木棍交于點P,過P作交AB于點Q,且NMPQ=120。，則在轉(zhuǎn)動過程中，請?zhí)骄?/p>

與NEPQ的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？若不變，請求出其數(shù)量關(guān)系；若改變，請說明理由.

圖I圖2

【思路點撥】（1）如圖1,過P作尸。//AB,根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

（2）設(shè)木棍MN轉(zhuǎn)動f秒時，兩根木棍互相平行,根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到a=l,6=2,如圖2-a,連接

當(dāng)由MC向MD旋轉(zhuǎn)過程中，EF//MN,如圖2-6,當(dāng)木棍從MC開始繞點M順時針旋轉(zhuǎn)至A?

便立即往回旋轉(zhuǎn)時，EF//MN,根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

（3）設(shè)轉(zhuǎn)動時間為f秒，根據(jù)平行線的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論.

【規(guī)范解答】解：（1）如圖1,過P作PQ//AB,

ZBEF=ZEPQ=30°,

-,-AB//CD,

:.PQ//CD,

ZQPM+ZCMP=1SO°,

/.ZQPM=45°9

/.ZEPM=ZEPQ+ZQPM=75°,

故答案為：75；

(2)設(shè)木棍MN轉(zhuǎn)動/秒時，兩根木棍互相平行，

*.*|tz—11+J2-b—0,

ci—1=0,2—b=0

a=1,/?=2,

如圖2-〃，連接石M,

?:ABI/CD,

:.ZBEM=ZCME,

當(dāng)MN由MC向旋轉(zhuǎn)過程中，EF//MN,

則NFEM=ZNME,

:.ZBEF=ZCMN,

即30+%=2%,

t=30；

如圖2-人，當(dāng)木棍MN從開始繞點M順時針旋轉(zhuǎn)至Afi)便立即往回旋轉(zhuǎn)時，EF//MN,

則NFEM=NNME,

.\ZBEF=ZCMN,

即30+^180°-(2^-180°),

.".t=110,

綜上所述，木棍MN轉(zhuǎn)動30秒或no秒時，兩根木棍互相平行；

(3)不變，

設(shè)轉(zhuǎn)動時間為，秒，

-.AB//CD,

/.ZMEB=Z.CME=120°,

???NBEP=t。,ZCMP=2t°,

^EMP=Z.CMP-ACME=2t°-120°,ZMEP=ZBEM-BEP=120°-t°

ZMPE=ZMPQ-ZEPQ=120°-ZEPQ,

???ZEMP+ZMEP+ZEPM=180°,

2t°-120°+120°-/°+120°-NEPQ=180°,

:.t°+nO°-ZEPQ=180°,

:.t0-60°=ZEPQ,

?;NEMP=2伊—120。,

:.ZEMP^2ZEPQ,

故在轉(zhuǎn)動過程中，NEMP與的數(shù)量關(guān)系不發(fā)生變化.

圖3

圖1

【考點評析】本題考查了平行線的性質(zhì)，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握平行線的性質(zhì)是

解題的關(guān)鍵.

【訓(xùn)練2】（2022秋?新余期中）（1）已知j2x-4y-5+|2x-3|=0,求x+y的平方根.

（2）已知.、6滿足J2a+8+2-向=0,解關(guān)于x的方程（。+2）/一/="-1.

【思路點撥】（1）利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出x、y的值即可解決問題；

（2）利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a、6即可解決問題；

【規(guī)范解答】解：⑴；j2x-4y-5+|2x-3|=0,

又,:j2x-4y-5..O,|2x-3|..O,

.'.x+y=l,

，x+y的平方根為±1.

(2)72^+8+|&-73|=0,

又：J2a+8..O,|Z?-A/3|..O,

a=—4，b=\/3,

方程為-2f-3=-5,

x2=1,

.'.x=±l.

【考點評析】本題考查非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，有理數(shù)的混合運(yùn)算等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握非負(fù)數(shù)的性質(zhì)的

應(yīng)用.

重點考點講練04：立方根

【母題精講】(2024秋?浦口區(qū)校級期中)解下列方程：

(1)49—16=0；

(2)(x-1)3=-125.

【思路點撥】(1)根據(jù)平方根的定義計算即可；

(2)根據(jù)立方根的定義計算即可.

【規(guī)范解答】解：(1)4X2=16,

x2=4,

x=±2；

(2)無—1=—5,

x=T?

【考點評析】本題考查了平方根和立方根，掌握它們的定義是解題的關(guān)鍵.

【訓(xùn)練1】(2023春?富錦市校級期中)我們知道。+6=0時，a3+〃3=o也成立，若將?？闯?的立方根，

6看成/的立方根，我們能否得出這樣的結(jié)論：若兩個數(shù)的立方根互為相反數(shù)，則這兩個數(shù)也互為相反數(shù).

(1)試舉一個例子來判斷上述猜測結(jié)論是否成立；

(2)若捐二五與際與互為相反數(shù)，求1-五的值.

【思路點撥】1、用2與-2來驗證即可.

2、根據(jù)題的結(jié)論計算.

【規(guī)范解答】解：(1)?.?2+(-2)=0,

而且23=8,(-2)3=-8,<8-8=0,

二.結(jié)論成立；

.?.即“若兩個數(shù)的立方根互為相反數(shù)，則這兩個數(shù)也互為相反數(shù).”是成立的.

(2)由(1)驗證的結(jié)果知，l—2x+3x—5=0,

.'.x=4,

1-sfx-1-2=-1.

【考點評析】本題主要考查了立方根的定義，是開放題，根據(jù)題中的信息：“若兩個數(shù)的立方根互為相反

數(shù)，則這兩個數(shù)也互為相反數(shù).”答題.

【訓(xùn)練2】(2023春?雞西期中)求下列各式中x的值：

(1)(x+2)2-36=0；

(2)64(.r+l)3=27.

【思路點撥】(1)先移項，然后根據(jù)直接開平方法可以解答此方程；

(2)先變形，然后根據(jù)立方根的定義即可解答此方程.

【規(guī)范解答】解：(1)?.?(X+2)2-36=0

;.(尤+2)2=36

.'.x+2=±6

解得，%=一8,9=4;

(2)v64(x+l)3=27

...(1+1)3=衛(wèi)

64

.3

x+1=一

4

1

.二x——?

4

【考點評析】本題考查立方根、平方根、解方程，解答本題的關(guān)鍵是明確平方根和立方根的定義，會解方

程.

重點考點講練05：無理數(shù)

【母題精講】（2024春?分宜縣校級期中）下列數(shù)中是無理數(shù)的是（）

A.0B.—C.百D.#一125

7

【思路點撥】常見的無理數(shù)有：開不盡方的數(shù)，有規(guī)律但是不循環(huán)的數(shù)，含乃的數(shù)；據(jù)此逐個判斷即可.

【規(guī)范解答】解：A、0是有理數(shù)，不符合題意；

B、4是有理數(shù)，不符合題意；

7

C、百是無理數(shù)，符合題意；

。、也而=-5是有理數(shù)，不符合題意；

故選：C.

【考點評析】本題考查了無理數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是掌握無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù).

【訓(xùn)練1】（2024春?蘭山區(qū)期中）《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中最早記載無理數(shù)的著作，書中指出：“若

開之不盡者為不可開，當(dāng)以面命之”，作者給這種開方開不盡的數(shù)起了一個專門名詞一一“面”.請問下

列各數(shù)符合“面”的描述的是（）

A.A/4B.A/6C.也D.716

【思路點撥】根據(jù)題意，開方開不盡的數(shù)為面，進(jìn)行判斷即可.

【規(guī)范解答】解：A、"=2,不符合題意；

B、通是開方開不盡的數(shù)，符合題意；

C、兩=3,不符合題意；

D、716=4,不符合題意；

故選：B.

【考點評析】本題考查無理數(shù)，熟練掌握該知識點是關(guān)鍵.

【訓(xùn)練2】（2021秋?通川區(qū)校級期中）在實數(shù)：1,,希，—,7i,3.1313313331…（兩個1之間

7

一次多一個3）中，無理數(shù)有3個.

【思路點撥】根據(jù)無理數(shù)的三種形式求解.

【規(guī)范解答】解：-4=-2,

無理數(shù)有：巾，兀,3.1313313331...,共3個.

故答案為：3.

【考點評析】本題考查了無理數(shù)的知識，解答本題的關(guān)鍵是掌握無理數(shù)的三種形式：①開方開不盡的數(shù)，

②無限不循環(huán)小數(shù)，③含有萬的數(shù).

重點考點講練06：實數(shù)

【母題精講】(2022春?確山縣期中)給出定義如下：若一對實數(shù)3加滿足6=必+4,則稱它們?yōu)橐?/p>

對''相關(guān)數(shù)"，如：7---7x-+4,故(7,3是一對“相關(guān)數(shù)”.

888

(1)數(shù)對(1,1),(-2,-6),(O,T)中是“相關(guān)數(shù)”的是_(O,T)_；

(2)若數(shù)對(元,-3)是“相關(guān)數(shù)”，求x的值；

(3)是否存在有理數(shù)機(jī)，〃，使數(shù)對(〃?,〃)和(〃,㈤都是“相關(guān)數(shù)”，若存在，求出一對機(jī)，”的值，若不

存在，說明理由.

【思路點撥】(1)根據(jù)“相關(guān)數(shù)”的意義，分別計算驗證即可；

(2)根據(jù)“相關(guān)數(shù)”的意義，列方程求解即可；

(3)利用反證法，先承認(rèn)(孫〃)和(〃,加)都是“相關(guān)數(shù)”，任何得出矛盾的結(jié)論，得出結(jié)論.

【規(guī)范解答】解：(1)vl-l^lxl+4,因此一對實數(shù)(LD不是“相關(guān)數(shù)”，

2-(-6)H(-2)X(-6)+4,因此一對實數(shù)(一2,-6)不是“相關(guān)數(shù)”，

?.?0-(T)=0x(T)+4,因此一對實數(shù)(0,-4)是“相關(guān)數(shù)”，

故答案為：(0,T)；

(2)由“相關(guān)數(shù)”的意義得，x-(-3)=-3x+4

解得，尤」

4

答：x=—；

4

(3)不存在.

若(九九)是“相關(guān)數(shù)"，則，相—〃=zm+4,

若(九,⑼是“相關(guān)數(shù)”，則，八一m=nm+4，

若(九九)和(〃,加)都是“相關(guān)數(shù)"，則有機(jī)=〃，而加=〃時，m—n=0^nm+4,因此不存在.

【考點評析】考查有理數(shù)的運(yùn)算，新定義“相關(guān)數(shù)”的意義的理解，理解“相關(guān)數(shù)”的意義是正確解答的

關(guān)鍵.

【訓(xùn)練1】(2019春?莒南縣期中)把下列各數(shù)填在相應(yīng)的表示集合的大括號內(nèi)：

|-2|,--,0.3i,麻，9，-1.4,2萬，-3,逐，0,10%,1.1O1OO1OOO1...(每兩個1之間依次多一

37

個0)

整數(shù)｛…｝;

正分?jǐn)?shù)｛…｝;

無理數(shù)｛...｝.

【思路點撥】根據(jù)實數(shù)的有關(guān)概念是和分類進(jìn)行判斷即可.

【規(guī)范解答】解：整數(shù)包括：|-2|,廊，-3,0；

正分?jǐn)?shù)包括：0.31,-,10%；

7

無理數(shù)包括：2萬；瓜,1.1010010001...(每兩個1之間依次多一個0).

【考點評析】本題主要考查的是實數(shù)的分類，掌握實數(shù)的概念和分類是解題的關(guān)鍵.

【訓(xùn)練2】(2024春?黔東南州期中)把下列各數(shù)分別填入相應(yīng)的集合內(nèi)(只填序號)：

1LL

①15；②萬；③0；④一一；⑤-萬；@-|-3|；⑦一%；⑧&；?1.1010010001...(每兩個1之間依次多

3

一個0).

(1)正無理數(shù)集合：｛②⑧⑨..3;

(2)負(fù)無理數(shù)集合：｛—...｝；

(3)整數(shù)集合：｛...｝；

(4)正實數(shù)集合：｛—...｝；

(5)負(fù)實數(shù)集合：｛...｝.

【思路點撥】根據(jù)實數(shù)的分類求解.

【規(guī)范解答】解：(1)正無理數(shù)集合：｛②⑧⑨...｝,

故答案為：②⑧⑨

(2)負(fù)無理數(shù)集合：｛⑤⑦…｝；

故答案為：⑤⑦；

(3)整數(shù)集合：｛①③⑥...｝；

故答案為：①③⑥；

(4)正實數(shù)集合：｛①②⑧⑨…｝；

故答案為：①②⑧⑨；

(5)負(fù)實數(shù)集合：｛④⑤⑥⑦…｝.

故答案為：④⑤⑥⑦.

【考點評析】本題考查了實數(shù)，掌握實數(shù)的分類是解題的關(guān)鍵.

重點考點講練07：實數(shù)的性質(zhì)

【母題精講】（2024春?臨高縣期中）當(dāng)式子|x-#|+|x+逐|取最小值時，則實數(shù)x的取值范圍是（）

A.—yf5<x<A/6B.-A/6<x<A/5C.-A/6<X<-y/5D.yf5<x<y/6

【思路點撥】I尤-#I+1X+6|的最小值,意思是X到-石的距離與A/6到的距離之和最小，那么x應(yīng)在-石

和遙之間的線段上，進(jìn)而求解即可.

【規(guī)范解答】解：++君|表示x到-石的距離加上x到近的距離,

當(dāng)表示x的點在-百和幾之間的線段上時，|x-#|+|x+石|取最小值，

X的取值范圍為-各.

故選：A.

【考點評析】本題考查了實數(shù)和數(shù)軸，絕對值的幾何意義，掌握數(shù)軸上兩點間的距離=兩個數(shù)之差的絕對

值是解題關(guān)鍵.

【訓(xùn)練1】（2024春?奉賢區(qū)期中）下列說法正確的是（）

A.正數(shù)的方根互為相反數(shù)

B.正數(shù)的算術(shù)平方根一定比它本身小

C.只有1和0的立方根是它本身

D.負(fù)數(shù)的偶次方根不存在

【思路點撥】根據(jù)平方根、立方根的性質(zhì)逐項分析判斷即可.

【規(guī)范解答】解：A、正數(shù)的方根互為相反數(shù)，沒說清楚是立方根還是平方根，故錯誤，不符合題意；

3、1的算術(shù)平方根等于它本身，故原說法錯誤，不符合題意；

C、-1的立方根也等于它本身，原說法錯誤，不符合題意；

。、負(fù)數(shù)的偶次方根不存在，正確，符合題意；

故選：D.

【考點評析】本題考查了實數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握平方根、立方根的性質(zhì)是關(guān)鍵.

【訓(xùn)練2】（2024春?惠陽區(qū)校級期中）若|°|=布，貝1一的相反數(shù)是2.

【思路點撥】根據(jù)所給條件，求出/的值，代入所求式子即可求解.

【規(guī)范解答】解：1=6,

..ci=6,

-7a2-2=-76-2=-2,

-2的相反數(shù)是2.

故本題的答案是2.

【考點評析】本題考查了實數(shù)相反數(shù)的意義，實數(shù)相反數(shù)的意義與有理數(shù)相反數(shù)的意義相同，在一個數(shù)前

面放上“-”，就是該數(shù)的相反數(shù).本題的關(guān)鍵是求出代數(shù)式的值.

重點考點講練08：實數(shù)與數(shù)軸

【母題精講】(2024春?西湖區(qū)期中)閱讀下面的材料：

如圖①，若線段AB在數(shù)軸上，A,3點表示的數(shù)分別為*則線段AB的長(點A到點3的距

離)可表示為=

_______g1.,________I__I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_

-2-1/01B23-6-5-4-3-2-1012345

圖①圖②

請用上面材料中的知識解答下面的問題：

如圖②，一個點從數(shù)軸上的原點開始，先向左移動1cm到達(dá)A點，再向左移動251到達(dá)3點，然后向右移

動7cm到達(dá)C點，用1個單位長度表示1cm

(1)請你在數(shù)軸上表示出A,B,C三點的位置，并直接寫出線段AC的長度；

(2)若數(shù)軸上有一點D,且AD=4c"?,則點。表示的數(shù)是什么？

(3)若將點A向右移動xcm,請用代數(shù)式表示移動后的點表示的數(shù)？

(4)若點3以每秒2c機(jī)的速度向左移動至點片，同時點A,點C分別以每秒1皿和4c機(jī)的速度向右移動至

點心，點鳥，設(shè)移動時間為f秒，試探索：月鳥-62的值是否會隨著/的變化而變化？請說明理由.

【思路點撥】(1)根據(jù)題意容易畫出圖形；由題意容易得出C4的長度；

(2)設(shè)。表示的數(shù)為a,由絕對值的意義容易得出結(jié)果；

(3)將點A向右移動xcm,則移動后的點表示的數(shù)為-1+x；

(4)用代數(shù)式表示出乙乙和再相減即可得出結(jié)論.

【規(guī)范解答】解：(1)如圖所示：

BAC

__；---1---1__d----1--b-I----1---1---1__d----

-6-5-4-3-2-1012345

C4=4-(-l)=4+l=5(cm)；

(2)設(shè)。表示的數(shù)為〃，

???AD=4,

-1—a|=4，

解得：a=—5或3,

.?.點。表示的數(shù)為-5或3；

(3)將點A向右移動xcm,則移動后的點表示的數(shù)為-1+x：

(4)鳥鳥-片鳥的值不會隨著f的變化而變化，理由如下：

根據(jù)題意得：心心=(4+4/)-(-l+r)=5+3t,

P1P2=(-l+r)-(-3-2r)=2+3Z,

/.P3P2—Ag=(5+3t)—(2+3t)=3,

A4-4心的值不會隨著f的變化而變化.

【考點評析】此題考查了數(shù)軸，掌握數(shù)軸上兩點之間的距離求解方法是解決問題的關(guān)鍵.

【訓(xùn)練1】(2024春?鼓樓區(qū)校級期中)在數(shù)軸上點A表示的數(shù)是石.

-5-4-3-2-1012*345>

(1)若把點A向左平移2個單位得到點為5,則點3表示的數(shù)是什么？

(2)點C和(1)中的點3所表示的數(shù)互為相反數(shù)，點C表示的數(shù)是什么？

(3)求出線段。4,OB,OC的長度之和.

【思路點撥】(1)根據(jù)左減右加進(jìn)行計算；

(2)關(guān)于原點對稱的兩個點即為互為相反數(shù)；

(3)求其長度之和，即是求它們的絕對值的和.

【規(guī)范解答】解：(1)點3表示的數(shù)是6-2.

(2)點C表示的數(shù)是2-百.

(3)由題可得：A表示不，3表示百-2,C表示2-逐，

:.OA=sj5,OB=y/5-2,OC=|2-|=75-2.

:.OA+OB+OC=y/5+y/5-2+45-2=3y/5-4.

【考點評析】此題主要考查了實數(shù)與數(shù)軸之間的對應(yīng)關(guān)系，有一定的綜合性，要求學(xué)生首先正確理解題意，

才能利用數(shù)形結(jié)合的思想解題.

【訓(xùn)練2】(2024春?惠陽區(qū)校級期中)如圖，在數(shù)軸上有兩個長方形和EFG”,這兩個長方形的寬

都是3個單位長度，長方形ABCD的長相＞是6個單位長度，長方形&狽的長是10個單位長度，點

E在數(shù)軸上表示的數(shù)是5.且E、。兩點之間的距離為14.

(1)填空：點〃在數(shù)軸上表示的數(shù)是15,點A在數(shù)軸上表示的數(shù)是—.

(2)若線段4)的中點為線段四上一點N,EN^-EH,M以每秒4個單位的速度向右勻速運(yùn)動，

4

N以每秒3個單位的速度向左運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為x秒，原點為O.當(dāng)OA/=2ON時，求x的值.

(3)若長方形ABCD以每秒2個單位的速度向右勻速運(yùn)動，長方形EFGH固定不動，設(shè)長方形ABCD運(yùn)動

的時間為々＞0)秒，兩個長方形重疊部分的面積為S,當(dāng)S=12時，求此時f的值.

B_____CFG

_?____?____E\_______

AMDO5H

【思路點撥】(1)根據(jù)數(shù)軸上兩點間距離，可求得點所對應(yīng)的數(shù)；

(2)根據(jù)題意，可表達(dá)出點M和點N對應(yīng)數(shù)，進(jìn)而表達(dá)和QV的長，根據(jù)OM=2ON,建立等式，

求解即可；

(3)根據(jù)數(shù)軸上動點問題，圖形動轉(zhuǎn)化為點動，根據(jù)題意求解即可.

【規(guī)范解答】解：(1)由題意可得，點X在數(shù)軸上表示的數(shù)為：5+10=15；

點A在數(shù)軸上表示的數(shù)為：5-14-6=-15.

故答案為：15；-15.

(2)?.?點M是線段4)的中點，

.?.點”表示的數(shù)為5-14-9=-12,

2

又?：EN==EH,

4

.?.點N在數(shù)軸上表示的數(shù)為：5+；(15-5)=孩，

由題意可得，x秒時，

點M在數(shù)軸上表示的數(shù)為：-12+4x,

點N在數(shù)軸上表示的數(shù)為：絲-3尤，

2

/.OM=|4X-12|,ON=\3x-—\

2f

???OM=2ON,

.-.|4x-12|=2|3x-y|

.'.4^-12=2（3x一￡）或4x-12=-2（3x-y）,

解得無二或彳衛(wèi).

210

故答案為：3或2.

210

14

（3）當(dāng)CD與￡F重合時，所用時間為—=7秒，

2

19

由題意得：AD與E”重合的部分為二=4,如圖1所示，

3

BfCG

OAEDH

圖1

設(shè)長方形ABCD從EF運(yùn)動到AD與EH重疊部分為4時，所用的時間為4秒,

t,=-=2,

12

第一次重疊面積為12時，時間f為2+7=9（秒）；

當(dāng)AD與即重疊部分為4時，如圖2所示，

OEAHD

圖2

設(shè)長方形ABCD從EF運(yùn)動到與重疊部分為4時，所用的時間為芍秒，

12人

=—=O,

22

.,.第二次重疊面積S=12時，時間f為6+7=13（秒）；

.?.當(dāng)長方形ABCD與長方形EFG//重疊部分的面積為12時，f的值為9或13.

【考點評析】本題主要考查數(shù)軸上兩點間距離，解一元一次方程，數(shù)軸上動點問題等內(nèi)容，做題時注意要

分類討論.

重點考點講練09：實數(shù)大小比較

【母題精講】（2024春?海珠區(qū)校級期中）已知數(shù)a,b,c的大小關(guān)系如圖，下列說法：①必+ac>0；

@-a-b+c<Q；?—+—+—=-1：?\a-b\Jt-\c+b\-\a-c\=-2b；⑤若x為數(shù)軸上任意——點，貝!|

\a\\b\|c|

|x-6|+|x-a|的最小值為a-3.其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）

IIII.

b0ac

A.1B.2C.3D.4

【思路點撥】首先判斷出bv。，c>6i>0,\c\>\b\>\a\,再根據(jù)有理數(shù)的大小比較法則，絕對值的性質(zhì)等

知識一一判斷即可.

【規(guī)范解答】解：由題意bvO,c>a>0,\c\>\b\>\a\,則

①必+ac>0,故原結(jié)論正確；

②-a-Z?+c>0,故原結(jié)論錯誤；

③工+2+￡=i-i+i=i,故原結(jié)論錯誤；

l?l\b\|c|

@\a-b\-^-\c+b\-\a-c\=a-b+c+b-（-a+c）=2a,故原結(jié)論錯誤；

⑤當(dāng)碑/a時，+的最小值為Q-b,故原結(jié)論正確.

故正確結(jié)論有2個.

故選：B.

?it??

b0ac

【考點評析】本題考查了數(shù)軸和實數(shù)的大小比較，利用數(shù)軸也可以比較任意兩個實數(shù)的大小，即在數(shù)軸上

表示的兩個實數(shù)，右邊的總比左邊的大，在原點左側(cè)，絕對值大的反而小.

【訓(xùn)練1】（2024春?浦東新區(qū)校級期中）的大小關(guān)系是（）

A.72<^<1|B.1!<72<^C.V2<1|<A/3D.73<1!<72

【思路點撥】由題意，0,6,1|都是正數(shù)，且衣，道都含有根號，則可通過比較其平方的大小，即可解答

出.

【規(guī)范解答】解：：（&）2=2,（班）2=3,（1|）2=1.96；

（1|）2<（^）2<（73）2,

LLD

■:應(yīng)，石,1（都是正數(shù)，

.-.11<A/2<A/3.

故選：B.

【考點評析】本題主要考查了實數(shù)大小的比較，當(dāng)給出的數(shù)中含有根式時，可以根據(jù)實際情況，考慮通過

比較其平方的大小來解決.

【訓(xùn)練2】（2022秋?紅谷灘區(qū)校級期中）如圖，長方形ABCD的面積為300c/,長和寬的比為3:2.在此

長方形內(nèi)沿著邊的方向能否并排裁出兩個面積均為147cM的圓（萬取3）,請通過計算說明理由.

AB

DC

【思路點撥】根據(jù)長方形的長寬比設(shè)長方形的長DC為3叩W，寬AD為2xcm,結(jié)合長方形ABCD的面積為

300cm2,即可得出關(guān)于元的一元二次方程，解方程即可求出x的值，從而得出AB的長，再根據(jù)圓的面積公

式以及圓的面積為147c即可求出圓的半徑，從而可得出兩個圓的直徑的長度，將其與AB的長進(jìn)行比

較即可得出結(jié)論.

【規(guī)范解答】解：設(shè)長方形的長DC為3x0〃，寬AD為2xcm.

由題