2025北京高一(上)期末數(shù)學(xué)匯編

指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)章節(jié)綜合(解答題)

一、解答題

1.(2025北京順義高一上期末)某學(xué)校鼓勵學(xué)生利用課余時(shí)間積極參加體育鍛煉，學(xué)生每天能用于鍛煉的

課余時(shí)間有60分鐘，現(xiàn)需要制定一個課余鍛煉考核評分標(biāo)準(zhǔn)，建立一個學(xué)生每天得分，(單位：分)與當(dāng)

天鍛煉時(shí)間x(單位：分鐘)的函數(shù)關(guān)系.滿足的條件如下：

①函數(shù)是區(qū)間［0,60］上的增函數(shù)；

②每天運(yùn)動時(shí)間為。分鐘時(shí)，當(dāng)天得分為。分；

③每天運(yùn)動時(shí)間為10分鐘時(shí)，當(dāng)天得分為2分；

④每天運(yùn)動時(shí)間為30分鐘時(shí)，當(dāng)天得分不超過5分.

2

現(xiàn)有以下三個函數(shù)模型供選擇：①y=ntx+n(m>0)@y=m-log2(^+2)+n(in>0)(3)y=mx+n(m>0)

(1)請你根據(jù)條件從中選擇一個合適的函數(shù)模型(不必說明理由)，并求出函數(shù)的解析式；

(2)若每位學(xué)生每天得分不少于5分，求該學(xué)生每天至少需要鍛煉的時(shí)間.(注：行土1.414,結(jié)果保留整

數(shù)).

2.(2025北京順義高一上期末)已知函數(shù)〃x)=log2(l+x)+”og2(l-x),且函數(shù)是奇函數(shù).

(1)求實(shí)數(shù)/的值；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)==,判斷函數(shù)g(尤)在區(qū)間(0,1)上的單調(diào)性，并證明你的判斷；

(3)設(shè)函數(shù)尸(x)=〃尤)-：+g,寫出函數(shù)P(x)的零點(diǎn)個數(shù).(結(jié)論不要求證明)

3.(2025北京清華附中高一上期末)已知函數(shù)〃x)=|log"x|(a>0,aHl).

(1)若7(2)=；,求實(shí)數(shù)。的值；

(2)右。<石<工2，且/(%)=/(w)，求石九2的值；

(3)若函數(shù)/(x)在；,3的最大值與最小值之和為1,求實(shí)數(shù)。的值.

4.(2025北京清華附中高一上期末)已知二次函數(shù)/(彳卜％2-2小+1,其中機(jī)>0.

⑴若“X)的最小值為-1，求加的值；

⑵若〃x)有兩個不同的零點(diǎn)%，飛，求證：匯+芯+6>4.

5.(2025北京豐臺高一上期末)設(shè)函數(shù)〃x)=a%2+(2a-4)x-a+5,其中a>0.

⑴當(dāng)a=l時(shí),求在區(qū)間［。,3］上的最大值和最小值：

⑵若〃x)在區(qū)間［1,4］上不單調(diào)，求。的取值范圍；

⑶若在區(qū)間(-1,2)內(nèi)存在零點(diǎn)，求a的取值范圍.

6.(2025北京豐臺高一上期末)已知函數(shù)/(x)=log2M.

⑴判斷的奇偶性，并證明；

(2)在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系xOy中，畫出“X)的圖象，并寫出的單調(diào)區(qū)間；

⑶求不等式〃力＞4的解集.

7.(2025北京延慶高一上期末)(1)比較下列各題中兩個值的大小，并說明理由：

①0.9"與0.9"7;

②(/+2嚴(yán)與

③logs0.5與0；

④已知實(shí)數(shù)6滿足6。＞6〃，號)"與守的大小.

(2)設(shè)/(x)=log.x,其中。＞0且。片1,比較氏)與/(受產(chǎn))的大小,并證明.

8.(2025北京延慶高一上期末)計(jì)算下列各式的值或簡化下列各式：

(I)log28+log31+lg5+lg20；

5

⑵e2+log?⑷x2)+log169+log278；

_2

5x

(3)151--；

一4-y2.(_[x3y4)

o

m+mx+2

(4)——丁.

m2+m2

9.(2025北京延慶高一上期末)已知函數(shù)〃x)=lg(x+D.

⑴求函數(shù)/(x)的定義域、值域；

(2)判斷/'(x)的反函數(shù)是否存在，如果不存在，說明理由；如果存在，求出反函數(shù)的解析式;

⑶如果〃2加)＜/(加+2),求機(jī)的取值范圍；

(4)令g(x)=/(10")+2ax,已知g(x)是偶函數(shù)，求。的值.

10.(2025北京密云高一上期末)已知函數(shù)，(無)=降+求一，.

(1)當(dāng)。=1時(shí)，證明：為偶函數(shù)；

(2)當(dāng)。=-1時(shí)，直接寫出的單調(diào)性，并解不等式/(2x-l)>e2_e-2；

(3)當(dāng)a>0時(shí)，是否存在實(shí)數(shù)a,使得的最小值為4,若存在，求出。的值，若不存在，請說明理由.

11.(2025北京海淀高一上期末)已知函數(shù)5(x)=e*+ae于(a#0).

⑴若/(0)=0,求。的值；

(2)當(dāng)a=1時(shí)，用函數(shù)單調(diào)性定義證明以x)在區(qū)間［0,+8)上是增函數(shù)；

⑶若aeZ,VxeR,/(尤)>0恒成立，且函數(shù)g(x)=#(x)在(-8,0)上單調(diào)遞增，求a的最小值.

12.(2025北京二中高一上期末)已知指數(shù)函數(shù)/(%)=能的圖象過點(diǎn)。,2),

⑴求函數(shù)“X)的解析式；

(2)判斷—x)=—〃—x)的奇偶性，并加以證明；

⑶如果log。(-必-2麻+3”1在區(qū)間［2,3］上恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

13.(2025北京西城高一上期末)已知函數(shù)其中awO.

⑴證明：/(-x)+/(x)=a；

⑵若/(%)在,+e)上單調(diào)遞減，求。的取值范圍；

⑶求〃x)在區(qū)間［-1,2］上的取值范圍.

14.(2025北京西城高一上期末)已知函數(shù)/■(x)=log2(2-x)+log2(l+X).

⑴求〃x)的定義域；

(2)求不等式/(無)W1的解集.

15.(2025北京清華附中高一上期末)2024年1月11日，我國太原衛(wèi)星發(fā)射中心在山東海陽附近海域使

用引力一號遙一商業(yè)運(yùn)載火箭，將搭載的云遙一號18-20星3顆衛(wèi)星順利送入預(yù)定軌道，飛行試驗(yàn)任務(wù)獲

得圓滿成功，引力一號運(yùn)載火箭首飛即采用難度較高的海上發(fā)射，刷新了全球運(yùn)力最大固體運(yùn)載火箭、我

國運(yùn)力最大民營商業(yè)運(yùn)載火箭紀(jì)錄，進(jìn)一步豐富了我國運(yùn)載火箭型譜.1903年前蘇聯(lián)(俄羅斯)航天之父

齊奧爾科夫斯基推導(dǎo)出火箭的理想速度公式為：v=%ln今其中為火箭初始質(zhì)量，加上為火箭燃燒完畢

熄火后剩余質(zhì)量，票稱為火箭質(zhì)量比，%為火箭發(fā)動機(jī)噴氣速度.至今多年來所有大小火箭都遵循齊奧爾

科夫斯基公式基本規(guī)律.現(xiàn)已知某型號火箭的發(fā)動機(jī)的噴氣速度為7900m/s.

(1)當(dāng)該型號火箭的質(zhì)量比為10時(shí)，求該型號火箭的理想速度；

⑵經(jīng)過改進(jìn)后，該火箭發(fā)動機(jī)噴氣速度變?yōu)樵瓉?倍，火箭質(zhì)量比變?yōu)樵瓉淼娜羰够鸺睦硐胨俣仍?/p>

加3950m/s,求該火箭在技術(shù)和材料改進(jìn)前的質(zhì)量比.(兩問結(jié)果均保留一位小數(shù)，參考數(shù)據(jù)：

InlOx2.30,e?2.718,^/e?1.649)

16.(2025北京房山高一上期末)已知函數(shù)的定義域?yàn)镽,對任意實(shí)數(shù)加,〃eR,都有

+=且當(dāng)x>0時(shí)，

⑴求了(。)；

(2)證明：當(dāng)x<0時(shí)，/(%)>1；

⑶當(dāng)f(lg(4-2。-3))>1時(shí)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

17.(2025北京石景山高一上期末)已知函數(shù)/(x)=ln(3+x)+ln(3-x).

⑴求函數(shù)/(x)的定義域；

(2)判斷函數(shù)/(x)的奇偶性；

(3)求證:/(%)在(0,3)是減函數(shù).

18.(2025北京大興高一上期末)己知函數(shù)/(x)=log“x+x-b,其中a>l.

⑴若/⑴=1,/(4)-/(2)=3,求萬的值；

(2)用單調(diào)性定義證明：函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+e)上單調(diào)遞增；

(3)若當(dāng)l<a<2<6<3時(shí)，函數(shù)/(x)在區(qū)間(","+l)(〃cN*)上存在零點(diǎn)，寫出"的值，并說明理由.

19.(2025北京東城高一上期末)已知函數(shù)/(x)=log4(x+2),g(x)=log2x.

⑴當(dāng)f(x)>g(x)時(shí)，求X的取值范圍；

⑵若函數(shù)y=g(皿)筌］］在［1,8］上的最大值為6,求實(shí)數(shù)加的值；

(3)通過軟件作圖發(fā)現(xiàn)，當(dāng)尤e(-l,O)時(shí)，/(x)<x+l<g(x+2).試?yán)蒙鲜鼋Y(jié)論證明：1］<2°2<1.2.

20.(2025北京東城高一上期末)已知函數(shù)/(x)=log“x(a>0,awl).

⑴若/(［=2,求a的值；

⑵當(dāng)0<。<1時(shí)，若函數(shù)8。)=|〃到在［凡2句上的最大值與最小值的差為，求。的值；

(3)設(shè)函數(shù)入(x)=a-2x-/(x),當(dāng)5<a<6時(shí)，〃(x)的零點(diǎn)須e(利,加+1)(根eN*),求加的值.

21.(2025北京朝陽高一上期末)己知函數(shù)/(x)=1^(a€R)是定義在R上的奇函數(shù).

⑴求〃x)的解析式；

(2)判斷的單調(diào)性并用定義證明；

⑶解關(guān)于x的不等式7?(4x)+y(2-3x2")<0.

22.(2025北京東城高一上期末)已知函數(shù)/(%)=":"+的圖象過點(diǎn)(2］］,其中meR.

-x+mx+4,0<x<l<24；

⑴求加及/(T)的值；

(2)求證：V^e(-oo,l),都有x+3</(x)Wx+4；

⑶若函數(shù)g(x)=|/W-(x+n)|5eR)在(口>,1)上存在最大值，直接寫出”的取值范圍.

23.（2025北京東城高一上期末）在某種藥物研究試驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)其在血液內(nèi)的濃度》（單位：毫克/毫升）

與時(shí)間單位：小時(shí)）滿足函數(shù)關(guān)系y=h,其中a,左為大于。的常數(shù).已知該藥物在

-,t＞2

it

血液內(nèi)的濃度是一個連續(xù)變化的過程，且在2小時(shí)時(shí)達(dá)到最大值21n3毫克/毫升.

（1）直接寫出上的值；

（2）當(dāng)該藥物濃度不小于最大值一半時(shí)，稱該藥物有效.求該藥物有效的時(shí)間長度T（單位：小時(shí)）.

24.（2025北京首師大附中高一上期末）已知函數(shù)〃x）=ln（2r）+ln（2+無）.

（1）求函數(shù)/（x）的定義域；

（2）判斷了（x）奇偶性，并加以證明；

⑶若/（2〃z+l）＜ln3,求實(shí)數(shù)加的取值范圍.

25.（2025北京八中高一上期末）已知函數(shù)8（彳）=加-2依-1+Z?（。＞0）在區(qū)間[2,3]上有最大值4和最

小值1.設(shè)〃司=省.

⑴求6的值；

⑵若不等式/（2*）-h2―0在xe[T,l]上有解，求實(shí)數(shù)人的取值范圍.

26.（2025北京石景山高一上期末）已知函數(shù)=xe[-l,2].

⑴當(dāng)a=2時(shí)，求的最小值；

⑵記”X）的最小值為g（司，求g㈤的解析式.

27.（2025北京八中高一上期末）已知函數(shù)/（無）=log,匕?的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，其中。為常數(shù).

x-1

（1）求。的值；

⑵當(dāng)xe[2,4]時(shí)，/（x）＜log2（x+幻恒成立，求實(shí)數(shù)上的取值范圍.

28.（2025北京房山高一上期末）已知函數(shù)“無）=log2（尤J2尤+。）的定義域是R.

（D求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

（2）解關(guān)于x的不等式，＜-1.

a~

2工+1

29.（2025北京四中高一上期末）設(shè)函數(shù)

（1）若/⑷=2,求實(shí)數(shù)。的值；

（2）判斷函數(shù)/（x）的奇偶性，并證明你的結(jié)論；

（3）若〃尤）《機(jī)對于xe[l,+oo）恒成立，求實(shí)數(shù)機(jī)的最小值.

參考答案

Y

1.(1)②，y=21og2(-+2)-2

(2)該學(xué)生每天至少簫要鍛煉47分鐘

【分析】(1)選擇模型①②③，利用函數(shù)圖象過的點(diǎn)求出私"，再驗(yàn)證即可得解.

(2)由(1)所得解析式，建立不等式并求解即得.

【詳解】(1)選擇模型①，由函數(shù)過點(diǎn)(。,0),(10,2),得根=g,〃=0,則了=!苫，

當(dāng)％=30時(shí)，y=6〉5,不符合題意；

選擇模型③，由函數(shù)過點(diǎn)(0,0),(10,2),得根=點(diǎn),〃=0,貝=

當(dāng)％=30時(shí)，y=18>5,不符合題意；

mlog22+n=0

選擇模型②，由函數(shù)過點(diǎn)(0,0),(10,2),得10小,解得機(jī)=2,〃=—2,

mlog2(—+2)+n=2

此時(shí)函數(shù)的解析式為y=21ogg+2)-2,當(dāng)x=30時(shí)，L仁+212=4,符合題意,

X

所以函數(shù)的解析式為y=21og2(1+2)-2.

Y

(2)由(1)知y=21og2(1+2)-2,由每位學(xué)生每天得分不少于5分，

^21og2(-+2)-2>5,即地式1+刀士于則1+222-8五，

解得尤2400-10240x1.414-10=46.56，

所以若每位學(xué)生每天得分不少于5分，該學(xué)生每天至少簫要鍛煉47分鐘.

2.(l)f=-l

(2)函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增，證明見解析

(3)2個零點(diǎn)

【分析】(1)根據(jù)奇函數(shù)定義，由〃T)+/(X)=0,代入計(jì)算可求得t=-l；

(2)利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性；

(3)借助函數(shù)奇偶性和單調(diào)性可得零點(diǎn)的個數(shù).

fl+x>0/、/、

【詳解】⑴令I(lǐng)T〉。，解得所以函數(shù)的定義域?yàn)?-U).

由于函數(shù)/(X)是奇函數(shù)，

所以函數(shù)/(X)在其定義域內(nèi)滿足〃r)+/(x)=0,

貝Ulog2(l-x)+rtog2(l+^)+log?(1+x)+dog2(l-x)=0.

2

整理得：(l+r)log2(l-%)=0,

注意到對任意的xe(-M)上式均成立，可得1+/=0,解得r=T.

1I7

(2)因?yàn)?(尤)=三|r=六-1,可知函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增.

證明如下(方法一)：

對任意西，電?0,1),且占</，

則g(6g(/)=占T一七+1=±_±

因?yàn)?<%<%2<1,1—%〉0,1—>°，石一元2<0，

可得g(%)-g(%)<。,即g&)<g(z)

所以函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增.

證明單調(diào)性(方法二)：

對任意看,%2?0,1),且為<%,

貝"(%)一(%)=產(chǎn)-

1一再JL-%2

(1+玉)(1—々)一(1+*2)(1—須)2(須一％2)

(1一%)(1一％2)(1一%)(1一%2)

因?yàn)?<%<X2<1』一百〉0/一々〉°，%1一％2<。，

可得g(%)-g(x2)<。，即g(%)<g(%2)，

所以函數(shù)g(X)在區(qū)間(。,1)上單調(diào)遞增.

(3)由題意得F(x)=log2(1+x)—log2(1—x)---\--=log2-------H-,

x21xx2

根據(jù)第(2)小問得〃尤)=log2二三在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增，

又函數(shù)y=-1+1在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增，所以網(wǎng)可在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增,

當(dāng)x=；時(shí)，rW=log23-1=log2V9-log2A/8>0,

當(dāng)x=9寸，F(xiàn)W=log22-|=l-|<0,

根據(jù)零點(diǎn)存在定理得在區(qū)間(0,1)上存在一個零點(diǎn)，

同理可得在區(qū)間(-1,0)上存在一個零點(diǎn)，

所以函數(shù)尸(X)有2個零點(diǎn).

3.⑴〃=4或

⑵1;

(3)a=或a=陋■

3

【分析】(1)代入直接求解；

(2)計(jì)算可知log.(尤1々)=°，由此得中2=1；

(3)分析得函數(shù)在曰,3］上最大值是2,分類討論可求解.

【詳解】(1)由題意|loga2|=；,所以108?2=^或108?2=-3,解得q=4或°=［；

(2)由題意|logaxj=〔log"馬|，又。<花<%，且y=log“x在(0,+℃)上單調(diào)，

所以1嗚尤1+1嗎尤2=°，Wloga(x1x2)=0,所以中2=1；

(3)顯然尤=1時(shí)，/(刈=|1。8小|取得最小值0,則函數(shù)/(尤)在［；,3］上的最大值是2,

由(2)可知/《)=/(2),

由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)知f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+s)上單調(diào)遞增，所以/(2)<〃3),

所以7(3)=|log°3|=2,解得〃=&或

4.⑴萬

(2)證明見解析.

【分析】(1)根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求解；

(2)利用韋達(dá)定理把不等式左邊表示為根的函數(shù)，再結(jié)合基本不等式可證.

【詳解】(1)/(x)=x2-2mx+1=(x-m)2+1-m2,

所以〃XU=1-/=T，解得根=應(yīng)(負(fù)值舍去)；

(2)由題意/(%)=%2一根X+l=0的兩根為七且再W%2，

所以八=療-4>0,因?yàn)閙>0,故解得機(jī)>2,

%+%2=m,x1x2=1,

22

(X+)—2xx9+6m+44IT.

玉+馬玉+%mmNm

4

當(dāng)且僅當(dāng)用=一，即加=2時(shí)等號成立.

m

5.(1)最小值為3,最大值為7.

【分析】(1)根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得出最值;

(2)根據(jù)函數(shù)不單調(diào)列不等式計(jì)算求參；

(3)解法1：分A=0及△>?兩種情況分類討論求零點(diǎn)或結(jié)合零點(diǎn)存在定理計(jì)算范圍；解法2：先計(jì)算對

稱軸為x=乎，再分/(-!)=0，〃2)=0及/(-1)〃2)*0,結(jié)合零點(diǎn)存在定理計(jì)算求解.

【詳解】(1)當(dāng)。=1時(shí)，/(X)=X2-2X+4,

所以的對稱軸為x=l，

所以在區(qū)間［0,3］上的最小值為了⑴=3,最大值為"3)=7.

(2)由已知，得了(尤)的對稱軸為》=個.

因?yàn)?(x)在區(qū)間［1,4］上不單調(diào)，

所以1<三<4.

a

2

由a>0,解得—<ci<1,

故0的取值范圍是

(3)解法1：由已知，得△=(2a-4)2-4a(5-a)=4(2a-l)(a-4).

1)當(dāng)A=0即或〃=4時(shí)，

2

由a=［，得〃x)=g尤2-3X+|,此時(shí)/⑺的零點(diǎn)為3,不符合題意：

由a=4,W/(X)=4^2+4X+1,此時(shí)〃x)的零點(diǎn)為-(，符合題意.

2)^|A>0§P0<a<—,或a>4時(shí)，

2

①若a>4,止匕時(shí)/(x)的對稱軸x==

且〃2)=7a-3>0

所以在區(qū)間(-1,2)內(nèi)存在零點(diǎn)，符合題意

②若0<a<:,止匕時(shí)/(X)的對稱軸》=乎=：一le(3,+”)，

所以在區(qū)間(-1,2)內(nèi)單調(diào)遞減.

又因?yàn)椤═)=9-2a>0,

所以在區(qū)間(T2)內(nèi)存在零點(diǎn)只需滿足"2)=7a-3<0,

3

解得0<。<亍.

綜上，0的取值范圍是［O4］U［4,+8).

解法2：由已知，得/(-1)=9-2。,/⑵=7a-3,/(x)的對稱軸為》=個，

A=(217-4)2-4a(5-?)=4(2a-l)(a-4).

1)當(dāng)〃—1)=0即0=；時(shí),/(x)=jx2+5x+-,

此時(shí)“X)在區(qū)間(-1,2)內(nèi)有零點(diǎn)為-g,符合題意.

2)當(dāng)/(2)=0即a=T時(shí)，=+y)

此時(shí)/(x)在區(qū)間(-1,2)內(nèi)無零點(diǎn)，不符合題意，

3)當(dāng)/(一1)/(2)力。即aw：,且時(shí)，

由〃x)在區(qū)間(-1,2)內(nèi)存在零點(diǎn)，則有以下兩種情況：

aQ

①〃一1)〃2)<0,解得0<“得,或

〃2)>0,

②{,2-a解得4<a<—.

-1<------<2,2

a

A>0.

綜上，a的取值范圍是(0：［口［4,+“).

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵點(diǎn)是應(yīng)用零點(diǎn)存在定理列不等式關(guān)系計(jì)算求參.

6.(l)〃x)是偶函數(shù)，證明見解析

(2)答案見解析，單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+"),單調(diào)遞減區(qū)間為(-8,0).

(3){x|無<-16或x>16}.

【分析】(1)運(yùn)用奇偶性定義證明即可；

(2)運(yùn)用函數(shù)圖象反正變換畫圖，寫出單調(diào)區(qū)間即可；

(3)運(yùn)用對數(shù)函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合絕對值不等式知識計(jì)算即可.

【詳解】(1)/(%)是偶函數(shù)，證明如下：

由已知，得“X)的定義域?yàn)閧x|xw。},關(guān)于原點(diǎn)對稱.

因?yàn)閂xe{HxwO},都有-無e{x|xw0},

且=log21-%|=log2|x|,

所以=故是偶函數(shù).

(2)/(x)的圖象如下圖所示.

/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+。)，單調(diào)遞減區(qū)間為(-雙0).

(3)因?yàn)?(x)=log2|x|>4,且log2：16=4,

所以log2W>log2：16.

因?yàn)閥=log2x在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增，

且兇>0,16>0,所以,|>16,

解得了<-16,或犬>16,

故〃x)>4的解集為{x|無<-16或x>16}.

7.(1)①0.9"<0.9"T;②(42+2/32的；③logsOScO；④*<*；(2)答案見解析.

【分析】(1)利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、累函數(shù)單調(diào)性比較大小.

(2)作差，利用對數(shù)運(yùn)算，按0<a<l,a>l分類，并結(jié)合對數(shù)函數(shù)單調(diào)性判斷即得.

【詳解】(1)①函數(shù)y=0.9”在R上單調(diào)遞減，a>a-l,所以0.9"<0.9"-、

②函數(shù)y=x~°J在(0,+s)上單調(diào)遞減，4+222,所以(/+2尸1=24;

③函數(shù)y=logsX在(0,+8)上單調(diào)遞增,0.5<1,所以logs0.5<logs1=0；

④函數(shù)y=6*在(0,+℃)上單調(diào)遞增，由6">6",得

函數(shù)y=審在(0,+T上單調(diào)遞減,所以/<申.

(2)函數(shù)/(x)=log“x,=1(logflX1+logflx2)-loga,

=log”Tog"^4^=bg"，

2xx+x2

ri=ix>0r>02dxix2<27y._1

田玉>U,%2>U,U<—1...-1,

一項(xiàng)+x22Jxrx2

當(dāng)0<”1時(shí)，1嗎漢江20,因止匕叢乎21”（三三）;

%%22

當(dāng)a>l時(shí)，logflA￡K<O,因止匕/（占）+：（>）4/（土土三）.

Xj+x222

8.(1)4；

311

(2)—+—log23+log32；

31

(3)-/；

⑷蘇+機(jī)萬,

【分析】(1)(2)利用對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)及換底公式化簡計(jì)算.

(3)(4)利用指數(shù)幕的運(yùn)算法則計(jì)算即得.

3412

【詳解】(1)Iog28+log31+lg5+lg20=log22+log33-+lgl0=3-l+2=4.

Ini、、1lg32lg23

(2)e2+log(4x2)+log9+log8=-+log2+—7+―5-

2162722lg2lg3

=5+15+；log23+log32=?+—log23+log32.

_2]_

2

(-1)-^-」(二)i

5x3y53-3V224=34

⑶-------1'13

52

-4尤Ty2.(——4)

x3y

6"

￡1

m+m-1+2(m2+m2)21

(4)----------=-------------=77722

_L__L1_J_+m

m2+m2m2+m2

9.（1）定義域?yàn)椋?L+00）,值域?yàn)镽；

（2）存在，理由見解析，y=10'-l；

（3）（-g，2）；

（4）-7.

4

【分析】（1）利用對數(shù)函數(shù)求出定義域及值域.

（2）確定Ax）單調(diào)性，結(jié)合反函數(shù)定義判斷并求出解析式.

（3）由單調(diào)性解不等式.

（4）利用偶函數(shù)的定義求出參數(shù)值.

【詳解】（1）函數(shù)/■（元）=lg（x+D有意義，則x+l>0,解得x>—l,

所以函數(shù)/（尤）的定義域?yàn)椋?1,+8）,值域?yàn)镽.

（2）函數(shù)f（x）存在反函數(shù)，

函數(shù)7'（*）在上單調(diào)遞增，對每個函數(shù)值，，都有唯一自變量無與之對應(yīng)，因此/（x）存在反函數(shù),

由y=lg（x+l）,得x+l=l（p,%=10'-1,所以八>）的反函數(shù)為y=io*T.

(3)函數(shù)f(x)在(一1，口)上單調(diào)遞增，由/?(2〃。</(根+2),得—1<2租<加+2,解得一根<2,

所以m的取值范圍是(-'，2).

2

(4)依題意，g(x)=lg(10%+1)+lax,其定義域?yàn)镽,

由g(x)是偶函數(shù)，得g(X)—g(-尤)=。，則值(10"+1)+2〃%-愴(10一"+1)+2G=0,

10r+1

整理得4ax=lg(10-x+l)-lg(10%+l)=lg———=lgl0-x=-x,而％不恒為0,

10x+1

所以4a=—1,即。=—.

4

10.(1)證明見解析

⑵/(X)在(F,y)上遞增，不等式解集為［q+CO)

(3)存在，a=4

【分析】(1)當(dāng)。=1時(shí)，利用函數(shù)奇偶性定義可證明f(x)為偶函數(shù)；

(2)當(dāng)。=-1時(shí)，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得/(尤)的單調(diào)性，將不等式/(2x-l)>e「e一化為

/(2^-1)>/(2),再利用函數(shù)的單調(diào)性求解即可；

(3)當(dāng)a>0時(shí)，根據(jù)基本不等式求出函數(shù)的最小值，再根據(jù)/(x)的最小值為4,列方程求解即可,

【詳解】(1)當(dāng)。=1時(shí)，/。)=1+b，f(x)的定義域?yàn)镽,定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，

因?yàn)?(-x)=ef+e，=/(尤)，所以/(x)是偶函數(shù)；

(2)當(dāng)a=-L時(shí)，f{x}=e-&x,〃2)=e?-丁

因?yàn)閥=e',y=-eT=-4都是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，

e

所以/(x)=e‘-e-”在(-oo,+oo)上遞增，

不等式/(2x-l)>e2-e-2,BP/(2x-l)>/(2),

3

所以2x—1〉2n%〉一，

2

即不等式/(2x-l)>e2-e-2的解集為g，+8)；

(3)當(dāng)a>0時(shí)，/(%)=eJ+ao~x,Mex>0,aeTx>0,

所以y(x)=e'+(7b22Je*xae。'=2-Ja>當(dāng)且僅當(dāng)e'=aer,即x=jlna時(shí)等號成立,

因?yàn)閒(x)的最小值為4,所以2&=4na=4,

即存在a=4,使得/(x)的最小值為4.

11.(1)-1;

⑵證明見解析；

6)1.

【分析】(1)代入計(jì)算得。的值.

(2)利用增函數(shù)的定義，結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性推理得證.

(3)對恒成立的不等式分離參數(shù)，借助指數(shù)函數(shù)值域求出〃的最小值，再利用增函數(shù)的定義推理得解.

【詳解】(1)函數(shù)，由/(0)=0,得〃+1=0,所以〃=—1.

(2)當(dāng)〃=1時(shí)，/(x)=ex+e-x,任取￡［°，+8),再</，

/(%i)—/(%2)=e占+ef—e巧一e一巧=。為一e巧-e-X1-X2(eX1-e^2)=(ex,-)(1-e-x,,

由OW玉〈馬，得鏟ve巧,vl,則(爐—e巧)(1—e下f)<0,即/(玉)</(%2)，

所以函數(shù)/(x)在區(qū)間［。,+8)上是增函數(shù).

(3)不等式/(%)>0oe"+aer〉。0〃>一匕2。依題意，VXGR,a>—匕之芯恒成立，

而VXER,恒有一匕2*<0,則又awO,awZ,因此"之1,

=eX|

任取不，々￡(一8,0),玉，/Ui)-/(^2)+。。一看一。巧—ae』

=eX1-eX2-a(eX1-e%2)=(e國一e巧)(1-ae^),

由玉</<0,得更<e巧,ef』>1,

而。21,貝!J(e』一e」)(l—〃ef』)>0,即/&)>〃電)>0,

—玉>—%2>。，)>—X2?/>(*2)，

則/)(西)<%24(%2)，即g(『)Vg(%2)，

因此函數(shù)g(X)=V(X)在J%。)上單調(diào)遞增，

所以。的最小值是1.

12.⑴〃力=2，；

(2)尸(x)是奇函數(shù)，證明見解析；

4

⑶人

【分析】(1)將點(diǎn)代入求得〃的值即可求得函數(shù)的解析式；

(2)根據(jù)奇偶性的定義判斷證明即可.

(3)問題轉(zhuǎn)化為狂(；-$在［2,3］上恒成立，令力(力=上-。(尤<2,陰，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出6的范

圍即可.

【詳解】(1)由題知,/(x)=［的圖象過點(diǎn)(1,2),

所以〃1)=2］=2,。=2,

二/(力=2，；

(2)尸(x)是奇函數(shù).

證明如下：

由(1)得，*x)=2'-2、

V/（x）的定義域?yàn)镽,定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱

F（-x）=2r-2?*）=2T-2r=-（2x-2^）=-F（x）,

故尸（x）是奇函數(shù).

（3）如果log?（-/-26尤+3”1在區(qū)間［2,3］上恒成立,

即-爐_2法+322在區(qū)間［2,3］上恒成立,

即月（2-*在［2,3］上恒成立，

令心）=上上，（xe［2,3］）,

2x2

rr4

顯然力（X）在［2,3］上單調(diào)遞減，Mx）而n=〃（3）=-耳，

故?。?

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：不等式恒成立問題常見方法：

①分離參數(shù)//⑺恒成立（。2/⑺111ax即可）或。4/⑺恒成立即可）；

②數(shù)形結(jié)合（y=/（x）圖象在y=g（x）上方即可）；

③討論最值〃X）皿2?；颉▁）中＜0恒成立；

@討論參數(shù)，排除不合題意的參數(shù)范圍，篩選出符合題意的參數(shù)范圍.

13.（1）證明見解析

⑵（0,+巧

（3）答案見解析

【分析】（1）直接將-x代入函數(shù)解析式中，得到/（一=再兩式相加即可得到結(jié)果.

（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義即可求出。的取值范圍.

（3）對參數(shù)。分情況討論，利用函數(shù)單調(diào)性即可得到在區(qū)間卜1,2］上的取值范圍.

【詳解】（1）因?yàn)榱刷硕?，所以〃一?3=簧

，十乙1十/1十/

)

故〃-）+/（力表+爵a+ax2xax(l+2

=a-

1+2”1+2X

（2）因?yàn)椤▁）在（-00,+00）上單調(diào)遞減，則當(dāng)王＜龍2，有/（%）—"工2）＞0?

xX

a&a(l+2^)-a(l+2'}a2^-2')

所以設(shè)不<%，

-l)l〃—l+2--x->----1-+-2=^A(——l+2*)(l+~2*)(l+'2%1、),(~l+2二12),

因?yàn)橛?lt;%,所以2H—2為>0,(l+2^>)(1+2-^)>0,

要使/&)一/卜2)>°，則a>0，

故〃的取值范圍為(O,+8).

(3)當(dāng)?！?時(shí)，由小問2得/(%)在(YO,+OO)上單調(diào)遞減，

/(“比等"2"號哆

故“X)在區(qū)間［-1,2］上的取值范圍為1,y;

當(dāng)4＜。時(shí)，利用小問2的結(jié)論知，“力在(9,")上單調(diào)遞增，/(-l)=j^Tr=y,

八2)=二，，

'/1+225

故“X)在區(qū)間［-1,2］上的取值范圍為y,1.

綜上：當(dāng)。＞0時(shí)，取值范圍為1,y；當(dāng)。＜0時(shí)，取值范圍為y,-|.

14.(1)(-1,2)；

⑵(-1,0］31,2)

【分析】(1)利用對數(shù)函數(shù)定義列出不等式求出定義域.

(2)利用對數(shù)函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合對數(shù)運(yùn)算求解不等式.

(2—x＞0

【詳解】(1)函數(shù)/(%)=log2(2—x)+log2(l+%)有意義，則(C，解得—1VX＜2,

l+x>0

所以函數(shù)/(尤)的定義域?yàn)?-1,2).

-l<x<2

(2)不等式/(尤)Vlolog2(2-尤)+log2(l+x)Vlo

log2[(2-x)(l+x)]<log22

—1<%<2

，解得一lv%4。或1W2,

2+%—x2,W2

所以原不等式的解集為(-1,0］u口2).

15.(l)18170m/s；

(2)6.6

【分析】(1)將給定數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算即得；

(2)利用給定信息列出不等式求解.

M

【詳解】(1)依題意，v=volnTr-=790011110?7900x2.30=18170m/s.

Mk

MM

(2)技術(shù)改進(jìn)前的理想速度W=%ln才=7900In才，

MM

技術(shù)改進(jìn)后的理想速度%=2voln才=2x7900In才，

要使火箭的理想速率至少增加3950m/s,

旦-7900In”取-21n必

貝Ijv2-=2x7900In>3950,即41n21,

2乂1M2MkMk

In-1+41n2

4In---41n2-21n--與，

MkMMJ2

M"41n21

所以一2=e2-eln4=4Ve?6.6,

Mk

所以該火箭在技術(shù)和材料改進(jìn)前的質(zhì)量比為6.6

16.(1)/(0)=1

（2）證明見解析

(3)1—yfs<〃<—13<4<1+A/5

【分析】（1）令機(jī)=1,〃=0,由已知等式可得A。）；

（2）設(shè)x＜0,由題意可得了（T+X）=/（T）"（X）,則得設(shè)-x）-f（x）=l,再結(jié)合可得

/(X)>1;

:巴之IL,即可求得實(shí)數(shù)〃的取值范

（3）原不等式等價(jià)于/（lg（『-2a-3））＞/（0）,利用單調(diào)性可得＜

圍.

【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)/（X）的定義域?yàn)镽,對任意實(shí)數(shù)以〃都有/（相+〃）=/（租＞/（〃）,

且當(dāng)尤＞0時(shí)，

所以當(dāng)〃?=1,〃=0時(shí)，/(1+0)=/(1)-/(0),HP/(1)=/(1)-/(0),

所以/（0）=L

（2）因?yàn)楫?dāng)尤＜0時(shí)，-尤＞0,所以/'（-彳+刈=〃-》）-〃》）,

即/(-x)"(x)=/(0),由(I)知，即0)=1,

所以/（—尤）"（幻=1,

1

所以/(?=

/(-x)

因?yàn)?x＞0,所以。＜

所以/⑶=7匕＞]

（3）任取士,％eR,且王〈馬，

貝（石）一/■（%）=/（（不一馬）+%）-/（尤2）=/（改一天2）/（%）一/（尤2）=[/（王一工2）-1]/（龍2），

由已知條件及（1）,（2）可知，/（x2）＞0.

又因?yàn)橛瘢?，所以%＜0.所以/（尤1-9）＞1，

所以/(%-X2)T>°.所以"(X1-工2)T]"%)>0，

所以/&)>/(%)，

所以函數(shù)/（無）的是R上的減函數(shù),

當(dāng)/(lg(〃-2a-3))>1時(shí)，不等式轉(zhuǎn)化為/(lg(a2-2a-3))>/(0).

因?yàn)楹瘮?shù)/(尤)的是R上的減函數(shù)，

所以不等式/(lg(a2-2a-3))>/(0)轉(zhuǎn)化為

lg(tz2-2a-3)<0[a2-2a-3<l1-y/5<a<1+y/5

，即I9，解d可,/_p.\

a92-2a-3>0[a2-2a-3>0[〃<-1或4)3

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是1-石<Q<-1或3<〃<1+B

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：(3)原不等式等價(jià)于2a-3))>/(()),利用函數(shù)/(%)單調(diào)性轉(zhuǎn)化成

lg(〃2—2a—3)<0

,進(jìn)行求解.

Q?—2〃-3〉0

17.(1)(-3,3)

⑵偶函數(shù).

(3)證明見解析

【分析】(1)根據(jù)對數(shù)型函數(shù)的定義域即可求解定義域;

(2)根據(jù)奇偶性的定義即可判斷奇偶性.

(3)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可.

“f3+x>0,

【詳解】(1)由題忌知:'八，解得一3Vx<3,

[3—%。

所以/(X)的定義域?yàn)?-3,3).

(2)由(1)知/(一的定義域?yàn)?-3,3),

VxG(—3,3),—xG(—3,3).

/(一%)=ln(3-x)+ln(3+%)=/(x),

所以了(%)是偶函數(shù).

(3)對于W%,9w(°，3),且不<X2,

/(%,)—/(x2)=ln(3+a)+ln(3—玉)一[ln(3+x2)+ln(3—%)]

=ln(9-^)-ln(9-^)=ln|5j

因?yàn)椤?lt;%<%2<3,所以0<X：<X；<9,

Q_r2

所以9一x：>9-君>0,即廣>"

9-r2

0,

所以歷廠>即/(不)->0,/(%1)>/(%2),

9一％2

所以函數(shù)/Q)在(。，3)是減函數(shù).

18.⑴a=2,b=0

(2)證明見詳解

(3)1,理由見詳解

【分析】(1)根據(jù)析1)=1可解6,根據(jù)/⑷-*2)=據(jù)結(jié)合對數(shù)運(yùn)算可解

(2)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可證明；

(3)根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，以及函數(shù)/(?的單調(diào)性可得〃的值.

【詳解】(1)由f(D=l,得1—6=1,解得6=0,

由〃4)-〃2)=3,得log“4-log〃2=l,gpiogfl2=l,解得a=2.

(2)取e(0,+<?),且玉(尤2，

則/a)—/(々)=log”由-iogflx2+^-x2

由。>1,0<xl<x2,得玉-馬<0，且log。％<log0%，即log“XTog“％<0,

于是/(芯)一/(9)=108“％-108“々+菁-%<0,

即/㈤</(%)，

因此，函數(shù)/(X)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增.

(3)n=\,理由如下：

①當(dāng)〃=1時(shí)，

/(1)=1-^,因?yàn)?<b<3,所以/(1)=1-6<0,

/(2)=loga2+2-Z>,因?yàn)閘<a<2,所以log02>l,則log。2+2:>3,

因?yàn)?<6<3,所以〃2)=log.2+2-b>0.

又因?yàn)楹瘮?shù)/(x)在區(qū)間(0,+力)上單調(diào)遞增，

因此，根據(jù)零點(diǎn)存在定理得：

當(dāng)l<a<2<6<3時(shí)，函數(shù)在區(qū)間(1,2)上存在零點(diǎn)，

②當(dāng)幾EN*時(shí)，

由/(2)>。，且/(%)在區(qū)間(0,+。)上單調(diào)遞增可知：

“X)在區(qū)間(","+1)(〃eN*)上不存在零點(diǎn).

綜上所述，滿足題意的〃的值為L

19.⑴(0,2)

(2)上或1

64

(3)證明見解析

【分析】(1)根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和定義域解對數(shù)不等式；

(2)將問題轉(zhuǎn)化為y+(log2〃zT)rTog2〃2在0443上的最大值為6,進(jìn)而可得;

(3)利用/(x)<x+l<g(x+2),分別賦值x=-0.9,x=-0.8即可證.

【詳解】⑴由題意函數(shù)“X)的定義域?yàn)?-2,+8),g(x)的定義域?yàn)?0,+e),

2

由/(X)>g(X)得log4(x+2)>log2x=log4x,

故尤+2>/，得-l<x<2,

又x>0,故尤的取值范圍為(0,2).

(2)y=g(〃優(yōu)),g(力=log2(7?u)-log21=(log2m+log2x)(log2x-1)

設(shè)好log?%,因故04/43,

2

貝[|y=(log9m+t^t-l^=t+(log2；7i-l)?-log2m,

當(dāng)「嗎；T<j即機(jī)>；時(shí)，當(dāng)好3時(shí)，取得最大值6,故(1鳴加+3)(3—1)=6,得〃7=1,

當(dāng)一log?;-即0<mV；時(shí),當(dāng)1=。時(shí)，取得最大值6,故(log2加+0)(0—1)=6,得加=專，

故實(shí)數(shù)m的值為占或1.

(3)當(dāng)xe(TO)時(shí)，/(x)<x+l<g(x+2).試?yán)蒙鲜鼋Y(jié)論證明：1.1<202<1.2,

/(x)=log4(x+2),g(x)=log2x,

當(dāng)X=-0.9時(shí),由〃x)<x+l可得logjl<0.1,故1.1<4°」=2%

當(dāng)x=-0.8時(shí)，由x+l<g(x+2)可得。.2<log21.2故2。2<1.2,

故1.1<2。?2<1.2.

20.(1)<z=—

(3)m=2

【分析】(1)代入結(jié)合對數(shù)的定義運(yùn)算求解即可；

(2)注意到g(a)=l,g(D=0,結(jié)合題意可知2a<1,結(jié)合單調(diào)性列式求解即可；

(3)分析可知/z(x)在(0,+8)內(nèi)單調(diào)遞減，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理運(yùn)算求解.

【詳解】⑴因?yàn)閐1〕=iog」=2,可得笳=9,

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且所以[=