2025年高考押題預(yù)測(cè)卷

高三數(shù)學(xué)

(考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分)

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如

需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)

在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分(選擇題共58分)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的.

1.集合M={尤I尤2-2尤一15<。},N=log2(x+1)<3},則MN=()

A.[—3,5]B.(—1,7)C.[—3,7)D.(—1,5)

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】交集的概念及運(yùn)算、解不含參數(shù)的一元二次不等式、由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式

【分析】首先解一元二次不等式求集合利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求集合M再結(jié)合交集概念求答案即可.

【詳解】由題意得亂=卜|尤2-2x-15<0}={x[—3<x<5},

N={x|log?(x+1)V3}={x10<x+1V8}={x|-1<xV7},

所以McN={x[—l<x<5},

故選：D.

2.若a力均為單位向量，且滿足a，(a+2b),則向量a力的夾角為()

A.-B.-C.—D.—

3434

【解析】設(shè)向量。力的夾角為6,8e[0,%],

QJ_(〃+2b),

貝a?(〃+2b)=a2+2a-b=0,

A均為單位向量，

1O77

.-.l+2xlxlxcos/9=0,解得cos8=-士,解得2=絲.

23

故選：C.

3.若2-i是實(shí)系數(shù)方程％2+云+°=0的一個(gè)根，則方程的另一個(gè)根為()

A.iB.-2+zC.-2-iD.2+i

【解析】依題意得(2—zy+仇2—i)+c=—(4+3i+(3+2b+c)=0,

4+8=0

3+2匕+c=0

:.b=-4。=5,即方程%之—4兀+5=0,

易得方程的另一個(gè)根為2+

故選：D-

4.已知cos%+sinx=，,貝！Jsin2x=()

3

182D.還

A.-B.一一C.——

3933

【答案】B

【分析】對(duì)cosx+sinx=；兩邊平方整理即可得答案.

【詳解】因?yàn)閏os%+sinx=g,

兩邊平方得cos?x+2sinxcosx+sin2x=,

Q

所以sin2x=~—.

故選：B.

5.設(shè)S,是數(shù)列｛4｝的前”項(xiàng)和，且q=l,S“=(2S“+1)S“M，則％=()

123

A.--B.--C.-2D.--

234

【解析】Y=(2S〃+1)S/

，S“=S,M+2SJS用，六-?=2,

,1=1=1,

S1q

.?.｛,｝是以1為首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列，

—=2n-l,S=—^—

n

Sn2n-l

故選：B.

6.函數(shù)的定義域?yàn)榛?，?［￡|=°，”。片0.若對(duì)任意實(shí)數(shù)4y都有

〃x)+〃y)=2/［寧)/［寧j,則“2020)=()

A.V2B.-1

C.0D.1

【答案】D

【解析】將x用1+x替換，y用X替換，可得/(1+力+/("=271號(hào)機(jī)［/［二?］,從而可得

f(l+x)+f(x)=0,進(jìn)而可得〃2+x)=〃x),可求出函數(shù)的周期7=2,再令x=0,可求出〃0),由

“2020)=〃0)即可求解.

【詳解】將X用1+X替換，y用X替換，

由對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y都有/(x)+/(y)=2/1苫"/［三2),

可得了(1+X)+/(X)=2/f=2彳手)/g］,由/［口=。，

所以〃i+x)+〃x)=o,ap/(i+x)=-/(%),

所以〃2+x)=—/(l+x)=y(x),所以函數(shù)的周期T=2,

令x=o,貝Ij/(o)+y(o)=2/(o)x/(o),因?yàn)椤?)20,所以八0)=1,

所以/(2020)="10107+0)=/?⑼=1,故選：D

7.已知拋物線「:>2=4x,過(guò)點(diǎn)A(0,l)作直線/交「于兩點(diǎn)8、C,分別過(guò)5、C作:T的切線交于點(diǎn)P.若

\AP\=y/2,則|州=()

A.75B.好C.迷或遮D.逝或正

555

【答案】B

【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出2,C點(diǎn)的切線方程，聯(lián)立方程求出尸點(diǎn)的坐標(biāo)即可.

【詳解】

設(shè)5（%,*）,C（程力），顯然，直線I的斜率是存在的，設(shè)I的方程為y=kx+l,

聯(lián)立['24，解得左+2（左—2）x+l=0,A=4（左一2）2—4左2>0,左<1,并且左。0,

2（k—2）12216

%+%2=/，再%2=記，=淳…①，

2

y=4x,（y）=（4x）,2y.yx=4,yx=-,

2222

即國(guó)c點(diǎn)切線的斜率分別為一，一，切線方程分別為丁-必=一（%-』），、-%=一,

M%X%

即>=—2x+y9..②，y=2—x+彳%…z③-x；

32%2

聯(lián)立②③，解得了=竽°=咤三，即尸（竽,歸匹），由|AP|=上得：

!4=2,

將①代入上式得：何+4無(wú)-5=0,即任+5）（1—1）=0,?1<1,二無(wú)=一5,

11

2_Jiy2__、,2/%+%丫]何+1+3+1/-5(%+%)+2)4

===，y==

irF25[~^)12、2)25

10Pl=7%2+y2=/；

故選：B.

8.如圖，在三棱錐A-44cl中，AA],平面A與C，NAgG=90,44=2M=2旦￡=2,尸為線段A耳

的中點(diǎn)，M,N分別為線段AG和線段耳￡上任意一點(diǎn)，則石PM+MV的最小值為（）

A

A

4NG

A.—B.-C.45D.2

22

【答案】C

【分析】利用線面垂直的性質(zhì)定理可得耳，又NA4G=90可得4G，平面至4，所以

再根據(jù)三角形面積相等可得出乖PM+MN的表達(dá)式即可確定其最小值。

【詳解】根據(jù)題意胡，平面A8C可知，

又4瓦=244,=24G=2可得AB,=jW+A牙=亞；

由/44G=90可知，A耳，BC，所以可得用G，平面A44,即用￡，4月；

A

尸在△ABC1中，5ABCi=-xV5xl=^,SAMBi=；x國(guó)PMsin/MPB尸乖PM義任號(hào)旭,

22

J/nc

BiNCi

sMBq=gx1xMNsinNMNQ=MNx，山.又$題?=SAMBi+SMB?，即

與=亞PMxsm尸與+MNxsm/76。所以舊=舊PMsinZMPB、+MNsinZMNC、,由

sinNMPBi<1,sinNMNQ<1得。亞=#1PMsinZMPBX+MNsinZMNQ<y[5PM+MN,

所以書(shū)PM+MN2下,當(dāng)且僅當(dāng)sin/加尸4=l,sin/MNG=l時(shí)等號(hào)成立，

即ZMPBt=90,NMNC1=90時(shí)，此時(shí)M,N分別為線段AQ和線段4G的中點(diǎn)，下PM+MN取得最小值石；

綜上可知，百PM+MN的最小值為行.故選：C

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知數(shù)據(jù)士,々，三，，占。的平均數(shù)為。，中位數(shù)為b，方差為。，極差為d,由這數(shù)據(jù)得到新數(shù)據(jù)

X，%，%，…，%。，其中％=2%-3（，=1,2,3,.,10）,則對(duì)于所得新數(shù)據(jù)，下列說(shuō)法一定正確的是（）

A.平均數(shù)是2“B.中位數(shù)是2b-3

C.方差是4cD.極差是2d-3

【答案】BC

【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)平均數(shù)定義計(jì)算出%,%，%?X。的平均數(shù)為2。-3；B選項(xiàng)，根據(jù)中位數(shù)的定義得到

%，%，%%的中位數(shù)為助-3；C選項(xiàng)，利用方差的定義得到C正確；D選項(xiàng)，利用極差的定義得到

%，%，%-%（）的極差為2d.

【詳解】A選項(xiàng)，由題意得%+%+忍++%10=10a,

則%+%+…+%0=2（玉+X[++）—30—20a—30,

則M，%，%M。的平均數(shù)是2O；o30=2q_3,A錯(cuò)誤；

B選項(xiàng)，占,馬,工3，,西0從小到大排列后為，占°’,

取第5個(gè)和第6個(gè)數(shù)的平均數(shù)作為中位數(shù)，即三‘+%’”,

2

由于y=2%—3(i=l,2,3,,10),故如%，%Mo從小到大排列為％',￡，為'，?，加'，

取第5個(gè)和第6個(gè)數(shù)的平均數(shù)作為中位數(shù)，即%,+巾=2"—3+2』-3=2b_3，B正確;

22

C選項(xiàng)，由題意得(玉一々)2+(42-4)2+.+(玉0一々)2=]0°,

則(X—2a+3)+(%—2a+3)++(y10—2a+3)

=(2%]-3-2a+3)+(29-3-2a+3)+，+(2石。-3-2。+3)

99940(?

=(2%—2々)+(2%2—2.)++(2%o—2a)=4Oc,故方差是而=4c,C正確；

D選項(xiàng)，%,％2，W，，石0從小到大排列后為玉'，"，工；，‘玉o'

故Fo'_%，=d,

其中%，%，為%o從小到大排列后為％為',o'，

則yo'—y：=2玉°,—3—2%；+3=22,故極差是2d,D錯(cuò)誤.

故選：BC

10.已知函數(shù)〃無(wú))=2sin[0x+?],其中。>0,下列命題中正確的是()

JT

A.若0=3,函數(shù)y=/(x)的圖象可由函數(shù)y=2sin3元的圖象向左平移與個(gè)單位長(zhǎng)度得到

18

B.若0=3,曲線y=f(x)與曲線y=sinx在區(qū)間[―兀,兀|上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為6

C.若〃尤)在[。,2可上有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，則。的取值范圍是(II，|||

D.若在[。,2可上有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，則〃尤)在單調(diào)遞增

【答案】ABD

【分析】對(duì)于A,由三角函數(shù)圖象變換規(guī)律分析判斷，對(duì)于B,作出兩函數(shù)在[-私句上的圖象，觀察圖象判

斷，對(duì)于C,由xe[0,2可求出s+g,再結(jié)合函數(shù)有5個(gè)零點(diǎn)，列不等式組可求出。的取值范圍進(jìn)行判斷,

6

JT

對(duì)于D,求出0X+B的范圍，再結(jié)合選項(xiàng)C中。的取值范圍分析判斷即可.

6

/(x)=2sinf3x+-^j,

【詳解】對(duì)于A,當(dāng)。=3時(shí),

將yW的圖象向左平移/單位長(zhǎng)度，得一sin3x+方

即得到y(tǒng)=n>)的圖象，所以A正確,

對(duì)于B,當(dāng)°=3時(shí)，f(x)=2sin^+^j,周期T=/，/(x)在［-私句上是3個(gè)周期，

JT

先作出f(x)在-私上的圖象，然后向右平移兩次，每次平移一個(gè)周期可得f(x)在［-兀,句上的圖象,

再在同一坐標(biāo)系中作出y=sinx在［-兀,兀］的圖象，

由圖可知曲線y=f(x)與曲線y=sinx在區(qū)間［-兀,可上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為6,所以B正確，

燈3

對(duì)于C,當(dāng)xe[o,2兀]時(shí)，d)x+^e

若〃x)在［0,2可上有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，貝U5兀W2。兀+￡<6兀,

解得；■V。〈言，所以C錯(cuò)誤,

兀4〃;兀兀

GX+一￡6，-35-+6

.、樂(lè)e-29/3529兀,471兀

由選項(xiàng)C可知一40<二，則7774。77〈二，

1212105353

所以“X)在［0,MJ單調(diào)遞增，所以D正確.

故選：ABD

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查三角函數(shù)圖象變換規(guī)律，考查函數(shù)的零點(diǎn)，

解題的關(guān)鍵是正確運(yùn)用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合的思想，屬于較難題.

2

11.已知片，耳分別是雙曲線C:f一匕=1的左、右焦點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)片且傾斜角為鈍角的直線/與C的兩條漸

一3

近線分別交于A3兩點(diǎn)，點(diǎn)尸為。上第二象限內(nèi)一點(diǎn)，則()

22

A.若雙曲線E與C有相同的漸近線，且E的焦距為8,則E的方程為二-上=1

412

B.若”(-2,2),則忸周+|尸閭的最小值是2?-2

C.若尸耳入內(nèi)切圓的半徑為1,則點(diǎn)p的坐標(biāo)為（-2,3）

D.若線段的中垂線過(guò)點(diǎn)工，則直線/的斜率為一誓

【答案】BCD

【分析】根據(jù)共漸近線設(shè)雙曲線方程，結(jié)合雙曲線得性質(zhì)即可得雙曲線方程，從而判斷A；根據(jù)雙曲線的定

義轉(zhuǎn)換可得忸居|+忸明的最小值，從而判斷B；設(shè)內(nèi)切圓圓心為/,直線尸斗尸耳，片居與圓/的切點(diǎn)分別為

Q,N,H,根據(jù)雙曲線的定義結(jié)合與三角形內(nèi)切圓的幾何性質(zhì)，即可得點(diǎn)P的坐標(biāo)，從而判斷C；根據(jù)線段

垂直平分線結(jié)合點(diǎn)差法確定直線與垂線斜率關(guān)系，并檢驗(yàn)直線是否符合即可確定直線斜率，從而判斷D.

222

【詳解】對(duì)于A,依題意設(shè)雙曲線E*-乙=4（彳力0且2/1）,即上一匕=1,

3A3A

2222

又E的焦距為8,所以|44=42,九=±4,所以E的方程為±-±=1或匕-土=1,故A錯(cuò)誤;

11412124

對(duì)于B,因?yàn)閨尸閭-|尸耳|=2a=2,所以歸耳|=|尸閭-2,

\PM\+\PF^=\PM\+\PF^-2>\MF^-2=2^-2,當(dāng)且僅當(dāng)”,尸,乙三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，故B正確;

直線尸耳P工，片工與圓/的切點(diǎn)分別為

則1Po=|〃V|,月|=|明|,\NF2\=\HF2\,所以伊國(guó)一|正耳|=|"國(guó)一|g|=2a=2,

|班|+|g|=2c=4,解得|班|=1,\HF2\=3,

連接片/,小，則內(nèi)切圓半徑廠=|碼|=1,tanN班/=；=1,/班/=:,NPFQ=2NHFJ=3,

所以尸月，x軸，點(diǎn)P在第二象限，坐標(biāo)為（—2,3）,故C正確;

2

對(duì)于D,設(shè)A8的中點(diǎn)為。，兩漸近線可寫(xiě)成爐-（=0,設(shè)AO[,月），BO2,%），

則D,且3,作差可得（為+x,）（再一天）=121土里。3

"二。3

整理得,X+=3,即后。?七s=3(*),

(X]+X?I(X]“2/

在Rt.E。罵中，依必=；內(nèi)用=。用，則/。08=2/0￡0,

2tanZDf；(?,—2k人口

故tanZDOF=tan(2NO片O)=BP~k0D=~―7T~

22

l-tanZDf；(9一*AB

2k2a/7T

將此式代入（*）得，—ff-=3,解得由直線/的傾斜角為鈍角知配<0,貝|心8=-業(yè)，故D

1—^AB55

正確.

故選：BCD.

第二部分（非選擇題共92分）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知隨機(jī)變量X服從N（Lb）,若尸（X<0.5）=0.2,則P（0.5麴k1.5）=.

3

【答案】0.6/1

【知識(shí)點(diǎn)】指定區(qū)間的概率

【分析】根據(jù)正態(tài)分布性質(zhì)求概率.

【詳解】因?yàn)槭▁<0.5）=0.2,及正態(tài)分布的對(duì)稱性可得

P（0.5<X<1.5）=2P（0.54X41）=2x（0.5-0.2）=0.6.

故答案為：0.6.

13.在數(shù)列｛4｝中，%=5,a用=44-3,若對(duì)任意的〃eN*,左（%-1）22,「5恒成立，則實(shí)數(shù)上的最小

值___________.

【答案】77

64

【分析】首先利用數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)一步利用函數(shù)的恒成立問(wèn)題和數(shù)列的

單調(diào)性的應(yīng)用求出結(jié)果.

【詳解】由％+1=4%-3整理得%+「1=4（%-1）,即乎J=4,又a「l=4,

a“T

故數(shù)列｛a.T｝是以4為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，可得“，-1=4”,

不等式上(a“T)22〃-5,可化為人2竺」,

令〃〃)=卡,當(dāng)1-W2時(shí)，％)<。；

當(dāng)〃23時(shí)，/(〃)>0,/(〃+1)一/(〃)=守一手=一$<。，

故當(dāng)"23時(shí)，/⑺單調(diào)遞減,故/(〃)V/(3)=上,

64

綜上，f(?),

64

所以左23,故%最小值為2.

故答案為：77

14.若函數(shù)/(尤)=W-依-1+歷尤有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

【解析】函數(shù)，(1)=旄一"一ox+/nx-1=￡一的加一6a+或一1,令t=-ax+lnx,

則姐)=d+-L顯然函數(shù)/z⑺在E上單調(diào)遞增，而%(0)=0,

由/(%)=。，得/??)=()，于是￡=。，即一0￥+/m=。0々=幺^，令g(x)=也~，

XX

依題意，函數(shù)/(X)有兩個(gè)不同零點(diǎn)，即方程0=如有兩個(gè)不等的正根，

X

亦即直線y=a與函數(shù)g(x)=蛆的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，

X

gr(x)=-~翌,當(dāng)0v%ve時(shí)，gr(x)>0,當(dāng)x>e時(shí)，g，(x)<0,

函數(shù)g(x)在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+oo)上單調(diào)遞減，

因此g(x)3=g(e)=，，且g(1)=。，當(dāng)%>e時(shí)，g(%)>0恒成立，

e

從而當(dāng)0<々<工時(shí)，直線y=a與函數(shù)y=g(x)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，

e

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是(0,3?

e

故答案為：(()」)?

e

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.(13分)在銳角AABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,S為AABC的面積，且2s=標(biāo)-(6-cp.

(1)求sinA的值;

b22

(2)求幺士+c的取值范圍.

be

【解析】(1)2S=—(/?-c)2,S=—bcsinA,

2

/.besinA=a1-(Jb-cf,

/+02—〃2

/.---------------=2-sinA=2cosA,

be

二.cosA=1——sinA,

2

又?sin2A+cos2A=1,

二.sin2A+(1—gsinA)2=1

sinA號(hào)sinA-1)=0,

人4

/.sinA=0(舍)，sinA=—.

(2)A+5+C=?,

sinB=sin(A+C)，

bsinB_sinAcosC+cosAsinC

csinCsinC

434

-cosC+-sinC-〃

_55_5,3

-----------------------------------1---,

sinCtanC5

AABC為銳角三角形，

:.C<90°,A+C>90°,

:.C>90°-A,tanC>tan(90°-A)=^^=-,

sinA4

4

516

/.0<---<-,0<J<——，

tanC3tanC15

4

53z35

tanC553

b1+C1bcb135、

-:---=一+/令A(yù)?=一,，=，+產(chǎn)z

becbc

tG(3/),y=%+」單調(diào)遞減,re(l,g),y=r+；單調(diào)遞增,

5t

53434

當(dāng)，=1,，一<一

ymin-2“I『二

1515

Ze⑵罵

be15

16.(15分)已知函數(shù)/(%)=/nx,1g(x)=ax2-(2a+l)x+Inx,aeR.

(1)求曲線/(%)=%;過(guò)點(diǎn)(0,1)的切線方程;

(2)若存在不￡(0,+8),使得對(duì)任意無(wú)2￡(。，+8),都有?"")..g(%2)成立,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

一玉一

【解析】(1)設(shè)：切點(diǎn)坐標(biāo)為(后,%),對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得：=

X

所以切線斜率為：k=—.又因?yàn)榍芯€過(guò)點(diǎn)(0,1),

%

=lnx0

所以,1,八、.解得％=e2,

y-l=——(x-0)

^

所以切線方程為：士尤+l-y=0.

e

(2)令h(x)=2=*

XX

由題設(shè)得：存在玉G(0,+OO),使得對(duì)任意入2￡(。,+8)，

都有小g(尤②)成立，等價(jià)于版初…且⑴心.，

X|

對(duì)函數(shù)/z(x)求導(dǎo)得：〃(尤)=士心竺，

所以函數(shù)/z(x)在區(qū)間(0,e］上單調(diào)遞增，在區(qū)間［e,+8)上單調(diào)遞減，

所以函數(shù)h(x)在兀=e處取得最大值，最大值為=/z(e)=L

e

對(duì)函數(shù)g(x)求導(dǎo)得：g，(x)=2——(2。+1?+1,

x

①當(dāng)a=0時(shí)，令在x=e處取得最大值g(x)=0得，x=l,

所以函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+w)單調(diào)遞減，

所以函數(shù)g(x)在x=l處取得最大值，最大值為g(x)s=g(1)=-?-1=-1,

所以符合題意.

e

②a/0時(shí)，令g'(x)=O,即2"2_(2a+l)x+l=o,解得：玉=1,無(wú)，=J_,

2a

當(dāng)。=工，即工=1時(shí)，函數(shù)g(x)在Q+OO)上單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)無(wú)最大值，不符合題意;

22a

③當(dāng)0＜。＜工，即工＞1時(shí)，函數(shù)g(x)在(0,1),(［-,田)上單調(diào)遞增，

22a2a

在上單調(diào)遞減，此時(shí)函數(shù)無(wú)最大值，不符合題意；

2a

④當(dāng).>L，即_L<1時(shí)，函數(shù)g（x）在（0,上）,（1,+00）上單調(diào)遞增.

22a2a

在（工,1）上單調(diào)遞減.此時(shí)函數(shù)無(wú)最大值，不符合題意；

2a

⑤當(dāng)。<0,BP—<m.函數(shù)g（無(wú)）在（0,1）上單調(diào)遞增，

2a

在（1,+a））上單調(diào)遞減，此時(shí)函數(shù)在1=1處取得最大值，最大值為g（x）s=g（1）=-a-l,

所以1…一a—1,即--—L,av0.

ee

綜上所述，實(shí)數(shù)，的取值范圍是：a^[---1,0].

e

17.（15分）已知橢圓E：1+/=1（。>6>0）的離心率為。，上、下頂點(diǎn)分別為A,B,右頂點(diǎn)為C,

且VABC的面積為6.

⑴求E的方程；

（2）若點(diǎn)尸為E上異于頂點(diǎn)的一點(diǎn)，直線是A尸與BC交于點(diǎn)直線CP交y軸于點(diǎn)N,試判斷直線是

否過(guò)定點(diǎn)?若是，則求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】⑴三+上=1

94

（2）直線MN過(guò)定點(diǎn)（3,2）.

【分析】（1）根據(jù)已知條件建立方程組，解出即可；

（2）設(shè)出直線A尸的方程為了="+2,與直線BC,橢圓聯(lián)立，分別表示出P,N的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出

直線求得定點(diǎn).

9=好

a3'

【詳解】（1）由題意知:,2Z?=6,解得a=3,b=2,c-V5,

c23=a2-b2,

22

所以E的方程為土+乙=1.

94

（2）顯然直線AP的斜率存在，設(shè)直線A尸的斜率為左，則直線AP的方程為>=區(qū)+2,

y=kx+2

7176”44

又直線3C的方程為y=；x—2,由2,解得工二―一;，y=一答=，

3y=-x-23k-23k-2

26k+2\

即M

3k—23k-2J

x2_

豆十丁1，得(4+9/W+36履=o,解得》=0或》=一_與

由,

.4十，K

y=kTx+2

?36k,（36k）。_8-18左2f36k8-184

當(dāng)尤=------7n時(shí)，BnD

4+942

8-18左20

所以直線CP的斜率%=至==黑,

一4^-3

所以直線CP的方程為>=號(hào)6"-945-3）,令x=0,得>=4三-6能^，即N（0,4k一6F女、.

9K+o3K+2<5K+1J

6k+44—6左

所以直線MN的斜率kMN=3k+2=

-12-o3女+2

3k-3

464—66

所以直線MN的方程為y+

3k+23K+2

Ak

即丫=￡^?-3）+2,所以直線MN過(guò)定點(diǎn)（3,2）.

3KI乙

18.（17分）如圖，四棱錐尸-ABC。中，/U±￥ffiABCD,AB±AC,PD=AB=AC=^2PA.

(1)若AD=OC,求證：平面PA。_L平面PCD；

(2)若AZXDC,PB中點(diǎn)為E,試問(wèn)在棱CD上是否存在點(diǎn)Q,使PQLAE,若存在，指出點(diǎn)。位置，若不

存在說(shuō)明理由；

⑶若上4=2,PD與平面PBC成角大小30°,求DC邊長(zhǎng).

【答案】⑴證明見(jiàn)解析

⑵不存在，理由見(jiàn)解析

(3)DC=2

【分析】(1)利用勾股定理以及線面垂直及面面垂直的判定定理證明可得結(jié)論；

(2)利用空間向量的位置關(guān)系證明，建立空間直角坐標(biāo)系即可得出結(jié)論；

(3)根據(jù)線面角的向量求法得出表達(dá)式，解方程即可得出。C邊長(zhǎng).

【詳解】(1)因?yàn)椋?，平面ABCRAACDU平面ABC。，

所以PA_LAD,PAJ_C￡),

又PD=@A，所以尸D==

AD=CD,PD=ACAC=辰D=^2AD,

AC2=CD2+AD2,AD±CD

AOJ_CD,PA_LCD,又PAcAD=A,PA,ADu平面B4￡)

所以CD_L平面PAD,

又CDu平面PCD,

所以平面BID，平面PCD

(2)因?yàn)樯?,平面ABCD,AB，AC,所以AP,AB,AC兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標(biāo)系

設(shè)叢=1,貝I]AO=Cr)=l,AC=48=0，

則8(0,0,0),C(0,夜,0),P(0,0,1),。一；,0，￡序。，；

^Z)e=2Z)C,2e[0,l],

:.PQ=PD+ADC=-f,-1+2f=^(2-1),^(2+1),-1

假設(shè)存在戶滿足尸QJLAE,因?yàn)槭琎_LAE等價(jià)于PQ-AE=0,

解得2=2隹[0,1],所以不存在

(3)因?yàn)镻A=2,所以AZ)=2,AC=A8=2應(yīng)，

A

尸(忘

//I、口0,0,2),8(20,0,0)C(0,2,0),PB=(2^,0,-2),PC=(0,272,-2)

XCy

設(shè)。(區(qū)仇0),其中?0,6〉0,又AD=2:.a2+b2^4^

PD=(a,b,—2)?

m?PB=02y/2x-2z=0

設(shè)平面PBC法向量〃z=（x,y,z）,依題意，即＜

mPC=^20-2z=0

令z=0貝iJ^=y=i,所以機(jī)=（1,1,血），

因?yàn)镻D與平面PBC成角大小30°,所以sin30°=|cos(PD,m)\=~會(huì)

11\PD\\m\

1a+b—2A/2

■■-r^^r:-a+b=^a+b=^'

a+b=0a=-^2/\ii

即199.?.〈L/.OC=友,百OC=2

a-+b-=4[b=y[i'>??

又1272)，此萬(wàn)程組無(wú)解

cr+b=4

綜上可得DC=2.

19.（17分）已知隨機(jī)變量J的取值為不大于〃的非負(fù)整數(shù)值，它的分布列為:

4012Ln

PPoPiPiLPn

其中化(，=0,1,2,，兒)滿足：p”[0,l],且A+P1+P2++P“=1.定義由J生成的函數(shù)

2

f(x)=p0+p,x+p2x+-+pnx">令g(尤)=/'(x).

（I）若由4生成的函數(shù)/。）=:尤+:必+:無(wú)3,求尸e=2）的值；

424

（H）求證:隨機(jī)變量/的數(shù)學(xué)期望的數(shù)=g（i）,（的方差。e）=g'（i）+g⑴-（g（i）＞；

2

（W）=^（/-￡O-A.