2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《旋轉(zhuǎn)綜合探究》專項(xiàng)檢測卷(附答案)

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一、解答題：本題共16小題，共128分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

1.(本小題8分)

如圖，點(diǎn)。是等邊團(tuán)4BC內(nèi)一點(diǎn)，^AOB=110°,ABOC=a,將C。繞點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60。得到CD,連

接ZD,OD.

(1)當(dāng)a=150。時(shí)，求證：團(tuán)40。為直角三角形；

(2)求的度數(shù)；

(3)請(qǐng)你探究：當(dāng)a為多少度時(shí)，團(tuán)40。是等腰三角形？

2.(本小題8分)

如圖，在菱形4BCD中，對(duì)角線AC和8。交于。.過B作垂直4。于H,并延長至使得8M=BC,連接

AM.

(1)依題意補(bǔ)全圖形；

(2)設(shè)NDB”=a,求NOAM的大??；

(3)用等式表示線段AM,2。和B。之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

3.(本小題8分)

(1)【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1,AACB和ADCE均為等邊三角形，當(dāng)ADCE旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)a,D,E在同一直線上時(shí),

連接8E.

①N4EB的度數(shù)為.

②線段AD,8E之間的數(shù)量關(guān)系是

(2)【拓展研究】如圖2,AACB和△￡)(；￡1均為等腰三角形，且乙4cB=NDCE=90。，點(diǎn)4D,E在同一直

線上.若4E=30,DE=14,求4B的長度.

(3)【探究發(fā)現(xiàn)】已知圖1中的ANCB和ADCE,在ADCE的旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點(diǎn)4D,E不在同一直線上時(shí),

設(shè)直線4。與BE相交于點(diǎn)0,試在備用圖中探索N&OE的度數(shù)，直接寫出結(jié)果，不必說明理由.

4.(本小題8分)

已知：如圖，在梯形4BCD中，AD//BC,BD2=AD-BC,點(diǎn)E是腰C。上的點(diǎn)，乙ABD=4DBE,點(diǎn)F是線

段BC上的點(diǎn)，聯(lián)結(jié)DF交BE于點(diǎn)。.

(1)求證：AABD=ZC；

(2)當(dāng)DB=DF時(shí)，求證：柒=震

CLDU

AD

5.(本小題8分)

在△ABC中，乙4cB=90。，AC=CB,直線MN經(jīng)過點(diǎn)C,且AD1MN于點(diǎn)D,BE1,MN于點(diǎn)、E.

①②③

(1)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖①的位置時(shí),請(qǐng)你探究線段DE,AD,BE之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明;

(2)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖②的位置時(shí),你在(1)中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化？請(qǐng)寫出你的猜想，并加以

證明;

(3)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖③的位置時(shí),你在(1)中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化？請(qǐng)寫出你的猜想，并加以

證明.

6.(本小題8分)

已知：如圖，在矩形4BCD中，AB=8,BC=5,在4D上取一點(diǎn)E,AE=2,點(diǎn)尸是4B邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以EF

為一邊作菱形EFMN,使點(diǎn)N落在CD邊上，點(diǎn)M落在矩形力BCD內(nèi)或其邊上,若4F=尤，ABFM的面積為S.

(1)當(dāng)四邊形EFMN是正方形時(shí)，求x的值；

(2)當(dāng)四邊形EFMN是菱形時(shí)，求S與x的函數(shù)關(guān)系式；

時(shí)，S最大；當(dāng)無時(shí)，S最小.

備用圖

圖I

7.(本小題8分)

【問題情境】在一次數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，小昕同學(xué)將一大一小兩個(gè)三角板按照如圖1所示方法擺放，其中

Z-ACB=乙DEB=90°,乙B=30°,BE=AC=4.

【問題探究】小昕同學(xué)將三角板DEB繞點(diǎn)B按順時(shí)針旋轉(zhuǎn).

(1)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E落在邊4B上時(shí)，延長DE交BC于點(diǎn)F,求2F的長;

(2)若點(diǎn)C,E,D在同一條直線上時(shí)，求點(diǎn)。到直線BC的距離;

(3)連接DC,取DC的中點(diǎn)G,三角板OEB由初始位置(圖1),旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)C,B,。首次在同一條直線上(如圖3),

求點(diǎn)G所經(jīng)過的路徑長;

(4)如圖4,(3)問中若G為DC的三等分點(diǎn)且CG則在旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)G到直線48的距離的最大值

是.

A

C

圖1

CB

圖4

8.(本小題8分)

在AABC中，AABC=^ACB=45°,AMJ.BC于點(diǎn)M,。是射線AB上的動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)4B重合)，點(diǎn)E在射

線4C上且滿足4E=4。，過點(diǎn)。作直線BE的垂線交直線于點(diǎn)F,垂足為點(diǎn)G,直線8E交射線4M于點(diǎn)P.

(2)如圖2,若點(diǎn)。在線段4B的延長線上，依題意補(bǔ)全圖形，用等式表示線段CF,MP,28的數(shù)量關(guān)系，并

證明.

9.(本小題8分)

問題情景：老師讓同學(xué)們以“兩個(gè)大小不等的等腰直角三角板的直角頂點(diǎn)重合，并讓一個(gè)三角板固定，另

一個(gè)繞直角頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng).如圖1,團(tuán)4BC和團(tuán)CDE都是等腰直角三角形,NC=90°,點(diǎn)D,

E分別在邊BC,2C上，連接4D,點(diǎn)M,P,N分別為DE,AD,2B的中點(diǎn).試判斷線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系

和位置關(guān)系.

圖1圖2

問題探究：

(1)甲小組發(fā)現(xiàn)：圖1中，線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是;

(2)乙小組受到甲小組的啟發(fā)，繼續(xù)進(jìn)行探究，把團(tuán)CDE繞點(diǎn)C逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置，請(qǐng)判斷團(tuán)PMN

的形狀并證明；

問題拓展：

(3)兩小組的同學(xué)繼續(xù)探究：把團(tuán)CDE繞點(diǎn)C在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若CD=2,當(dāng)團(tuán)CDE旋轉(zhuǎn)到B、D、E三點(diǎn)

共線，且=時(shí),連結(jié)EN,直接寫出線段EN的長度.

10.(本小題8分)

(1)【建立模型】如圖1，點(diǎn)8是線段CD上的一點(diǎn)，ACIBC,AB1BE,EDLBD,垂足分別為C,B,D,

AB=BE.求證：EI4CB三E1BDE；

(2)【類比遷移】如圖2,一次函數(shù)y=3x+3的圖象與y軸交于點(diǎn)4、與x軸交于點(diǎn)8,將線段4B繞點(diǎn)B逆時(shí)

針旋轉(zhuǎn)90。得到BC、直線2C交%軸于點(diǎn)￡>.

①求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

②求直線4C的解析式；

(3)【拓展延伸】如圖3,拋物線y=/—3%—4與x軸交于4B兩點(diǎn)(點(diǎn)4在點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸交于C點(diǎn)，

已知點(diǎn)Q(0,-1),連接BQ.拋物線上是否存在點(diǎn)M,使得tanNMBQ=$若存在，求出點(diǎn)M的橫坐標(biāo).

11.(本小題8分)

在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=~^x2+bx+c(b,c為常數(shù))與x軸交于4,8(4,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(0,2).

(I)求拋物線的解析式；

(II)點(diǎn)P是第一象限的拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQLx軸，垂足為Q,連接CB,與PQ相交于點(diǎn)D,設(shè)點(diǎn)P的

橫坐標(biāo)為m，當(dāng)點(diǎn)D是線段PQ的一個(gè)三等分點(diǎn)時(shí)，求沉的值；

(III)點(diǎn)E在y軸負(fù)半軸上，且。E=OB,點(diǎn)尸是拋物線上一點(diǎn)，滿足NFBE=90。，點(diǎn)M,N分別為△BEF的邊

FE,BE上的動(dòng)點(diǎn)，總有FM=EN,求BM+FN的最小值.

12.(本小題8分)

如圖，直線八丫=一3%+3與％軸、y軸分別相交于4、B兩點(diǎn)，拋物線y=ax?-2ax+a+4(a<0)經(jīng)過點(diǎn)

B.

(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)已知點(diǎn)M是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，并且點(diǎn)M在第一象限內(nèi)，連接AM、BM,設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為zn,AABM

的面積為S,求S與加的函數(shù)表達(dá)式，并求出S的最大值；

(3)在(2)的條件下，當(dāng)S取得最大值時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M相應(yīng)的位置記為點(diǎn)

①寫出點(diǎn)”的坐標(biāo)；

②將直線Z繞點(diǎn)4按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到直線匕當(dāng)直線廠與直線4M'重合時(shí)停止旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，直線1'

與線段BM'交于點(diǎn)C,設(shè)點(diǎn)B、M'到直線1的距離分別為心、&2,當(dāng)山+d2最大時(shí)，求直線/'旋轉(zhuǎn)的角度(即ABAC

13.(本小題8分)

如圖，在四邊形。4BC中，AB//OC,BC_Lx軸于點(diǎn)C,4(1,一1),S(3,-l),動(dòng)點(diǎn)P從。出發(fā)，沿著x軸正方

向以每秒2個(gè)單位長度的速度移動(dòng).過點(diǎn)P作PQ垂直于直線04垂足為Q.設(shè)點(diǎn)P移動(dòng)的時(shí)間為t秒(0<t<2),

AOPQ與四邊形04BC重疊部分的面積為S.

(1)求經(jīng)過。、4、B三點(diǎn)的拋物線的解析式，并確定頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(2)用含t的代數(shù)式表示點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)；

(3)如果將△OPQ繞著點(diǎn)P按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。,是否存在t,使得△OPQ的頂點(diǎn)?；騋在拋物線上？若存在，

請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；

(4)求出S與t的函數(shù)關(guān)系式.

14.(本小題8分)

(1)教材再現(xiàn)：如圖1，四邊形ABCD為正方形，E為4B邊上一點(diǎn)，將團(tuán)4DE繞D點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至團(tuán)DCG,

畫出旋轉(zhuǎn)后的三角形.

圖1圖2圖3

(2)問題探究：如圖2,正方形4BCD中，AB=4,E、F分別在AB和BC邊上，Z.EDF=45",團(tuán)DEF的面積

是否存在最小值，若存在，請(qǐng)求出它的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

(3)綜合應(yīng)用：如圖3,某小區(qū)內(nèi)有一塊三角形區(qū)域ABC,其中NC=90。，4C=BC=12米，在4B邊的中點(diǎn)

。處修建一個(gè)公共廁所，在&C和CB邊上分別確定點(diǎn)E、F,修兩條筆直小路DE和DF(小路的寬度忽略不計(jì))，

且NEDF=45。，將四邊形OECF區(qū)域規(guī)劃成兒童活動(dòng)專區(qū)，其余區(qū)域?yàn)槠胀ɑ顒?dòng)區(qū)域，根據(jù)需求，要使四

邊形DECF的面積最大，是否存在這樣的E、尸點(diǎn)，若存在求出最大面積；若不存在，請(qǐng)說明理由.

15.(本小題8分)

在一堂平面幾何專題復(fù)習(xí)課上，劉老師先引導(dǎo)學(xué)生解決了以下問題：

【問題情境】

(1)【問題解決】

上述問題情境中，“①”處填：;“②”處填：;“③”處填：

劉老師進(jìn)一步談到：圖形的變化強(qiáng)調(diào)從運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)來研究，只要我們抓住了變化中的不變量，就能以

不變應(yīng)萬變.

(2)【知識(shí)遷移】

如圖③，在正方形4BCD中，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，滿足團(tuán)CEF的周長等于正方形4BCD的周長的一

半，連接4E、AF,分別與對(duì)角線BD交于M、N兩點(diǎn).探究BM、MN、DN之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由.

⑶【拓展應(yīng)用】如圖④，在矩形48C。中，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，且4瓦4尸="EF=45。.探究BE、

EF、DF之間的數(shù)量關(guān)系：(直接寫出結(jié)論，不必證明).

(4)【問題再探】

如圖⑤，在12aBe中，/ABC=90°,AB=4,BC=3,點(diǎn)。、E在邊AC上，且NDBE=45。.設(shè)AD=x,CE=y,

求y關(guān)于％的函數(shù)表達(dá)式.

最后，劉老師總結(jié)到：希望同學(xué)們?cè)诮窈蟮臄?shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的思維

思考現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界.

16.(本小題8分)

7

在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=a/+bx-3交x軸于點(diǎn)4(-1,0),B(3,0),過點(diǎn)B的直線y=—2交拋

物線于點(diǎn)C.

(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)若點(diǎn)P是直線BC下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(P不與點(diǎn)B,C重合)，求APBC面積的最大值；

(3)若點(diǎn)M在拋物線上，將線段0M繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)90。，得到線段ON,是否存在點(diǎn)M,使點(diǎn)N恰好落在直線BC上？

若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

參考答案

1.【答案】【小題1】

證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：0C=CD,Z.DCO=60",

CO。是等邊三角形，

.-.乙CDO=60°,

???回ABC是等邊三角形，

???AC=BC,4ACB=60°,

Z.ACD—/.BCO,

.-?0BOC三E14DC(SaS),

4ADC=4BOC=150",

^ADO=150°-60°=90°,

即忸4?！?是直角三角形；

【小題2】

解：???△COD是等邊三角形，

??.Z.COD=60°,

???^AOB=110°,乙BOC=a,

???乙4。。=360°-110°-60°-a=190°-a,

由(1)知:團(tuán)ZOC三團(tuán)BOC,

???乙ADC—Z-BOC=a,

???乙ADO=a—60°,

△4。。中，40/0=180°-Z,ADO-Z.AOD=180。一(a—60°)-(190。-a)=50°；

【小題3】

解：分三種情況：

①當(dāng)4。=40時(shí)，^AOD=/.ADO,

???^AOD=360°-乙AOB-(COD-a=360°-110°-60°-a=190°-a,

Z-ADO=a—60°,

.?.190°-a=a-60°,

???a=125°；

②當(dāng)。4=。。時(shí)，4。49=乙40。，

???Z-AOD=190°-a,乙ADO=a—60°,

??.Z.OAD=180°-^AOD+乙ADO)=50°,

a-60°=50°,

???a=110°；

③當(dāng)00=4。時(shí)，^OAD=AAOD,

v190°-a=50°,

???a=140°；

綜上所述：當(dāng)a的度數(shù)為125?；?10?；?40。時(shí)，圈/。。是等腰三角形.

【解析】1.

先證明△C。。是等邊三角形，得出4CD。=60°,證明團(tuán)BOC三目ADC(SAS),得出4人。。=乙BOC=150°,

即可得出答案；

2.

先求出乙4。0=360°-110°-60°-a=190°-a,^ADO=a-60°,然后利用三角形內(nèi)角和定理得

出結(jié)果即可；

3.

分三種情況討論4。=40時(shí)，=^ADO；0A=。。時(shí)，=^ADO；當(dāng)。。=40時(shí)，4。40=^AOD；

分別求出結(jié)果即可.

2.【答案】解：(1)補(bǔ)全圖形如下：

(2),??乙DBH=a,BHLADf

???乙BHD=90°,

???四邊形ABC。是菱形，

AD=AB=BC,Z.DA0=Z,BA0,AC1BD,

:.乙ADB=4ABD=90°-a,/.BAO=/.DAO=^BAD=180°—2；0。一幻=心

???Z-ABM=90°-a—a=90°—2a,

???BM=BC,

AB=BM,

???Z-BAM=Z-BMA==450+a,

2

??.Z.OAM=Z.BAM-Z-BAO=45°+a-a=45°,

???乙O4M為45。；

(3)4。=^AM+BO.

證明：過M作MN1力。,

ZOAM=45°=乙AMN,

AN=MN,

在RtAAMN中，AM2=AN2+MN2=2AN2,

?e?AN—AM9

vAN=MN,AB=BM,BN=BN,

/.△ABN三△MBN(SSS),

???乙ABN=乙MBN=^ABM=45°-a,

???乙ONB=乙OAB+乙ABN=a+45。-a=45°,

??.Z.ONB=zJJBN,

ON=BO,

AO=AN+ON=殍AM+BO,

AO=^AM+B0.

【解析】本題主要考查菱形的性質(zhì)，等腰直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟

練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)題意畫圖即可；

(2)根據(jù)ADB”=a,BH1AD,四邊形2BCD是菱形，得出N4BD=90°-a,^BAO=a,^ABM=90°-2a,

再根據(jù)=得出NB4M=45。+%即可得出NOAM=NBAM—NBA。；

(3)過M作MN，4。，結(jié)合(2)的結(jié)論得AN=MN,根據(jù)勾股定理得4V=證明AABN三AM8N,

得出么乙48N=45?！猘,

從而得出NONB=45。，證明。N=B。，即可解答.

3.【答案】【小題1】

60

AD=BE

【小題2】

同(1)可證△ACD^LBCE,

所以4D=BE=AE-DE=16,zXDC=乙BEC.

因?yàn)椤鱀CE為等腰直角三角形，

所以NW=MED=45°.

因?yàn)辄c(diǎn)4D,E在同一直線上，

所以4WC=135°.

所以ABEC=135°.

所以"EB=乙BEC-MED=90°.

所以AB=VAE2+BE2=34.

【小題3】

乙4OE的度數(shù)是60?；?20。.

【解析】1.因?yàn)椤?C8和ADCE均為等邊三角形，

所以C4=CB,CD=CE,AACB=乙DCE=4CDE=MED=60°.

所以ZAC。=/.BCE.

易證△ACD經(jīng)ABCE,

所以2。=BE,AADC=乙BEC.

因?yàn)辄c(diǎn)4D,E在同一直線上，

所以ZJWC=180°-乙CDE=120°.

所以NBEC=120°.

所以NAEB=乙BEC-乙CED=60°.

2.略

3.

如圖1,由(1),得△ACD義ABCE,

所以NCAD=乙CBE.

因?yàn)镹C4B=NCB4=60°,

所以NCMB+4OBA=120°,

所以N40E=180°-120°=60°.

如圖2,同理求得乙4OB=60°,

所以Z710E=120°.

4.【答案】見解析；

見解析.

【解析】(1)證明：,??AD〃BC,

???Z-ADB=Z.DBC.

■■-BD2=AD.BC,嚼噎，

??.△ADBs卜DBC,

???Z.ABD=Z.C.

(2)證明：???乙ABD=LDBE,AABD=Z.C.

???Z-DBE=Z-C.

???Z-BDE=乙CDB,

???△DBEs^DCB,

???Z.DEB=Z.DBC,

DB=DF,

???Z.DBC=乙DFB,

???乙DEB=乙DFB,

???Z.BEC=Z.DFC.

又??.zC=z.C,

DCFsxBCE,

tCF__DC_

,,瓦一麗，

由△ADBSADBC可得黑=■

DL)DC

從而可得圣=喘.

CHDL)

(1)證明△ADBSADBC,即可利用性質(zhì)證得結(jié)論；

(2)因?yàn)?BD=乙DBE,4ABD=NC.所以4BE=NC.證明△DBE^ADCB,可得4DEB=乙DBC,又DB=

DF,則NDBC=乙DFB,乙DEB=乙DFB,乙BEC=乙DFC.又乙C=乙C,可證明△DCFs^BCE,從而建=段，

CEBC

由△DBC可得益=從而柒=卷.

BDBCCEBD

本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握以上內(nèi)容是解題關(guān)鍵.

5?【答案】【小題1】

DE=BE+AD.證明如下：因?yàn)镹4CB=90。，zXCD+AACB+^BCE=180°,所以N4CD+NBCE=90。.因

為AD1MN,BE1MN,所以N&DC=乙CEB=90。.所以NCBE+乙BCE=90。.所以NACD=ZCBF.^AADC

'/.ADC=/.CEB,

和△CEB中，=NCBE,所以CEB(A4S).所以4。=CE,CD=BE.所以。E=CD+CE=

,AC=CB,

BE+AD.

【小題2】

發(fā)生變化,DE=AD-BE,證明如下：因?yàn)橐?cB=90。,所以N4CD+乙BCE=90。.因?yàn)?D1MN,BE1MN,

所以Z&DC=乙CEB=90。.所以NCBE+/.BCE=90。.所以NACD=zCBf.^AADC^hCEB

"/.ADC=/-CEB,

中，=NCBE,所以△aoc絲△CEB(aas).所以an=CE,CD=BE.所以。E=CE—CD=ao—BE.

AC=CB,

【小題3】

發(fā)生變化,DE=BE—AD.證明如下：因?yàn)橐?cB=90。,所以乙4CD+乙BCE=90。.因?yàn)?01MN,BE1MN,

所以N4DC=乙CEB=90。,所以NCBE+乙BCE=90。.所以N4CD=乙CBE在△ADC^W^CEB

^ADC=乙CEB,

中，=NC8E,所以△4DC空△CEBGMS).所以AD=CE,CD=BE.所以DE=CD-CE=BE-AD.

AC=CB,

【解析】1.略

2.略

3.略

6.【答案】解：（1）如圖1中,

圖1

???四邊形EFMN是正方形，

???EF=EN,乙FEN=〃=△。=90°,

.-?乙AEF+/LAFE=90°,4AEF+ADEN=90°,

/.AFE=乙DEN,

???△ZE7W2kDNE(44S),

??.AF=DE,

AD=5.AE—2,

DE=3,

???x=AF=3.

(2)如圖，連接FN,作MQ1FB于Q,則4MQF=90。，乙MQF乙4,

???四邊形FEMN是菱形，

??.EN=FM,EN//FM,

???(ENF=乙NFM,

?.?矩形ABCO中，DC“AB,

???乙DNF=乙NFQ,

???乙DNF-乙ENF=乙NFQ-乙NFM,即NONE=乙MFQ,

.?△DNEmAQFM(ZAS),

MQ=DE=3,

vAB=8,AF=%,

13

SNBM=2xFBxMQ=12—

s與x的函數(shù)關(guān)系式S=12-|x；

⑶C，詈

如圖3中，當(dāng)點(diǎn)N與。重合時(shí)，尤的值最小，AFBM的面積最大,

在RtAAEF中，X=732—22=>T5,

???S的最大值=12-|x=12—亨.

如圖4中，當(dāng)點(diǎn)M在BC上時(shí)，式的值最大，AFBM的面積最小，

此時(shí)易證CN=AF=x,

???EN=EF,

22+%2=32+(8-x)2,

故答案為：石，

V"T17O*

【解析】詳細(xì)解答和解析過程見【答案】

7.【答案】【小題1】

解：BF=

【小題2】

如圖1,在Rt0CB%中設(shè)皿CB=9,AC=4,4ABC=30°,?--BC=4-/1,BE、=4sin。=*=浸=

擊①當(dāng)。在BC上方時(shí)：D1M=C￡)1Sin0=(C/+當(dāng)心力也。=(4々+殍)*?=亨+*②當(dāng)。在

BC下方時(shí)：sin。=D2N=Cl^sine=(CF2—E2D2)sm3=x=

殍—［由①②可得：。到8c的距離為：殍+［或亨—g

圖1

【小題3】

取BC中點(diǎn)M，連GM,貝IJGM始終平行且等于如圖2,G1是起始位置，G2是終止位置.?.點(diǎn)G所經(jīng)過的路

徑長為：撩*2兀X手=誓兀；

DOUD9

圖2

【小題4】

20口

9

【解析】1.略

2.略

3.略

4.略

8.【答案】解：（1）在AABC中，???N4BC=N4CB=45。，

AB=AC,^BAC=90°,

???Z.ABE+/.AEB=90°,

vAM1BC,

AMAC=：ZBAC=45°,BM=CM,

vAP=AE,

1i

???AAEP=^APE=-（180°一匕MAC）='（180。-45°）=67.5°,

■:DF1BE,

:.乙ABE+乙BDF=90°,

???Z.BDF=乙AEP=67.5°.

(2)如圖，即為補(bǔ)全的圖形.

線段CF,MP,AB的數(shù)量關(guān)系為：CF=2MP+CAB.

證明：如圖2,作CQ〃4P交BE于點(diǎn)Q,

???CQ//AP,BM=CM,

3M1

----

82-

?c

??.CQ=2MP,

??,AMIBC,

??.匕AMC=90°,

CQ//AP,

???乙BCQ=乙AMC=90°,

???乙QCE=180°一乙ACB-乙BCQ=45°,

???乙DBF=/.ABC=45°,

???(DBF=Z.QCE,

DG1BE,

???乙DGB=/-BAC=90°,

???乙DBG=Z.ABE,

Z-D=乙E,

vAD=AE,AB=AC,

??.AD-AB=AE-AC,

BD=CE,

??.△BDF0ZkCEQQ4S/),

???BF=CQ,

CF=BF+BC,BC=HAB,

CF=CQ+CAB=2MP+CAB.

【解析】(1)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)證明N4EP=NAPE=67.5。，進(jìn)而可以解決問題；

(2)結(jié)合(1)即可補(bǔ)全圖形，作CQ〃4P交BE于點(diǎn)Q,證明△8DF0ACEQ(aS4),得BF=CQ,再根據(jù)等腰直

角三角形的性質(zhì)即可解決問題.

本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，解決本題的關(guān)

鍵是得至以BDFm4CEQ.

9.【答案】解:(1)?.?團(tuán)ABC和團(tuán)COE都是等腰直角三角形,ZC=90°,

AC=BC,CE=CD,

AC-CE=BC-CD,即4E=BD,

???點(diǎn)M,P,N分別為DE,AD,AB的中點(diǎn)，

PM//AE,PN//BD,PM=^AE,PN=3BD,

PM=PN,A.MPD=Z.CAD,乙NPD=4CDP,

乙MPD+乙NPD="AD+CDP,即NMPN="AD+乙CDP,

乙C=90°,

ACAD+乙CDP=90",

.-.乙MPN=90°,即PM1PN.

故答案為：PM=PN,PM1PN

(2)如圖，連接8。，

圖2

?.?把團(tuán)CDE繞點(diǎn)C逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),

???Z-ACE=乙BCD,

AC=BC

在△4CE和團(tuán)BCD中,/-ACE=乙BCD,

、CE=CD

ACE三團(tuán)BCD,

??.AE=BD,Z-CAE=Z.CBD,

???點(diǎn)MP,N分別為DE,AD,AB的中點(diǎn)，

:?PM“AE,PN//BD,PM=^AE,PN=”D,

/.PM=PN,乙MPD=LEAD,乙ANP=^ABD,

???日PMN是等腰三角形，

???乙DPN=乙PAN+乙ANP=乙PAN+乙DBA,

???乙MPN=乙MPD+乙DPN

=/-DAE4-乙PAN+Z-ABD

=/.BAE+Z.ABD

=Z-BAC+Z-CAE+Z-ABC—乙CBD,

???Z.CAB=/.ABC=45°,

???乙MPN=90°,

.也PMN是等腰直角三角形.

(3)如圖，當(dāng)點(diǎn)E在線段BD上時(shí),

A

AE=BD=4c,/.CAE=Z.CBD,

AAABC+乙CBD+乙BAC-4CAE=4ABC+4CAB=45°+45°=90°,

/-AEB=90°,

CD=2,0PMN是等腰直角三角形，

DE=ypZCD=2/，

BE=DB-DE=40-2=2AT2,

AB=VBE2+AE2=(2AT2)2+(4^)2=2V^0.

■.?點(diǎn)N為AB中點(diǎn),

.-.EN=\AB=1X2AA10=<10.

如圖，當(dāng)點(diǎn)D在線段BE上時(shí)，

同理可得：Z.AEB=90°,DE=2C,AE=BD=44,

：.BE=BD+DE=+2<7=6v

AB=VAE2+BE2=J(4VN)2+(6V-2)2=2<16,

?.?點(diǎn)N為AB中點(diǎn),

EN=^AB=jx2^T26=V^6.

綜上所述：線段EN的長度為「雨或，怎.

【解析】【分析】(1)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)及線段的和差關(guān)系得出4E=BD,根據(jù)中位線的性質(zhì)可得

11

PM//AE,PN//BD,PM=^AE,PN=”D,即可證明PM=PN,ZMPD=/.CAD,乙NPD=^CDP,根

據(jù)角的和差關(guān)系得出NMPN=90。即可得答案；

(2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，利用S4S證明團(tuán)4CE三團(tuán)BCD,可得AE=BD,乙CAE=4CBD,根據(jù)中位線的性質(zhì)及

角的和差故選得出PM=PN,NMPN=90。即可得答案；

(3)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AE=BD=4/,^CAE=乙CBD,根據(jù)角的和差故選得出N4EB=90。，根

據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出。E=2/攵，分點(diǎn)E在線段BD上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)。在線段DE上時(shí)兩種情況，得出BE的長，

利用勾股定理求出AB的長，根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)即可得答案.

本題考查等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的中位線定理、

外角性質(zhì)、平行線的性質(zhì)及直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，掌握三角形的中位線定理是解題的關(guān)鍵.

10?【答案】【小題1】

證明：ACLBC,AB1BE,ED1BD,

Z.C=ZD=Z,ABE=90°,

???^LABC+乙4=90°/ABC+Z.EBD=90°,

Z-A=乙EBD,

又,：AB=BE,

???團(tuán)ZCB三團(tuán)BDE(AAS)；

【小題2】

如圖所示，過點(diǎn)C作CE軸于點(diǎn)E,

圖2

???將線段4B繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到BC,

BA=BC,/.ABC=90°,

又上AOB=4CEB=90°,

/.ABO=90°-4CBE=4ECB,

.?.忸CBE三團(tuán)BAOG44S),

BE=AO,CE=BO,

???一次函數(shù)y=3x+3的圖象與y軸交于點(diǎn)4、與x軸交于點(diǎn)B,

當(dāng)x=0時(shí)，y=3,即4(0,3),

當(dāng)y=0時(shí)，x=-1,即B(—1,0),

BE=AO=3,CE=BO=1,

■■■EO=EB+BO=3+1=4,

；?C(-4,1)；

②???a(0,3),設(shè)直線AC的解析式為y=kx+3,

將C(—4,1)代入得：1=-4/c+3

解得：=1

二直線4C的解析式為y=+3,

【小題3】

???拋物線y=X2-3X-4與x軸交于4,B兩點(diǎn)(點(diǎn)4在點(diǎn)B的左側(cè)),

當(dāng)y=0時(shí)，%2—3%—4=0,

解得：%i=-1,%2—4,

???/(-1,0),8(4,0)；

①當(dāng)M點(diǎn)在%軸下方時(shí)，如圖所示，連接MB,過點(diǎn)Q作QH1BM于點(diǎn)H,過點(diǎn)”作DE1y軸于點(diǎn)。，過點(diǎn)B作

BEVDE,于點(diǎn)E,

乙QDH=Z.E=乙QHB=90°,

乙DQH=90°-Z.QHD=乙BHE,

團(tuán)QDH?團(tuán)”EB,

QH_DH_DQ

~HE9

???tanzMBQ=tan“BH=t=鋁,

3DH

.QH_DH_1

''~BH~~BE~

設(shè)DH=a,則BE=3a,

DE=4,

4a

HE=4-a,

vOD=BE,(2(0,-1),

4CL

Al+5-1=3a,

解得：a=5，

???“o粉

設(shè)直線BH的解析式為y=krx+b,

”b=-21

代入H佶,一劫，B(4,0)得:10,

Ak'+b=0

28

b=-U

解得：

￡=M

11

???直線BM解析式為y=￡X—窘，

f728

y=nx-n

聯(lián)立J

y=x2—3x—4

解得：/=4(舍去)，％2=-白；

②當(dāng)M點(diǎn)在%軸的上方時(shí)，如圖所示，過點(diǎn)Q作QG1MB于點(diǎn)G,過點(diǎn)G作P尸〃%軸，交y軸于點(diǎn)F,過點(diǎn)8作

PBLFP于點(diǎn)、P,

同理可得團(tuán)FGQ?團(tuán)PBG,

.FG__FQ__QG_

??而一而一麗―S'

設(shè)尸G=b,則=3b,

FP=4,

GP=4—b,FQ=?，

FQ=PB+1,

???=3b+1,

解得：b=春

設(shè)直線MB的解析式為y=mx+n,

13

wm+n=w,

{4m+n=0

解得：］413,

<n=13

二直線MB的解析式為y=-*比+2，

聯(lián)立?=一五1萬,4+百，

y=x2—3x—4

解得：勺=4(舍去),%2=-呂

綜上所述，M的橫坐標(biāo)為-白或-S

【解析】1.

根據(jù)題意得出4c=乙。=乙4BE=90°,乙A=CEBD,證明圈三目BDEQL4S),即可得證；

2.

①過點(diǎn)C作CE1%軸于點(diǎn)E,同(1)的方法，證明團(tuán)三團(tuán)84。，根據(jù)一次函數(shù)y=3%+3的圖象與y軸交

于點(diǎn)/、與％軸交于點(diǎn)8,求得4(0,3),5(-1,0),進(jìn)而可得C點(diǎn)的坐標(biāo)；

②由4(0,3),設(shè)直線4C的解析式為y=kx+3,將點(diǎn)C(—4,1)代入得直線AC的解析式為y=1%+3；

3.

根據(jù)解析式求得2(-1,0),5(4,0)；①當(dāng)M點(diǎn)在%軸下方時(shí)，如圖所示，連接MB,過點(diǎn)Q作Q”1BM于點(diǎn)”，

過點(diǎn)H作。Ely軸于點(diǎn)D,過點(diǎn)B作BE1.DE,于點(diǎn)E,證明12QDH“忸"EB,根據(jù)tan乙MBQ=tan/QB"=

齊瑞得出得=酷=4設(shè)DH=a,則BE=3a,求得點(diǎn)口佶,—劫，進(jìn)而求得直線BM的解析式，聯(lián)立

拋物線解析式即可求解；②當(dāng)“點(diǎn)在x軸的上方時(shí)，如圖所示，過點(diǎn)Q作QG1MB,于點(diǎn)G,過點(diǎn)6作「尸〃久

軸，交y軸于點(diǎn)尸，過點(diǎn)B作P8LFP于點(diǎn)P,同①的方法即可求解.

11.【答案】(I)y=—g/+|x+2；(H)2或a(111)2^17.

12

%

【解析】(I)把點(diǎn)B(4,0),點(diǎn)C(0,2)坐標(biāo)代入"=2-

有｛-8+4b+c=0,

解得收=|，

1c=2.

13

X2+X+2

???拋物線的解析式為y=-2-2-

(H)設(shè)直線C8的解析式為y=kx+n,

把點(diǎn)8(4,0),點(diǎn)C(0,2)分別代入y=kx+n,

得｛:巴n=°,解得.fe=-p

.n=2.

???直線CB的解析式為y=-1%+2,

1

根據(jù)題思有點(diǎn)P(7H,2-+5711+2),點(diǎn)0(771,-/血+2),

1231

m+m+2Qm+2

則PQ2-2-,2-

當(dāng)PQ=3DQ時(shí)，

1Q1

則

一,TH?-I--m_|_2=3(--m+2),

解得叫=2,m2=4(此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，不滿足點(diǎn)P在第一象限);

2

尸Q

當(dāng)PQ=3尸。時(shí)，即。Q3-

113

貝■22

H--m+-m+-m+

J2-222)

解得血i=g,TH?=以此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，不滿足點(diǎn)P在第一象限);

???當(dāng)點(diǎn)。是線段PQ的一個(gè)三等分點(diǎn)時(shí)，小的值為2或今

(III)如圖，過點(diǎn)E作EH1FE,并截取EH=FB,點(diǎn)H在第四象限，連接NH,則+乙FEB=90°,

由乙=90°,得上EFB+乙FEB=90°,

???乙EFB=(BEH,

??,EH=FB,FM=EN,

；.￡ENHHFMB(SAS),

/.BM=NH,

??.BM+FN=NH+FNNFH,

即當(dāng)點(diǎn)F,N,"共線時(shí)，BM+FN的值最小.

連接尸從

V0E=OB=4,乙BOE=90°,

??.BE=4AT2,乙OBE=45°,

設(shè)點(diǎn)FC—g/+51+2),

過點(diǎn)尸作尸G1%軸，垂足為G,則FG=—^t2+|t+2.

vZ.OBE=45°,AFBE=90°,

???乙FBG=45°,

BG=FG,

13

--12o+-1+2=4—t,

解得ti=1,t2=4(不合題意，應(yīng)舍去)，

即9(1,3),

BG=FG=3,FB=EH=3<7,

在Rt△EFB中，EF=VFB2+BE2=BC，

在RtAEFH中，F(xiàn)H=VEF2+EH2=2<17.

即BM+FN的最小值是2c7.

(I)將點(diǎn)B和點(diǎn)C坐標(biāo)代入求解即可；

(II)先求出直線BC的解析式，進(jìn)而可得P和Q的坐標(biāo)，從而得到PQ和DQ,然后分類討論，建立方程求解即

可；

(III)畫出圖形，過點(diǎn)E作EH1FE,并截取EH=FB,點(diǎn)H在第四象限，連接NH,證明△ENH蕓FMB^SAS),

則可得當(dāng)點(diǎn)F,N,H共線時(shí)，BM+FN的值最小，利用勾股定理列方程即可解答.

本題考查了二次函數(shù)與幾何綜合，待定系數(shù)法求二次函數(shù)，全等三角形的判定和性質(zhì)，最短路徑，正確作

出圖形，作出合適的輔助線是解題的關(guān)鍵.

12.【答案】解：(1)令x=0代入y=-3x+3,

???y=3,

■■■B(0,3),

把B(0,3)代入y=ax2—2ax+a+4,

???3=a+4,

???a=-1,

???二次函數(shù)解析式為：y=-/+2x+3；

(2)令y=0代入y=—x2+2%+3,

???0=-x2+2%+3,

??.x=-1或3,

???拋物線與久軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為-1和3,

???M在拋物線上，且在第一象限內(nèi)，

0<m<3,

令y=0代入y=-3%+3,

x=1,

???/的坐標(biāo)為(1,0),

由題意知：M的坐標(biāo)為(7H,-血2+2m+3),

=S2OBM+S^OAM—S〉A(chǔ)OB

111

=^-xmx3+^xlx(-m24-2m+3)—^xlx3

二當(dāng)加=目時(shí)，S取得最大值等.

(3)①由(2)可知：M的坐標(biāo)為(科一62+2血+3),

當(dāng)772=|時(shí)，—血2+2m+3=:，

L4

的坐標(biāo)為(I，；)；

②過B點(diǎn)作BD垂直于，'于。點(diǎn)，過M'點(diǎn)作M'E垂直于Y于E點(diǎn)，則BD=&,M'E=d2,

SfBM，=5XACX(di+④)，且S—BM，是定值方，

Lo

.??當(dāng)di+霓取得最大值時(shí)，AC應(yīng)該取得最小值，當(dāng)AC1BM'時(shí)AC取得最小值.

根據(jù)B(0,3)和可得BM，=苧

1

?S=^XACXBM'=^,

AABM/Zo

AC=A/_5>

當(dāng)AC1BM'時(shí)，cos/-BAC=空=-S==f，

ABvTo2

7.BAC=45°,

.??當(dāng)叢+d2最大時(shí)，直線Z'旋轉(zhuǎn)的角度是45。.

【解析】本題考查二次函數(shù)的綜合問題，涉及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，求三角形面積等知識(shí).

(1)利用直線I的解析式求出B點(diǎn)坐標(biāo)，再把B點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式即可求出a的值，進(jìn)而得出拋物線的

函數(shù)表達(dá)式；

(2)設(shè)M的坐標(biāo)為(m,-62+2加+3),然后根據(jù)面積關(guān)系由S=S^^0AMB-SAA0B,即可列出S與m的函數(shù)

表達(dá)式，并根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出S的最大值；

(3)①由(2)可知m=|,代入二次函數(shù)解析式即可求出縱坐標(biāo)的值；

②由SUBM，=IXXCx(di+d),且SMBM，是定值亮當(dāng)di+d2取得最大值時(shí)，AC應(yīng)該取得最小值，當(dāng)4C1

Z2o

BM'時(shí)4c取得最小值.求出4C的最小值，根據(jù)銳角三角函數(shù)定義即可求解.

13.【答案】解：(1)設(shè)拋物線解析式為y=a/+bx(a豐0),

把點(diǎn)4(1,—1),8(3,—1)代入得，

(a+b=—1

l9a+3b=-1'

解得

???經(jīng)過。，A,B三點(diǎn)的拋物線解析式為y=4/—gx,

y=|x2-=|(x-2)2-I，

二頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,

(2)???點(diǎn)P從點(diǎn)。出發(fā)速度是每秒2個(gè)單位長度，

???OP-23

???點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2t,0),

???4(1,—1)，

NAOC=45°,

二點(diǎn)Q到x軸，y軸的距離都是goP=|x2t=t,

J?點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(t,-t);

(3)???△OPQ繞著點(diǎn)P按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。，

???旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)。、Q的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(2t,-2t),(3t,—t),

若頂點(diǎn)。在拋物線上，則gx(2t)2Vx2t=—2%

解得t=-(t=0舍去)，

124

X

t=：時(shí)，點(diǎn)。'(IT)在拋物線y3-3-

若頂點(diǎn)Q在拋物線上，則/x(3t)2vx3t=T,

解得t=l(t=0舍去)，

t=1時(shí)，點(diǎn)。(3,—1)在拋物線y=#—梟上.

(4)點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合時(shí)，OP=1X2=2,t=2+2=l,

點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，OP=3,t=3+2=1.5,

t=2時(shí)，OP=2X2=4,PC=4-3=1,此時(shí)PQ經(jīng)過點(diǎn)B,

所以，分三種情況討論：

(4)題圖

①0<tW1時(shí)，S=S"OPQ=1X2tXy=t2,

1空1

--XX--X

@)1<t￡1.5時(shí)，S=S△OPQ,一S^AEQ，22t22

③1.5<t<2時(shí),S=S梯形0ABe一S^BGF=2X(2+3)X1--X[1—(2t—3)]2=-2t2+8t——；

(t2(0<t<1)

所以，S與t的關(guān)系式為S=12t-l(l<t<1.5).

1—2t2+8t——(1.5<t<2)

【解析】本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，等腰直角三角形的性質(zhì),

二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，三角形的面積，難點(diǎn)在于(4)隨著運(yùn)動(dòng)時(shí)間的變化，根據(jù)重疊部分的形狀的

不同分情況討論，作出圖形更形象直觀.

(1)設(shè)拋物線解析式為y=a%2+bx(a40),然后把點(diǎn)4、B的坐標(biāo)代入求出a、6的值，即可得解，再把函

數(shù)解析式整理成頂點(diǎn)式形式，然后寫出頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(2)根據(jù)點(diǎn)P的速度求出。P,即可得到點(diǎn)尸的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)4