26螞蟻爬行最短型

一、單選題

3

1.如圖，圓柱的高為4cm,底面半徑為一物，在圓柱下底面的/點(diǎn)處有一只螞蟻，它想吃到上底面8處的

71

食物，已知四邊形Z頌的邊恰好是上、下底面的直徑、問:螞蟻食到食物爬行的最短距離是（）

cm.

4

A.5B.5"C.3+-D.3+—

7171

【答案】A

【詳解】解：把圓柱體沿著直線AC剪開，得到矩形如下:

則線段AB的長度為所求的最短距離.

3

由題意得圓柱的高為：4cm,底面半徑為—on,

n

113

.,AC=4,BC=-CSM=-x2.x-=3,

AB=-JAC2+BC-=A/32+42=5,

所以螞蟻至少要爬行路程才能吃到食物.

故選：A

2.如圖，長方體的高為9dm,底面是邊長為6dm的正方形?一只螞蟻從頂點(diǎn)A開始爬向頂點(diǎn)3,那么它爬

行的最短路程為（)

B

B.12dmC.15dmD.20dm

【答案】C

【詳解】解：①如圖，將長方體的正面和上面展開在同一平面內(nèi)，則/氏6dll1,必=6+9=15dm,

AB=A/62+152=3屈dm；

②如圖，將長方體的正面和右面展開在同一平面內(nèi)，2e6+6=12dm,無=9dm,

AB=A/122+92=15dm；

③將長方體的上面和左面展開在同一平面內(nèi)，則/反6dm,龐三6+9=15dm,

Z）B=V62+152=3V29dm；

；15<3屈，

所以螞蟻爬行的最短路程為15dm.

故選：C.

3.如圖，有一圓柱，其高為8cm,它的底面周長為16cm,在圓柱外側(cè)距下底1cm的A處有一只螞蟻，它

想得到距上底1cm的B處的食物，則螞蟻經(jīng)過的最短距離為（）

'-------'18

A.10cmB.12cmC.15cmD.8cm

【答案】A

【詳解】解：如圖，將圓柱的側(cè)面展開，螞蟻經(jīng)過的最短距離為線段AB的長.

由勾股定理，AB2=AC2+BC2=82+(811)2=100,

.".AB=10cm.故選A.

B

4.如圖，圓柱的底面周長為16,BC=12,動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面移動(dòng)到BC的中點(diǎn)S,則移

動(dòng)的最短距離為（

A.10B.12C.14D.20

【答案】A

【詳解】解：沿著S所在的母線展開，如圖,

--------------------->C

連接AS,則AB=3><16=8,BS=3BC=6,

在RtZ\ABS中，根據(jù)勾股定理AB?+BS2=AS2,BP82+62=AS2,

解得AS=10.

VA,S兩點(diǎn)之間線段AS最短，

.?.點(diǎn)A到點(diǎn)S移動(dòng)的最短距離為AS=10cm.

故選：A.

5.如圖，在長方體透明容器（無蓋）內(nèi)的點(diǎn)3處有一滴糖漿，容器外A點(diǎn)處的螞蟻想沿容器壁爬到容器

內(nèi)吃糖漿，已知容器長為6c機(jī)，寬為4cm,高為女m,點(diǎn)A距底部2m,請(qǐng)問螞蟻需爬行的最短距離是（容

器壁厚度不計(jì)）

A.2\/29cmB.10cmC.6y/2cmD.4\/5cm

【答案】B

【詳解】解：沿著上面的棱將A點(diǎn)翻折至4處，則新長方體的長、寬、高依次為6cm，4cm,4cm,

若螞蟻的行走路線為后壁和下壁，則最短路徑為：指行=10c〃?，

若螞蟻的行走路線為左壁和下壁，則最短路徑為：7102+42=2V29cm>

若螞蟻的行走路線為左壁和前壁，則最短路徑為：阿二=2曬cm，

'：10<2729,

，最短路徑為：10cm.

故選：B.

6.如圖是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長，寬，高分別是20dm,3dm,2dm,力和6是這個(gè)臺(tái)階相對(duì)的端點(diǎn),

點(diǎn)4處有一只螞蟻，想到6處去吃食物，則這只螞蟻爬行的最短距離為（）

A20

A.25dmB.26dmC.24dmD.27dm

【答案】A

【詳解】解：三級(jí)臺(tái)階平面展開圖為長方形，長為20dm,寬為（2+3）X3dm,

則螞蟻沿臺(tái)階面爬行到8點(diǎn)最短路程是此長方形的對(duì)角線長.

設(shè)螞蟻沿臺(tái)階面爬行到8點(diǎn)最短路程為xdm,

由勾股定理得：/=202+[（2+3）X3]2=252,

解得A=25.

故選：A.

7.如圖所示，圓柱的高46=3,底面直徑6c=6,現(xiàn)在有一只螞蟻想要從2處沿圓柱側(cè)面爬到對(duì)角。處捕

食，則它爬行的最短距離是（）

A.3Ji+萬2B.6，1+%2C.9D.6^/2

【答案】A

【詳解】解：把圓柱側(cè)面展開，展開圖如右圖所示，點(diǎn)4C的最短距離為線段/C的長.

在中，ZADC=90°,CD=AB=3,49為底面半圓弧長，AD=3n,

所以)信QAD。+CD。=舊+(3萬r=3,1+12,故選：A.

8.如圖，有一個(gè)圓柱，底面圓的直徑48=—,高比'=12cm,尸為8c的中點(diǎn)，一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)沿著

71

圓柱的表面爬到P點(diǎn)的最短距離為()

pc

P

A.9cmB.10cmC.11cmD.12cm

【答案】B

7C

BP=6cm,AB=—XTTx—=8cm,

271

在RfABP中，AP=《AB?+PB?=舊+6?=10(c-)，

.??螞蟻從A點(diǎn)爬到P點(diǎn)的最短距離為10。"，故選：B.

9.如圖，一只蜘蛛在一塊長方體木塊的一個(gè)頂點(diǎn)/處，一只蒼蠅在這個(gè)長方體的對(duì)角頂點(diǎn)G處，若亞?=

3cm,6c=5cm,即=6cm,則最短的爬行距離是（)

B.14C.7106D.V130

【答案】A

【詳解】把長方體展開有三種情況:

當(dāng)蜘蛛從4出發(fā)到"上再到G時(shí)，如下圖所示

BC=5cm,

:.FG=BC=5cm,

BG=5+6=ll(cm),

在Rt^ABG中，AG=V32+ll2=^30(cm);

當(dāng)蜘蛛從4出發(fā)到跖上再到G時(shí)，如下圖所示

AB=3cm,BC=5cm,

AG=3+5=8(cm),

BF=6cm,

:.CG=BF=6cm,

在RtAABG中，AG=V82+62=10(cm)，

當(dāng)蜘蛛從Z出發(fā)到部上再到G時(shí)，如下圖所示

F5G

/

//

3!/

E---+-H

t!

/!

//

6/

II

tI

45B

AE=6cm,EF=3cmFG=5cm,

/.AF=9cm,

在RJ.AFG中，AG=yj92+52=A/W6(C?7),

^/i30>?^/i06>10.故選：A.

10.如圖，長方體的長為20cln,寬為15cm,高為10cm,點(diǎn)B離點(diǎn)C為5clli,一只螞蟻如果要沿著長方體

的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距離是()

A.5A/29cmB.25cmC.5V^7cmD.16cm

【答案】B

【詳解】把上面展開到左側(cè)面上，連結(jié)AB,如圖1,

B5C

15A

圖1

AB=7(10+20)2+52=A/925=5A/37(cm)

把上面展開到正面上，連結(jié)AB,如圖2,

圖2

AB=j20。+(0+5)2=遙不=25(cm)；

把側(cè)面展開到正面上，連結(jié)AB,如圖3,

*/>/925>>/725>25

所以一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B,需要爬行的最短距離為25cm.故選：B.

11.如圖，長方體的長為15,寬為10,高為20,點(diǎn)8離點(diǎn)。的距離為5,一只螞蟻如果要沿著長方體的

表面從點(diǎn)力爬到點(diǎn)8需要爬行的最短距離是()

A.5721B.25C.IOA/5+5D.35

【答案】B

【詳解】解：只要把長方體的右側(cè)表面剪開與前面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長方形，如圖1,

???長方體的寬為10,高為20,點(diǎn)方離點(diǎn)。的距離是5,

ABD=CD+BC=W+5=15,AD=20,

在直角三角形AB。中，根據(jù)勾股定理得：AB=VBD2+AD2=25；

只要把長方體的右側(cè)表面剪開與上面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長方形，如圖2,

:長方體的寬為10,高為20,點(diǎn)8離點(diǎn)C的距離是5,

BD=CD+BC=20+5=25,

在直角三角形曲中，根據(jù)勾股定理得:

AB=y/BD2+AD2=5屈；

只要把長方體的上表面剪開與后面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長方形，如圖3,

圖3

:長方體的寬為10,高為20,點(diǎn)6離點(diǎn)C的距離是5,

AC=CD+AD=2O+1O=3O,

在直角三角形ABC中，根據(jù)勾股定理得：

2

AB=-JAC+BC2=5A/37;

?/25<5729<5歷，

.??螞蟻爬行的最短距離是25,故選：B.

12.如圖，桌上有一個(gè)圓柱形玻璃杯（無蓋）高6厘米，底面周長16厘米，在杯口內(nèi)壁離杯口1.5厘米

的4處有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，力的相對(duì)方向有一小蟲戶，小蟲離杯底的垂直距離為1.5厘米，小

蟲爬到蜜糖A處的最短距離是（）

A.歷厘米B.10厘米C.8近厘米D.8厘米

【答案】B

【詳解】把圓柱沿著點(diǎn)A所在母線展開，如圖所示，

作點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)B,

連接PB,則PB為所求，

根據(jù)題意,得PC=8,BC=6,

根據(jù)勾股定理，得PB=10,故選B.

13.圖，長方體的長為8,寬為10,高為6,點(diǎn)6離點(diǎn)C的距離為2,一只螞蟻如果要沿著長方體的表面

從點(diǎn)力爬到點(diǎn)6,需要爬行的最短距離是（）

A.2屈B.2病C.6百D.8應(yīng)

【答案】A

【詳解】要把長方體的右側(cè)表面剪開與前面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長方形，如第1個(gè)圖

:長方體的寬為10,高為6,點(diǎn)8離點(diǎn)C的距離是2,

...吩W除10+2=12,AD=6,

在直角三角形/如中，根據(jù)勾股定理得：AB=Ji展毋=琲；

只要把長方體的右側(cè)表面剪開與上面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長方形，如第2個(gè)圖:

??,長方體的寬為10,高為6,點(diǎn)8離點(diǎn)C的距離是2,

除/給6+2=85,4女10,

在直角三角形/初中，根據(jù)勾股定理得：

?力廬,82+102=2歷；

只要把長方體的上表面剪開與后面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長方形，如第3個(gè)圖:

A

B2C

???長方體的寬為10,高為6,點(diǎn)8離點(diǎn)C的距離是2,

.?.心W仍6+10=16,

在直角三角形/回中，根據(jù)勾股定理得：/廬建2+16?=2屈;

,/2^/41<6y/5<2y/65,

???螞蟻爬行的最短距離是2歷，故選：A.

14.如圖，圓柱形玻璃板，高為12cm,底面周長為18cm,在杯內(nèi)離杯底4cm的點(diǎn)C處有一滴蜂蜜，此時(shí)

一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4cm與蜂蜜相對(duì)的/處，則螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離是（）

【答案】A

【詳解】解：沿過/的圓柱的高剪開，得出矩形明第，過C作&，斯于0,作/關(guān)于龍的對(duì)稱點(diǎn)

連接，。交EH千P,連接AP,則"+R7就是螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離，

,:AE=A'E,A'仁AP,

：.AP+PC^AfP+PC=A'C,

"/CQ=X18cm=9cm,A/Q=12cm-4cm+4cm=12cm,

在中，由勾股定理得：A/C—7122+92—15cm,故選：A.

二、填空題

15.如圖，圓錐的底面圓直徑A3為2,母線長以為4,若小蟲P從點(diǎn)A開始繞著圓錐表面爬行一圈到

的中點(diǎn)C,則小蟲爬行的最短距離為

c-

【答案】2A/5

【詳解】把圓錐的側(cè)面展開，弧長是211r=2",母線AS=4,

側(cè)面展開的圓心角1=E=-7=2萬，n=90°即ZASC=90°,

lo(Jlot)

C為SD的中點(diǎn)SD=4,

線段AC是小蟲爬行的最短距離，

在RtASAC中，由勾股定理的AC=JAS?心=次+2?=26,

故答案為：2曲.

16.如圖，圓柱形容器外壁距離下底面3cm的A處有一只螞蟻，它想吃到正對(duì)面外壁距離上底面3cm的B

處的米粒，若圓柱的高為12cm,底面周長為24cm.則螞蟻爬行的最短距離為.

【答案】6也cm

【詳解】如圖，將圓柱形容器側(cè)面展開，連接AB,則AB即為最短距離.

在Rt^ABC中，ZACB=90°，AC=-x24=12cm,BC=1233=6cm,

2

AB=VAC2+BC2=7122+62=6A/5(cm),

即螞蟻從外壁A到達(dá)外壁B處的最短距離為66cm.故答案為：675cm.

17.如圖，這是一個(gè)供滑板愛好者使用的〃型池的示意圖，該〃型池可以看成是長方體去掉一個(gè)“半圓柱”

32

而成，中間可供滑行部分的截面是直徑為三〃的半圓，其邊緣相=5=15〃，點(diǎn)￡在"上，CE=3m,一

71

滑板愛好者從/點(diǎn)滑到瓦點(diǎn)，則他滑行的最短距離約為m.（邊緣部分的厚度忽略不計(jì)）

132

【詳解】解：如圖是其側(cè)面展開圖：—=16（加,

2n

AB=O>\5m.密切層153=12（m）,

在歐△/座中，y/AD2+DE2=7162+122=20（加?

故他滑行的最短距離約為20幾故答案為：20.

18.長方體的長為15cm,寬為10cm,高為20cm,點(diǎn)6離點(diǎn)C5cm,一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從

點(diǎn)A爬到點(diǎn)8去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距離是.

【答案】25cm

【詳解】解：只要把長方體的右側(cè)表面剪開與前面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長方形，如圖1：

長方體的寬為10cm,高為20cm，點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離是5cm,

BD=CD+BC=10+5=15(cm),AD=20cm?

在直角三角形4步中，根據(jù)勾股定理得：

AB=\lBD2+AD2=V152+202=25(cm);

只要把長方體的右側(cè)表面剪開與上面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長方形，如圖2：

長方體的寬為10cm,高為20cm，點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離是5cm,

BD=CD+BC=20+5=25(cm),AD=10cm,

在直角三角形ABD中，根據(jù)勾股定理得：AB=JBD。+AD。=JU+25。=5屈(cm)；

只要把長方體的上表面剪開與后面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長方形，如圖3:

長方體的寬為10cm,高為20cm,點(diǎn)8離點(diǎn)C的距離是5cm,

AC=CD+AD=20+10=30(cm),

在直角三角形ABC中，根據(jù)勾股定理得：

AB=yjAC2+BC2=7302+52=5厲(cm);

25<5莊<5歷；，螞蟻爬行的最短距離是25cm.故答案為：25cm.

19.如圖，圓柱形容器的高為0.9m,底面周長為1.2m,在容器內(nèi)壁離容器底部0.3m處的點(diǎn)方處有一蚊子.此

時(shí)，一只壁虎正好在容器外壁，離容器上沿0.2m與蚊子相對(duì)的點(diǎn)/處，則壁虎捕捉蚊子的最短距離為—

m.

【答案】1

【詳解】解：如圖，將容器側(cè)面展開，作點(diǎn)/關(guān)于斯的對(duì)稱點(diǎn)H,連接/B,

則76為最短距離.

由題意知，A'D=0.6m,A'E=AE^Q.2m,

:.BD=O.90.3+0.2=0.8m,

?"/B=y/AfD2+BD2

=V0.62+0.82=1（"＞）.故答案為：1.

20.如圖是一個(gè)邊長為6的正方體木箱，點(diǎn)0在上底面的棱上，4。=2,一只螞蟻從戶點(diǎn)出發(fā)沿木箱表面

爬行到點(diǎn)0,則螞蟻爬行的最短路程為.

【答案】10

【詳解】解：將正方體上表面展開，如圖所示,

,:PB=AB=6,AQ=2.,

."0=6+2=8,

PQ--JPB2+BQ2—J6?+8?=10.

???螞蟻爬行的最短路程10.故答案為：10.

21.如圖，圓柱形玻璃杯高為12cm、底面周長為18cm,在杯內(nèi)離杯底4cm的點(diǎn)C處有一滴蜂蜜，此時(shí)一

只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4cm與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)A處，則螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離為cm.

【答案】15

【詳解】解：沿過A的圓柱的高剪開，得出矩形EFG”，

過C作CQJLEF于。，作A關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)4,連接4c交E8于P,連接”,

則AP+PC就是螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離，

AE=A!E,AP=AP,

:.AP+PC=AP+PC=A!C,

CQ=—xl8cm=9cm,AQ=12cm-4cm+4cm=12cm,

在中，由勾股定理得：=/=156,故答案為：15.

22.如圖，一只螞蟻沿長方體的表面從頂點(diǎn)力爬到另一頂點(diǎn)團(tuán)已知N6=4?=2,BF=3.這只螞蟻爬行的

最短距離.

【答案】5

【詳解】解：如圖1,將長方體沿)展開,

圖1

當(dāng)螞蟻經(jīng)圖中長方體右側(cè)表面爬到M點(diǎn)、,則AM=JAB+BFY+MF。=,(2+3)2+2?=曬,

如圖2,將長方體沿必展開，

MC

圖2

當(dāng)螞蟻經(jīng)圖中長方體左側(cè)面爬到〃點(diǎn)，貝I]AM=yl（AD+DC）2+MC2=7（2+2）2+32=5,

當(dāng)螞蟻經(jīng)圖中長方體上側(cè)面爬到〃點(diǎn)，則A"=^{BC+CMf+AB2=7（2+3）2+22=叵,

比較以上三種情況，一只螞蟻從頂點(diǎn)4爬到頂點(diǎn)也那么這只螞蟻爬行的最短距離是5.故答案為：5.

23.如圖，在圓柱的截面力比?中，力6=電，BC=\2,動(dòng)點(diǎn)戶從/點(diǎn)出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面移動(dòng)到a'的中

71

點(diǎn)s的最短距離為.

【詳解】如圖所示，將其展開,

;在圓柱的截面/閱9中：AB=—,BC=n,

：.AB=-X71X—=8,BS=-BC=6,

2n2

將其展開可得如下的矩形，在&AA3S中，AAS=A/82+62=10.故答案為：10.

三、解答題

24.如圖，有一個(gè)高為10dm,底面周長為48dm的圓柱形水桶，水桶的底端A