中考數(shù)學(xué)二診試題

一'選擇題（本大題共8個小題，每小題4分，共32分，每小題均有四個選項，其中只有一項

符合題目要求，答案涂在答題卡上）

1.在下列四個實數(shù)中，是無理數(shù)的是（）

A.-3B.0C.JsD.-

3

2.如圖所示的幾何體是由5個相同的小立方塊搭成的，它的俯視圖是（）

3.2025年政府工作報告提到：2024年，高技術(shù)制造業(yè)、裝備制造業(yè)增加值分別增長8.9%、7.7%,新

能源汽車年產(chǎn)量突破1300萬輛.其中數(shù)據(jù)T300萬”用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.1.3x10“B.1.3x10,c.1.3x10"D.13x10"

4.下列運算中，計算正確的是（）

A.=a~-h'B.3a:.2,=6c/1

c.5"2a=3"D.

5.為貫徹落實全國教育大會以及《教育強國建設(shè)規(guī)劃綱要（2024-2035年）》精神，切實保障學(xué)生每天綜

合體育活動時間不低于2小時，學(xué)校鼓勵學(xué)生積極參加體育鍛煉.已知某天五位同學(xué)體育鍛煉的時間分

別為（單位：小時）：1.7,2.2,2,1,2.7,2.2,則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)分別是

A.2.2,2.2B.2.1,2.2C.2.15,2.2D.1.7,2,7

6.《九章算術(shù)》是我國古代重要的數(shù)學(xué)著作，其中記載了一個問題，大致意思為：現(xiàn)有田出租，

第一年3畝1錢，第二年4畝1錢，第三年5畝1錢.三年共得100錢.問：出租的田有多少

畝？設(shè)出租的田有X畝，可列方程為（）

XXX,rXXX,

A.-+-+—=1B.—+-+—=1。0

345345

C.3x+4.r+5x=lD.3.t+4x+5x=IOO

7.如圖，/1U是OO的直徑，若601，則的度數(shù)等于（)

A.30°c.601D.9(),

8.如圖，在中，A,是44的中點.按下列步驟作圖：①以點4為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交

線段于點0，交BC于點E；②以點A1為圓心，8。長為半徑畫弧，交線段A,加于點尸；③以點

“為圓心，長為半徑畫弧，交前一條弧于點G，點G與點。在直線,48同側(cè)；④作直線A/G,交

.4(,于點N.則下列結(jié)論不一定成立的是()

B.ZJWC+ZC=180°

C.4V=CND.AB=2MN

二'填空題(本大題共5個小題，每小題4分,共20分)

9.因式分解：2a2_8=.

10.函數(shù)y=j］中，自變量x的取值范圍是

11.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點,4的坐標(biāo)為(-2.3),將線段。,4繞點。順時針旋轉(zhuǎn)90。，則點.4的

對應(yīng)點A'的坐標(biāo)為

12..二十四節(jié)氣是中國古人智慧的結(jié)晶，它基本概括了一年中四季交替的準(zhǔn)確時間以及大自然中一些物

候等自然現(xiàn)象發(fā)生的規(guī)律.二十四節(jié)氣中，春季的節(jié)氣有：立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨；夏

季的節(jié)氣有：立夏、小滿、芒種、夏至、小暑、大暑；秋季的節(jié)氣有：立秋、處暑、白露、秋分、寒

露、霜降；冬季的節(jié)氣有：立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒.若從二十四個節(jié)氣中隨機抽一個節(jié)

氣，則抽到的節(jié)氣在春季的概率為

13.由火柴棒擺成的3個圖案如圖所示，按圖中規(guī)律擺放，則第2025個圖案需要根火柴棒.

AA7ZSA-

(1)(2)(3)

三、解答題(本大題共5個小題，共48分)

14.(1)計算：M-4COS60+(”-2025f-|-2|；

5x-2<3(x+l)①

⑵解不等式組：3.V-2.「2,、

<x+-

15.某校為了解九年級同學(xué)的體考準(zhǔn)備情況，隨機抽取了部分九年級男生進行】000米跑測試，并根據(jù)測

試成績(按測試成績分為優(yōu)秀、良好、合格與不合格四個等級)繪制了如下兩幅尚不完整的統(tǒng)計圖.請

根據(jù)圖中信息解答下列問題:

1000米跑成績條形統(tǒng)計圖1000米跑成績扇形統(tǒng)計圖

人數(shù)/人

616

4

212

0

8

6

4

2

。

秀

良

格

格

優(yōu)

好

合

不合

(1)扇形統(tǒng)計圖中“良好”所對應(yīng)的圓心角度數(shù)是;請補全條形統(tǒng)計圖；

(2)該校九年級共有30()名男生，請你根據(jù)抽查結(jié)果估計成績?yōu)楹细竦哪猩藬?shù)；

(3)9.1班甲、乙兩位成績獲“優(yōu)秀”的男生報名參加即將舉行的學(xué)校運動會1000米跑比賽，預(yù)賽分為

8，。三組進行，由抽簽確定分組情況.請利用畫樹狀圖或列表的方法，求甲、乙兩人恰好分在同

一組的概率.

16.如圖，將高度,4(,為20cm的長方體空水槽放置在水平桌面上，一束光線從水槽上邊沿.1處投射到底

部4處.向水槽注水，水面上升到4(.的中點/.,處時停止注水，光線射到水面。處后發(fā)生折射落到底部

0處.已知乙4=45°,直線NN為法線，/DON=32.1°,求8,。兩點之間的距離.(結(jié)果精確到

0.1cm；參考數(shù)據(jù)：sin32.l°=0.531，cos32.1°?0.847-tan32.1°?0.627)

17.如圖，點C在以」8為直徑的。。上，過點O作.46的垂線交/IC于點0，交。。于點E，交過點

('的切線于點尸.

(1)求證：DF=CF;

(2)若oo半徑為5,/0=3、，而，求0。的長和tanF的值.

18.如圖，直線丫=一/)與x軸和F軸分別交于點8和點('，與反比例函數(shù)F=上伏聲0)的圖象在第一

X

象限內(nèi)交于點4(4.2).

(1)求直線yr"和反比例函數(shù)1"(Aw0)的解析式；

x

(2)將直線.Vx+3平移得到直線/,若直線/與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積是A8co面積的2倍，

求直線/的解析式；

(3)對于點尸(c.J),我們定義：當(dāng)點.”(，〃.〃)滿足加+(-〃+,/時，稱點”是點P的等和點.試

探究在反比例函數(shù)r*(4，0)圖象上是否存在點〃，使點〃的等和點A/在直線r、f/，上?若存在，

x

請求出點/，的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

四'填空題(本大題共5個小題，每小題4分，共20分)

19.已知4―2/>>那么：I的值是_______.

\ba)\ba)

20.已知&是一元二次方程『一3丫-5-0的兩個實數(shù)根，則卜、)\3口的值是.

21.如圖，在菱形10米7中，//08=60口，其頂點4落在反比例函數(shù)丁=里的圖象上，頂點8落在

X軸的正半軸上，頂點C落在反比例函數(shù)1，=?(?A0)的圖象上，則A?的值為

x

22.如圖，在矩形,48(7)中，，48=4，彳。=10，E，尸是灰'邊上兩點，且8E=3，CF=2,連接

.心DE，和0E交于點G，連接8G，貝1Jcos/48G的值是.

BEFC

23.若一個點的縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的2倍，則稱這個點為“二倍點”，如：」(1,2),li(2.4),C(0,0)等

都是“二倍點”.在-3<JI的范圍內(nèi)，若二次函數(shù)］?=-\二-K+C的圖像上至少存在一個“二倍點”，則(？

的取值范圍是.

五、解答題(本大題共3個小題，共30分)

24.在長為1米的書架上按圖示方式擺放數(shù)學(xué)書和語文書，已知每本數(shù)學(xué)書厚0.8厘米，每本語文書厚1.2

厘米.

(1)若數(shù)學(xué)書和語文書共100本恰好擺滿該書架，問數(shù)學(xué)書和語文書各有多少本？

(2)若書架上已擺放了60本數(shù)學(xué)書，那么最多還可以擺多少本語文書？

25.如圖，將拋物線1「'平移，得到的新拋物線/.：經(jīng)過點力(0「3)和"(6,0).在第三象限內(nèi)新

4

拋物線上取點\f，設(shè)點\!在原拋物線/■，上的對應(yīng)點為\f.

(1)求新拋物線A的表達式;

(2)若6Mli4”,求點V的坐標(biāo);

(3)若點”在第三象限內(nèi)新拋物線&上移動，試探究四邊形的面積是否為定值？若是，請

求出這個定值；若不是，請求出它的最大值.

26.在A.48('中，AB=AC=5-8c=8，〃是8c邊上一動點(不與點4重合)，在射線上取點

D，使力。=8/%將線段D4繞點。順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段?！?，連接力

【初步感知】

(1)如圖1，當(dāng)點。和點P重合時，求8尸的長；

【深入探究】

(2)如圖2，當(dāng)點上落在XC的延長線上時，求PC的長；

【拓展延伸】

(3)是否存在點〃，使點。到直線4C的距離是點上到直線/1C的距離的兩倍？若存在，請求出

PC的長；若不存在，說明理由.

答案

L【答案】C

2.【答案】B

3.【答案】B

4.【答案】C

5.【答案】A

6.【答案】B

7.【答案】A

8.【答案】D

9.【答案】2(a+2)(a-2)

10.【答案】x>l

11.【答案】(3.2)

12.【答案】-

4

13.【答案】4051

".【答案】(1)解：原式=3-4x1+l—2=3-2+l—2=0；

2

5x-2<3(x+l)①

解不等式①得：x<T，

解不等式②得：

2S

，原不等式組解集為「一、

15.【答案】(1)|44°.

補全條形統(tǒng)計圖如圖：

1000米跑成績條形統(tǒng)計圖

146

2

0

8

6

4

2

(2)解：成績?yōu)楹细竦哪猩藬?shù)為300x^=75(名).

40

答：估計成績?yōu)楹细竦哪猩藬?shù)為75名?

(3)解：畫樹狀圖可得：

開始

.，,共有9種等可能結(jié)果，其中兩人恰好分在同一組的結(jié)果有3種,

3|

.?p(甲乙同組)

93

即甲、乙兩人恰好分在同一組的概率是」.

3

16.【答案】解：是,4C的中點，為20cm，

.?./fE=EC=-/IC=IOcm，

2

由題意可知，在A.48c中，乙4=45。，ZC=90°,

AZJBC=45°=，

?C=JC=20cm，

由題意可知，在A/OE中，乙4=45°，乙4￡。=90°,

.1./AOE45°/A，

:,EO-AE\()cm-

由題可知NC=90。，Z.OEC=90°，ZONC=90°，

，四邊形CEQV是矩形，

，ON=EC=IOcm，GV=H>-IOcm，

ND

在RIAOVD中，lanZDOAT=—,

NO

ND

.'.tan.32.1

1()

NO=10x0.627=6.27(cm),

BD=CB-CN-ND=20TO-6.27=3.73=3.7(cm)

答：B,/)兩點之間的距離約為3.7cm.

17.【答案】(1)證明：連結(jié)OC，如圖,

A

???('”為。。的切線，

.")(?L(7，

???NOCF=90。，

即/。C"/Db=90。，

■：OFLAB，

；?4IOF=90。，

A/At/IDO=9(廣，

VOA=OC，

???N4=/.OCA，

，NDCF=Z.ADO，

??ZDO=/CDF，

；?/CDF.DCF，

:.DF=CF；

(2)解：是OO的直徑,

AZ/1C5=90°=ZJOD

???00半徑為5

，/18=1()

，在RIAMC中，

222

BC=>JAB-AC=JIO2-(3V10)=Vio

在“OD和“(8中，

VZA=ZA,ZAOD=ZACB,

:.^AOD^ACB

ODAO

,

CBAC

OD_5

"Tio_3>/io'

/.OD=-

3

設(shè)CF=DF=.i，則。F=。。+。廣=2+、

在RUOCF中，OC2+CF2=OF2-

5

-+x

3

7o

角畢得X二7，

e以

3

，在RIAOC/中，

LOC53

tanr==---=—

CF204.

T

18.【答案】(1)解：把力(4,2)代入)，=勺

X

可得：2=二,

4

...A=8，

Q

」,反比例函數(shù)的解析式為r--

x

把/(4,2)代入y=x+b,

可得：2=4+6,

：,b

，直線r=x+b的解析式為r=x-2；

⑵解：=

，點('的坐標(biāo)是(0,2),

..OC=2，

如下圖所示,

1將直線m6沿J,軸方向向上平行移動時,

設(shè)直線/與x,.「軸分別交于點“，D，則OE||8(',

ADEO^ACBO,

Sc,ODV

“ACSoc)

..OD=2v,f2，

:直線/與直線I=x-2平行，00=2及,

，直線/的解析式為j，：.12及；

2將直線y=x+/>沿F軸方向向下平行移動時，

設(shè)直線/與x,F軸分別交于點G，F(xiàn)，則GFII8C,

:.AFGO^ACRO，

S皿(OF^

"T^,~[oc)'

d制

:.OF=2x[2，

Y直線/與直線.v=i-2平行，()F=2五，

，直線/的解析式為y=x-2&；

綜上所述，直線/的解析式為「A-2\/2或r\2>/2;

(3)存在，理由如下：

解：點尸的坐標(biāo)為(2,4)或(-4.-2),

Q

:點尸在V圖象上，點A1在直線F=x2上，

x

，設(shè)點產(chǎn)卜.一J,點

:點V是點尸的等和點,

、8

..，〃+「二加-2+一,

c

??c=-2"I—,

/.c2+2<-8=0，

c2=-4,

經(jīng)檢驗，g：2,<?、4均是原分式方程的根,

8

當(dāng)<;=2時，一=4,此時點尸的坐標(biāo)為(2.4),

8

當(dāng)(3--4時，2,此時點〃的坐標(biāo)為(-4,-2),

Q

綜上可得，在］，=上的圖象上存在點p,使點尸的等和點卜在直線y=x-2上，點p的坐標(biāo)為(2,4)或

X

(-4,-2).

19.【答案】1

20.【答案】14

21.【答案】35A

22.【答案】叵

17

9

23.【答案】?(「4

4

24?【答案】(1)解：設(shè)書架上數(shù)學(xué)書有X本，語文書有］'本，

x+y=IOO

由題意得:

0.8x+l.2y=100

x=50

解得

y=50

答：數(shù)學(xué)書有50本，語文書有50本.

(2)解：設(shè)再擺，”本語文書,

根據(jù)題意得:0.8x60+1.254100,

解得：，43,

3

答：最多還可以擺43本語文書.

25.【答案】(1)解：:拋物線4：丫=L一平移得到新拋物線心，

4

設(shè)新拋物線/一、的表達式為r=:F+加+c,

把4(0*-3)和3(6,0)代入可得:

c=-3

?1,，

—x6~+66+c=0

14

[c=-3

解得：,北，

D=-1

，新拋物線/，的表達式為y=Lt'7-3；

4

(2)解：新拋物線的表達式為曠=!/一*-3=；(》一2)2-4,

，拋物線乙的頂點0(0,0)平移到拋物線里的頂點。(2,-4),

:拋物線平移得拋物線/.、的平移方式為：向右平移2個單位，向下平移4個單位,

二.設(shè)則A/(ffi+2,：m2一4),

設(shè).#/'的解析式為F=4x+A，它過*0「3)和/)，

b}=-3

則，/AI2，

mk.+a=-，〃

I'14

解得：A?m?,

4m

設(shè)8M解析式為丁=*/+，，它過8(6,0)和M(/n+2,；/-4),

6k2+4=0

則，,I，一

(加+2*2+4=7"i-4

解得：A,-m\\,

?4

-AMf\\BM,

4m4

m=3,

經(jīng)檢驗：■”=3是原方程的根,

當(dāng)m=3時，m+2=5>—m2-4=-—

44

A/(5,—

設(shè)AB和A/"'交于點H，和0/)的交點為E,

設(shè)0。的解析式為：r-At,它過/)(L-4),

則2&=-4,

解得&=-2,

二。。的解析式為j2v；

設(shè),48的解析式為，=幻工+4，它過/(0,-3)和8(6,0),

[/?,=-3

則16A,+a=()'

L=i

解得2,

b*=-3

,設(shè).48的解析式為y=；x-3,

y=-2x

聯(lián)立方程組?I,,

y=-x-3

I2

X

解得，

.zOEB是直角三角形，

：.OD1AB，

?平移過程中，點。的對應(yīng)點為點O，點V的對應(yīng)點為A/'，

：.OD\\M'M,OD=WM，

AM'MLAB，

>C-C4.CXC4,C

,'”叫也迪41HlM'*\/MW丁T”*"M〃

M'H-AH+--XfH-AH+-\fHBH+-MHBH

2222

=1.WW?[〃+1?M"8〃

22

==-ODAIi

22

=；xy/l'+4xyji2+6?=15

.'，四邊形,4A/8,ir的面積是定值，這個定值為15.

四邊形/A/8W的面積是定值，這個定值為15

26.【答案】解：(1)如圖|,當(dāng)點。和點?重合時，

...Nl=N8，

vAB=AC)

AZC=ZB，

AZl=NC，

又ZB=ZB，

:^ABP^CBA，

一百一正’

5BP

*.?_—_,

85

25

BP=—；

8

(2)如圖2，當(dāng)點“落在/IC的延長線上時，過點,4作力廿I垂足為點\f,

過點P作垂足為點〃，

設(shè)PH=x，

在RtA.48M中，AM=V52-42=3，

'在RIA/CM中，1%/4=空=、，

CM4

PH,?

，在RIAC，〃中，IHII.4=二=2，

CH4

4r

：,CH=—,

3

根據(jù)題意得DA=DE，Z,ADE=90°,

.-.Z2=45°，

"3=450，

Z2=Z3.

:.AH=PH=x，

?：AH+CH=AC=5,

，x+—=5,

(3)過點。作，垂足為點尸，過點E作EG_L4C，垂足為點G，

過點P作P〃_L/E，垂足為點〃，設(shè)OE交,4(,于點。,

設(shè)P〃=x，

分兩種情況討論：

①如備用圖］，點。，七在4C異側(cè)時，若。尸=2EG，

???Z.DFQ=Z.EGQ=90°,NDQF=4EQG,

DQDF

~EQ~~EG'

..絲=竺=2

EQEG

DQ=2EQ,

.1.DE=3/：0,

?/DA=DE，

：.DA=3EQ,

DQ2EQ1

，在RtA」O0中,tan/2=

^D~7EQ~3

PH?

:在Rt「.4P〃中，tan/2=——=二

AH3

小〃亭