第八章二元一次方程組

8.3.2實際問題與二元一次方程組（第2課時）

羔基礎過關練

1.（2023春?黑龍江哈爾濱?七年級哈爾濱市蕭紅中學?？茧A段練習）把一根長9m的鋼管截成1m長和2m長

兩種規(guī)格均有的短鋼管，且沒有余料，設某種截法中1m長的鋼管有“根，貝M的值有（）

A.3種B.4種C.5種D.6種

【答案】B

【分析】設2m的鋼管6根，由題意可列二元一次方程。+力=9,根據(jù)“、匕均為整數(shù)，求解即可.

【詳解】解：設2m的鋼管b根，根據(jù)題意得：a+2b=9,

。、b均為整數(shù)，

（a=1（a=3ia=5ja=7

"[b=4'[6=3'\b=2'=l'

故選B.

【點睛】本題考查了二元一次方程的整數(shù)解.正確的列方程并正確的運算是解題的關鍵.

2.（2023?黑龍江綏化??？家荒＃┬∶魅ベI2元一支和3元一支的兩種圓珠筆（每種圓珠筆至少買一支），

恰好花掉20元，則購買方案有（）

A.3種B.4種C.5種D.6種

【答案】A

【分析】根據(jù)題意列出二元一次方程，再結(jié)合實際情況求得正整數(shù)解.

【詳解】解：設買x支2元一支的圓珠筆，y支3元一支的圓珠筆，

根據(jù)題意得：2x+3y=20,且x,y為正整數(shù)，

符合條件的整數(shù)解有：

J尤=1Jx=4卜=7

|y=6[y=4[y=2

故共有3種購買方案，

故選：A.

【點睛】本題考查了二元一次方程的實際應用及解得情況；解題定關鍵是找到一元二次方程的整數(shù)解.

3.（2023春?七年級課時練習）在抗擊疫情網(wǎng)絡知識競賽中，為獎勵成績突出的學生，學校計劃用180元

購買A、B、C三種獎品（三種都買），A種每個10元，B種每個20元，C種每個40元，在。種獎品不超

過兩個且錢全部用完的情況下，共有幾種購買方案（）

A.8種B.9種C.10種D.11種

【答案】C

【分析】有兩個等量關系：購買A種獎品錢數(shù)+購買8種獎品錢數(shù)+購買C種獎品錢數(shù)=180；C種獎品

個數(shù)為1或2個.設兩個未知數(shù)，得出二元一次方程，根據(jù)實際含義確定解.

【詳解】解：設購買A種獎品相個，購買2種獎品“個，

當C種獎品個數(shù)為1個時，

根據(jù)題意得10m+20〃+40=180,

整理得：m+2n=14,

〃者B是正整數(shù)，0<2n<14,

n=l,2,3,4,5,6；

當C種獎品個數(shù)為2個時，

根據(jù)題意得10//Z+20〃+2x40=180,

整理得：m+2n=lQ,

■：m,”都是正整數(shù)，0<2n<10,

n=l,2,3,4；

.?.有6+4=10種購買方案，故C正確.

故選：C.

【點睛】本題主要考查了二元一次方程的應用，解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找

出合適的等量關系列出方程，再求解.要注意題中未知數(shù)的取值必須符合實際意義.

4.（2023春?七年級課時練習）某同學去蛋糕店買面包，面包有A、8兩種包裝，每個面包品質(zhì)相同，且只

能整盒購買，商品信息如下：若某同學正好買了40個面包，則他最少需要花（）元.

A包裝盒8包裝盒

每盒面包個數(shù)（個）46

每盒價格（元）58

A.50B.49C.52D.51

【答案】A

【分析】設購買A包裝面包尤盒，2包裝面包y盒，由題意：某同學正好買了40個面包，結(jié)合表中信息列

出二元一次方程，求出非負整數(shù)解，即可解決問題.

【詳解】解：設購買A包裝面包x盒，8包裝面包y盒，

由題意得：4x+6y=40,

,fx=7f%=4[x=l[x=10

解得.或“或〈或八

[y=2[y=4[y=6[y=0

當x=7,y=2時，費用為：5x7+8x2=51（元）；

當x=4,y=4時，費用為：5x4+8x4=52（元）；

當x=l,y=6時，費用為：5x1+8x6=53（元）；

當x=10,y=0時，費用為：5x10=50（元）；

50<51<52<53,

?.?某同學正好買40個面包時，他最少需要花50元，故A正確.

故選：A.

【點睛】本題主要考查了二元一次方程的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程是解題的關鍵.

5.（2022秋?八年級課時練習）周末，小明的媽媽讓他到藥店購買口罩和酒精濕巾，已知口罩每包3元，

酒精濕巾每包2元，共用了20元錢（兩種物品都買），小明的購買方案共有（）

A.2種B.3種C.4種D.5種

【答案】B

【分析】設可以買x包口罩，y包酒精濕巾，利用總價=單價x數(shù)量，即可得出關于x,>的二元一次方程,

結(jié)合x,y均為正整數(shù)，即可得出購買方案的個數(shù).

【詳解】解：設可以買x包口罩，y包酒精濕巾，

依題意得：3x+2y=20,

y=10--x.

2

又x,y均為正整數(shù)，

.?.小明共有3種購買方案.

故選：B.

【點睛】本題考查了二元一次方程的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程是解題的關鍵.

6.（2023春?七年級課時練習）小明要用80元錢買A、8兩種型號的口罩，兩種型號的口罩必須都買，80

元錢全部用盡，A型每個6元，B型口罩每個4元，則小明的購買方案有（）

A.4種B.6種C.8種D.10種

【答案】B

3

【分析】設買A型號的口罩x個，8型號的口罩y個，得丁=2。-；了，根據(jù)題意列出符合題目的購買方案

即可解答;

【詳解】解：設買A型號的口罩x個，8型號的口罩y個，且尤、y均為正整數(shù),

即有6x+4y=80,

3

變形，得y=20X,

根據(jù)題意，且x、y均為正整數(shù),

當％=2時,y=20—3=17；

當x=4時,37=20-6=14.

當％=6時,y=20_9=ll；

當x=8時,y=20—12=8；

當％=10時,,=20-15=5.

當％=12時,,=20—18=2；

符合題意，所以小明的購買方案有6種;

故選：B.

【點睛】本題主要考查了求解二元一次方程的正整數(shù)解的知識，正確理解題意，找到兩種口罩的數(shù)量關系

是解題的關鍵.

7.（2023春?七年級單元測試）為迎接2022年北京冬奧會，清華附中初二級部開展了以“綠色冬奧，人文

冬奧，科技冬奧”為主題的演講比賽，計劃拿出240元錢全部用于購買獎品，獎勵優(yōu)勝者，己知一等獎品

每件15元，二等獎品每件10元，則兩種獎項齊全的購買方案有（）

A.6種B.7種C.8種D.9種

【答案】B

【分析】設購買x件一等獎品，丁件二等獎品，由題意：現(xiàn)計劃拿出240元錢全部用于購買獎品，已知一

等獎品每件15元，二等獎品每件10元，列出二元一次方程，求出正整數(shù)解即可.

【詳解】解：設購買x件一等獎品，y件二等獎品,

由題意得：15x+10y=240,

.48—3尤

??V--

2

又?.”，y均為正整數(shù),

x=2x=4x=6x=8x=10x=12尤=14

y=21或y=18或>=15或y=12或y=9或…或

y=3

；?購買方案有7種,

故選：B.

【點睛】本題考查了二元一次方程的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程是解題的關鍵.

8.（2022秋?全國?八年級專題練習）某同學去蛋糕店買面包，面包有A,8兩種包裝，每個面包品質(zhì)相同,

且只能整盒購買，商品信息如下：若某同學正好買了50個面包，則他最少需要花（）元.

A包裝盒8包裝盒

每盒面包個數(shù)（個）38

每盒價格（元）511

A.71B.74C.75D.81

【答案】B

【分析】設購買A包裝面包x盒，8包裝面包y盒，由題意：某同學正好買了50個面包，結(jié)合表中信息列

出二元一次方程，求出非負整數(shù)解，即可解決問題.

【詳解】解:設購買A包裝面包龍盒，8包裝面包y盒

由題意得：3x+8y=50

當x=6,y=4時，費用為

5x6+11x4—74（元）；

當x=14,y=l時，費用為

5x14+11x1=81（元）；

74<81

某同學正好買50個面包時，他最少需要花74元

故選：B.

【點睛】本題考查了二元一次方程的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程是解題的關鍵.

9.（2022秋?山東青島?八年級山東省青島實驗初級中學?？计谀⒁桓L9m的鐵絲截成2m和1m兩種長

度的鐵絲（兩種都有）如果沒有剩余，那么截法有種.

【答案】4

【分析】先設出未知數(shù)，然后根據(jù)題意列出方程：2x+y=9,然后利用y=9-2x,找出方程的正整數(shù)解

即可求出.

【詳解】解：設截成2m的有x段，1m的有y段，且xw。，

根據(jù)題意可列方程得：2x+y=9,

則y=9-2x,

：尤、y均為正整數(shù),

.,.當彳=1時，y=7；

當x=2時，y=5-

當x=3時，y=3；

當x=4時，y=1；

.??方程的正整數(shù)解有4組，即截法有4種，

故答案為：4.

【點睛】本題考查的主要是二元一次方程的整數(shù)解，解題關鍵：列出方程并找出方程的正整數(shù)解.

10.（2023春?浙江?七年級專題練習）小明在文化用品超市購買單價為2元的簽字筆和單價為3元的筆記本，

一共花了17元，則購買方案有種.

【答案】3

【分析】設購買簽字筆。只，筆記本6本，根據(jù)題意列出二元一次方程，故可求解.

【詳解】設購買簽字筆。只，筆記本6本，根據(jù)題意可得2〃+36=17

=4（a=7[a=l

正整數(shù)解為'。或7I或，＜

[Z?=3[b=l[b=5

故購買方案有3種，

故答案為：3

【點睛】本題主要考查二元一次方程的應用，解題的關鍵是根據(jù)題意找到數(shù)量關系列方程求解.

11.（2023春?浙江?七年級專題練習）某班為獎勵在校運動會上取得好成績的同學，花了200元錢購買甲、

乙兩種獎品共30件，其中甲種獎品每件8元，乙種獎品每件6元，則購買了甲種獎品件

【答案】10

【分析】設購買甲種獎品X件，乙種獎品y件，根據(jù)甲，乙兩種獎品共30件和花了200元錢購買甲，乙兩

種獎品，甲種獎品每件8元，乙種獎品每件6元，列出方程組，再進行求解即可.

【詳解】解：設購買甲種獎品x件，乙種獎品y件，由題意得

（x+y-30

18尤+6y=200'

x=10

解得

y=20

答：購買了甲種獎品10件.

故答案為：10.

【點睛】此題主要考查了二元一次方程組的應用，關鍵是弄懂題意，抓住題目中的關鍵語句，列出方程.

12.(2023春?七年級單元測試)“無社團，不青春！”為豐富同學們的校園文化，學校在初一年級開展了豐

富多彩的社團活動，某老師對參加音樂社、街舞社、動漫社的同學都準備A、B兩種禮品.初步預算，三

個社團各需兩種禮品數(shù)量和之比為1:1:2,需A的數(shù)量之比為3:5:8,并且音樂社和街舞社需8禮品數(shù)量

之比為3:2.在實際購買時，A的價格比預算低20%,B的價格比預算高20%,A購買數(shù)量減少了3.125%,

結(jié)果發(fā)現(xiàn)總費用與預算相等.則實際購買A的總費用與實際購買8的總費用之比為.

【答案】S/31:54

54

【分析】設音樂社、街舞社、動漫社需要兩種禮品的數(shù)量和分別為X,無，2x,需A的數(shù)量分別為3y,5y,

8y,根據(jù)音樂社和街舞社需5禮品數(shù)量之比為3:2列式求出x=9y,然后根據(jù)實際總費用與預算相等列方

程求出。和。的關系，再計算實際購買A的總費用與實際購買B的總費用之比即可.

【詳解】解：設音樂社、街舞社、動漫社需要兩種禮品的數(shù)量和分別為尤，尤，2x,需A的數(shù)量分別為3y,

5y,8y,

...音樂社和街舞社需B禮品數(shù)量分別為：x-3y,x-5y,

.x-3y=3

,*x-5y2'

x=9yf

...音樂社、街舞社、動漫社需要兩種禮品的數(shù)量和分別為9y,9y,18y,

...音樂社、街舞社、動漫社需8的數(shù)量分別為6y,4y,10y,

設原先A的價格為a,8的價格為6,

根據(jù)題意可得，

a(l-20%)(3y+5y+8y)(l-3.125%)+6(l+20%)(6y+4y+10y)=(3y+5y+8y)a+(6y+4y+10yW，

整理得：；=瞿，

b9

iz(l-20%)(3y+5y+8y)(l-3.125%)

???實際購買A的總費用與實際購買8的總費用之比為：'/境八打-:八⑺,―L

0(l+20%)(6y+4y+10y)

—_1_2_.4_?_—_1_2_.4x_1_0—_3_1

24by24954,

31

故答案為：—.

54

【點睛】本題主要考查了三元一次方程的應用，根據(jù)題意設出未知數(shù)，并表示出其余的未知量，求出％=9y

及好瞿是解題關鍵.

b9

13.(2021春.山東濟南?七年級濟南十四中?？计谥?現(xiàn)有球迷150人欲租用客車去觀看足球賽，有A,B,

C三種型號客車若干可供租用，載客量分別為50人，30人，10人，要求租用的車輛，每輛車必須滿載,

其中A型客車最多租兩輛，則球迷們一次性到達賽場的租車方案有種.

【答案】12

【分析】設2、C兩種車分別租。輛、b輛.然后根據(jù)三種情況：A型號租0輛或1輛或2輛，列方程進行

討論.

【詳解】解：設夙C兩種車分別租。輛、b輛，

①當A型號租用0輛時，則有：

30a+106=150,

3〃+8=15.

又,：a,6是整數(shù)，

貝|］。=0,〃=15或。=1,6=12或。=2,。=9或“=3,匕=6或。=4,人=3或。=5,人=0；

②當A型號租用1輛時，則有：

30。+10%=150-50,

3fl+Z?=10,

又a,6是整數(shù)，

貝"。=0,%=10或a=l,力=7或。=2,6=4或a=3,b-1；

③當A型號租用2輛時，則有：

30a+10Z?=150-50x2,

3a+b=5,

又a,6是正整數(shù)，

則a=0,6=5或a=l,6=2；

綜上所述，共有12種.

故答案為：12.

【點睛】本題主要考查的是二元一次方程組的應用，分類討論是解題的關鍵.

14.（2023春?重慶渝中?八年級重慶巴蜀中學?？茧A段練習）疫情之后，為盡快恢復實體經(jīng)濟，某地政府通

過專項獎勵、稅費減免等舉措，支持商家開展主題促銷，發(fā)放消費券等活動來促進消費市場恢復.某票務

平臺經(jīng)營飛躍叢林，觀光巴士，海洋樂園，馬戲城四種游玩票務.一張飛躍叢林票的成本價是一張觀光巴

士票的2倍，一張海洋樂園票和一張馬戲城票的成本之和是一張飛躍叢林票成本價的3倍，一張海洋樂園

票成本價和一張馬戲城票之差是一張飛躍叢林票的2倍.商家得到支持，響應號召，降低利潤之后推出A,

2,C三種套餐.A套餐中有觀光巴士票若干（數(shù)量在10到20張之間），1張飛躍叢林票，3張海洋樂園票，

4張馬戲城票.8套餐中有5張觀光巴士票，2張飛躍叢林票，4張海洋樂園票，6張馬戲城票.C套餐中

有4張觀光巴士票，3張飛躍叢林票，4張海洋樂園票，2張馬戲城票.每種套餐的成本等于四種票的成本

之和.每個A套餐的利潤率為7.5%,C套餐利潤率為12.5%,8套餐的利潤率為A和C套餐利潤率的平均

數(shù).一公司決定從該平臺購買套票為92名員工發(fā)福利.該公司購買A套餐20份，最終票務平臺獲得的總

利潤率為單個2套餐的利潤率.因員工需求，該公司需更多購買B套餐，則該公司購買C套餐

個.

【答案】17

【分析】設出四種票務的單價，根據(jù)題意得出它們的關系，再求出各個套餐的利潤，根據(jù)最終票務平臺獲

得的總利潤率為單個3套餐的利潤率列出方程，求整數(shù)解即可.

【詳解】解：設飛躍叢林，觀光巴士，海洋樂園，馬戲城四種游玩票務成本價分別為。、b、c、d,設A套

餐中有觀光巴士票機張，購買C套餐"個，

a=2b

由題意得，<c+d=3a,

c-d=2a

a=2b

解得，<c=5b；

d=b

貝!J4套餐的成本為+2》+15》+4)=+21b,禾!]潤為7.5%(〃亦+21。)；

貝！J8套餐的成本為5~+46+20b+68=35Z>,禾Ll潤為一:~~-——:~-x356=3.56；

2

貝I]C套餐的成本為4。+6，+206+2。=326,利潤為12.5%x32Z>=46；

由題意得，20X7.5%(/MZ>+216)+3.5仇92-20-n)+4bn=92x3.5b,

化簡得，3m+n=77,

公司需更多購買8套餐，A套餐中有觀光巴士票數(shù)量在10到20張之間，

當m=20,符合題意，此時九=17,

故答案為：17.

【點睛】本題考查了二元一次方程組及二元一次方程整數(shù)解問題，解題關鍵是設出未知數(shù)，根據(jù)題目中的

數(shù)量關系列出方程.

15.(2022秋?陜西渭南.八年級統(tǒng)考期末)某學校舉行“疫情防控”宣傳活動，故購買4、2兩種獎品以鼓勵

積極參與的學生.經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若購買A種6件、8種1件，共需100元；若購買A種5件、8種2

件，共需88元.

(1)4、8兩種獎品每件各多少元？

(2)學校決定現(xiàn)要購買A種獎品8件、3種獎品15件，那么總費用是多少元？

【答案】（1）A種獎品16元/件，3種獎品4元/件

（2）188元

【分析】（1）由題意可知兩條等量關系分別為：6x4獎品價格+1x2獎品價格=100,5xA獎品價格+2x2獎

品價格=88,根據(jù)等量關系列出二元一次方程組求解即可；

（2）根據(jù)：總價=單價x數(shù)量，分別求出A,2兩種獎品的總價，相加即可.

【詳解】（1）解：設A種獎品x元/件，2種獎品y元/件，

6x+y=1000

由題意可列方程:

5尤+2y=88②

由①得：y=100-6?

將③代入②中得：5%+200-12%=88,

亦g（

解得：\x=1.6>

[y=4

答：A種獎品16元/件，B種獎品4元/件.

（2）由題意得：16x8+4x15=188（元）,

答：總費用為188元.

【點睛】本題考查用二元一次方程組解決實際問題，能夠根據(jù)題意列出等量關系是解題的關鍵.

16.（2022秋.全國?八年級專題練習）某商場上周購進2022年冬奧會吉祥物冰墩墩與冬殘奧會吉祥物雪容

融兩種毛絨玩具共100個，共花去12000元，這兩種吉祥物毛絨玩具的進價、售價如下表:

進價（元/個）售價（元/個）

冰墩墩150195

雪容融75105

（1）求冰墩墩、雪容融這兩種毛絨玩具分別購進了多少個?

（2）上周五售出這兩種吉祥物毛絨玩具，共獲得利210元.那么這一天售出的冰墩墩、雪容融這兩種毛絨玩

具分別是多少個?

【答案】（1）購進冰墩墩毛絨玩具60個，雪容融毛絨玩具40個

（2）售出冰墩墩毛絨玩具2個，雪容融毛絨玩具4個或售出冰墩墩毛絨玩具4個，雪容融毛絨玩具1個

【分析】（1）設購進冰墩墩毛絨玩具x個，雪容融毛絨玩具》個，根據(jù)數(shù)量關系列方程即可求解；

（2）由（1）可知毛絨玩具的價格，設售出冰墩墩毛絨玩具機個，雪容融毛絨玩具〃個，由此列方程即可

求解.

【詳解】（1）解：設購進冰墩墩毛絨玩具X個，雪容融毛絨玩具y個,

x+y=100x=60

依題意得:,解得:

150x+75y=12000y=40

購進冰墩墩毛絨玩具60個，雪容融毛絨玩具40個.

（2）解：設售出冰墩墩毛絨玩具加個，雪容融毛絨玩具〃個,

依題意得：（195-150）〃2+（105-75）〃=210,

?

??7n=37——m.

2

又???加，〃均為正整數(shù)，

\m=2、[m=4

?*-s）或〈,.

[n=4[n=1

售出冰墩墩毛絨玩具2個，雪容融毛絨玩具4個或售出冰墩墩毛絨玩具4個，雪容融毛絨玩具1個.

【點睛】本題主要考查二元一次方程組與銷售問題的綜合，理解題意中的數(shù)量關系列方程是解題的關鍵.

17.（2023春?全國?七年級專題練習）某商場計劃撥款9萬元購進50臺電視機.已知廠家生產(chǎn)三種不同型

號的電視機，出廠價分別為：甲種電視機每臺1500元，乙種電視機每臺2100元，丙種電視機每臺2500

元.

（1）若商場同時購進其中兩種不同型號的電視機共50臺，用去9萬元，問有多少種不同的進貨方案？并寫

出這些方案.

（2）若商場銷售一臺甲種電視機可獲利150元，銷售一臺乙種電視機可獲利200元，銷售一臺丙種電視機可

獲利250元.在第（1）小題的幾個方案中，為使銷售時獲得利潤最多，你選擇哪種方案？并說明理由.

【答案】（1）兩種方案：方案1：甲，乙兩種電視機各25臺.方案2：購買甲種電視機35臺，乙種電視機

15臺

（2）選擇方案2,見解析

【分析】（1）設購買電視機甲種X臺，乙種y臺，丙種z臺，由題意分別列出二元一次方程組，解方程組

即可求解；

（2）根據(jù)（1）的結(jié)論分別求得獲得的利潤，比較大小即可求解.

【詳解】（1）解：設購買電視機甲種尤臺，乙種y臺，丙種z臺，由題意得：

x+y=50

1500%+21007=90000

x=25

解得:

y=25

_[y+z=50

②1,

[2100y+2500z=90000

fy=87.5

解得：A”（舍去）

[z=-3/.5

fx+z=50

③[1500x+2500z=90000'

（x=35

解得：.

[z=15C

故兩種方案：方案1：甲，乙兩種電視機各25臺.

方案2：購買甲種電視機35臺，乙種電視機15臺；

（2）選擇方案2,理由：

:商場銷售一臺甲種電視機可獲利150元，銷售一臺乙種電視機可獲利200元，銷售一臺丙種電視機可獲

利250元，

方案1：25x150+25x200=8750（元），

方案2：35x150+15x250=9000（元），

故選擇方案2.

；?共有5種購買方案.

【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，根據(jù)題意列出方程組是解題的關鍵.

18.（2023春?全國?七年級專題練習）已知，某醫(yī)用材料廠商有甲、乙兩條口罩生產(chǎn)線，在原有產(chǎn)能下，每

天甲生產(chǎn)線比乙生產(chǎn)線少生產(chǎn)56萬只，兩條生產(chǎn)線3天共生產(chǎn)口罩336萬只.

（1）在原有產(chǎn)能下，求甲、乙兩條生產(chǎn)線每天各生產(chǎn)口罩多少萬只？

（2）該廠家收到訂單，需要生產(chǎn)840萬只口罩，兩條生產(chǎn)線同時工作了2天后，該廠家加快了生產(chǎn)速度，又

用5天時間完成了全部訂單，求提升產(chǎn)能后，該廠家的日產(chǎn)量增加了多少萬只？

【答案】（1）甲、乙兩條生產(chǎn)線每天分別生產(chǎn)口罩28萬只、84萬只；

（2）提升產(chǎn)能后，該廠家的日產(chǎn)量增加了11.2萬只.

【分析】（1）設甲、乙兩條生產(chǎn)線每天分別生產(chǎn)口罩x萬只、y萬只，根據(jù)“每天甲生產(chǎn)線比乙生產(chǎn)線少生

產(chǎn)56萬只，兩條生產(chǎn)線3天共生產(chǎn)口罩336萬只”列二元一次方程組，求解即可；

（2）設提升產(chǎn)能后，該廠家的日產(chǎn)量增加了利萬只，列一元一次方程求解即可.

【詳解】(1)解：設甲、乙兩條生產(chǎn)線每天分別生產(chǎn)口罩X萬只、y萬只,

3（元+y）=336

由題意得:

x+56=y

尤=28

解得:

y=84

答：甲、乙兩條生產(chǎn)線每天分別生產(chǎn)口罩28萬只、84萬只；

(2)解：設提升產(chǎn)能后，該廠家的日產(chǎn)量增加了他萬只，

由題意得：2x(28+84)+5x(28+84+^)=84。，

解得："7=11.2,

答：提升產(chǎn)能后，該廠家的日產(chǎn)量增加了1L2萬只.

【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，一元一次方程的應用，根據(jù)已知得出正確方程組或方程是解

決本題的關鍵.

19.(2023春?全國?七年級專題練習)某醫(yī)藥超市銷售兩種品牌的消毒液，購買2瓶A品牌和3瓶8品

牌的消毒液共需160元；購買3瓶A品牌和1瓶B品牌的消毒液共需135元.

(1)求這兩種品牌消毒液的單價；

(2)某學校為了給教室進行充分消殺，準備花1050元購進A,3兩種品牌的消毒液，且要求A品牌的消毒液的

數(shù)量比B品牌多，請你給出有哪幾種購買方案？

【答案】⑴A品牌消毒液的單價是35元，8品牌消毒液的單價是30元

(2)購買方案有兩種，分別是：A品牌消毒液24瓶，購買8品牌消毒液7瓶；A品牌消毒液18瓶，購買B品

牌消毒液14瓶

【分析】(1)購買2瓶A品牌和3瓶B品牌共需160元；購買3瓶A品牌和1瓶2品牌共需135元，設A品牌

的單價是了元，B品牌的單價是y元，根據(jù)數(shù)量關系列方程，即可求解；

(2)由(1)中的單價可知，設購買A品牌消毒液。瓶，購買3品牌消毒液6瓶，且a>人>0,列出方

程，通過試值的方法即可求解.

【詳解】(1)解：設A品牌消毒液的單價是x元，8品牌消毒液的單價是y元，

[2x+3y=160|x=35

；?a工’I”，解方程組得，力，

[3尤+y=135[>=30

，A品牌消毒液的單價是35元，B品牌消毒液的單價是30元.

(2)解：設購買A品牌消毒液。瓶，購買8品牌消毒液匕瓶，且a>3>0,

...35a+30b=1050,即7。+66=210,

經(jīng)過計算，當6的值取1,2,3,4,5,6是。為分數(shù)，不滿足條件,

210—6b*24

.?.當6=7時,a=滿足條件;

7

當6=8時，。=210；6><8=*23；,不滿足條件；

777

216x9

當6=9時，a=0-=l|6=222不滿足條件；

777

山2210-6x10150?3丁、開口

當Z?=10時，a=-------------=--=21—,不炳足條件;

777

當b=14時,滿足條件;

當6=17時，a=210~6xl7=—=15|,則。＜人不滿足條件；

綜上所示，購買方案有兩種，分別是A品牌消毒液24瓶，購買B品牌消毒液7瓶；A品牌消毒液18瓶，購

買B品牌消毒液14瓶.

【點睛】本題主要考查二元一次方程組在實際中的運用，理解題目中的數(shù)量關系，列方程組，掌握解方程

組，根據(jù)實際情況考慮未知數(shù)的取值是解題的關鍵.

20.(2023春?浙江?七年級專題練習)為更好地開展陽光體育活動，學校準備到某體育用品店購進一批A

型籃球和B型籃球.已知A型籃球的標價比B型籃球的標價每個貴30元，購買8個A型籃球和10個8

型籃球共需1320元.

(1)A型籃球和B型籃球的標價各是多少？

(2)該體育用品店推出了以下優(yōu)惠方案：

方案一：所有商品按標價的九折銷售；

方案二：所有商品按標價購買，總費用超過2000元時，超過部分按七折收費.

學校計劃在該店購買20個A型籃球和30個8型籃球，選擇哪種方案更合算？請說明理由.

【答案】(DA型籃球的標價是90元，2型籃球的標價是60元；

(2)方案二更合算，理由見解析

【分析】(1)設A型籃球的標價是無元，8型籃球的標價是y元，根據(jù)“A型籃球的標價比B型籃球的標價

每個貴30元，購買8個A型籃球和10個2型籃球共需1320元”，列出方程組，即可求解；

(2)先求得按標價購買20個A型籃球和30個8型籃球的總費用為3600元，再分別求出選擇方案一的總

費用和選擇方案二的總費用并且對兩個結(jié)果比較大小，即可得到問題的答案.

【詳解】(1)解：設A型籃球的標價是x元，8型籃球的標價是丁元，根據(jù)題意得：

x-y=30

8x+10^=1320

答：A型籃球的標價是90元，3型籃球的標價是60元；

(2)解：方案二更合算，理由如下：

90x20+60*30=3600元，

即按標價購買20個A型籃球和30個2型籃球的總費用為3600元，

方案一：總費用為3600x0.9=3240元，

7

方案二：總費用為2000+—x(3600-2000)=3120元，

3240>3120,

???方案二更合算.

【點睛】本題主要考查了二元一次方程組的應用、方案選擇型問題的求解等知識與方法，正確的用代數(shù)式

表示購買A型籃球的總費用和購買B型籃球的總費用是解題的關鍵.

1.(2022春.湖南永州?七年級統(tǒng)考期中)某水果店需要把60個一樣的蘋果分裝到一些同樣的水果籃里，要

求每個水果籃要有4個或者5個蘋果，請問有()種不同的分法.

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】將裝4個蘋果和5個蘋果的水果籃的個數(shù)分別設出來，然后列出所有情況即可求解.

【詳解】解：設裝4個蘋果的水果籃的個數(shù)為x個，裝5個蘋果的水果籃的個數(shù)為y個，

；?4%+5y=60,

當x=0時，產(chǎn)12,滿足條件，

當x=5時，尸8,滿足條件，

當x=10時，產(chǎn)4,滿足條件，

當x=15時，產(chǎn)0,滿足條件，

???有4種不同的分法.

故選C.

【點睛】本題考查了二元一次方程的運用，解題的關鍵是根據(jù)等量關系列出方程，列出所有的情況.

2.（2022秋?八年級課時練習）為了更好做好防疫工作，七年級一班班委商議，用210元購買口罩和酒精

濕巾（兩種物品都買），其中口罩每包10元，酒精濕巾每包3元，在錢恰好用完的條件下，則購買的方案

種數(shù)為（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】D

【分析】設購進口罩x包，酒精濕巾y包，利用總價=單價x數(shù)量，即可得出關于x,y的二元一次方程，結(jié)

合x,y均為正整數(shù)，即可得出購買方案的種數(shù).

【詳解】解：設購進口罩尤包，酒精濕巾y包，

依題意得：10x+3y=210,

.?.尤=2011---3--y,

10

又y均為正整數(shù)，

tx=18f=15j尤=12i無=3

A1s或x或?”或ix:-"9八或ix;="6或:＜八，

|y=10[y=20jy=30fy=40fy=50fy=60

二小明共有6種購買方案.

故選D.

【點睛】本題考查了二元一次方程的應用，二元一次方程的正整數(shù)解問題，找準等量關系，正確列出二元

一次方程是解題的關鍵.

3.（2022春.江蘇宿遷?七年級統(tǒng)考期末）唐代初期數(shù)學家王孝通撰寫的《緝古算經(jīng)》一書中有這樣一道題：

“僅有三十鹿進舍，小舍容四鹿，大舍容六鹿，需舍幾何？”大意為：今有30只鹿進圈舍，小圈舍可以容納

4只鹿，大圈舍可以容納6只鹿，則需要大圈舍、小圈舍各多少間？依據(jù)題意，鹿進圈舍的方案共有（）

A.1種B.2種C.3種D.4種

【答案】C

【分析】設需要大圈舍x間，小圈舍y間，根據(jù)題意列出二元一次方程，并結(jié)合x、y都是非負整數(shù)解方程

即可.

【詳解】解：設需要大圈舍無間，小圈舍y間，根據(jù)題意列方程，

得6x+4y=30,

??\、y都是非負整數(shù),

答：鹿進圈舍的方案共有3種，即需要大圈舍5間或大圈舍1間，小圈舍6間或大圈舍3間，小圈舍3間.

故選：c.

【點睛】本題主要考查了二元一次方程（組）的應用，解題關鍵是正確列出二元一次方程，并根據(jù)題意求

出該方程的所有解.

4.（2022秋.黑龍江綏化?七年級期末）在抗擊疫情網(wǎng)絡知識競賽中，為獎勵成績突出的學生，學校計劃用

200元錢購買A、B、C三種獎品，A種每個10元，8種每個20元，C種每個30元，在C種獎品不超過

兩個且錢全部用完的情況下，有多少種購買方案（）

A.12種B.15種C.16種D.14種

【答案】D

【分析】有兩個等量關系：購買A種獎品錢數(shù)+購買8種獎品錢數(shù)+購買C種獎品錢數(shù)=200；C種獎品

個數(shù)為1或2個.設兩個未知數(shù)，得出二元一次方程，根據(jù)實際含義確定解.

【詳解】解:設購買A種獎品，"個，購買B種獎品〃個，

當C種獎品個數(shù)為1個時，

根據(jù)題意得10/77+20?+30=200,

整理得m+2n=17,

,：m,"都是正整數(shù),0<2?<17,

2,3,4,5,6,7,8；

當C種獎品個數(shù)為2個時，

根據(jù)題意得10m+20/1+60=200,

整理得m+2n=14,

,.加、w都是正整數(shù)，0<2"<14,

n=1,2,3,4,5,6；

...有8+6=14種購買方案.

故選：D.

【點睛】本題考查了二元一次方程的應用，解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合

適的等量關系列出方程，再求解.要注意題中未知數(shù)的取值必須符合實際意義.

5.（2022秋?全國?八年級專題練習）隨著“低碳生活，綠色出行”理念的普及，新能源汽車正逐步成為人們

喜愛的交通工具.某汽車公司計劃正好用190萬元購買A,8兩種型號的新能源汽車（兩種型號的汽車均

購買），其中A型汽車進價為20萬元/輛，3型汽車進價為30萬元/輛，則A,B型號兩種汽車一共最多購

買（）

A.9輛B.8輛C.7輛D.6輛

【答案】A

【分析】設購買A,B型號汽車分別購買m,n輛，列出二元一次方程，根據(jù)m,n的實際意義，分別求

出m,n的對應值，即可求解.

【詳解】設購買A,B型號汽車分別購買m,n輛，

???兩種型號的汽車均購買，

n>l,且m,n均為整數(shù)，

由題意得：20m+30n=190,即2m+3n=19,

l<n<5,

又；2m為偶數(shù),則3n為奇數(shù)，

；.n為奇數(shù),即：n=l,3,5,

當n=l時，m=8,

當n=3時，m=5,

當n=5時，m=2,

/.A,8型號兩種汽車一共最多購買9輛.

故選A.

【點睛】本題主要考查二元一次方程的實際應用，根據(jù)等量關系，列出方程，是解題的關鍵.

6.（2023春?全國?七年級專題練習）我校七年級某班為籌備籃球運動會，準備用265元購買兩種運動服，

其中甲種運動服20元/套，乙種運動服35元/套，在錢恰好用盡的條件下，有（）種購買方案.

A.1種B.2種C.3種D.4種

【答案】B

【分析】設甲種運動服買了x套，乙種買了y套，根據(jù)準備用265元購買兩種運動服，其中甲種運動服20

元/套，乙種運動服35元/套，在錢都用盡的條件下可列出方程，且根據(jù)x,y必需為正整數(shù)可求出解.

【詳解】解：設甲種運動服買了x套，乙種買了y套，

20x+35y=265,

/曰53-7y

得X二—

4

?.”，y必須為正整數(shù)，

.53-7y?53

??———>0,艮OVyV~,

???當y=3時，x=8

當y=7時，x=l.

所以有兩種方案.

故選：B.

【點睛】本題考查理解題意的能力，關鍵是根據(jù)題意列出二元一次方程，然后根據(jù)解為正整數(shù)確定值從而

得出結(jié)果.

7.（2023春?七年級課時練習）某校組織一批學生去研學，若單獨租用45座新能源客車若干輛，則有15

人沒有座位；若單獨租用35座新能源客車，則用車數(shù)量將增加2輛，并空出15個座位.現(xiàn)在要求同時租

用45座和35座兩種車型的新能源客車，既保證每人有座位，又保證每輛車不空座位，則需45座和35座

兩種車型的數(shù)量分別為（）

A.3輛、2輛B.2輛、3輛C.1輛、4輛D.4輛、1輛

【答案】B

【分析】設租用45座新能源客車x輛，根據(jù)參與研學師生人數(shù)不變，列出關于x的一元一次方程，解之即

可得出x的值，將其代入（45尤+15）中可求出參與研學師生人數(shù)，設需，"輛45座新能源客車，〃輛35座

新能源客車，根據(jù)“要保證每人有座位，又要保證每輛車不空座位”，即可得出關于m,n的二元一次方程，

結(jié)合，小〃均為整數(shù)，即可得出保證每人有座位，又保證每輛車不空座位.

【詳解】解：設租用45座新能源客車x輛，

根據(jù)題意得：45x+15=35（x+2）-15,

解得：x=4,

45x+15=45x4+15=195.

設需，"輛45座新能源客車，w輛35座新能源客車，

根據(jù)題意得：45m+35?=195,

.39-9m

..n=------.

7

又：優(yōu)，w均為整數(shù)，

4f-zn3=2,

.?.需2輛45座新能源客車，3輛35座新能源客車.

故選：B.

【點睛】本題考查二元一次方程的應用，一元一次方程的應用，找準等量關系，正確列出方程是解題的關

鍵.

8.（2022秋.安徽合肥?七年級統(tǒng)考期末）在某學校舉行的課間“桌面操”比賽中，為獎勵表現(xiàn)突出的班級，

學校計劃用260元錢購買A、B、C三種獎品，A種每個10元，8種每個20元，C種每個30元，在C種

獎品只能購買3個或4個且錢全部用完的情況下（注：每種方案中都有三種獎品），共有多少種購買方案

（）

A.12種B.13種C.14種D.15種

【答案】C

【分析】有兩個等量關系：購買A種獎品錢數(shù)+購買B種獎品錢數(shù)+購買C種獎品錢數(shù)=260；C種獎品個

數(shù)為3或4個，設兩個未知數(shù)，得出二元一次方程，根據(jù)實際含義確定解.

【詳解】設購買A種獎品，"個，購買B種獎品"個，

當C種獎品個數(shù)為3個時

根據(jù)題意得10根+20〃+3x30=260

整理得m+2n=Vl

機〃都是正整數(shù)，0<2〃<17

/.n=1,2,3,4,5,6,7,8

當C種獎品個數(shù)為4個時

根據(jù)題意得10"?+20〃+4x30=260

整理得m+2n=14

加，”都是正整數(shù)，0<2〃<14

〃=1,2,3,4,5,6

.?.有8+6=14種購買方案

故選：C.

【點睛】本題考查了二元一次方程的應用，解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合

適的等量關系列出方程，再求解.要注意題中未知數(shù)的取值必須符合實際意義.

9.（2022春?湖南湘西?七年級統(tǒng)考階段練習）將一張面值50元的人民幣，兌換成同時含有5元和2元的零

錢，兌換方案有種.

【答案】4

【分析】設可以兌換機張5元的零錢，”張2元的零錢，根據(jù)零錢的總和為50元，即可得出關于,〃，〃的

二元一次方程，結(jié)合如〃均為正整數(shù)，即可得出結(jié)論.

【詳解】解：設可以兌換機張5元的零錢，〃張2元的零錢，

依題意，得：5m+2n=5Q,

..777=10—n.

5

,.'m,〃均為正整數(shù)，

.?.當〃=5時，m=8；當月=10時，m=6；當w=15時，加=4；當"=20時，m=2.

.??共有4種兌換方案.

故答案為：4.

【點睛】本題考查了二元一次方程的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程是解題的關鍵.

10.（2023春?全國?七年級專題練習）隨著“低碳生活，綠色出行”理念的普及，新能源汽車正逐漸成為人們

喜愛的交通工具.某汽車銷售公司計劃購進一批新能源汽車嘗試進行銷售，已知A型汽車每輛的進價為25

萬元，8型汽車每輛的進價為10萬元.若該公司計劃正好用200萬元購進以上兩種型號的新能源汽車（兩

種型號的汽車均購買），則不同的購買方案共有種.

【答案】3

【分析】設購進A種型號的汽車為。輛，B種型號的汽車為。輛，根據(jù)題意列二元一次方程，根據(jù)整數(shù)解

即可求解；

【詳解】解：設購進A種型號的汽車為。輛，8種型號的汽車為b輛，根據(jù)題意得，

25,+10Z?=200,

整理得：5a+2b=40,

tz=8—-Z?,

??"/為正整數(shù)，

Q=4a=2

…，符合題意，

b=10

共有3種方案，

故答案為：3.

【點睛】本題考查了二元一次方程的應用，根據(jù)題意列出方程，根據(jù)整數(shù)解求解是解題的關鍵.

H.（2022秋?八年級課時練習）小明家準備裝修一套新房，若甲、乙兩家裝修公司合作需6周完成，裝修

費用為5.2萬元；若甲公司單獨做4周，剩下的由乙公司做，還需9周完成，此時裝修費用為4.8萬元.若

小明只選甲公司單獨完成，則他需要付給甲公司裝修費用萬元.

【答案】6

【分析】設甲公司的工作效率為x,乙公司的工作效率為y,根據(jù)題意列出方程組可求得兩個公司的工作效

率；再設甲一周的裝修費是根萬元，乙一周的裝修費是“萬元，根據(jù)題意列出