專(zhuān)題09相似三角形中的基本模型對(duì)角互補(bǔ)模型

相似三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位。相似三角形與其它知識(shí)點(diǎn)結(jié)合以綜合題的形式呈

現(xiàn)，其變化很多，難度大，是中考的常考題型。如果大家平時(shí)注重解題方法，熟練掌握基本解題模型，再

遇到該類(lèi)問(wèn)題就信心更足了。本專(zhuān)題就對(duì)角互補(bǔ)模型進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。

模型1.對(duì)角互補(bǔ)模型（相似模型）

【模型解讀】四邊形或多邊形構(gòu)成的幾何圖形中，相對(duì)的角互補(bǔ)。該題型常用到的輔助線(xiàn)主要是頂定點(diǎn)向

兩邊做垂線(xiàn)，從而證明兩個(gè)三角形相似.

【常見(jiàn)模型及結(jié)論】

1）對(duì)角互補(bǔ)相似1

條件：如圖，在放△ABC中，ZC=ZEOF=90°,點(diǎn)。是AB的中點(diǎn),

輔助線(xiàn)：過(guò)點(diǎn)。作ODLAC,垂足為D,過(guò)點(diǎn)。作垂足為X,

OPBHBC）

結(jié)論：@AODE-KOHF；②——=——（思路提示：——

OFACOFOH-OH-AC

2）對(duì)角互補(bǔ)相似2

條件：如圖，已知NAOBu/DCEugO。，ZBOC=a.

輔助線(xiàn)：作法1：如圖1,過(guò)點(diǎn)C作CfUOA,垂足為尸，過(guò)點(diǎn)C作CGLOB,垂足為G；

結(jié)論：①AECG-ADCF；②CE=CD-tana.（思路提示：—,CF=OG,在RtXCOG中，=—）

CDCFOG

輔助線(xiàn)：作法2：如圖2,過(guò)點(diǎn)C作CALOC,交。8于F；

,rrCFCF

結(jié)論：CFE?bCOD；②CE=CD?tana.（思路提示：==tana，在RtbOCF中，tana=---）

CDCOOC

3）對(duì)角互補(bǔ)相似3

條件：已知如圖，四邊形4BCD中，ZB+ZZ）=180°

輔助線(xiàn)：過(guò)點(diǎn)。作OELB4,垂足為E,過(guò)點(diǎn)。作ObLBC,垂足為B

結(jié)論：①△DAE*DCF；②ABC。四點(diǎn)共圓。

例1.（2022?黑龍江?雞西九年級(jí)期末）如圖，在放44BC中，ZABC=90°,AB=6,BC=8,在RtAMPN

中，/WPN=90。，點(diǎn)尸在AC上，P7W交AB于點(diǎn)E,PN交BC于點(diǎn)、F,當(dāng)P￡=2尸產(chǎn)時(shí)，AP的長(zhǎng)為（）

2425

A.4B.6C.—D.——

56

【答案】B

【分析】如圖作P3AB于。，PR3BC于R由△QPEEBRP凡推出"=四=2,可得PQ=2PR=2BQ,

PRPF

由PQ//BC,可得AQ：QP：AP=AB：BC：AC=3：4：5,設(shè)尸Q=4x,則AQ=3x,AP=5xfBQ=2xf

可得2x+3x=6,求出x即可解決問(wèn)題.

【詳解】解：如圖作P3A8于Q,于R.

^PQB=SQBR=^BRP=90°,El四邊形尸QBR是矩形，

aaQPR=90°=l3MPN,EHQPE=E]RPE

^EQPESBRPF,=—=2-SPQ=2PR=2BQ,

PRPF

^PQ//BC,^EAQP^ABC,

EL4。：QP-.AP=AB：BC：AC=3：4：5,

設(shè)尸。=4x,則AQ=3x,AP=5x,BQ=2x,

回2x+3x=6,Elx=-,0Ap=5x=6.故選：B.

5

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、矩形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添

加常用輔助線(xiàn)，構(gòu)造相似三角形解決問(wèn)題.

例2.(2023?上海普陀?九年級(jí)校考期中)如圖，在等腰直角0Age中，0ACB=90°,AC=BC,過(guò)點(diǎn)C作射

線(xiàn)CPEIAB,D為射線(xiàn)CP上一點(diǎn)，￡在邊BC上(不與8、C重合)且回D4E=45。，AC與交于點(diǎn)O.

(1)求證：aWEEHACB；(2)如果CD=CE,求證：CD2=CO?CA.

【答案】⑴見(jiàn)解析⑵見(jiàn)解析

【分析】(1)先由等腰直角A4BC得至胞BAC=SB=45。，從而結(jié)合SDAE=45。得到aDAC=a￡4B,再由平行線(xiàn)的

性質(zhì)得到0ACP=aBAC=SB=45。，從而得到“WHaAEB,然后由相似三角形的性質(zhì)得到AD：AE=AC：AB,

轉(zhuǎn)化為A。：AC^AE：AB,結(jié)合aDAE=^CAB=45。得證結(jié)果；

(2)結(jié)合a4CD=45。和0ACB=9O。，由C￡)=CE得至胞CDE=l3CEr>=22.5。，從而得到EIZMC=22.5。，然后得到

^OCD^DCA,最后得證結(jié)果.

⑴證明：甌ABC是等腰直角三角形，的R4C=SB=45。，

00￡>AE=45°,^\ZDAE=ZBAC=45°

0ADAC+ZCAE=ZBAE+ZCAE^\DAC=^\EABf

團(tuán)尸CHA3,團(tuán)朋CO二團(tuán)3Ao回5=45°,^lADCSBAEB,

AZ）ACADAE

團(tuán)-------,即----=---,回［3DAE=回_&1。=45°,0l2L4Z）￡0l2L4CB.

AEABACAB

⑵證明：團(tuán)她。。二45°,財(cái)C5=90°,加CDE+團(tuán)CE0=18O°9O°45°=45°,

0CZ）=CE,WCDE=^CED=22.5°,^ADE^ACB,回朋。氏朋C8=90°,

團(tuán)團(tuán)CA￡）=180°a4￡）砸CDE0ACD=18O°9O°22.5°45°=22.5°,回回CAD二團(tuán)CDE,

「OCCD

又回回。。0二回OCA,回回OCUZEOCA,0—=—,0C￡>2=CO*C4.

CDCA

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是通過(guò)線(xiàn)段的比例關(guān)

系得到三角形相似.

例3.（2022?江西?吉水縣九年級(jí)期末）【問(wèn)題情境】如圖①，直角三角板ABC中，0C=9O°,AC=BC,

將一個(gè)用足夠長(zhǎng)的細(xì)鐵絲制作的直角的頂點(diǎn)。放在直角三角板ABC的斜邊AB上，再將該直角繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn),

并使其兩邊分別與三角板的AC邊、BC邊交于P、。兩點(diǎn).

【問(wèn)題探究】（1）在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，①如圖2,當(dāng)時(shí)，線(xiàn)段￡>尸、。。的數(shù)量關(guān)系是（）

A、DP<DQB、DP=DQC、DP>DQD、無(wú)法確定

②如圖3,當(dāng)AO=2BD時(shí)，線(xiàn)段。尸、。。有何數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由.

③根據(jù)你對(duì)①、②的探究結(jié)果，試寫(xiě)出當(dāng)時(shí)，DP、DQ滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系為—（直接寫(xiě)出結(jié)

論，不必證明）。（2）當(dāng)AD=B。時(shí)，若AB=20,連接尸°,設(shè)回。尸。的面積為S,在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，S是否

存在最小值或最大值？若存在，求出最小值或最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】（1）①8;（2）DP=2DQ,理由見(jiàn)解析；（3）DP=nDQ；（2）存在，，最小值是5&,最大值為10,

理由見(jiàn)解析.

【分析】（1）①首先利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出她。/出回。。CASA）,即可得出答案；

②首先得出前PM0SDQN,則黑=器，求出財(cái)加?；豐BND,進(jìn)而得出答案；

③根據(jù)已知得出RtELDNPEIRtaDMQ,則——=—=-＞則AD=〃BD,求出即可；

DMDQAB

（2）當(dāng)。尸0AC時(shí)，龍最小，最小值是5a,此時(shí)，S有最小值；當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)4重合時(shí)，x最大，最大值

為10,S有最大值分別求出即可.

【詳解】解：（1）①。尸=。。，

理由：如圖2,連接CD,0AC=BC,0ABe是等腰直角三角形，

^AD=CD,EL4=EIZ）CQ,0Aoe=90°,

^S\ADP+SPDC=SCDQ+SPDC=90°,S3\ADP=SCDQ,

ZA=ZQCD

在財(cái)0P和EICDQ中，＜AD=CD,^ADP^CDQ(ASA),SDP=DQ；

NADP=ZCDQ

②DP=2DQ,理由：如圖3,過(guò)點(diǎn)。作。M0AC,DN^BC,垂足分別為：M,N,

MDDP

則I3DMP=E1￡WQ=9O°,'3EMDP=^NDQ,SSiDPMBEDQN,回。N二。。，

ADDM

^EAMD=SDNB=90°,EA=EB,S^AMDSEBND,@BD=DN,

DPAD2BD

回---=----------=2,^\DP=2DQ；

DQBDBD

③如圖1,過(guò)。點(diǎn)作0M0cB于點(diǎn)M,作EW0AC于點(diǎn)N,

團(tuán)團(tuán)C=[3POQ=90°,回0A0P+團(tuán)QDB=90°,

可得：回MDN=90°,WQDM=^\NDP,

又團(tuán)回團(tuán)Rt配WPURt團(tuán)DMQ,團(tuán)0_="，

DMDQ

回由（1）知，^ADN^IBDM,回

DMDQDB

^AD^nBD,回空=網(wǎng)=處=小

DQCNBD

回。尸與。。滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系式為：DP=nDQ；故答案為：DP=nDQ；

J_\_

(2)存在，設(shè)OQ=x,由(1)①知，DP=x,05=2X.X=2^,

EL4B=20,fflAC=BC=10^/2,AD=BD=10,

當(dāng)OR3AC時(shí)，x最小，最小值是50,止匕時(shí)，S有最小值，S最產(chǎn)三乂（50）2=25,

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，x最大，最大值為10,此時(shí)，S有最大值，S最大=5x102=50.

圖1圖2圖3

【點(diǎn)睛】此題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)以及求最值等知識(shí)，熟練利用

相似三角形的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)邊關(guān)系是解題關(guān)鍵.

例4.（2023年廣東中考一模數(shù)學(xué)試題）（1）【探究發(fā)現(xiàn)】如圖1,正方形ABCD的對(duì)角線(xiàn)相交于點(diǎn)。，在

正方形A'B'C'O繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，邊A'O與邊交于點(diǎn)邊CO與邊CD交于點(diǎn)N.證明：

AOMC”QND；

（2）【類(lèi)比遷移】如圖2,矩形的對(duì)角線(xiàn)相交于點(diǎn)。，且AB=6,AD=U,在矩形AB'C'O,繞點(diǎn)

。旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，邊A'O與邊BC交于點(diǎn)邊CO與邊CD交于點(diǎn)、N.若DN=T,求CM的長(zhǎng)；

（3）【拓展應(yīng)用】如圖3,四邊形ABC。和四邊形AB'C'O都是平行四邊形，且？A9C1ADC,AB=3,

BC=36，△BCD是直角三角形，在YAB'C'O繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，邊AO與邊BC交于點(diǎn)M,邊C'O

與邊C￡＞交于點(diǎn)M當(dāng)YABCD與YA'3'C'O重疊部分的面積是YABCD的面積的:時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出竊V的

長(zhǎng).

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）CM=5（3）ON=2

4

【分析】（D根據(jù)正方形的性質(zhì)證明三角形全等即可；

（2）過(guò)點(diǎn)。作AB的平行線(xiàn)交AD于點(diǎn)E、交BC于點(diǎn)尸，過(guò)點(diǎn)N作AB垂線(xiàn)交PE于點(diǎn)。，構(gòu)造相似三角

形APOMS^QND,對(duì)應(yīng)邊成比例求尸河，然后根C0=CP-R0計(jì)算即可；

（3）過(guò)點(diǎn)。作BC的垂線(xiàn)交8C于點(diǎn)區(qū)用勾股定理求出讓AOMHSAOND、ABOHSRCD,結(jié)

合YABCD與YAB'C'O重疊部分的面積是YABCD的面積的I，設(shè)MH=根列出方程求出加，根據(jù)勾股定

理求出ON即可.

【詳解】（1）證明：回四邊形ABCD是正方形,

:.ZDOC=90°,ZOCM=ZODN=45°,OC=OD,

由旋轉(zhuǎn)可知：？。次490?,\?C也41DOC90?,

\ICOA?CON?DOC?CON,:.ZMOC=ZNOD,\&OMC絲QND；

(2)解：如圖2,過(guò)點(diǎn)。作AB的平行線(xiàn)交AD于點(diǎn)E、交BC于點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)N作AB垂線(xiàn)交PE于點(diǎn)Q,

A'

圖2

回四邊形ABCD和四邊形AEC'O都是矩形，AB=6,AD=12,DN=l,

ZOPM=ZOQN=AMON=90°,EQ=DN=1,

\OE=OP=-AB=3,NQ=CP=AE=BP=-BC=6,

22

ZPOM+ZQON=ZQON+ZQNO=90°,QO=OE-EQ=3-1=2,

OPPM3PM

ZPOM=ZQNO,\4POMs3D,\—,\|=

:.PM=L\CM=CP-PM=6-1=5；

(3)解：如圖，過(guò)點(diǎn)。作BC的垂線(xiàn)交BC于點(diǎn)H,

圖3

設(shè)ZD5C=e,貝iJ?ADCa+90?孝IOC?,

設(shè)乙BOM=0,則？NOD180?6-(a+90鞍=90-a-6,

\1OMHa+b,?OND90?1NOD90?(90?a-b)=a+b,\1OMH1OND,

Q?OHM?ODN90?,\^OMH^^OND,

■.AB=CD=3,BC=3下,四邊形ABC。和四邊形AB'C'O都是平行四邊形，是直角三角形,

\BD=NBC2-CD?="5-9=6,:.OB=OD=3,

Q?OBH?CBD,?OHB1CDB90?,\^BOH^^BCD,

\OH_BHOH_1

\-------------,\------------,\DH—lOrL,

CDBDBH2

-OH2+BH2=OB2,\OH2+4OH2=,\6>//=—,\BH=2OH=^~

55

設(shè)MH=m,財(cái)BM=BH-MH=￡^~-m,

5

3A/5

入0MHs"'器=瑞232m,\ND=y[5m,

3而

?.七M(jìn)CO與YA?C,。重疊部分的面積是YABCO的面積的!’平行四邊形對(duì)角線(xiàn)平分平行四邊形的面積'

\SvBOM?SVODN=gvBCD，'?籌加?仙后??=1■倉(cāng)*3?6,

\；n=—,\ND=y[5m=~,\ON=y/OD2+DN2=J9+—=—.

204V164

【點(diǎn)睛】本題是四邊形的綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、平行四邊形、矩形、正方

形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)與判定是解題關(guān)鍵.

例5.（2021?遼寧朝陽(yáng),中考真題）如圖，在RhABC中，AC=BC,0ACB=9O。，點(diǎn)。在線(xiàn)段AB上（點(diǎn)。

不與點(diǎn)A,2重合），且。8=左。4,點(diǎn)M是AC延長(zhǎng)線(xiàn)上的一點(diǎn)，作射線(xiàn)OM,將射線(xiàn)繞點(diǎn)。逆時(shí)針

旋轉(zhuǎn)90。，交射線(xiàn)CB于點(diǎn)N.（1）如圖1,當(dāng)％=1時(shí)，判斷線(xiàn)段與ON的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由;

（2）如圖2,當(dāng)％>1時(shí)，判斷線(xiàn)段OM與ON的數(shù)量關(guān)系（用含左的式子表示），并證明；

（3）點(diǎn)尸在射線(xiàn)BC上，若SBON=15。，PN=kAM（fel）,且要〈心二1,請(qǐng)直接寫(xiě)出裝的值（用含

AC2PC

k的式子表示）.

圖1圖2備用圖

【答案】（1）OM=ON,見(jiàn)解析；（2）ON=k?OM,見(jiàn)解析；（3）世=1+瓜

PCk-\

【分析】（1）作。OEIAM,OE0BC,證明ElDOMHaEON；（2）作。。0AM,OES\BC,證明OOOMEBEON；

（3）設(shè)AC=BC=d解RZ0EON和斜EAOM,用含左的代數(shù)式分別表示NC,PN,再利用比例的性質(zhì)可得

答案.

如圖1,

圖1

作OD0AM于。，OE0C8于E,

團(tuán)媯00=回MDOnlilCE1。：回0硒=90°,回回。OE=90°,

^\AC=BC,0AC3=9O°,回她=朋3。=45°,

在R&O。中，OD=OA.sinZA=—OA^同理：。石=立

OB,

22

回04=08,回。。=0E,甌。OE=90°,甌。。M+團(tuán)MOE=90°,

釀MON=90°,團(tuán)回EON+0MOE=9O°,^DOM=^\EON,

在Rf^DOM和RaEON中，

ZMDO=ZNEO

OD=OE，^\DOM^\EON(ASA),團(tuán)OM=ON.

ZDOM=/EON

(2)如圖2,

圖2

作OZM4M于。，OE03C于E,

后6ODOA1

由（1）知：OD=，OA,0E=*OB,團(tuán)---=---

22OEOBk

由（1）知：^\DOM=^\EON,回帥0=固陀0=90°,^\DOM^\EON,

OMOD

團(tuán)——二—,更ON=k，OM.

ONOEk

(3)如圖3,

設(shè)AC=8C=〃，^\OB=^OA,

k\I?k

^\OB—J2?-----a,0A=J2?------a,國(guó)OE=——OB------a,

“k+l7k+12左+1

OE「「k

團(tuán).=0ABC一回3ON=45°-15°=30°,團(tuán)￡7V=---------=73OE=?——a,

tanANk+1

F>11k

回CE=O￡>="OA=——a,⑦NC=CE+EN=——〃+君?——a,

2k+1k+1k+l

由（2）矢口：=—^\DOM^\EON,回她MO=[W=30。

ONOBk

AM1OMAM,

團(tuán)——=-,0——=——,甌POAHMOM,釀P=0A=45°,

PNkONPN

kkk

^\PE=OE=-----a,出PN=PE+EN=------a+J3?------a,

k+lk+lk+l

設(shè)AO=OC=x,0￡>M=y/3x,由AO+OM=AC+CM得，（如+1）x=AC+CM,

5^-1（AC+CM）（AC+^^-AC）=；AC,歐>1

2222

1上A卜

-----ci+A/3------a

NC_1+亞.PNPC+NC生k+6k

0------k+lk+l+1=

PNk+y/3k''NC~NC-1+出k'

ka+A/3卜aNC

k+lk+l

PCkTNC1+瓜

._r-，n回——=

NC1+?PCk-1

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等和相似，以及解直角三角形，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作。。回AC,OEHBC；本

題的難點(diǎn)是條件整得出QL

例6.（2023浙江中考二模）（1）特例感知：如圖1,已知在R/ABC中，0BAC=90°,AB=AC,取BC

邊上中點(diǎn)，連接A2點(diǎn)￡為邊上一點(diǎn)，連接DE,作DfBDE交AC于點(diǎn)R求證：BE=AF；

（2）探索發(fā)現(xiàn)：如圖2,已知在R/AABC中，0BAC=90°,AB=AC=3,取BC邊上中點(diǎn)，連接AD,點(diǎn)

E為BA延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，AE=1,連接。E,作。相。E交AC延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F,求AF的長(zhǎng)；

（3）類(lèi)比遷移：如圖3,已知在AABC中，0BAC=120°,AB=AC=4,取BC邊上中點(diǎn)。，連接A。，點(diǎn)

E為射線(xiàn)BA上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、點(diǎn)B重合），連接DE,將射線(xiàn)DE繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30。交射線(xiàn)CA于點(diǎn)

F,當(dāng)AE=4AF時(shí)，求AF的長(zhǎng).

【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)4；(3)立且或-3+而或1±巫

222

【分析】(1)證明加?！?奶。尸(ASA),根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到BE=AF；

(2)方法同(1),利用全等三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題；

(3)證明aEBDfflaDCF,推出要="，設(shè)AF=m,貝i」AE=4m,分三種情形，分別構(gòu)建方程求解即可.

CDCF

【詳解】(1)證明：如圖1中，

回團(tuán)48。中，回&1C=9O°,AB=AC,是高，

^BD=CD=AD=-BC,回3=團(tuán)。=45°,^\BAD=^\CAD=-0BAC=45°,

22

團(tuán)OF30E,^\EDF=^\ADB=90°f回團(tuán)3DE=SAO尸=90°-0AOE,

ZBDE=ZADF

在△BDE和△A。/中，JBD=AD,^\BDE^ADF(ASA),^\BE=AF；

ZB=ZCAD=45°

(2)解：如圖2中,

由(1)知，BD=CD=AD,回3=團(tuán)。=回3A￡＞=團(tuán)CAO=45°,

釀E￡＞尸=媯。3=90°,回團(tuán)3。6=媯。尸=9O°+0A0E,

ZBDE=ZADF

在1和△A0尸中，＜BD=AD,^BDE^ADF(ASA),0BE=AF,

NB=ZCAD=45°

0AB=3,AE=1,SBE=AB+AE=4,EL4F=4；

(3)解:如圖3中，

0AB=AC,BD=CD,0AD0BC,0BAD=0CAD=1aBAC=60",回BD=C￡)=A2?s加60°=26,

0AE=4AF,回可以假設(shè)人尸=加，貝(JA石=4m，BE=4-4m,CF=4-m,

團(tuán)回EDC=0EDF+0FDC=SB+SBED,^EDF=回8=30°,

BEBD

mFDC=^BED,團(tuán)團(tuán)3=回。，^EBD^\DCF,回一=一

CDCF

回上普=也，整理得，，"2_5/"+1=0,解得三包或二包（舍棄）,

2V34-m22

經(jīng)檢驗(yàn)，機(jī)=正囪是分式方程的解.

2

當(dāng)點(diǎn)尸在CA的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，CF=4+m,由△￡3。釀可得——=——，

CDCF

回與”=2叵，解得，利=士巫或土巫（舍棄），經(jīng)檢驗(yàn)，m=士巫是分式方程的解.

2434+根222

當(dāng)點(diǎn)E在射線(xiàn)BA上時(shí)，BE=4+4m,

「BEBD4+4/7?2百

^EBD^DCF,團(tuán)---=---，回m---7=~=-------

CDCF2A/34—m

解得’嚕y或三普（舍棄）,

經(jīng)檢驗(yàn)，加=1±巫是分式方程的解.

2

綜上所述，滿(mǎn)足條件的AF的值為匕巨或-3+W或21sl.

222

【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰直

角三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵,

學(xué)會(huì)用分類(lèi)討論的思想思考問(wèn)題，屬于中考?？碱}型.

課后專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練

1.（2023?山西臨汾?統(tǒng)考二模）在菱形ABC。中，ABC=600,AC=6,對(duì)角線(xiàn)AC,應(yīng)）交于點(diǎn)。，E,F

分別是AB,AD邊上的點(diǎn)，且—EC尸=60。，BE=2,CF與BD交于點(diǎn)G,則空的值為.

【答案】7

4

【分析】由菱形的性質(zhì)及NECF=60°可證AAbMABCHASA),得AF=3E=2,FD=4；由得

T~VT-!T--1Z--XG

NFDG=NCBG,ZDFG=ZBCG,于是ADFG?ABCG,可得一=—=-,進(jìn)而求得答案.

BCBG3

【詳解】^\ZECF=ZACB=60°

0?ECF?ACE?ACB?ACE?NFCA=/ECB

回四邊形ABC。是菱形，^\AD//BC,?FACBAD

0ZBAD=180°-ZABC=120°0?FAC-1BAD60?SZFAC=ZEBC,

2

X?AC=BC0AACF=ABCE（ASA）..\AF=BE=2,FD=4

^\AD//BC^\ZFDG=ZCBGf/DFG=/BCG

DFDG2

回入DFG~aCG.:.

BCBG3

設(shè)DG=2x,BG=3x貝!jBD=5x,OB=—x,OG=BG—OB=-x

22

1

OG_2XI;故答案為：：

DG2x4

【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，利用全等及相似得

到線(xiàn)段間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

2.（2023?江蘇揚(yáng)州?八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知AABC是等邊三角形,D是AC的中點(diǎn),F為AB邊上一

CE

點(diǎn)，且AF=2BF,E為射線(xiàn)BC上一點(diǎn)MEDF=120。,則育二—.

L/U

【答案】|

【分析】過(guò)D作DG回BC交AB于G,則DG為AABC的中位線(xiàn)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得回ACB=0ABC=60。,

由DGEIBC,得I3FGD=12O°,fflGDC=120°,AAGD為等邊三角形，而IBEDF=120°,得EIGDF=E1CDE,易證得

△GDFEECDE,所以FG：CE=DG：DC,即CE：DC=FG：DG=FG：AG,設(shè)BF=x,AF=2x,則AB=3x,AG

1.5x,FG=1.5x-x=0.5x,即可得到CE：CD的比值.

【詳解】解：過(guò)D作DGEIBC交AB于G,如圖,

B

EID是AC的中點(diǎn)，回DG為AABC的中位線(xiàn),

EBABC是等邊三角形，EBACB=E1ABC=6O。，EEDCE=120°,

又回DGEIBC,33FGD=120°,fflGDC=120°,△AGD為等邊三角形,

E0EDF=12O°,EEGDF=0CDE,RHGDFRBCDE,

EFG：CE=DG：CD,即CE：CD=FG：DG,而DG=AG=BG,AF=2BF,

設(shè)BF=x,AF=2x,貝AB=3x,AG=1.5x,FG=1.5x-x=0.5x,

0CE：CD=FG：DG=FG：AG=0.5x：1.5x=l：3.故答案為;.

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形三邊相等；三個(gè)角都等于60。；也考查了相似三角形

的判定與性質(zhì)，熟練應(yīng)用各性質(zhì)進(jìn)行推理計(jì)算是解題關(guān)鍵.

3.（2023青島版九年級(jí)月考）如圖，在加AABC中，ZACB=90\NA8C=30。，直角/MON的頂點(diǎn)。在

QA1OP

ABJL,00、ON分別交C4、于點(diǎn)P、Q,NMON繞點(diǎn)。任意旋轉(zhuǎn).當(dāng)二=彳時(shí)，=的值為_(kāi)_____；

（JD2

）i

當(dāng)r梁A=上時(shí)，仄OP不為_(kāi)_____?（用含〃的式子表示）

OBn

【答案】73，73

2n

【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)。作OHEIAC于H,OG0BC于G,由條件可以表示出H。、GO的值，通過(guò)證明EIPHOEHQGO

由相似三角形的性質(zhì)就可以求出結(jié)論.

解答：解：過(guò)點(diǎn)。作0HE1AC于H,OGOBC于G,隨OHP=I30GQ=90°.

OHOP

EEIHOG=90o,fflHOP=EGOQ,fflPHOEHQGO,0——=——.

GOOQ

?A'll1

0__=_,設(shè)OA=x,則OB=2x,且E1ABC=3O°,EAH=-x,OG=x.

22

在Rtl3AH0中，由勾股定理，得OH=g,134窕OP,0—=^.故答案為烏

2——=——0022

s.OQ"

4.(2023山東中考模擬)如圖，矩形ABC。中，0ACB=3O0,將一塊直角三角板的直角頂點(diǎn)尸放在兩對(duì)角

線(xiàn)AC,BD的交點(diǎn)處，以點(diǎn)尸為旋轉(zhuǎn)中心轉(zhuǎn)動(dòng)三角板，并保證三角板的兩直角邊分別于邊AB,2c所在的

直線(xiàn)相交，交點(diǎn)分別為區(qū)F.

(1)當(dāng)產(chǎn)國(guó)42,P/迥3c時(shí)，如圖1,則一的值為；

PF

PF

(2)現(xiàn)將三角板繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a(0。＜。＜60。)角，如圖2,求力的值；(3)在(2)的基礎(chǔ)上繼續(xù)

PF

PF

旋轉(zhuǎn)，當(dāng)60。＜仁＜90。，且使AP：PC=1：2時(shí)，如圖3,二的值是否變化？證明你的結(jié)論.

PF

PFl

【答案】(1)百；(2)—=73；(3)變化.證明見(jiàn)解析.

PF

PF

【分析】(1)證明尸硼團(tuán)PCF,得PE=CF；在放△尸b中，解直角三角形求得一的值即可；

PF

PF

(2)如答圖1所示，作輔助線(xiàn)，構(gòu)造直角三角形，證明況團(tuán)PAE并利用(1)的結(jié)論，求得力的值;

PF

(3)如答圖2所示，作輔助線(xiàn)，構(gòu)造直角三角形，首先證明［型PCN,求得必="；然后證明

PN2

LPMI^PNF,從而由落pp=黑PM求得器PF的值.與(1)(2)問(wèn)相比較，P笠F的值發(fā)生了變化.

PFPNPFPF

【詳解】(1)回矩形ABCZ),0ABEIBC,PA=PC.

EP￡SAB,BC5\AB,^PESBC.^iAPE^PCF.

EPflSBC,ABSBC,^PF3\AB^PAE^\CPF.

團(tuán)在AAPE與APCP中，^\PAE=SCPF,PA=PC,SAPE=SPCF,

^APESSPCF(ASA)SPE=CF.

PFPFA/3PEr-

在R/APCF中，——=——=tan30=——,1n3—=v3；

CFPE3PF

(2)如答圖1,過(guò)點(diǎn)P作PM3AB于點(diǎn)M,PN3BC于點(diǎn)N,則PA阻PN.

答圖1

SPMSPN,PES\PF,^S\EPM=^FPN.

又回團(tuán)「〃￡=國(guó)尸*=90°,SSiPMEaSiPNF.

回黑=3由⑴知，箕=2曜="

(3)變化.證明如下:

如答圖2,過(guò)點(diǎn)尸作PM3AB于點(diǎn)M,PN02C于點(diǎn)N,貝！］PM3PN,PMSBC,PN^AB.

11PM3PN,PE^\PF,^\EPM=^\FPN.

又加尸ME二回PN月=90°,^\PME^\PNF.

陛=四=電雁的值發(fā)生變化.

PFPN2PF

5.(2022秋?河南鶴壁?九年級(jí)統(tǒng)考期末)已知在RtAABC中，/54C=90。，AB=2,AC=4,D為BC邊

上的一點(diǎn).過(guò)點(diǎn)。作射線(xiàn)DEI.OF，分別交邊AB、AC于點(diǎn)E、F.

DE

(1)當(dāng)。為3C的中點(diǎn)，且。石工AB、OblAC時(shí)，如圖1,——=______：

DF

DF

(2)若。為8C的中點(diǎn)，將/￡/*繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)到圖2位置時(shí)，—=_______；

DF

(3)若改變點(diǎn)。到圖3的位置，且胃=”時(shí)，求器的值.

BDnDF

E,

D圖3C

圖2

【答案】（1）2；（2）2；（3）—

m

【分析】（1）由。為BC的中點(diǎn)，OEAC,/BAC=90。,結(jié)合三角形的中位線(xiàn)的性質(zhì)得到

DE=2,DF=1,從而可得答案；（2）如圖，過(guò)。作DKLAB于K,過(guò)。作AC于。，結(jié)合（1）求解

DK,DQ,再證明AKDESAODF,利用相似三角形的性質(zhì)可得答案；（3）過(guò)點(diǎn)。分別作DMLAB于點(diǎn)M,

DFDM

DN1AC于點(diǎn)N,證明ADMESADN/,可得—=——，再證明"從①”△"c,利用相似三角形的性質(zhì)

DFDN

求解D%同法求解。N,從而可得答案.

【詳解】解：（1）為BC的中點(diǎn)，DELAB,DFLAC,ABAC=90°,

DE//AC,DF/MB,.-.DE=；AC,DF=；AB,

DE不AC2

AB=2,AC=4,?-TTZ7=_j-----=7=2,故答案為：2.

DF11

(2)如圖，過(guò)。作DKLAB于K,過(guò)。作。QLAC于Q,.?.NDKE=N。。尸=90。,

???ABAC=90°,「.ZKDQ=ZKDE+ZEDQ=90°,

?/ZEDF=ZEDQ+ZQDF=90°,/.ZKDE=ZQDF,:.AKDE^^QDF,

?二第二空，由(1)同理可得：DK=2,DQ=1,/.—=2,故答案為：2.

DFDQ

（3）過(guò)點(diǎn)。分別作。于點(diǎn)M,DN，AC于點(diǎn)、N,

0ZR4C=9O°,團(tuán)ZMDN=900.

國(guó)DE1.DF，0^MDE+AEDF=ZNDF+ZEDF=90°.

團(tuán)ZMDE—XNDF.回公DMEsADNF.回---=----.

DFDN

0ZBAC=90°,DM_LAB.DMIIAC.------=——.

ACBC

CDmBC_m+nDMn4〃

0-----二—,回一.團(tuán)AC=4,LLI—^\DM=-------

BDnBDn4m+nm+n

4n

2mDEDMIn

同理可得:DN=回--------_m+n.

m+nDFDN2mm

m+n

【點(diǎn)睛】本題考查的是矩形的性質(zhì)，三角形中位線(xiàn)的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握以上知

識(shí)是解題的關(guān)鍵.

6.（2023?浙江臺(tái)州?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）【問(wèn)題情境】如圖①，在RtZXABC中，ZACB=90°,AC^BC,

點(diǎn)。為AB中點(diǎn)，連結(jié)CD,點(diǎn)E為CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E且垂直于DE的直線(xiàn)交AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)尸.

易知BE與CF的數(shù)量關(guān)系.

【探索發(fā)現(xiàn)】如圖②，在RtZXABC中，ZACB=90°,AC=BC,點(diǎn)。為AB中點(diǎn)，連結(jié)C。，點(diǎn)E為CB

的延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E且垂直于OE的直線(xiàn)交AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)尸.【問(wèn)題情境】中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)

說(shuō)明理由.【類(lèi)比遷移】如圖③，在等邊“LBC中，AB=4,點(diǎn)。是AB中點(diǎn)，點(diǎn)E是射線(xiàn)AC上一點(diǎn)（不

與點(diǎn)A、C重合），將射線(xiàn)DE繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。交8C于點(diǎn)尸.當(dāng)CF=2CE時(shí)，CE=.

【答案】問(wèn)題情境：BE=CF；探索發(fā)現(xiàn)：成立，見(jiàn)解析；類(lèi)比遷移：3-石或-1+S

【分析】問(wèn)題情境：根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，證明即可得3E=b；

探索發(fā)現(xiàn)：與圖①類(lèi)似，證明△ADE三△CDF即可；類(lèi)比遷移：根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到回AWB=60。,

求得團(tuán)BDFWAED,設(shè)CE=x,則CF=2x,分兩種情況討論：點(diǎn)E在線(xiàn)段AC上，點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線(xiàn)上，證明

△ADE~ABFD,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】問(wèn)題情境：BE=CF,證明如下：

團(tuán)在Rt^ABC中，ZACB=9Q°,AC=BC,點(diǎn)。為AB中點(diǎn)，

0CD1AB,CD=-AB=BD=AD0ZDBE=NDCF=45°

2

EDE