鄲都區(qū)2023-2024學(xué)年度上期期中考試

局一數(shù)學(xué)

說(shuō)明：

1.本卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分，滿分150分，時(shí)間120分鐘.

2.所有試題均在答題卡相應(yīng)的區(qū)域內(nèi)作答.

第I卷（選擇題共60分）

一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是最符合題目要求的.）

1.直線龍=°的傾斜角為（）

A.0°B.90°C,180°D.不存在

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)直線與坐標(biāo)軸垂直可得傾斜角.

【詳解】因?yàn)橹本€光=0與X軸垂直，

所以直線X=0的傾斜角為90。.

故選：B

2.一支野外科學(xué)考察隊(duì)有男隊(duì)員56人，女隊(duì)員42人，按性別進(jìn)行分層，用分層隨機(jī)抽樣的方法從全體隊(duì)

員中抽出一個(gè)容量為28的樣本，如果樣本按比例分配，那么下面說(shuō)法正確的為（）

A.男隊(duì)員應(yīng)抽取12人B.男隊(duì)員應(yīng)抽取16人

C.女隊(duì)員應(yīng)抽取6人D.女隊(duì)員應(yīng)抽取14人

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)分層抽樣分別計(jì)算抽取的男女隊(duì)員人數(shù)即可得解.

28222

【詳解】抽樣比為------=—,故男隊(duì)員應(yīng)抽取56x—=16人，女隊(duì)員應(yīng)抽取42x-=12人，

56+42777

故選：B

3.平均數(shù)和中位數(shù)都描述了數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，它們的大小關(guān)系和數(shù)據(jù)分布的形態(tài)有關(guān)，在下圖兩種分布形

態(tài)中，仇c,d分別對(duì)應(yīng)平均數(shù)和中位數(shù)之一，則可能的對(duì)應(yīng)關(guān)系是（）

A.。為中位數(shù)，b為平均數(shù),c為平均數(shù)，d為中位數(shù)

B.。為平均數(shù)，b為中位數(shù),c為平均數(shù)，d為中位數(shù)

C.。為中位數(shù)，b為平均數(shù),c為中位數(shù)，d為平均數(shù)

D.〃為平均數(shù)，b為中位數(shù),c為中位數(shù)，d為平均數(shù)

【答案】A

【解析】

【分析】在頻率分布直方圖中，中位數(shù)兩側(cè)小矩形的面積相等，平均數(shù)是每組頻率的中間值乘頻數(shù)再相加

之和，由此能求出結(jié)果.

【詳解】解：在頻率分布直方圖中，

中位數(shù)兩側(cè)小矩形的面積相等，

平均數(shù)是每組頻率的中間值乘頻數(shù)再相加之和，

結(jié)合兩個(gè)頻率分布直方圖得：

。為中位數(shù)，b為平均數(shù)，c為平均數(shù)，d為中位數(shù).

故選：A.

4.直線/過(guò)點(diǎn)4（2,3）,則直線/與x軸、V軸的正半軸圍成的三角形的面積最小值為（）

A.9B.12C.18D.24

【答案】B

【解析】

【分析】利用截距式設(shè)直線/的方程得到2〃+3a=ab,然后利用基本不等式求最值即可.

【詳解】設(shè)直線/：-+2=1,

ab

23

因?yàn)橹本€/過(guò)點(diǎn)A（2,3）,所以一+—=1,即2〃+3a=H,

ab

所以2b+3a=ab22j243a，解得而》24,當(dāng)且僅當(dāng)2/?=3a,即a=4,5=6時(shí)等號(hào)成立,

則直線/與x軸、V軸的正半軸圍城的三角形面積

2

故選：B.

5.四名同學(xué)各擲骰子5次，分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，根據(jù)四名同學(xué)各自的統(tǒng)計(jì)結(jié)果的數(shù)字特征，可

以判斷出一定沒(méi)有出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6的是（）

A.中位數(shù)為3,眾數(shù)為3B.平均數(shù)為3,中位數(shù)為3

C.中位數(shù)為2,極差為2D,平均數(shù)為2,標(biāo)準(zhǔn)差為2

【答案】C

【解析】

【分析】利用特例說(shuō)明A、B,利用標(biāo)準(zhǔn)差公式判斷D,根據(jù)極差說(shuō)明C中最大數(shù)不超過(guò)4,即可判斷.

【詳解】對(duì)于A：當(dāng)擲骰子出現(xiàn)的結(jié)果為1,2,3,3,6時(shí)，滿足中位數(shù)為3,眾數(shù)為3,所以A不可以

判斷；

對(duì)于B：當(dāng)擲骰子出現(xiàn)的結(jié)果為1,1,3,4,6時(shí)，滿足平均數(shù)為3,中位數(shù)為3,可以出現(xiàn)點(diǎn)6,所以B

不能判斷；

對(duì)于C：因?yàn)橹形粩?shù)為2,極差為2,則最大數(shù)不超過(guò)4,故一定不會(huì)出現(xiàn)6,故C正確；

對(duì)于D,若平均數(shù)為2,且出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為6,則其余4個(gè)數(shù)的和為4,即均為1，

所以其標(biāo)準(zhǔn)差為=2，故D錯(cuò)誤;

故選：C.

6.為慶祝中國(guó)共產(chǎn)主義青年團(tuán)成立100周年，某校甲、乙兩個(gè)班共70人（甲班40人，乙班30人）參加了

共產(chǎn)主義青年團(tuán)知識(shí)競(jìng)賽，甲班的平均成績(jī)?yōu)?7分，方差為123,乙班的平均成績(jī)?yōu)?0分，方差為130,

則甲、乙兩班全部同學(xué)的成績(jī)的方差為（）

A.74B.129C.136D.138

【答案】D

【解析】

【分析】直接由總樣本方差公式計(jì)算求解即可.

【詳解】設(shè)甲班平均成績(jī)?yōu)椋ǎ讲顬閟；,乙班平均成績(jī)?yōu)檠?，方差?/p>

總體平均成績(jī)?yōu)閃，方差為1，

40x77+30x70

由題知1==74,

70

則由總樣本方差公式/

可得甲，乙兩班全部同學(xué)的成績(jī)的方差為

《卜。[123+（77-74）1+30^130+（70-74）2]j==138.

故選：D

7.小趙同學(xué)準(zhǔn)備了四個(gè)游戲，四個(gè)游戲中的不透明的盒子中均裝有3個(gè)白球和2個(gè)紅球(小球除顏色外都

相同)，游戲規(guī)則如下表所示：

游戲1游戲2游戲3游戲4

取球一次性取一個(gè)，取一次性取一個(gè)，不放回一次性取一個(gè)，有放回

一次性取兩個(gè)，取一次

規(guī)則一次地取兩次地取兩次

獲勝取到紅球一小趙勝兩個(gè)球不同色T小趙勝兩個(gè)球不同色T小趙勝兩個(gè)球不同色T小趙勝

規(guī)則取到白球一小趙敗兩個(gè)球同色一小趙敗兩個(gè)球同色T小趙敗兩個(gè)球同色一小趙敗

若你和小趙同學(xué)玩這四個(gè)游戲中一個(gè)，你想獲勝，則應(yīng)該選()

A.游戲1B.游戲2C.游戲3D.游戲4

【答案】A

【解析】

【分析】分別求出游戲1、游戲2、游戲3、游戲4試驗(yàn)的樣本空間，設(shè)事件A="取到白球”，事件3=

“取到的兩個(gè)球同色”，事件C="取到的兩個(gè)球同色”，事件。="取到的兩個(gè)球同色”，求出事件

AB、C、。包含的樣本個(gè)數(shù)，由古典概型的概率公式代入即可得出答案.

【詳解】設(shè)3個(gè)白球分別為a,b,c,2個(gè)紅球分別為1,2.

游戲1：這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間可記為。={。力,。,1,2},共包含5個(gè)樣本點(diǎn).設(shè)事件A="取到白球”，則

A={a,b,c},包含3個(gè)樣本點(diǎn)，所以P(A)=；

游戲2：這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間可記為

Q=,共包含10個(gè)樣本點(diǎn).設(shè)事件3=

“取到的兩個(gè)球同色”，則6={(a,3,(a,c),(b,c),(1,2)),包含4個(gè)樣本點(diǎn).所以P(3)=|.

游戲3：這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間可記為

Q={(?,/?),(fl,c),(?,1),(?,2),(Z?,A),(Z7,c),(Z2,l),(Z?,2),(c,a),(c,Z?),

(c,l),(c,2),(l,?),(l,&),(l,c),(l,2),(2,a),(2,Z7),(2,c),(2,l)},

共包含20個(gè)樣本點(diǎn).設(shè)事件。="取到兩個(gè)球同色”，則

C={(a,，),(A,a),(a,c),(c,a),(Zj,c),(c,Z?),(l,2),(2,l)},包含8個(gè)樣本點(diǎn)，所以尸(C)=].

游戲4：這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間可記為

Q={(a,a),(fl,Z2),(?,c),(fl,l),(a,2),(&,a),(Z7,Z?),(&,c),(Z?,l),(&,2),(c,a),(c,^),(c,c),

(c,l),(c,2),(l,fl),(l,Z7),(l,c),(l,l),(l,2),(2,a),(2,Z7),(2,c),(2,l),(2,2)},

共包含25個(gè)樣本點(diǎn).設(shè)事件。="取到的兩個(gè)球同色”，則

Z)={(?,?),(?,Z?),(a,c),(/J,c),(Z?,Z?),(Z>,a),(c,c),

(c,?),(c,1),(1,2),(2,1),(2,2)),

13

包含13個(gè)樣本點(diǎn)，所以P(D)=石.

故選：A.

8.已知在中，其中3(1,4),C(6,3),Z5AC的平分線所在的直線方程為x—y+l=。，則

△ABC的面積為()

A.572B.10^/2C.8D.2710

【答案】C

【解析】

【分析】首先求得直線x-y+1=0與直線5C的交點(diǎn)。的坐標(biāo)，利用。到直線A5,AC的距離相等列方

程，解方程求得A點(diǎn)的坐標(biāo).利用A到直線5C的距離以及的長(zhǎng)，求得三角形ABC的面積.

【詳解】直線的方程為y—4=——1),即x+5y—21=0.

%+5>-21=0

由＜解得。

x-y+l=0

QZ7—30—2

設(shè)A(a,a+直線A&AC的方程分別為y—4=4=(%—i),y—3=3=(x—6),即

3a—1a—6

(a-3)x-(a-l)y+3a-l,(。一2)》一(。一6)丁一3。-6=0.根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知，D到直線

A3,AC的距離相等，所以

8

(a-3)x|一(a—l)xg+3a-l(a-2)x—-6)x——3d-6

3

2J(a-2)2+(4-6)2

1616

2a—2-2a—Q

33,由于aw—,所以上式可化為

3

ha1-8a+1012al-16a+40

2-J2a2—8a+10=J2a16a+40，兩邊平方并化簡(jiǎn)得

QQ

§4=0,解得〃=o所以A(0,1).

|5-21|=16

所以A(0,1)到直線BC的距離為而忸C|=’(6-1)2+(3-4)2=可,所以

A/12+52A/26

SAABC=TXx—=8.

2V26

【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線方程的求法，考查直線與直線交點(diǎn)坐

標(biāo)，考查點(diǎn)到直線距離公式、兩點(diǎn)間的距離公式，考查角平分線的性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法,

屬于中檔題.

二、多項(xiàng)選擇題(本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多

項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.)

9.已知事件A,B,且P(A)=0.4,P(B)=0.3,則()

A.如果80那么。(A5)=0.3

B.如果5。A,那么P(AU§)=0.4

C.如果A與3相互獨(dú)立，那么P(AD5)=0.7

D.如果A與2相互獨(dú)立，那么P(。同=0.42

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據(jù)事件關(guān)系及運(yùn)算有P(A5)=P(5)、P(AUB)=P(A),由事件的相互獨(dú)立知

P(AB)=P(A)P(B),結(jié)合事件的運(yùn)算求。(AU8)、p(AB).

【詳解】A：由BoA,則P(AB)=P(3)=0.3,正確;

B：由BgA,則尸(AU8)=P(A)=0.4,正確;

C：如果A與B相互獨(dú)立，則P(A5)=P(A)P(3)=0.12,

P(AU5)=P(A)+P(5)-P(AB)=0.58,錯(cuò)誤;

D：由C分析及事件關(guān)系知：P（AB）=l-P（AoJB）=0.42,正確.

故選：ABD.

10.下列結(jié)論正確的有（）

A.直線3x+4j=10與直線3x+4y=0之間的距離為5

B.若一直線的方向向量為（6,3）,則此直線傾斜角為三

C.若直線x+ay+l=0與直線x-2y+a=0平行，貝!|。=一2

D.已知點(diǎn)4（4,2）,5（1,1）,若直線y=A（x—2）與線段AB相交，則上的取值范圍是

【答案】BC

【解析】

【分析】按照題意，作圖，分析其中的幾何關(guān)系，用代數(shù)式表達(dá)出來(lái)即可.

【詳解】對(duì)于A,直線3x+4y=10與直線3x+4y=0平行，

|10|

兩直線間的距離d=-f===2,A錯(cuò)誤；

V32+42

對(duì)于B,因?yàn)榉较蛳蛄繛椋?,3）,設(shè)傾斜角為a,其正切為tana=6，

又ae[0,7i）,所以傾斜角a=1,B正確；

對(duì)于C,若直線x+ay+l=O與直線x-2y+a=。平行，

則lx（-2）=axlna=-2,此時(shí)兩直線分別為x-2y+l=0和x-2y-2=0,

滿足平行，故C正確；

對(duì)于D,直線y=Z（x—2）過(guò)定點(diǎn)C（2,0）,若與線段A5相交,

2-01-0

則直線AC,BC斜率分別k=--=1鼠=——二，

AC4—2BC>2—1

則上取值范圍為[L+")u(y,—1].D錯(cuò)誤.

故選：BC

11.2022年2月28日，國(guó)家統(tǒng)計(jì)局發(fā)布了我國(guó)2021年國(guó)民經(jīng)濟(jì)和社會(huì)發(fā)展統(tǒng)計(jì)公報(bào)，在以習(xí)近平同志為

構(gòu)建新發(fā)展格局，實(shí)現(xiàn)了“十四

,結(jié)合如下統(tǒng)計(jì)圖表,

醫(yī)療保健其野1品及服務(wù)

2115元569元

教育文化娛樂(lè)/食品煙酒

2599元^^-7319元

交通通信一

3156元yy衣著—

生活用品及服~\⑷9兀

1423元居住

5400元22.5%

圖2:2021年全國(guó)居民人均消費(fèi)支出及其構(gòu)成

A.2017-2021年全國(guó)居民人均可支配收入逐年遞增

B.2020年全國(guó)居民人均可支配收入較前一年下降

C.2021年全國(guó)居民人均消費(fèi)支出24000元

D.2021年全國(guó)居民人均消費(fèi)支出構(gòu)成中食品煙酒和居住占比超過(guò)60%

【答案】AC

【解析】

【分析】根據(jù)頻率分布條形圖和扇形圖，對(duì)選項(xiàng)中的命題分析、判斷正誤即可.

【詳解】對(duì)于A,由圖可知，2017—2021年全國(guó)居民人均可支配收入分別為25974元，28228元，30733

元，32189元，35128元，逐年遞增，選項(xiàng)A正確；

對(duì)于B,根據(jù)條形圖知，2020年全國(guó)居民人均可支配收入較前一年是上升的，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,根據(jù)扇形圖知，2021年全國(guó)居民人均消費(fèi)支出為：

5400+1419+7319+569+2115+2599+3156+1423=24000元，選項(xiàng)C正確；

對(duì)于D，2021年全國(guó)居民人均消費(fèi)支出構(gòu)成中食品煙酒和居住占比：

7319

x100%+22.5%?30.4%+22.5%=52.9%<60%,選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

24000

故選：AC.

12.在空間直角坐標(biāo)系中，已知向量江=(A,瓦C)(ABCV0),點(diǎn)與Oo./pZo),點(diǎn)尸(x,y,z).

(1)若直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)介，且以)為方向向量，P是直線/上的任意一點(diǎn)且其坐標(biāo)滿足

士*=匕&=三二員,稱為直線/的方程；

ABC

(2)若平面2經(jīng)過(guò)點(diǎn)凡，且以「為法向量，P是平面戊內(nèi)的任意一點(diǎn)且其坐標(biāo)滿足

A(x-xo)+B(y-yo)+C(z-zo)=O,稱為平面a的方程.

設(shè)直線/的方程為3=匕1=二，平面a的方程為2(x-l)-(y-l)+3(z-l)=0,

213

M(2,-3,-1),W,-1,-1),則()

A.M更l,Mea

B.直線,與平面a所成角的余弦值為9

7

C.N到平面戊的距離為恒

7

D.向量方是平面a內(nèi)的任意一個(gè)向量，則存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(％y),使得萬(wàn)=x￡+防，其中

?=(0,3,1),^=(1,2,0).

【答案】ACD

【解析】

【分析】點(diǎn)M的坐標(biāo)分別代入直線方程、平面方程可判斷A；求出平面e的一個(gè)法向量、直線/的方向向

量，利用向量的夾角公式可判斷B；利用點(diǎn)到平面的向量求法可判斷C；由空間向量基本定理可判斷D.

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)椤?#+1,2(2-1)-(-3-1)+3(-1-1)=0,所以

213

故A正確；

對(duì)于B,平面a的一個(gè)法向量為。=(2,—1,3),直線/的方向向量為工=(2,1,3),

/--*\u?v4—1+96

由cos(M，D=%="+1+9J4+1+9=,得直線/與平面a所成角的余弦值為

L16丫屈痂口…

Jl-I-I=\-，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,因?yàn)镸ee,所以麗=（0,2,0）,所以N到平面e的距離為

\MN-u

對(duì)于D,因?yàn)椋?,3,1）2,0）,所以日力力行，

又日"=0，b-u=G<則G//a,B//a,即在平面a內(nèi),

由空間向量基本定理可得存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)（％y）,使得萬(wàn)=x￡+yB,故D正確.

故選：ACD.

第n卷（非選擇題共為分）

注意事項(xiàng)：必須使用0.5毫米黑色墨跡簽字筆在答題卡上題目所指定的答題區(qū)域內(nèi)作答，作圖

題可先用鉛筆繪出，確認(rèn)后再用0.5毫米黑色墨跡簽字筆描清楚，答在試題卷上無(wú)效.

三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.）

13.已知點(diǎn)B是點(diǎn)4（3,7,T）在％Oz平面上的射影，則礪2等于.

【答案】25

【解析】

【分析】求出點(diǎn)3的坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)間的距離公式可計(jì)算出赤2的值.

【詳解】點(diǎn)4（3,7,-4）在xOz平面上的射影點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3,0,-4）,

:.OB=（3-0）2+02+（-4-0）2=25.

故答案為：25.

【點(diǎn)睛】本題考查空間中兩點(diǎn)間距離的計(jì)算，同時(shí)也考查了射影點(diǎn)坐標(biāo)的計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于

基礎(chǔ)題.

14.二戰(zhàn)期間盟軍的統(tǒng)計(jì)學(xué)家主要是將繳獲的德軍坦克序列號(hào)作為樣本，用樣本估計(jì)總體的方法得出德軍

某月生產(chǎn)的坦克總數(shù).假設(shè)德軍某月生產(chǎn)的坦克總數(shù)是N,繳獲的該月生產(chǎn)的〃輛坦克編號(hào)從小到大為

A，巧，…，與，即最大編號(hào)為相，且繳獲的坦克是從所生產(chǎn)的坦克中隨機(jī)獲取的，因?yàn)樯a(chǎn)坦克是連

續(xù)編號(hào)的，所以繳獲坦克的編號(hào)為，々，…，無(wú)”，，相當(dāng)于從［0，N］中隨機(jī)抽取的力個(gè)整數(shù)，這〃個(gè)數(shù)將

區(qū)間［0,N］分成仇+1)個(gè)小區(qū)間，由于N是未知的，除了最右邊的區(qū)間外，其他〃個(gè)區(qū)間都是已知的.由

于這“個(gè)數(shù)是隨機(jī)抽取的，所以可以用前〃個(gè)區(qū)間的平均長(zhǎng)度%估計(jì)所有(〃+1)個(gè)區(qū)間的平均長(zhǎng)度

n

N_

——，進(jìn)而得到N的估計(jì)值.例如，繳獲坦克的編號(hào)是3,5,12,18,20,則統(tǒng)計(jì)學(xué)家利用上述方法估

n+1

計(jì)德軍每月生產(chǎn)的坦克數(shù)為.

ill???

oX］%2X"N

【答案】24

【解析】

【分析】根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)家利用的方法列比例式計(jì)算，即可求得答案.

【詳解】由于用前〃個(gè)區(qū)間的平均長(zhǎng)度'估計(jì)所有(〃+1)個(gè)區(qū)間的平均長(zhǎng)度一三，

而繳獲坦克的編號(hào)是3,5,12,18,20,即"=5,%=20,

JON”…

故二=二］，，N=24,

55+1

即則統(tǒng)計(jì)學(xué)家利用上述方法估計(jì)德軍每月生產(chǎn)的坦克數(shù)為24,

故答案為：24

15.小明設(shè)計(jì)如下的方案測(cè)二面角大?。喝鐖D，設(shè)斜坡面少與水平面2的交線為/，小明分別在水平面戊和

斜坡面少選取A,3兩點(diǎn)，且45=7,4到直線/的距離441=3,8到直線/的距離43=4,44=2石，則

【解析】

【分析】過(guò)A作AC///,過(guò)用作4CLA4,,且ACcgCuC,易知二面角A—4四—5的平面角為

NBB］C,結(jié)合已知應(yīng)用余弦定理求角的大小.

【詳解】過(guò)A作AC///,過(guò)用作耳CJ_M，且ACc4c=C,

由A4，/,易知AC51A為矩形，即AC_L5C，

由35]_U,則BB]_LAC,而B(niǎo)3iC3iC=3i，3片,片。u面,

所以AC，面34c,即/上面BBC，易知二面角A—4四—5的平面角為28用。,

又5Cu面33C，則AC15C,而AC=A4=26，AB=7,所以BC?=.2一人。2=37,

,4■口廠?功八.B^+B^-BC216+9-371

由A4)=3]C=3,BDQD=4,cosZBBC=----------------一----------一

[2B1BBC2x4x32

0。＜28與。＜180°,所以？BBC120?.

16.已知正四棱錐P—A6CD的所有棱長(zhǎng)均為L(zhǎng)E為尸。的中點(diǎn)，則線段Q4上的動(dòng)點(diǎn)M到直線BE的距

離的最小值為.

【答案】1##0.5

【解析】

【分析】分析證明QE為異面直線的公垂線段，由此可求動(dòng)點(diǎn)M到直線BE的距離的最小值即可.

所以PELBE,

由已知巴4=1,PC=1,AC=4i,

所以叢2+尸。2=4。2,

所以24,尸C,

所以PE為異面直線B4，3E的公垂線段，

所以PE的長(zhǎng)為動(dòng)點(diǎn)M到直線BE的距離最小值,

所以動(dòng)點(diǎn)〃到直線BE的距離最小值為g.

故答案為：■

四、解答題(本大題共6小題共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)

17.如圖，平行六面體ABC。-A4GR的底面是菱形，且

ZQCB=ZQCD=ZBCD=60°,CD=CC1=2,O)=a,(^=b,CC[=c.

1

rir]UULI

(1)用空間的一個(gè)基底｛a,dc｝表示AC】，并求AG的長(zhǎng);

(2)求異面直線CA與DG所成角的余弦值?

【答案】(1)ACx=c-(a+byAC；=272

(2)0

【解析】

【分析】(1)結(jié)合平行六面體的幾何性質(zhì)與空間向量的運(yùn)算即可得離=乙-伍+可，再根據(jù)空間向量的

數(shù)量積求模長(zhǎng)即可得結(jié)論；

(2)根據(jù)空間基底的運(yùn)算，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)即可求得答案.

【小問(wèn)1詳解】

ULUU1UUL1UUU1(」)

由題C￡>=〃，CB=b，eq=c，A4構(gòu)成空間的一個(gè)基底.

因?yàn)锳CV=CC]-(CD+CB)=c—^a+b^,

所以|北『二藕2=c-(a+b^

—c2+西2+/?2—2a,c—2b,c+2a,b

=12—2x2x2xcos60°=8,

所以AG=2逝.

【小問(wèn)2詳解】

又C4,=G+B+1,DCX=c-a,

所以CAj,DC]=(a+Z?+c),(c—a)=c~—a1+b，。一=0

/.±DC[

...異面直線c4與。a所成的角為90。，余弦值為0.

18.為了解學(xué)校食堂的滿意度，某調(diào)查小組在高一和高二兩個(gè)年級(jí)各隨機(jī)抽取10名學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷計(jì)分調(diào)查

(滿分100分)，得分如下所示：

高一：64,72,79,78,78,75,86,85,92,91

高二：62,67,78,79,70,85,84,85,93,95

(1)求高一年級(jí)問(wèn)卷計(jì)分調(diào)查平均數(shù)，估計(jì)高一年級(jí)學(xué)生問(wèn)卷計(jì)分調(diào)查的第70百分位數(shù)；

(2)若規(guī)定打分在86分及以上的為滿意，少于86分的為不滿意，從上述滿意的學(xué)生中任取2人，先列出

所有可能的結(jié)果，再計(jì)算這2人來(lái)自同一年級(jí)的概率.

【答案】⑴80；85.5

2

(2)答案見(jiàn)解析，—

【解析】

【分析】(1)根據(jù)平均數(shù)和百分位數(shù)的定義，即可求得.

(2)根據(jù)古典概率模型計(jì)算公式.

【小問(wèn)1詳解】

64+72+79+78+78+75+86+85+92+91

高一年級(jí)問(wèn)卷計(jì)分調(diào)查平均數(shù):----------------------------------------------------=80,

10

將高一調(diào)查的數(shù)據(jù)從小到大排列：64,72,75,78,78,79,85,86,91,92,

因?yàn)?0x70%=7,

所以第7位數(shù)和第8位數(shù)的平均數(shù)為第70百分位數(shù)，即笠2=85.5.

2

【小問(wèn)2詳解】

高一年級(jí)滿意的有3個(gè)，記為"c,高二年級(jí)滿意的有2個(gè)，記為1,2,

則從上述滿意的學(xué)生中任取2人,

基本事件有｛("),(?c),(?1),(?2),(M),02),(be),(cl),(c2),(12)｝共有10個(gè),

設(shè)事件“上述滿意的學(xué)生中任取2人，求這2人來(lái)自同一級(jí)”為A,

則包含(油),(酸),(秘),(12),共有4個(gè)，

42

故尸(A)=—=—.

105

19.已知直線/:(22—l)x+(1—4)y+112—7=0,%eR.

(1)若直線/與直線/i：x+(l+2)y+l=0垂直，求實(shí)數(shù);I的值

(2)若直線/在無(wú)軸上的截距是在y軸上截距的2倍，求直線/的方程.

【答案】(1)2=0或2=2

(2)x+2y-2=0或3x+4y=0

【解析】

【分析】(1)根據(jù)直線垂直的充要條件列方程求解即可；

(2)求出在坐標(biāo)軸上的截距，由條件求出4,即可得出直線方程.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)橹本€/與直線/i：x+(l+2)y+l=0垂直，

所以（22—1）*1+（1—/1）（1+；1）=0,解得4=0或；1=2.

【小問(wèn)2詳解】

C/口7-1U八7-1U

令A(yù)y=°,得％=-------，令A(yù)x=0,y=----------

22-11-2

…?7-1Uc7-1U…,7

由題思知------=2x-------,解得/=—或2=—，

22-11-2511

所以直線/的方程為x+2y—2=0或3x+4y=0.

20.如圖，在四棱錐P—4BCD中，底面ABC。是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)面BW是正三角形，側(cè)面

底面ABC。，M是尸。的中點(diǎn)，平面PBCc平面B4D=/.

p

(1)判斷/與BC的位置關(guān)系并給予證明；

(2)求M到平面PBC的距離.

【答案】(1)l\\BC,證明見(jiàn)解析

(2)叵

7

【解析】

【分析】(1)利用線面平行性質(zhì)定理；(2)等體積轉(zhuǎn)化.

【小問(wèn)1詳解】

l\\BC

證明：：底面ABC。為正方形，.?.")〃8C,

,.,BCa平面必1。，ADu平面必。3C〃平面B4。,

?.?8。匚平面尸山，平面。3。。平面24。=/：.l\\BC

【小問(wèn)2詳解】

取A。的中點(diǎn)。，連接P。，

：△R4。為正三角形，...POLA。

:側(cè)面抬。_1底面A8CD,側(cè)面Q4￡)c底面尸Ou平面B4D,

，PO_L底面ABC。

故P到底面的距離為：PO=6,且PB=PC=2g,，則5^?死=近

,**VD—PBC=Vp-BDC，則耳,飽=§?/ip,即：—,A/7-hD=—,2,A/3,

故3酒，

D7

又M是PZ）的中點(diǎn)，

所以M到平面PBC的距離為上幻=叵.

21.從2022年秋季學(xué)期起，四川省啟動(dòng)實(shí)施高考綜合改革，實(shí)行高考科目“3+1+2”模式.“3”指語(yǔ)文、

數(shù)學(xué)、外語(yǔ)三門(mén)統(tǒng)考學(xué)科，以原始分?jǐn)?shù)計(jì)入高考成績(jī)；“1”指考生從物理、歷史兩門(mén)學(xué)科中“首選”一門(mén)

學(xué)科，以原始分?jǐn)?shù)計(jì)入高考成績(jī)；“2”指考生從政法、地理、化學(xué)、生物四門(mén)學(xué)科中“再選”兩門(mén)學(xué)科,

以等級(jí)分計(jì)入高考成績(jī).按照方案，再選學(xué)科的等級(jí)分賦分規(guī)則如下，將考生原始成績(jī)從高到低劃分為

AB,C,D,E五個(gè)等級(jí),各等級(jí)人數(shù)所占比例及賦分區(qū)間如下表：

等級(jí)ABCDE

人數(shù)

15%35%35%13%2%

比例

賦分

[86,100][71,85][56,70][41,55][30,40]

區(qū)間

將各等級(jí)內(nèi)考生的原始分依照等比例轉(zhuǎn)換法分別轉(zhuǎn)換到賦分區(qū)間內(nèi)，得到等級(jí)分，轉(zhuǎn)換公式為

Y-YT-T

；V=,T，其中幾乂分別表示原始分區(qū)間的最低分和最高分，7],（分別表示等級(jí)賦分區(qū)間的最低

Y一工1一h

分和最高分，F(xiàn)表示考生的原始分，T表示考生的等級(jí)分，規(guī)定原始分為耳時(shí)，等級(jí)分為I，計(jì)算結(jié)果四

舍五入取整.某次化學(xué)考試的原始分最低分為50,最高分為98,呈連續(xù)整數(shù)分布，其頻率分布直方圖如圖

（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)此次化學(xué)考試成績(jī)的平均值;

(2)按照等級(jí)分賦分規(guī)則，估計(jì)此次考試化學(xué)成績(jī)。等級(jí)的原始分區(qū)間；

(3)用估計(jì)的結(jié)果近似代替原始分區(qū)間，若某學(xué)生化學(xué)成績(jī)的原始分為60,試計(jì)算其等級(jí)分.

【答案】⑴73分(2)[54,62.5]

(3)51分

【解析】

【分析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖的特點(diǎn)得到a=0.005,然后求平均數(shù)即可；

(2)根據(jù)等級(jí)賦分規(guī)則計(jì)算即可；

(3)根據(jù)等級(jí)賦分規(guī)則計(jì)算.

【小問(wèn)1詳解】

由10(a+0.02+0.03+0.04+a)=1,可得a=0.005,

此次化學(xué)考試成績(jī)的平均值為55x0.05+65x0.4+75x0.3+85x0.2+95x0.05=73分.

【小問(wèn)