七道數(shù)學(xué)極限練習(xí)題及計(jì)算過程1.計(jì)算eq\s(lim,n→∞)eq\f(20n2-1,12n?+15n-19).解：觀察所求極限特征，可知所求極限的分母此時(shí)為2，分子的次數(shù)為4，且分子分母沒有可約的因子，則當(dāng)n趨近無窮大時(shí)，所求極限等于0。eq\s(lim,n→∞)eq\f(20n2-1,12n?+15n-19),分子分母同時(shí)除以n?，=eq\s(lim,n→∞)eq\f(\f(20,n)-\f(1,n?),12+\f(15,n3)-\f(19,n?))=0。2.計(jì)算eq\s(lim,n→∞)eq\f(25n-19n-14,26+9n-21n2).解：思路一：觀察所求極限特征，可知所求極限的分子分母的次數(shù)相同均為2，且分子分母沒有可約的因子，則分子分母同時(shí)除以n2，即：eq\s(lim,n→∞)eq\f(25n-19n-14,26+9n-21n2)=eq\s(lim,n→∞)eq\f(25-\f(19,n)-\f(14,n2),\f(26,n)+\f(9,n)-21)=eq\f(25-0,0-21)=-eq\f(25,21)。思路二：本題所求極限符合洛必達(dá)法則，有：eq\s(lim,n→∞)eq\f(25n-19n-14,26+9n-21n2)=eq\s(lim,n→∞)eq\f(50n-19,9-42n)，繼續(xù)使用羅必塔法則，=eq\s(lim,n→∞)eq\f(50-0,0-42)，=-eq\f(25,21)。3.求極限eq\s(lim,x→1)eq\f(x3-34x+33,x?-53x+52).解：觀察極限特征，所求極限為定點(diǎn)x趨近于1，又分子分母含有公因式x-1，即x=1是極限函數(shù)的可去間斷點(diǎn)，則：eq\s(lim,x→1)eq\f(x3-34x+33,x?-53x+52)=eq\s(lim,x→1)eq\f((x-1)(x2+x-33),(x-1)(x3+x2+x-52)),=eq\s(lim,x→1)eq\f(x2+x-33,x3+x2+x-52),=eq\f(1+1-33,1+1+1-52)=eq\f(31,49)。4.求eq\s(lim,x→0)eq\f(12x+13sin5x,3x-3sin3x).解：思路一：本題思路主要通過重要極限公式eq\s(lim,x→0)eq\f(sinx,x)=1應(yīng)用計(jì)算而得，則：eq\s(lim,x→0)eq\f(12x+13sin5x,3x-3sin3x)，=eq\s(lim,x→0)eq\f(12+13\f(sin5x,x),3-3\f(sin3x,x))，=eq\s(lim,x→0)eq\f(12+65\f(sin5x,5x),3-9\f(sin3x,3x))，=eq\f(12+65,3-9)=-eq\f(77,6)。思路二：使用羅必塔法則計(jì)算有：eq\s(lim,x→0)eq\f(12x+13sin5x,3x-3sin3x)，=eq\s(lim,x→0)eq\f(12+13*5cos5x,3-3*3cos3x)，=eq\f(12+13*5,3-3*3)=-eq\f(77,6)。5.求eq\s(lim,x→∞)eq\f(x2sin\f(1,x),21x+12).解：本題思路是分子分母同時(shí)除以x，并變形使用重要極限公式lim(x→0)eq\f(sinx,x)=1，則：eq\s(lim,x→∞)eq\f(x2sin\f(1,x),21x+12)=eq\s(lim,x→∞)eq\f(xsin\f(1,x),\f(21x+12,x))=eq\s(lim,x→∞)eq\f(\f(sin\f(1,x),\f(1,x)),21+\f(12,x)),=eq\f(1,eq\s(lim,x→∞)21+\f(12,x))=eq\f(1,21)。6.求eq\s(lim,x→0)eq\f(sinx-sin27x,sin13x).解：思路一：對(duì)分母進(jìn)行三角和差化積，再進(jìn)行極限計(jì)算，有：eq\s(lim,x→0)eq\f(sinx-sin27x,sin13x)=eq\s(lim,x→0)eq\f(2cos14xsin(-13x),sin13x),=eq\s(lim,x→0)-2cos14x=-2cos0=-2。思路二：使用羅必塔法則計(jì)算有：eq\s(lim,x→0)eq\f(sin1x-sin27x,sin13x),=eq\s(lim,x→0)eq\f(1cos1x-sin27cos27x,13cos13x)，=eq\s(lim,x→0)eq\f(1-27,13)=-2。7.求eq\s(lim,x→0)(1+2x)eq\s\up15(\f(12,6x))。解：本題主要通過使用重要極限公式eq\s(lim,x→0)(1+x)eq\s\up15(\f(1,x))=e計(jì)算而得，則：eq\s(lim,x→0)(1+2x)eq\