第34頁（共34頁）2025年暑期新初三數(shù)學(xué)人教新版尖子生專題復(fù)習(xí)《平行四邊形》一．選擇題（共10小題）1．（2025春?陜西期中）如圖，在矩形ABCD中，點E、F分別為AB、CD邊的中點，點G、H均在BC邊上，點G在點H的左側(cè)，連接EG、FH，已知EG＝FH，AD＝8cm，GH＝2cm，則BG的長為（）A．3cm B．2cm C．3.5cm D．4cm2．（2025春?離石區(qū)期中）如圖，在?ABCD中，E，F(xiàn)是對角線AC上的兩點（不與點A，C重合），且AE＝CF，連接BE，BF，DE，DF，下列結(jié)論錯誤的是（）A．四邊形BEDF是平行四邊形 B．若四邊形ABCD是菱形，則四邊形BEDF是菱形 C．若四邊形ABCD是正方形，則四邊形BEDF是菱形 D．若四邊形ABCD是矩形，則四邊形BEDF也是矩形3．（2025春?離石區(qū)期中）如圖，在正方形ABCD中，O為對角線AC，BD的交點，E，F(xiàn)分別為邊BC，CD上一點，且OE⊥OF，連接EF．若AB＝2，則EF的最小值是（）A．12 B．1 C．22 D4．（2024秋?西峽縣期末）如圖是人字梯及其側(cè)面示意圖，AB，AC為支撐架，DE為拉桿，D，E分別是AB，AC的中點，若DE＝40cm，則B，C兩點的距離為（）A．50cm B．60cm C．70cm D．80cm5．（2025?灞橋區(qū)校級模擬）如圖，點O是菱形ABCD對角線的交點，DE∥AC，CE∥BD，連接OE，設(shè)AC＝12，BD＝16，則OE的長為（）A．8 B．9 C．10 D．116．（2025春?湘陰縣期中）如圖，在△AEG中，GA＝GE，∠G＝40°，將△AEG的頂點E擺放在矩形ABCD的一邊BC上，使得AB＝BE，其中EG與AD交于點F，則∠DFG的度數(shù)是（）A．85° B．75° C．65° D．45°7．（2025?重慶校級模擬）攝影中有一種拍攝手法叫黃金構(gòu)圖法．其原理是：如圖，在正方形ABCD的底邊BC取中點E，以E為圓心，線段DE長為半徑作圓，與底邊BC的延長線交于點F，矩形ABFG稱為黃金矩形．若CF＝4，則AB為（）A．5-1 B．25-2 C．8．（2025?泉州校級模擬）如圖，在菱形ABCD中，∠A＝30°，AB＝12，F(xiàn)是邊BC上的一個動點，連接DF，以DF為對角線作菱形DEFG，使點E落在DC邊上，當(dāng)菱形DEFG的周長最小時，菱形DEFG的面積為（）A．16 B．12 C．183 D．9．（2025?鐵東區(qū)校級模擬）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，E是AB的中點，連接OE，若OE＝2cm，則AD的長為（）A．2cm B．4cm C．8cm D．12cm10．（2025春?利津縣期中）如圖，在正方形ABCD中，點O是對角線AC，BD交點，過點O作射線OM，ON分別交BC，CD于點E，F(xiàn)，且∠EOF＝90°，OC，EF交于點G．有下列結(jié)論：①△DOF≌△COE；②CF＝BE；③FO＝FG；④四邊形CEOF的面積為正方形ABCD面積的14；⑤OF2+OE2＝EF2A．2 B．3 C．4 D．5二．填空題（共5小題）11．（2025春?陜西期中）如圖，在矩形ABCD中，AB＝BC＝12，P、Q分別是BC、AD的中點，點M、N在CD邊上，MN=12CD，PN與QM相交于點O，則圖中陰影部分的面積為12．（2025?金水區(qū)校級模擬）如圖，平面直角坐標(biāo)系中正方形ABCD的頂點A（0，12），B（5，0），過D作DF⊥x軸交AC于點E，連接BE，則BE+EF的值為．13．（2025?亭湖區(qū)三模）如圖，過四邊形ABCD的四個頂點分別作對角線AC、BD的平行線，如所圍成的四邊形EFGH是矩形，則原四邊形ABCD需滿足的條件是．（只需寫出一個符合要求的條件）14．（2025?乾安縣模擬）中國結(jié)寓意團圓、美滿，以獨特的東方神韻體現(xiàn)中國人民的智慧和深厚的文化底蘊．小芳家有一個菱形中國結(jié)裝飾，將該中國結(jié)簡化成菱形ABCD，測得BD＝8cm，AC＝6cm，則該菱形的邊長為cm．15．（2025?市中區(qū)二模）如圖，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝8．點E，F(xiàn)分別是BC，AB邊上的動點，且BF＝2CE，以EF為邊向右作等邊△EFG，連接CF，CG，DG．當(dāng)CG＝EG時，DG的值為．三．解答題（共5小題）16．（2025春?武威期中）如圖，在△ABC中，點E、F分別是AB、BC的中點，連接AF，過點C作CD∥FA交EF的延長線于點D，連接BD．（1）求證：CD＝AF．（2）若∠EFB＝90°，EF＝1，BF＝3，求CD的長．17．（2025?黃島區(qū)校級三模）如圖，?ABCD對角線AC，BD相交于點O，過點D作DE∥AC且DE＝OC，連接CE，OE，OE＝CD．（1）求證：?ABCD是菱形；（2）若AB＝4，∠ABC＝60°，求AE的長．18．（2025?水磨溝區(qū)一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，過點D作DE⊥AB于點E，點F在邊CD上，且FC＝AE，連接AF、BF．（1）求證：四邊形DEBF是矩形；（2）若AF平分∠DAB，F(xiàn)C＝3，DF＝5，求BF的長．19．（2025?天河區(qū)校級二模）如圖，在菱形ABCD中，點E、F分別在BC、CD邊上，∠BAF＝∠DAE，求證：BE＝DF．20．（2025?岳塘區(qū)校級一模）如圖，在四邊形ABCD中，∠ACB＝∠CAD＝90°，點E在BC上，AE∥DC．（1）求證：四邊形AECD是平行四邊形；（2）若∠B＝30°，AE平分∠BAC，AB=83，求

2025年暑期新初三數(shù)學(xué)人教新版尖子生專題復(fù)習(xí)《平行四邊形》參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）題號12345678910答案ADDDCCDDBC一．選擇題（共10小題）1．（2025春?陜西期中）如圖，在矩形ABCD中，點E、F分別為AB、CD邊的中點，點G、H均在BC邊上，點G在點H的左側(cè)，連接EG、FH，已知EG＝FH，AD＝8cm，GH＝2cm，則BG的長為（）A．3cm B．2cm C．3.5cm D．4cm【考點】矩形的性質(zhì)．【答案】A【分析】先根據(jù)矩形的性質(zhì)得AB＝CD，∠B＝∠C＝90°，AD＝BC＝8cm，根據(jù)中點定義得BE＝CF，再根據(jù)“斜邊，直角邊”得Rt△BEG≌Rt△CFH，可得BG＝CH，然后根據(jù)BG+CH＝BC﹣GH＝2BG得出答案．【解答】解：由題意可得：AB＝CD，∠B＝∠C＝90°，AD＝BC＝8cm．在矩形ABCD中，點E、F分別為AB、CD邊的中點，則：BE=∵EG＝FH，∴Rt△BEG≌Rt△CFH，∴BG＝CH，∴BG+CH＝BC﹣GH＝2BG＝8﹣2＝6，解得BG＝3cm．故選：A．【點評】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，正確進行計算是解題關(guān)鍵．2．（2025春?離石區(qū)期中）如圖，在?ABCD中，E，F(xiàn)是對角線AC上的兩點（不與點A，C重合），且AE＝CF，連接BE，BF，DE，DF，下列結(jié)論錯誤的是（）A．四邊形BEDF是平行四邊形 B．若四邊形ABCD是菱形，則四邊形BEDF是菱形 C．若四邊形ABCD是正方形，則四邊形BEDF是菱形 D．若四邊形ABCD是矩形，則四邊形BEDF也是矩形【考點】正方形的性質(zhì)；平行四邊形的判定與性質(zhì)；菱形的判定與性質(zhì)；矩形的判定與性質(zhì)．【專題】多邊形與平行四邊形；矩形菱形正方形；推理能力；應(yīng)用意識．【答案】D【分析】連接BD交AC于點O，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得OA＝OC，OB＝OD，再根據(jù)E、F是對角線AC上的兩點（不與點A、C重合），AE＝CF，可得OE＝OF，進一步即可判斷A選項；根據(jù)菱形的性質(zhì)可得BD⊥AC，進一步即可判斷B選項；根據(jù)正方形的性質(zhì)可得BD⊥AC，進一步即可判斷C選項；根據(jù)矩形的性質(zhì)可得AC＝BD，再根據(jù)E、F是對角線AC上的兩點（不與點A、C重合），可得EF≠BD，進一步可判斷D選項．【解答】解：連接BD交AC于點O，如圖所示：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵E、F是對角線AC上的兩點（不與點A、C重合），AE＝CF，∴OE＝OF，∵OB＝OD，∴四邊形BFDE是平行四邊形，故A不符合題意；當(dāng)四邊形ABCD是菱形時，BD⊥AC，∴EF⊥BD，又∵四邊形BFDE是平行四邊形，∴四邊形BFDE是菱形，故B不符合題意；當(dāng)四邊形ABCD是正方形時，BD⊥AC，∴EF⊥BD，又∵四邊形BFDE是平行四邊形，∴四邊形BFDE是菱形，故C不符合題意；當(dāng)四邊形ABCD是矩形時，AC＝BD，∵E、F是對角線AC上的兩點（不與點A、C重合），∴EF≠BD，∴四邊形BFDE不是矩形，故D符合題意，故選：D．【點評】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，熟練掌握這些知識是解題的關(guān)鍵．3．（2025春?離石區(qū)期中）如圖，在正方形ABCD中，O為對角線AC，BD的交點，E，F(xiàn)分別為邊BC，CD上一點，且OE⊥OF，連接EF．若AB＝2，則EF的最小值是（）A．12 B．1 C．22 D【考點】正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．【專題】圖形的全等；矩形菱形正方形；幾何直觀；運算能力；推理能力．【答案】D【分析】過點O作OH⊥BC于點H，根據(jù)正方形性質(zhì)得OH＝1，證明△OCE和△ODF全等得OE＝OF，則△OEF是等腰直角三角形，由勾股定理得EF=2OE，由此得當(dāng)OE為最小時，EF為最小，再根據(jù)“垂線段最短”得：當(dāng)OE⊥BC時為最小，則最小值為線段OH的長，由此得OE的最小值為1，據(jù)此即可得出EF【解答】解：過點O作OH⊥BC于點H，如圖所示：∵△ABC是正方形，且AB＝2，∴AB＝BC＝2，OB＝OC＝OD，AC⊥BD，∠OCE＝∠ODF＝45°，∴△OBC是等腰直角三角形，∴OH=12BC＝∵OE⊥OF，AC⊥BD，∴∠EOF＝∠COD＝90°，∴∠EOC+∠COF＝∠COF+∠DOF，∴∠EOC＝∠DOF，在△OCE和△ODF中，∠OCE∴△OCE≌△ODF（ASA），∴OE＝OF，∴△OEF是等腰直角三角形，由勾股定理得：EF=OE∴當(dāng)OE為最小時，EF為最小，∵點E在邊BC上，∴根據(jù)“垂線段最短”得：當(dāng)OE⊥BC時為最小，即點E于點H重合時，OE為最小，最小值為線段OH的長，∴OE的最小值為1，此時EF=2即EF的最小值為2．故選：D．【點評】此題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，理解正方形的性質(zhì)，垂線段最短，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理是解決問題的關(guān)鍵．4．（2024秋?西峽縣期末）如圖是人字梯及其側(cè)面示意圖，AB，AC為支撐架，DE為拉桿，D，E分別是AB，AC的中點，若DE＝40cm，則B，C兩點的距離為（）A．50cm B．60cm C．70cm D．80cm【考點】三角形中位線定理．【專題】三角形；應(yīng)用意識．【答案】D【分析】根據(jù)三角形中位線定理即可求得答案．【解答】解：連接BC，∵D，E分別是AB，AC的中點，∴DE是△ABC的中位線，∴DE=12∴BC＝2DE，∵DE＝40cm，∴BC＝80cm，∴B，C兩點的距離為80cm．故選：D．【點評】本題主要考查了三角形中位線定理，掌握三角形的中位線等于第三邊的一半是解決問題的關(guān)鍵．5．（2025?灞橋區(qū)校級模擬）如圖，點O是菱形ABCD對角線的交點，DE∥AC，CE∥BD，連接OE，設(shè)AC＝12，BD＝16，則OE的長為（）A．8 B．9 C．10 D．11【考點】矩形的判定與性質(zhì)；菱形的性質(zhì)．【專題】矩形菱形正方形；運算能力．【答案】C【分析】由菱形的性質(zhì)和勾股定理求出CD＝10，再證出平行四邊形OCED為矩形，得OE＝CD＝10即可．【解答】解：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四邊形OCED為平行四邊形，∵四邊形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝16，∴AC⊥BD，OA＝OC=12AC＝6，OB＝OD=12∴∠DOC＝90°，CD=OC∴平行四邊形OCED為矩形，∴OE＝CD＝10，故選：C．【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，平行四邊形判定與性質(zhì)等知識；熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2025春?湘陰縣期中）如圖，在△AEG中，GA＝GE，∠G＝40°，將△AEG的頂點E擺放在矩形ABCD的一邊BC上，使得AB＝BE，其中EG與AD交于點F，則∠DFG的度數(shù)是（）A．85° B．75° C．65° D．45°【考點】矩形的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)．【專題】矩形菱形正方形；運算能力．【答案】C【分析】利用等腰三角形的性質(zhì)求出∠GAE，再利用矩形的性質(zhì)求出∠DAE可得結(jié)論．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，AD∥BC，∵AB＝BE，∴∠BAE＝∠AEB＝45°，∴∠DAE＝∠AEB＝45°，∵GA＝GE，∠G＝40°，∴∠GAE＝∠GEA＝70°，∴∠GAF＝∠GAE﹣∠DAE＝70°﹣45°＝25°，∴∠DFG＝∠G+∠GAF＝40°+25°＝65°．故選：C．【點評】本題考查矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．7．（2025?重慶校級模擬）攝影中有一種拍攝手法叫黃金構(gòu)圖法．其原理是：如圖，在正方形ABCD的底邊BC取中點E，以E為圓心，線段DE長為半徑作圓，與底邊BC的延長線交于點F，矩形ABFG稱為黃金矩形．若CF＝4，則AB為（）A．5-1 B．25-2 C．【考點】矩形的性質(zhì)；正方形的性質(zhì)．【專題】正多邊形與圓；圖形的相似；運算能力；推理能力．【答案】D【分析】設(shè)AB＝x，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB＝BC＝x，然后根據(jù)黃金矩形的定義可得ABBF=5【解答】解：設(shè)AB＝x，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝x，∵矩形ABFG是黃金矩形，∴ABBF∴xx解得：x＝25+2經(jīng)檢驗：x＝25+2∴AB＝25+2故選：D．【點評】本題考查了黃金分割，正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，熟練掌握黃金分割的定義是解題的關(guān)鍵．8．（2025?泉州校級模擬）如圖，在菱形ABCD中，∠A＝30°，AB＝12，F(xiàn)是邊BC上的一個動點，連接DF，以DF為對角線作菱形DEFG，使點E落在DC邊上，當(dāng)菱形DEFG的周長最小時，菱形DEFG的面積為（）A．16 B．12 C．183 D．【考點】菱形的性質(zhì)．【專題】矩形菱形正方形；運算能力．【答案】D【分析】分析出菱形DEFG的周長最小時的邊長，根據(jù)菱形的面積公式計算即可．【解答】解：如圖所示：過點E作EH⊥BC，垂足為H．設(shè)DE＝EF＝x，則EC＝12﹣x，∵∠C＝∠A＝30°，∴EH=12EC∵EF≥EH，∴x≥1∴x≥4，∴邊長最小是4，過F作FN⊥DC，CF＝43，F(xiàn)N=12?CF＝2∴菱形DEFG的周長最小時，菱形DEFG的面積為：DE×FN＝4×23=8故選：D．【點評】本題考查菱形的性質(zhì)，正確記憶相關(guān)知識點是解題關(guān)鍵．9．（2025?鐵東區(qū)校級模擬）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，E是AB的中點，連接OE，若OE＝2cm，則AD的長為（）A．2cm B．4cm C．8cm D．12cm【考點】平行四邊形的性質(zhì)；三角形中位線定理．【專題】多邊形與平行四邊形；幾何直觀；推理能力．【答案】B【分析】根據(jù)題意可得O是BD的中點，利用三角形的中位線的性質(zhì)即可求解．【解答】解：在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，∴對角線AC、BD互相平分，∴O是BD的中點，又∵E是AB的中點，OE＝2cm，∴OE是△ABD中位線，∴OE∥∴AD＝2OE＝4cm．故選：B．【點評】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，熟練掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．（2025春?利津縣期中）如圖，在正方形ABCD中，點O是對角線AC，BD交點，過點O作射線OM，ON分別交BC，CD于點E，F(xiàn)，且∠EOF＝90°，OC，EF交于點G．有下列結(jié)論：①△DOF≌△COE；②CF＝BE；③FO＝FG；④四邊形CEOF的面積為正方形ABCD面積的14；⑤OF2+OE2＝EF2A．2 B．3 C．4 D．5【考點】正方形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理．【專題】矩形菱形正方形；推理能力．【答案】C【分析】利用正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)逐一分析即可得出正確答案．【解答】解：①在正方形ABCD中，OC＝OD，∠COD＝90°，∠ODC＝∠OCB＝45°，∵∠EOF＝90°，∴∠COE＝∠EOF﹣∠COF＝90°﹣∠COF，∴∠COE＝∠DOF，在△COE和△DOF中，∠OCE∴△COE≌△DOF（ASA），故①正確；②∵△COE≌△DOF，∴CE＝DF，∵四邊形ABCD為正方形，∴BC＝CD，∴BE＝CF，故②正確；③∵△COE≌△DOF，∴FO＝EO，∵∠OFE＝∠ODF＝45°，∴∠DOF＝∠CFE，設(shè)∠DOF＝α，∴∠OGF＝45°+α，∵∠COF＝90°﹣α，當(dāng)45°+α＝90°﹣α?xí)r，α＝22.5°，OF＝FG，故③不正確；④由①全等可得四邊形CEOF的面積與△OCD面積相等，∴四邊形CEOF的面積為正方形ABCD面積的14故④正確；⑤在Rt△ECF中，∠EOF＝90°，根據(jù)勾股定理，得：OE2+OF2＝EF2，故⑤正確；綜上所述，正確的是①②④⑤，故選：C．【點評】本題主要考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用全等證明出△COE≌△DOF，屬于選擇題的壓軸題．二．填空題（共5小題）11．（2025春?陜西期中）如圖，在矩形ABCD中，AB＝BC＝12，P、Q分別是BC、AD的中點，點M、N在CD邊上，MN=12CD，PN與QM相交于點O，則圖中陰影部分的面積為42【考點】矩形的性質(zhì)．【專題】矩形菱形正方形；運算能力．【答案】42．【分析】先連接PQ，作OH⊥CD于H，延長HO交PQ于G，證明△MNO∽△QPO，可得OHOG=12，求得OG、OH的長，進而根據(jù)S陰影＝S四邊形CDQP﹣S△POQ﹣【解答】解：連接PQ，過點O作OH⊥CD于H，延長HO交PQ于G，∵AB＝BC，∴四邊形ABCD是正方形，∴CD＝12＝AD＝BC．∵CP=QD=12∴四邊形CDQP是矩形，∴PQ∥MN，MN=∴△MNO∽△QPO，∴MNPQ∵CP＝6，∴HG＝6，∴OG＝4，OH＝2，∴S陰影故答案為：42．【點評】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，正方形的性質(zhì)和判定，矩形的性質(zhì)和判定，正確進行計算是解題關(guān)鍵．12．（2025?金水區(qū)校級模擬）如圖，平面直角坐標(biāo)系中正方形ABCD的頂點A（0，12），B（5，0），過D作DF⊥x軸交AC于點E，連接BE，則BE+EF的值為17．【考點】正方形的性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．【專題】矩形菱形正方形；幾何直觀；運算能力；推理能力．【答案】17．【分析】過點D作DH⊥y軸于點H，再根據(jù)點A（0，12），B（5，0）得OA＝12，OB＝5，證明△DAH和△ABO全等得HD＝OA＝12，AH＝OB＝5，則OH＝AH+OA＝17，再證明△DAE和△BAE全等得DE＝BE得BE+EF＝DF＝17，由此可得BE+EF的值．【解答】解：過點D作DH⊥y軸于點H，如圖所示：∴∠DHA＝∠AOB＝90°，∴∠1+∠2＝90°，∵點A（0，12），B（5，0），∴OA＝12，OB＝5，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠DAB＝90°，∠DAE＝∠BAE＝45°，∴∠2+∠3＝90°，∴∠1＝∠3，在△DAH和△ABO中，∠DHA∴△DAH≌△ABO（AAS），∴HD＝OA＝12，AH＝OB＝5，∴OH＝AH+OA＝17，∵DF⊥x軸，∵∠DFO＝∠DHA＝∠AOB＝90°，∴四邊形DHOF是矩形，∴DF＝OH＝17，在△DAE和△BAE中，AD=∴△DAE≌△BAE（SAS），∴DE＝BE，∴BE+EF＝DE+EF＝DF＝17，即BE+EF的值為17．故答案為：17．【點評】此題主要考查了正方形的性質(zhì)，點的坐標(biāo)，熟練掌握正方形的性質(zhì)，點的坐標(biāo)是解決問題的關(guān)鍵，難點是正確地添加輔助線，構(gòu)造全等三角形是解決問題的關(guān)鍵．13．（2025?亭湖區(qū)三模）如圖，過四邊形ABCD的四個頂點分別作對角線AC、BD的平行線，如所圍成的四邊形EFGH是矩形，則原四邊形ABCD需滿足的條件是AC⊥BD．（只需寫出一個符合要求的條件）【考點】矩形的判定；平行公理及推論；平行四邊形的判定．【專題】證明題；開放型．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)平行公理的推論求出EF∥GH，EH∥FG，推出平行四邊形EFGH，證出∠E＝90°即可．【解答】解：添加的條件是AC⊥BD，∵BD∥EF，BD∥GH，∴EF∥GH，同理EH∥GF，∴四邊形EFGH是平行四邊形，∵EF∥BD，AC⊥BD，∴EF⊥AC，∵EH∥AC，∴EF⊥EH，∴∠E＝90°，∴平行四邊形EFGH是矩形，故答案為：AC⊥BD．【點評】本題主要考查對矩形的判定，平行四邊形的判定，平行公理及推論等知識點的理解和掌握，能求出平行四邊形EFHGH和∠E＝90°是解此題的關(guān)鍵．14．（2025?乾安縣模擬）中國結(jié)寓意團圓、美滿，以獨特的東方神韻體現(xiàn)中國人民的智慧和深厚的文化底蘊．小芳家有一個菱形中國結(jié)裝飾，將該中國結(jié)簡化成菱形ABCD，測得BD＝8cm，AC＝6cm，則該菱形的邊長為5cm．【考點】菱形的性質(zhì)；勾股定理．【專題】等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；幾何直觀；推理能力．【答案】5．【分析】根據(jù)菱形的對角線互相平分且垂直得到OA＝3cm，OB＝4cm，再利用勾股定理即可求解．【解答】解：∵菱形ABCD中，BD＝8cm，AC＝6cm，∴OA=12AC=3在直角三角形AOB中，由勾股定理得：AB=OA2+則該菱形的邊長為5cm，故答案為：5．【點評】本題考查菱形的性質(zhì)，勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握菱形的性質(zhì)．15．（2025?市中區(qū)二模）如圖，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝8．點E，F(xiàn)分別是BC，AB邊上的動點，且BF＝2CE，以EF為邊向右作等邊△EFG，連接CF，CG，DG．當(dāng)CG＝EG時，DG的值為27【考點】菱形的性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)．【專題】矩形菱形正方形；推理能力．【答案】27【分析】根據(jù)菱形和等邊三角形的性質(zhì)，推出∠GCD＝∠AFD＝∠CDF，DG＝CG＝FG，從而得到∠FCD＝90°，根據(jù)30度角所對的直角邊等于斜邊一半，求出BF=12BC=4，CF2＝48，證明出F、G、D【解答】解：由條件可知AB＝BC＝CD＝8，AB∥CD，∴∠AFD＝∠CDF，∠BCD＝120°，∵△EFG是等邊三角形，∴∠EFG＝∠FEG＝60°，F(xiàn)G＝EG，∵CG＝EG，∴∠GEC＝∠GCE，F(xiàn)G＝CG，∴∠CFG＝∠FCG，∵∠AFD+∠BFE＝120°，∠BEF+∠BFE＝120°，∴∠AFD＝∠BEF，∵∠BEF+∠CEG＝120°，∠GCE+∠GCD＝120°，∴∠BEF＝∠GCD，∴∠GCD＝∠AFD＝∠CDF，∴DG＝CG＝FG，由條件可知∠AFC+∠FCD＝180°，∴AFD+∠GFC+∠FCG+∠GCD＝2∠GCD+2∠FCG＝180°，∴∠GCD+FCG＝∠FCD＝90°，∴∠BCF＝30°，∴BF=12BC=4，CF2＝BC2﹣∵∠CGF＝180°﹣2∠FCG，∠CGD＝180°﹣2∠GCD，∴∠CGF+∠CGD＝360°﹣2（∠FCG+∠GCD）＝180°，∴F、G、D三點共線，∴DF=∴DG=故答案為：27【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形，勾股定理等知識，證明出F、G、D三點共線是解題關(guān)鍵．三．解答題（共5小題）16．（2025春?武威期中）如圖，在△ABC中，點E、F分別是AB、BC的中點，連接AF，過點C作CD∥FA交EF的延長線于點D，連接BD．（1）求證：CD＝AF．（2）若∠EFB＝90°，EF＝1，BF＝3，求CD的長．【考點】平行四邊形的判定與性質(zhì)；平行線的判定與性質(zhì)；勾股定理；三角形中位線定理．【專題】多邊形與平行四邊形；運算能力．【答案】（1）見解析；（2）13．【分析】（1）根據(jù)中位線的判定和性質(zhì)得出EF∥AC，結(jié)合平行四邊形的判定和性質(zhì)即可證明；（2）結(jié)合中位線的判定和性質(zhì)得出AC＝2EF＝2，再由題意確定CF＝BF＝3，結(jié)合勾股定理及平行四邊形的性質(zhì)即可求解．【解答】（1）證明：由題意可得：EF是△ABC的中位線，∴EF∥AC，又∵CD∥AF，∴四邊形AFDC為平行四邊形，∴CD＝AF；（2）解：∵EF是△ABC的中位線，∴EF∥AC，EF=∴AC＝2EF＝2×1＝2，∴CF＝BF＝3，∵EF∥AC，∠EFB＝90°，∴∠ACF＝90°，∵AF2＝AC2+CF2，∴AF=由（1）得四邊形AFDC為平行四邊形，∴CD=【點評】本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理解三角形，中位線的判定和性質(zhì)，理解題意，綜合運用這些知識點是解題關(guān)鍵．17．（2025?黃島區(qū)校級三模）如圖，?ABCD對角線AC，BD相交于點O，過點D作DE∥AC且DE＝OC，連接CE，OE，OE＝CD．（1）求證：?ABCD是菱形；（2）若AB＝4，∠ABC＝60°，求AE的長．【考點】菱形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)．【專題】等腰三角形與直角三角形；多邊形與平行四邊形；矩形菱形正方形；運算能力；推理能力．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）先證四邊形OCED是平行四邊形．再證平行四邊形OCED是矩形，則∠COD＝90°，得AC⊥BD，然后由菱形的判定即可得出結(jié)論；（2）證△ABC是等邊三角形，得AC＝AB＝4，再由勾股定理得OD＝23，然后由矩形的在得CE＝OD＝23，∠OCE＝90°，即可解決問題．【解答】（1）證明：∵DE∥AC，DE＝OC，∴四邊形OCED是平行四邊形．∵OE＝CD，∴平行四邊形OCED是矩形，∴∠COD＝90°，∴AC⊥BD，∴?ABCD是菱形；（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，∴OA＝OC，CD＝AB＝BC＝4，AC⊥BD，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AC＝AB＝4，∴OA＝OC＝2，在Rt△OCD中，由勾股定理得：OD=CD2由（1）可知，四邊形OCED是矩形，∴CE＝OD＝23，∠OCE＝90°，∴AE=AC2即AE的長為27．【點評】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識，熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18．（2025?水磨溝區(qū)一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，過點D作DE⊥AB于點E，點F在邊CD上，且FC＝AE，連接AF、BF．（1）求證：四邊形DEBF是矩形；（2）若AF平分∠DAB，F(xiàn)C＝3，DF＝5，求BF的長．【考點】矩形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)．【專題】多邊形與平行四邊形；推理能力．【答案】（1）證明見解析；（2）4．【分析】（1）先證四邊形DEBF是平行四邊形，再證∠DEB＝90°，即可得出結(jié)論；（2）證AD＝DF＝5，再由勾股定理求出DE＝4，然后由矩形的性質(zhì)即可求解．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DC∥AB，DC＝AB，∵FC＝AE，∴CD﹣FC＝AB﹣AE，即DF＝BE，∴四邊形DEBF是平行四邊形，又∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴平行四邊形DEBF是矩形；（2）解：∵AF平分∠DAB，∴∠DAF＝∠BAF，∵DC∥AB，∴∠DFA＝∠BAF，∴∠DFA＝∠DAF，∴AD＝DF＝5，在Rt△AED中，由勾股定理得：DE=AD由（1）得：四邊形DEBF是矩形，∴BF＝DE＝4．【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定等知識；熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)，證明四邊形DEBF為矩形是解此題的關(guān)鍵．19．（2025?天河區(qū)校級二模）如圖，在菱形ABCD中，點E、F分別在BC、CD邊上，∠BAF＝∠DAE，求證：BE＝DF．【考點】菱形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．【專題】圖形的全等；矩形菱形正方形；幾何直觀；推理能力．【答案】證明見解答過程．【分析】首先得到AB＝AD，∠B＝∠D，繼而推導(dǎo)出∠BAE＝∠DAF，得到△BAE≌△DAF（ASA），進而得證．【解答】證明：在菱形ABCD中，點E、F分別在BC、CD邊上，∴AB＝AD，∠ABE＝∠ADF，∵∠BAF＝∠DAE，∴∠BAE+∠EAF＝∠EAF+∠DAF，∴∠BAE＝∠DAF，在△BAE和△DAF中，∠B∴△BAE≌△DAF（ASA），∴BE＝DF．【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定定理．20．（2025?岳塘區(qū)校級一模）如圖，在四邊形ABCD中，∠ACB＝∠CAD＝90°，點E在BC上，AE∥DC．（1）求證：四邊形AECD是平行四邊形；（2）若∠B＝30°，AE平分∠BAC，AB=83，求【考點】平行四邊形的判定與性質(zhì)；勾股定理．【專題】線段、角、相交線與平行線；等腰三角形與直角三角形；多邊形與平行四邊形；運算能力；推理能力．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）證AD∥BC，再由平行四邊形的判定即可得出結(jié)論；（2）由平行四邊形的性質(zhì)得EC＝AD＝2，再由含30°角的直角三角形的性質(zhì)得AE＝2EC＝4，進而由勾股定理得AC＝43，然后由含30°角的直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：∵∠ACB＝∠CAD＝90°，∴AD∥BC，又∵AE∥DC，∴四邊形AECD是平行四邊形；（2）解：由（1）可知，四邊形AECD是平行四邊形，∴EC＝AD，∵∠B＝30°，AB=8∴∠BAC＝90°﹣∠B＝60°，AC＝43，∵AE平分∠BAC，∴∠EAC∴∠AEC＝60°，AE＝2CE，在Rt△AEC中，由勾股定理得：AC=AE2∴EC＝4，∴AD＝4．【點評】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)、平行線的判定以及勾股定理等知識，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

考點卡片1．坐標(biāo)與圖形性質(zhì)1、點到坐標(biāo)軸的距離與這個點的坐標(biāo)是有區(qū)別的，表現(xiàn)在兩個方面：①到x軸的距離與縱坐標(biāo)有關(guān)，到y(tǒng)軸的距離與橫坐標(biāo)有關(guān)；②距離都是非負(fù)數(shù)，而坐標(biāo)可以是負(fù)數(shù)，在由距離求坐標(biāo)時，需要加上恰當(dāng)?shù)姆枺?、有圖形中一些點的坐標(biāo)求面積時，過已知點向坐標(biāo)軸作垂線，然后求出相關(guān)的線段長，是解決這類問題的基本方法和規(guī)律．3、若坐標(biāo)系內(nèi)的四邊形是非規(guī)則四邊形，通常用平行于坐標(biāo)軸的輔助線用“割、補”法去解決問題．2．平行公理及推論（1）平行公理：經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行．（2）平行公理中要準(zhǔn)確理解“有且只有”的含義．從作圖的角度說，它是“能但只能畫出一條”的意思．（3）推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行．（4）平行公理的推論可以看做是平行線的一種判定方法，在解題中要注意該結(jié)論在證明直線平行時應(yīng)用．3．平行線的判定與性質(zhì)（1）平行線的判定是由角的數(shù)量關(guān)系判斷兩直線的位置關(guān)系．平行線的性質(zhì)是由平行關(guān)系來尋找角的數(shù)量關(guān)系．（2）應(yīng)用平行線的判定和性質(zhì)定理時，一定要弄清題設(shè)和結(jié)論，切莫混淆．（3）平行線的判定與性質(zhì)的聯(lián)系與區(qū)別區(qū)別：性質(zhì)由形到數(shù)，用于推導(dǎo)角的關(guān)系并計算；判定由數(shù)到形，用于判定兩直線平行．聯(lián)系：性質(zhì)與判定的已知和結(jié)論正好相反，都是角的關(guān)系與平行線相關(guān)．（4）輔助線規(guī)律，經(jīng)常作出兩平行線平行的直線或作出聯(lián)系兩直線的截線，構(gòu)造出三類角．4．全等三角形的判定與性質(zhì)（1）全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．（2）在應(yīng)用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．5．等腰三角形的性質(zhì)（1）等腰三角形的概念有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性質(zhì)①等腰三角形的兩腰相等②等腰三角形的兩個底角相等．【簡稱：等邊對等角】③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．【三線合一】（3）在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線．以上四個元素中，從中任意取出兩個元素當(dāng)成條件，就可以得到另外兩個元素為結(jié)論．6．等邊三角形的判定與性質(zhì)（1）等邊三角形是一個非常特殊的幾何圖形，它的角的特殊性給有關(guān)角的計算奠定了基礎(chǔ)，它的邊角性質(zhì)為證明線段、角相等提供了便利條件．同是等邊三角形又是特殊的等腰三角形，同樣具備三線合一的性質(zhì)，解題時要善于挖掘圖形中的隱含條件廣泛應(yīng)用．（2）等邊三角形的特性如：三邊相等、有三條對稱軸、一邊上的高可以把等邊三角形分成含有30°角的直角三角形、連接三邊中點可以把等邊三角形分成四個全等的小等邊三角形等．（3）等邊三角形判定最復(fù)雜，在應(yīng)用時要抓住已知條件的特點，選取恰當(dāng)?shù)呐卸ǚ椒ǎ话愕?，若從一般三角形出發(fā)可以通過三條邊相等判定、通過三個角相等判定；若從等腰三角形出發(fā)，則想法獲取一個60°的角判定．7．勾股定理（1）勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的變形有：a=c2-b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．8．三角形中位線定理（1）三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．（2）幾何語言：如圖，∵點D、E分別是AB、AC的中點∴DE∥BC，DE=129．平行四邊形的性質(zhì)（1）平行四邊形的概念：有兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形．（2）平行四邊形的性質(zhì)：①邊：平行四邊形的對邊相等．②角：平行四邊形的對角相等．③對角線：平行四邊形的對角線互相平分．（3）平行線間的距離處處相等．（4）平行四邊形的面積：①平行四邊形的面積等于它的底和這個底上的高的積．②同底（等底）同高（等高）的平行四邊形面積相等．10．平行四邊形的判定（1）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形．符號語言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四邊行ABCD是平行四邊形．（2）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形．符號語言：∵AB＝DC，AD＝BC∴四邊行ABCD是平行四邊形．（3）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．符號語言：∵AB∥DC，AB＝DC∴四邊行ABCD是平行四邊形．（4）兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形．符號語言：∵∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝