4.3.2二階常系數(shù)線性非齊次微分方程教學(xué)目標(biāo)：（1）了解二階常系數(shù)線性非齊次微分方程及解的構(gòu)成；（2）學(xué)會(huì)求、、的二階常系數(shù)線性非齊次微分方程的特解和通解。教學(xué)重點(diǎn)： 二階常系數(shù)線性非齊次微分方程通解。教學(xué)難點(diǎn)： 根據(jù)的不同形式設(shè)出二階常系數(shù)線性非齊次微分方程一個(gè)特解的過程。授課時(shí)數(shù)：2課時(shí).教學(xué)過程過程備注1.的情形新知識(shí)下面研究微分方程．(4.8)其中是的次多項(xiàng)式，是常數(shù).可以證明，方程（4.8）具有形如的特解，其中是與同次多項(xiàng)式，而的值與有關(guān)，如表4-2所示．表4-2的形式的值特解的形式不是特征根是特征單根是特征雙根這樣，解微分方程（4.8）的步驟為（1）求出方程的通解；（2）根據(jù)表4－2設(shè)方程（4.8）特解，代入（4.8）確定，從而得到特解；（3）根據(jù)定理3寫出方程的通解．教師講授10′知識(shí)鞏固例4解微分方程.解對(duì)應(yīng)的齊次方程為，其特征方程為，解得特征根為，. 所以的通解為.由于，不是特征根，故設(shè).于是，.代入原方程，整理得.比較兩邊同次冪的系數(shù)得，，即，，因此.所以原方程的通解為.例5解微分方程.解對(duì)應(yīng)的齊次方程為，其特征方程為.解得特征根為.所以，齊次方程的通解為.由知，，.由于是特征重根.故設(shè)．于是，.將，，代入原方程，整理得，比較兩邊的同次冪系數(shù)得，，即，.于是.所以原方程的通解為.例6求微分方程滿足初始條件，的特解.解對(duì)應(yīng)的齊次方程為，其特征方程為.解得特征根為，故齊次方程的通解為.這里，.由于不是特征根，故設(shè)，于是，.將，，代入原方程得.比較兩邊的同次冪系數(shù)得，，，即，，.于是.所以原方程的通解為.由初始條件，，得，.所以原方程滿足初始條件的特解是.在教師引領(lǐng)下共同完成30′2.或的情形新知識(shí)可以證明，微分方程或的特解的形式為，（4.9）其中與是同次多項(xiàng)式，的取值與有關(guān)，如表4-3所示.表4-3的形式的值特解的形式或不是特征根當(dāng)是特征根這樣，解微分方程（4.9）的步驟為（1）求出方程的通解；（2）根據(jù)表4－2設(shè)方程（4.9）特解，代入（4.9）確定，與，從而得到特解；（3）根據(jù)定理3寫出方程的通解．教師講授40′知識(shí)鞏固例7解微分方程.解對(duì)應(yīng)的齊次方程為，其特征方程為.解得特征根為，，故.因?yàn)?，，即不是特征根，所?因此設(shè)微分方程的特解，于是，，代入原方程得.比較上式兩邊同類項(xiàng)的系數(shù)，得解得，故原微分方程的一個(gè)特解.所以原微分方程的通解為.例8求微分方程的通解.解對(duì)應(yīng)的齊次方程為，其特征方程，解得特征根.故對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解，這里不是特征方程的特征根，所以，設(shè)該微分方程的特解為，于是，，，代入原方程,得,比較上式兩邊同類項(xiàng)的系數(shù)，得解得，，，．這里原微分方程的一個(gè)特解為，所以原微分方程的通解為在教師引領(lǐng)下共同完成55′鏈接軟件軟件matlab廣泛應(yīng)用于工程技術(shù)中的各種微分方程求解問題．解常微分方程經(jīng)常使用的命令是“s=dsolve(‘方程1’,‘方程2’,…,’初始條件1’，’初始條件2’…,’自變量’)

，詳見實(shí)驗(yàn)4. 利用軟件解例9的步驟為 輸入：>>s=dsolve('D2y+y=x*cos(2*x)','x')%解微分方程 顯示：s=sin(x)*C2+cos(x)*C1+4/9*sin(2*x)-1/3*x*cos(2*x)．即．教師講授65′練習(xí)4.3.2解下列微分方程.(1)；（2）．在