2025年高考數(shù)學(xué)模擬檢測(cè)卷-數(shù)列極限與級(jí)數(shù)求和習(xí)題考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1.設(shè)數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=(-1)^(n+1)*(n/(n+1))，則下列關(guān)于該數(shù)列的說法正確的是（）A.數(shù)列{a_n}是單調(diào)遞增的B.數(shù)列{a_n}是單調(diào)遞減的C.數(shù)列{a_n}的極限為1D.數(shù)列{a_n}的極限為-12.已知數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n=n^2-2n+1，則b_3的值是（）A.3B.4C.5D.63.若數(shù)列{c_n}滿足c_1=1，c_n=c_(n-1)+2^(n-1)，則c_5的值是（）A.31B.63C.127D.2554.數(shù)列{d_n}的通項(xiàng)公式為d_n=n/(n+1)，則當(dāng)n趨于無窮大時(shí)，d_n的極限是（）A.0B.1C.-1D.不存在5.已知數(shù)列{e_n}的前n項(xiàng)和為T_n=2^n-1，則e_4的值是（）A.8B.15C.16D.316.若數(shù)列{f_n}滿足f_1=2，f_n=f_(n-1)+3，則f_10的值是（）A.29B.30C.31D.327.數(shù)列{g_n}的通項(xiàng)公式為g_n=(-1)^(n+1)/n，則數(shù)列{g_n}的前10項(xiàng)和的值是（）A.1/2B.1C.3/2D.28.已知數(shù)列{h_n}的前n項(xiàng)和為U_n=n(n+1)/2，則h_5的值是（）A.10B.15C.20D.259.若數(shù)列{i_n}滿足i_1=1，i_n=i_(n-1)*2，則i_4的值是（）A.8B.16C.32D.6410.數(shù)列{j_n}的通項(xiàng)公式為j_n=1/(n(n+1))，則當(dāng)n趨于無窮大時(shí)，j_n的極限是（）A.0B.1C.-1D.不存在二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分。請(qǐng)將答案填寫在答題卡相應(yīng)位置。）11.設(shè)數(shù)列{k_n}的通項(xiàng)公式為k_n=n^2/(n^2+1)，則數(shù)列{k_n}的前3項(xiàng)和的值是________。12.已知數(shù)列{l_n}的前n項(xiàng)和為V_n=3^n-1，則l_3的值是________。13.若數(shù)列{m_n}滿足m_1=2，m_n=m_(n-1)+n，則m_6的值是________。14.數(shù)列{p_n}的通項(xiàng)公式為p_n=(-1)^(n+1)*(1/(2n-1))，則數(shù)列{p_n}的前5項(xiàng)和的值是________。15.已知數(shù)列{q_n}的前n項(xiàng)和為W_n=n^2+n，則q_4的值是________。三、解答題（本大題共5小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）16.（本小題滿分15分）設(shè)數(shù)列{r_n}的通項(xiàng)公式為r_n=n/(n+1)，求證：數(shù)列{r_n}是單調(diào)遞增的。17.（本小題滿分15分）已知數(shù)列{s_n}的前n項(xiàng)和為S_n=n^2-2n+1，求s_5的值，并證明數(shù)列{s_n}的通項(xiàng)公式。18.（本小題滿分15分）若數(shù)列{t_n}滿足t_1=1，t_n=t_(n-1)+2^(n-1)，求證：數(shù)列{t_n}的通項(xiàng)公式為t_n=2^n-1。19.（本小題滿分15分）數(shù)列{u_n}的通項(xiàng)公式為u_n=(-1)^(n+1)/n，求證：數(shù)列{u_n}的前n項(xiàng)和的極限存在，并求出該極限值。20.（本小題滿分15分）已知數(shù)列{v_n}的前n項(xiàng)和為T_n=n(n+1)/2，求證：數(shù)列{v_n}的通項(xiàng)公式為v_n=n，并求出數(shù)列{v_n}的前10項(xiàng)和的值。三、解答題（本大題共5小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）21.（本小題滿分15分）已知數(shù)列{w_n}的前n項(xiàng)和為U_n=n^2+3n，求證：數(shù)列{w_n}的通項(xiàng)公式為w_n=2n+3。22.（本小題滿分15分）設(shè)數(shù)列{x_n}的通項(xiàng)公式為x_n=(-1)^(n+1)*(1/(n+1))，求證：數(shù)列{x_n}的前n項(xiàng)和的極限存在，并求出該極限值。23.（本小題滿分15分）若數(shù)列{y_n}滿足y_1=2，y_n=y_(n-1)+n，求證：數(shù)列{y_n}的通項(xiàng)公式為y_n=n(n+1)/2。24.（本小題滿分15分）數(shù)列{z_n}的通項(xiàng)公式為z_n=1/(n(n+1))，求證：數(shù)列{z_n}的前n項(xiàng)和的極限為1。25.（本小題滿分15分）已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為V_n=2^n-1，求證：數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=2^(n-1)，并求出數(shù)列{a_n}的前5項(xiàng)和的值。四、解答題（本大題共5小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）26.（本小題滿分15分）設(shè)數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式為b_n=n/(n+1)，求證：數(shù)列{b_n}是單調(diào)遞增的。27.（本小題滿分15分）已知數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為S_n=n^2-2n+1，求c_5的值，并證明數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式。28.（本小題滿分15分）若數(shù)列{d_n}滿足d_1=1，d_n=d_(n-1)+2^(n-1)，求證：數(shù)列{d_n}的通項(xiàng)公式為d_n=2^n-1。29.（本小題滿分15分）數(shù)列{e_n}的通項(xiàng)公式為e_n=(-1)^(n+1)/n，求證：數(shù)列{e_n}的前n項(xiàng)和的極限存在，并求出該極限值。30.（本小題滿分15分）已知數(shù)列{f_n}的前n項(xiàng)和為T_n=n(n+1)/2，求證：數(shù)列{f_n}的通項(xiàng)公式為f_n=n，并求出數(shù)列{f_n}的前10項(xiàng)和的值。本次試卷答案如下一、選擇題答案及解析1.C解析：觀察數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=(-1)^(n+1)*(n/(n+1))，可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，a_n為正數(shù)，且隨著n增大，n/(n+1)趨近于1；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，a_n為負(fù)數(shù)，且隨著n增大，n/(n+1)也趨近于1。因此，數(shù)列{a_n}的極限為1。2.B解析：根據(jù)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n=n^2-2n+1，可以求得b_3=S_3-S_2=(3^2-2*3+1)-(2^2-2*2+1)=4。3.A解析：根據(jù)數(shù)列{c_n}的遞推公式c_n=c_(n-1)+2^(n-1)，可以逐項(xiàng)計(jì)算得到c_5=1+2^0+2^1+2^2+2^3=31。4.B解析：數(shù)列{d_n}的通項(xiàng)公式d_n=n/(n+1)可以化簡(jiǎn)為d_n=1-1/(n+1)。當(dāng)n趨于無窮大時(shí)，1/(n+1)趨于0，因此d_n的極限為1。5.C解析：根據(jù)數(shù)列{e_n}的前n項(xiàng)和T_n=2^n-1，可以求得e_4=T_4-T_3=(2^4-1)-(2^3-1)=16。6.D解析：根據(jù)數(shù)列{f_n}的遞推公式f_n=f_(n-1)+3，可以逐項(xiàng)計(jì)算得到f_10=2+3*(10-1)=32。7.B解析：數(shù)列{g_n}的通項(xiàng)公式g_n=(-1)^(n+1)/n，前10項(xiàng)和為1/1-1/2+1/3-1/4+...+1/9-1/10=1-1/2+1/3-1/4+...+1/9-1/10=1。8.B解析：根據(jù)數(shù)列{h_n}的前n項(xiàng)和U_n=n(n+1)/2，可以求得h_5=U_5-U_4=(5*6)/2-(4*5)/2=15。9.C解析：根據(jù)數(shù)列{i_n}的遞推公式i_n=i_(n-1)*2，可以逐項(xiàng)計(jì)算得到i_4=1*2^3=8。10.A解析：數(shù)列{j_n}的通項(xiàng)公式j(luò)_n=1/(n(n+1))可以分解為j_n=1/n-1/(n+1)。當(dāng)n趨于無窮大時(shí)，1/n和1/(n+1)都趨于0，因此j_n的極限為0。二、填空題答案及解析11.1解析：數(shù)列{k_n}的通項(xiàng)公式k_n=n^2/(n^2+1)，前3項(xiàng)和為k_1+k_2+k_3=1/2+4/5+9/10=1。12.8解析：根據(jù)數(shù)列{l_n}的前n項(xiàng)和V_n=3^n-1，可以求得l_3=V_3-V_2=(3^3-1)-(3^2-1)=8。13.20解析：根據(jù)數(shù)列{m_n}的遞推公式m_n=m_(n-1)+n，可以逐項(xiàng)計(jì)算得到m_6=2+3+4+5+6=20。14.1解析：數(shù)列{p_n}的通項(xiàng)公式p_n=(-1)^(n+1)*(1/(2n-1))，前5項(xiàng)和為p_1+p_2+p_3+p_4+p_5=1-1/3+1/5-1/7+1/9=1。15.20解析：根據(jù)數(shù)列{q_n}的前n項(xiàng)和W_n=n^2+n，可以求得q_4=W_4-W_3=(4^2+4)-(3^2+3)=20。三、解答題答案及解析16.證明：要證明數(shù)列{r_n}是單調(diào)遞增的，需要證明對(duì)于任意的n，都有r_(n+1)>r_n。由于r_n=n/(n+1)，因此r_(n+1)=(n+1)/(n+2)。計(jì)算r_(n+1)-r_n=(n+1)/(n+2)-n/(n+1)=(n^2+2n+1-n^2-2n)/(n+1)(n+2)=1/(n+1)(n+2)>0。因此，數(shù)列{r_n}是單調(diào)遞增的。17.解：根據(jù)數(shù)列{s_n}的前n項(xiàng)和S_n=n^2-2n+1，可以求得s_5=S_5-S_4=(5^2-2*5+1)-(4^2-2*4+1)=5。數(shù)列{s_n}的通項(xiàng)公式可以通過s_n=S_n-S_(n-1)求得，s_n=(n^2-2n+1)-((n-1)^2-2(n-1)+1)=2n-3。18.證明：要證明數(shù)列{t_n}的通項(xiàng)公式為t_n=2^n-1，可以使用數(shù)學(xué)歸納法。首先，當(dāng)n=1時(shí)，t_1=1=2^1-1，公式成立。假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，t_k=2^k-1成立，那么當(dāng)n=k+1時(shí)，t_(k+1)=t_k+2^k=(2^k-1)+2^k=2^(k+1)-1。因此，數(shù)列{t_n}的通項(xiàng)公式為t_n=2^n-1。19.證明：數(shù)列{u_n}的通項(xiàng)公式u_n=(-1)^(n+1)/n，前n項(xiàng)和為u_1+u_2+...+u_n。當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，前n項(xiàng)和可以配對(duì)為(1-1/2)+(1/3-1/4)+...+(1/(n-1)-1/n)，每一對(duì)和都趨近于0，因此前n項(xiàng)和的極限為0。當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，前n項(xiàng)和可以配對(duì)為(1-1/2)+(1/3-1/4)+...+(1/(n-2)-1/(n-1))+1/n，每一對(duì)和都趨近于0，因此前n項(xiàng)和的極限也為0。因此，數(shù)列{u_n}的前n項(xiàng)和的極限存在，且極限值為0。20.證明：根據(jù)數(shù)列{v_n}的前n項(xiàng)和T_n=n(n+1)/2，可以求得v_n=T_n-T_(n-1)=n(n+1)/2-(n-1)n/2=n。數(shù)列{v_n}的前10項(xiàng)和為1+2+3+...+10=10*11/2=55。四、解答題答案及解析21.證明：根據(jù)數(shù)列{w_n}的前n項(xiàng)和U_n=n^2+3n，可以求得w_n=U_n-U_(n-1)=(n^2+3n)-((n-1)^2+3(n-1))=2n+2。因此，數(shù)列{w_n}的通項(xiàng)公式為w_n=2n+2。22.證明：數(shù)列{x_n}的通項(xiàng)公式x_n=(-1)^(n+1)/(n+1)，前n項(xiàng)和為x_1+x_2+...+x_n。當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，前n項(xiàng)和可以配對(duì)為(1/2-1/3)+(1/4-1/5)+...+(1/(n-1)-1/n)，每一對(duì)和都趨近于0，因此前n項(xiàng)和的極限為0。當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，前n項(xiàng)和可以配對(duì)為(1/2-1/3)+(1/4-1/5)+...+(1/(n-2)-1/(n-1))-1/(n+1)，每一對(duì)和都趨近于0，因此前n項(xiàng)和的