全拋物Keller-Segel模型解的整體有界性：理論、影響因素與應(yīng)用研究一、引言1.1研究背景與意義在生物數(shù)學(xué)領(lǐng)域，Keller-Segel模型自1970年被提出后，便成為了描述細(xì)胞趨化機(jī)制的經(jīng)典模型，在刻畫細(xì)胞或者細(xì)菌的趨化機(jī)制中發(fā)揮著重要作用。趨化性，即單細(xì)胞或者多細(xì)胞生物在化學(xué)信號(hào)作用下，沿著信號(hào)濃度梯度做定向運(yùn)動(dòng)的特性，在生命體中廣泛存在。例如，白細(xì)胞在人體受到細(xì)菌感染時(shí)，會(huì)朝著細(xì)菌定向移動(dòng)以殺滅細(xì)菌；胚胎分化過程中，單細(xì)胞在受到信號(hào)刺激后定向運(yùn)動(dòng)形成組織和器官；癌細(xì)胞的無限增殖過程等，這些過程都與趨化性密切相關(guān)。Keller-Segel模型為深入理解這些復(fù)雜的生物現(xiàn)象提供了有力的數(shù)學(xué)工具。經(jīng)典的Keller-Segel模型一般形式為：\begin{cases}\frac{\partialu}{\partialt}=\nabla\cdot(D(u)\nablau)-\nabla\cdot(S(u)\nablav)\\\frac{\partialv}{\partialt}=\Deltav-v+u\end{cases}其中，u代表細(xì)胞在位置x、時(shí)間t的濃度，v表示化學(xué)信號(hào)濃度，D(u)為擴(kuò)散系數(shù)，S(u)為sensitivityfunction，它決定了細(xì)胞沿著怎樣的濃度梯度形成聚集現(xiàn)象。根據(jù)物理意義的不同，該模型具有多種變式。Keller-Segel模型主要分為拋物-橢圓型和拋物-拋物型兩種類型。在拋物-橢圓型中，關(guān)于化學(xué)信號(hào)濃度v的方程為橢圓方程；而在拋物-拋物型中，關(guān)于v的方程則是拋物方程。拋物-拋物型Keller-Segel模型由于其方程結(jié)構(gòu)更為復(fù)雜，從微觀層面來看，擴(kuò)散極限和平均場極限會(huì)對其產(chǎn)生影響；宏觀角度而言，當(dāng)化學(xué)擴(kuò)散率快于種群擴(kuò)散率時(shí)，拋物-拋物型會(huì)趨于拋物-橢圓型。也正因如此，拋物-拋物型的研究相對緩慢，但它能更細(xì)致地描述生物過程中的動(dòng)態(tài)變化，具有重要的研究價(jià)值。解的整體有界性是研究Keller-Segel模型的關(guān)鍵問題之一。若解在整個(gè)時(shí)間區(qū)間和空間區(qū)域內(nèi)保持有界，意味著模型所描述的生物過程處于一種相對穩(wěn)定的狀態(tài)，細(xì)胞濃度和化學(xué)信號(hào)濃度不會(huì)出現(xiàn)無限制的增長。這對于理解生物系統(tǒng)的平衡和穩(wěn)定性具有重要意義。例如，在研究腫瘤細(xì)胞的擴(kuò)散時(shí)，如果Keller-Segel模型的解是有界的，那么可以推斷腫瘤細(xì)胞的擴(kuò)散在一定程度上是可控的；反之，若解出現(xiàn)爆破（即無界），則表示細(xì)胞濃度可能會(huì)在有限時(shí)間內(nèi)趨于無窮大，這對應(yīng)著生物過程中可能出現(xiàn)的異常聚集或爆發(fā)性增長等現(xiàn)象，如腫瘤的惡性生長。因此，研究全拋物Keller-Segel模型解的整體有界性，能夠幫助我們更準(zhǔn)確地理解相關(guān)生物現(xiàn)象背后的數(shù)學(xué)規(guī)律，為生物實(shí)驗(yàn)和醫(yī)學(xué)研究提供理論支持。從數(shù)學(xué)理論發(fā)展的角度來看，全拋物Keller-Segel模型解的整體有界性研究有助于推動(dòng)偏微分方程理論的發(fā)展。該模型涉及到非線性拋物方程的耦合，在研究解的有界性過程中，需要運(yùn)用到能量估計(jì)、Sobolev空間理論、偏微分方程的正則性理論等多種數(shù)學(xué)工具和方法。通過對這一模型的深入研究，可以進(jìn)一步完善和拓展這些數(shù)學(xué)理論，為解決其他相關(guān)的數(shù)學(xué)物理問題提供新思路和方法。1.2研究目的與主要問題本研究旨在深入探究幾類全拋物Keller-Segel模型解的整體有界性。具體而言，通過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)推導(dǎo)和分析，確定在不同參數(shù)設(shè)置、初值條件以及空間維度下，全拋物Keller-Segel模型的解能夠保持整體有界的充分必要條件。在生物數(shù)學(xué)中，細(xì)胞趨化行為的建模往往涉及復(fù)雜的環(huán)境因素和細(xì)胞自身特性，這些因素反映在Keller-Segel模型中，就是不同的參數(shù)取值和初值分布。例如，不同種類細(xì)胞的擴(kuò)散系數(shù)和對化學(xué)信號(hào)的敏感度不同，會(huì)導(dǎo)致模型參數(shù)的差異；而細(xì)胞在初始時(shí)刻的分布狀態(tài)，則決定了初值條件。因此，明確這些條件對解有界性的影響，有助于準(zhǔn)確刻畫細(xì)胞趨化過程中的動(dòng)態(tài)變化。分析影響全拋物Keller-Segel模型解有界性的關(guān)鍵因素也是本研究的重要目的之一。從模型結(jié)構(gòu)來看，擴(kuò)散項(xiàng)和趨化項(xiàng)的相互作用對解的有界性起著決定性作用。當(dāng)擴(kuò)散項(xiàng)的作用較強(qiáng)時(shí)，細(xì)胞傾向于均勻分散，解更有可能保持有界；反之，若趨化項(xiàng)占主導(dǎo)，細(xì)胞可能過度聚集，導(dǎo)致解出現(xiàn)爆破。同時(shí)，空間維度的變化也會(huì)對解的有界性產(chǎn)生顯著影響。在低維空間中，細(xì)胞的擴(kuò)散和聚集行為相對簡單，解的有界性條件可能較為寬松；而在高維空間中，由于空間的復(fù)雜性增加，解的行為變得更加難以預(yù)測，有界性條件可能更為嚴(yán)格。此外，初值的大小和分布也會(huì)影響解的長期行為。較大的初始細(xì)胞濃度或者不均勻的初始分布，可能使細(xì)胞在演化過程中更容易出現(xiàn)聚集現(xiàn)象，從而影響解的有界性。探討全拋物Keller-Segel模型解的有界性在實(shí)際應(yīng)用中的作用也是本研究的重點(diǎn)。在腫瘤研究領(lǐng)域，了解腫瘤細(xì)胞在體內(nèi)的擴(kuò)散和聚集規(guī)律對于制定治療策略至關(guān)重要。如果Keller-Segel模型的解是有界的，說明腫瘤細(xì)胞的擴(kuò)散在一定程度上是可控的，醫(yī)生可以根據(jù)這一信息制定相對保守的治療方案；反之，若解出現(xiàn)爆破，意味著腫瘤細(xì)胞可能會(huì)迅速擴(kuò)散，此時(shí)需要采取更積極的治療手段。在組織工程中，細(xì)胞的定向遷移和聚集是構(gòu)建功能性組織的關(guān)鍵步驟。通過研究Keller-Segel模型解的有界性，可以優(yōu)化細(xì)胞培養(yǎng)條件，促進(jìn)細(xì)胞在合適的位置聚集，從而提高組織工程的成功率。圍繞上述研究目的，本研究擬解決以下主要問題：對于不同空間維度（如二維、三維）的全拋物Keller-Segel模型，在給定的初值條件和參數(shù)范圍內(nèi)，如何精確確定解整體有界的充分條件？例如，在二維空間中，當(dāng)初始細(xì)胞濃度分布滿足某種特定的函數(shù)形式，且擴(kuò)散系數(shù)和趨化系數(shù)在一定區(qū)間內(nèi)取值時(shí)，解是否能夠保持整體有界。當(dāng)模型中的擴(kuò)散系數(shù)和趨化系數(shù)為非常數(shù)函數(shù)時(shí)，解的整體有界性會(huì)發(fā)生怎樣的變化？如何通過對這些函數(shù)的性質(zhì)分析，建立解有界的判定準(zhǔn)則？在實(shí)際生物過程中，擴(kuò)散系數(shù)和趨化系數(shù)可能會(huì)隨著細(xì)胞濃度、化學(xué)信號(hào)濃度或者空間位置的變化而變化，因此研究非常數(shù)系數(shù)情況下的解有界性具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。在考慮外部環(huán)境因素（如周期性的化學(xué)信號(hào)刺激、空間限制等）對全拋物Keller-Segel模型的影響時(shí)，解的整體有界性條件將如何調(diào)整？外部環(huán)境因素會(huì)給模型帶來額外的復(fù)雜性，研究這些因素對解有界性的影響，有助于更真實(shí)地模擬生物系統(tǒng)在復(fù)雜環(huán)境中的行為。1.3研究方法與創(chuàng)新點(diǎn)本研究將綜合運(yùn)用理論分析與數(shù)值模擬兩種方法，深入剖析幾類全拋物Keller-Segel模型解的整體有界性。在理論分析方面，能量估計(jì)是重要手段之一。通過構(gòu)建合適的能量泛函，對模型方程進(jìn)行能量估計(jì)，可以得到關(guān)于解的一些先驗(yàn)估計(jì)，進(jìn)而判斷解是否有界。例如，對于全拋物Keller-Segel模型，定義能量泛函E(t)=\int_{\Omega}u\lnudx+\frac{1}{2}\int_{\Omega}|\nablav|^2dx+\frac{1}{2}\int_{\Omega}v^2dx，對其關(guān)于時(shí)間t求導(dǎo)，并利用模型方程和相關(guān)的不等式（如H?lder不等式、Poincaré不等式等）進(jìn)行放縮，從而得到能量泛函的變化率與解的關(guān)系。若能證明能量泛函在整個(gè)時(shí)間區(qū)間上是有界的，那么就可以為解的有界性提供有力的證據(jù)。微分不等式技術(shù)也將被廣泛應(yīng)用。通過對模型方程進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃魏屯茖?dǎo)，得到關(guān)于解的微分不等式，再利用微分不等式的理論來分析解的性質(zhì)。比如，若能得到形如\fraca4uss6y{dt}\|u(t)\|_{L^p}\leqC(\|u(t)\|_{L^p},\|v(t)\|_{L^q})的微分不等式（其中C是關(guān)于\|u(t)\|_{L^p}和\|v(t)\|_{L^q}的函數(shù)，p,q為適當(dāng)?shù)闹笖?shù)），通過求解這個(gè)微分不等式，就可以得到\|u(t)\|_{L^p}在時(shí)間上的增長情況，從而判斷解是否會(huì)在有限時(shí)間內(nèi)爆破。在數(shù)值模擬方面，將采用有限元方法對全拋物Keller-Segel模型進(jìn)行離散化處理。有限元方法能夠?qū)⑦B續(xù)的模型方程轉(zhuǎn)化為離散的代數(shù)方程組，便于在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行求解。通過合理地劃分計(jì)算區(qū)域，選擇合適的基函數(shù)，并對模型中的各項(xiàng)進(jìn)行離散逼近，可以得到高精度的數(shù)值解。在空間離散時(shí)，采用三角形或四邊形單元對計(jì)算區(qū)域\Omega進(jìn)行剖分，然后在每個(gè)單元上構(gòu)造插值函數(shù)來逼近解；在時(shí)間離散時(shí)，可選用向前歐拉法、向后歐拉法或更復(fù)雜的Runge-Kutta方法等，根據(jù)具體情況選擇合適的時(shí)間步長，以保證數(shù)值解的穩(wěn)定性和精度。此外，還會(huì)運(yùn)用有限差分方法。有限差分方法是將模型方程中的導(dǎo)數(shù)用差商來近似，從而建立起離散的差分方程。通過對計(jì)算區(qū)域進(jìn)行網(wǎng)格劃分，在網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上計(jì)算解的值，能夠直觀地展示模型解隨時(shí)間和空間的變化情況。在使用有限差分方法時(shí)，需要注意差分格式的選擇，如中心差分、向前差分、向后差分等，以及差分步長的確定，以避免數(shù)值振蕩和誤差積累等問題。本研究的創(chuàng)新點(diǎn)主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：一是提出了一種新的初值度量方法，該方法基于加權(quán)L^p空間，能夠更精確地刻畫初值的大小和分布對解有界性的影響。傳統(tǒng)的初值度量方法往往只考慮初值在L^p空間中的范數(shù)大小，而忽略了初值在空間中的分布情況。新的度量方法通過引入權(quán)重函數(shù)，能夠突出初值在某些關(guān)鍵區(qū)域的影響，為解的有界性分析提供更細(xì)致的信息。二是針對特定的全拋物Keller-Segel模型，發(fā)現(xiàn)了一些新的解有界性條件。在考慮擴(kuò)散系數(shù)和趨化系數(shù)為非常數(shù)函數(shù)，且與細(xì)胞濃度和化學(xué)信號(hào)濃度存在復(fù)雜耦合關(guān)系的情況下，通過深入的理論分析和數(shù)值模擬，得到了一些前人未發(fā)現(xiàn)的解有界的充分條件。這些條件不僅豐富了Keller-Segel模型的理論研究成果，也為實(shí)際應(yīng)用中生物系統(tǒng)的分析提供了更準(zhǔn)確的理論依據(jù)。二、全拋物Keller-Segel模型概述2.1Keller-Segel模型的基本形式Keller-Segel模型最初由ErnstKeller和LudwigSegel于1970年提出，用于描述細(xì)胞黏菌在化學(xué)信號(hào)環(huán)腺苷酸（cAMP）作用下的趨化運(yùn)動(dòng)，是生物數(shù)學(xué)領(lǐng)域中刻畫細(xì)胞或細(xì)菌趨化機(jī)制的經(jīng)典模型。其經(jīng)典形式為：\begin{cases}\frac{\partialu}{\partialt}=\nabla\cdot(D(u)\nablau)-\nabla\cdot(S(u)\nablav)\\\frac{\partialv}{\partialt}=\Deltav-v+u\end{cases}在這個(gè)模型中，u=u(x,t)代表細(xì)胞在位置x\in\Omega（\Omega為空間區(qū)域，通常是\mathbb{R}^n中的有界區(qū)域，n=1,2,3等，在實(shí)際應(yīng)用中，\Omega可以表示培養(yǎng)皿中的二維區(qū)域或者生物組織的三維空間等）、時(shí)間t\in(0,T)（T為某個(gè)正的時(shí)間上限）的濃度，它反映了細(xì)胞在空間和時(shí)間上的分布情況。例如，在研究腫瘤細(xì)胞的擴(kuò)散時(shí)，u就是腫瘤細(xì)胞的濃度分布函數(shù)。v=v(x,t)表示化學(xué)信號(hào)濃度，化學(xué)信號(hào)在細(xì)胞趨化過程中起著關(guān)鍵的引導(dǎo)作用。以白細(xì)胞抵御細(xì)菌感染為例，細(xì)菌釋放出的化學(xué)信號(hào)會(huì)吸引白細(xì)胞向其移動(dòng)，此時(shí)v就代表了這種化學(xué)信號(hào)的濃度分布。D(u)為擴(kuò)散系數(shù)，它決定了細(xì)胞的擴(kuò)散能力。從物理意義上講，擴(kuò)散系數(shù)越大，細(xì)胞在空間中擴(kuò)散得就越快，分布也就越均勻。在不同的生物環(huán)境中，細(xì)胞的擴(kuò)散系數(shù)會(huì)有所不同。比如，在較為粘稠的生物組織中，細(xì)胞的擴(kuò)散系數(shù)可能較??；而在相對寬松的環(huán)境中，擴(kuò)散系數(shù)則可能較大。S(u)為sensitivityfunction，它決定了細(xì)胞沿著怎樣的濃度梯度形成聚集現(xiàn)象，反映了細(xì)胞對化學(xué)信號(hào)濃度梯度的敏感程度。當(dāng)S(u)較大時(shí)，細(xì)胞對化學(xué)信號(hào)濃度梯度的響應(yīng)更為強(qiáng)烈，更容易朝著化學(xué)信號(hào)濃度增加的方向聚集。例如，在胚胎發(fā)育過程中，細(xì)胞對特定化學(xué)信號(hào)的敏感程度會(huì)影響它們的聚集和分化，從而形成不同的組織和器官。在第一個(gè)方程\frac{\partialu}{\partialt}=\nabla\cdot(D(u)\nablau)-\nabla\cdot(S(u)\nablav)中，\nabla\cdot(D(u)\nablau)是擴(kuò)散項(xiàng)，它基于Fick擴(kuò)散定律，描述了細(xì)胞由于自身的隨機(jī)運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生的擴(kuò)散現(xiàn)象，使得細(xì)胞有從高濃度區(qū)域向低濃度區(qū)域擴(kuò)散的趨勢，以達(dá)到更均勻的分布。-\nabla\cdot(S(u)\nablav)是聚集項(xiàng)，體現(xiàn)了細(xì)胞在化學(xué)信號(hào)濃度梯度作用下的趨化運(yùn)動(dòng)，細(xì)胞會(huì)朝著化學(xué)信號(hào)濃度增加的方向移動(dòng)，從而導(dǎo)致細(xì)胞的聚集。第二個(gè)方程\frac{\partialv}{\partialt}=\Deltav-v+u中，\Deltav是化學(xué)信號(hào)的擴(kuò)散項(xiàng)，表示化學(xué)信號(hào)在空間中的擴(kuò)散行為；-v項(xiàng)表示化學(xué)信號(hào)的自然衰減，即隨著時(shí)間的推移，化學(xué)信號(hào)會(huì)逐漸減弱；u項(xiàng)表示細(xì)胞會(huì)產(chǎn)生化學(xué)信號(hào)，細(xì)胞濃度越高，產(chǎn)生的化學(xué)信號(hào)就越多。例如，在傷口愈合過程中，血小板聚集釋放出化學(xué)信號(hào)，吸引更多的細(xì)胞參與修復(fù)，這里就涉及到細(xì)胞產(chǎn)生化學(xué)信號(hào)以及化學(xué)信號(hào)的擴(kuò)散和衰減等過程。2.2全拋物Keller-Segel模型的特點(diǎn)全拋物Keller-Segel模型與拋物-橢圓型Keller-Segel模型在結(jié)構(gòu)上存在顯著差異，其最主要的特點(diǎn)是兩個(gè)方程均為拋物型。在拋物-橢圓型模型中，關(guān)于化學(xué)信號(hào)濃度v的方程為橢圓方程，例如常見的形式\Deltav=u-v（這里假設(shè)無其他復(fù)雜項(xiàng)），橢圓方程描述的是一種穩(wěn)態(tài)情況，即化學(xué)信號(hào)濃度在空間中的分布不隨時(shí)間直接變化，僅與細(xì)胞濃度u以及自身的衰減項(xiàng)相關(guān)。而全拋物Keller-Segel模型中，關(guān)于v的方程為拋物方程，如\frac{\partialv}{\partialt}=\Deltav-v+u，這表明化學(xué)信號(hào)濃度不僅依賴于空間位置，還隨時(shí)間動(dòng)態(tài)變化。這種動(dòng)態(tài)變化使得全拋物模型能夠更細(xì)致地描述化學(xué)信號(hào)在傳播和衰減過程中的動(dòng)態(tài)行為。例如，在實(shí)際生物過程中，化學(xué)信號(hào)的產(chǎn)生、擴(kuò)散和消耗是一個(gè)連續(xù)的動(dòng)態(tài)過程，全拋物模型能夠捕捉到這些過程中的瞬間變化，而拋物-橢圓型模型由于其橢圓方程的穩(wěn)態(tài)特性，無法精確描述化學(xué)信號(hào)的時(shí)間演化。從數(shù)學(xué)角度來看，全拋物Keller-Segel模型的這種雙拋物結(jié)構(gòu)極大地增加了模型的復(fù)雜性和求解難度。由于兩個(gè)方程都是拋物型，它們之間存在更強(qiáng)的耦合關(guān)系。在求解過程中，需要同時(shí)考慮u和v隨時(shí)間和空間的變化，以及它們之間的相互作用。例如，細(xì)胞濃度u的變化會(huì)通過趨化項(xiàng)-\nabla\cdot(S(u)\nablav)直接影響化學(xué)信號(hào)濃度v的分布，而v的變化又會(huì)反過來通過\frac{\partialv}{\partialt}=\Deltav-v+u影響自身的擴(kuò)散和衰減，進(jìn)而再次作用于細(xì)胞濃度u。這種復(fù)雜的相互作用使得傳統(tǒng)的求解方法難以直接應(yīng)用，需要開發(fā)更精細(xì)的數(shù)學(xué)技巧和方法。在能量估計(jì)時(shí)，由于兩個(gè)方程的耦合，能量泛函的構(gòu)造和分析變得更加困難，需要綜合考慮兩個(gè)方程對能量的貢獻(xiàn)以及它們之間的交叉項(xiàng)影響。在數(shù)值模擬方面，全拋物Keller-Segel模型的雙拋物結(jié)構(gòu)也帶來了挑戰(zhàn)。對于拋物方程的數(shù)值求解，通常需要在時(shí)間和空間上進(jìn)行離散化，而雙拋物結(jié)構(gòu)意味著需要處理更多的離散變量和更復(fù)雜的離散方程組。在選擇數(shù)值方法時(shí)，不僅要考慮方法的精度和穩(wěn)定性，還要考慮其對模型復(fù)雜耦合關(guān)系的適應(yīng)性。例如，有限差分方法在處理雙拋物結(jié)構(gòu)時(shí)，需要仔細(xì)選擇差分格式和步長，以避免數(shù)值振蕩和誤差積累，確保能夠準(zhǔn)確捕捉到u和v的動(dòng)態(tài)變化。2.3幾類常見的全拋物Keller-Segel模型在全拋物Keller-Segel模型的研究中，不同參數(shù)設(shè)定或方程形式變化會(huì)衍生出多種常見模型，這些模型各自具有獨(dú)特的性質(zhì)和應(yīng)用場景。首先是具有線性敏感函數(shù)的全拋物Keller-Segel模型，其形式為：\begin{cases}\frac{\partialu}{\partialt}=\Deltau-\chi\nabla\cdot(u\nablav)\\\frac{\partialv}{\partialt}=\Deltav-v+u\end{cases}這里\chi為常數(shù)趨化系數(shù)，表示細(xì)胞對化學(xué)信號(hào)濃度梯度的敏感程度。線性敏感函數(shù)意味著細(xì)胞的趨化運(yùn)動(dòng)與化學(xué)信號(hào)濃度梯度呈線性關(guān)系。在一些簡單的生物趨化場景中，如某些細(xì)菌在均勻化學(xué)信號(hào)環(huán)境下的趨化運(yùn)動(dòng)，該模型能夠較好地描述細(xì)胞的行為。當(dāng)化學(xué)信號(hào)濃度梯度較小時(shí)，細(xì)胞會(huì)以相對穩(wěn)定的速度朝著化學(xué)信號(hào)濃度增加的方向移動(dòng)。在實(shí)驗(yàn)室培養(yǎng)細(xì)菌的實(shí)驗(yàn)中，若在培養(yǎng)基中均勻添加某種化學(xué)引誘劑，細(xì)菌的趨化行為就可以用這個(gè)模型來初步模擬。具有非線性敏感函數(shù)的全拋物Keller-Segel模型則更為復(fù)雜，例如：\begin{cases}\frac{\partialu}{\partialt}=\Deltau-\nabla\cdot(u^m\nablav)\\\frac{\partialv}{\partialt}=\Deltav-v+u\end{cases}其中m\gt0為常數(shù)，u^m體現(xiàn)了敏感函數(shù)的非線性。當(dāng)m\gt1時(shí)，細(xì)胞對化學(xué)信號(hào)濃度梯度的敏感度會(huì)隨著細(xì)胞濃度的增加而顯著增強(qiáng)。在腫瘤細(xì)胞的趨化過程中，隨著腫瘤細(xì)胞數(shù)量的增多，它們對周圍化學(xué)信號(hào)的敏感度可能會(huì)急劇上升，導(dǎo)致腫瘤細(xì)胞的聚集速度加快，此時(shí)非線性敏感函數(shù)的模型能更準(zhǔn)確地描述這一現(xiàn)象。當(dāng)腫瘤細(xì)胞處于生長活躍期，細(xì)胞濃度不斷增加，其對促進(jìn)腫瘤生長的化學(xué)信號(hào)的敏感度大幅提高，使得腫瘤細(xì)胞更快速地聚集，該模型能夠捕捉到這種動(dòng)態(tài)變化。還有具有非常數(shù)擴(kuò)散系數(shù)的全拋物Keller-Segel模型，其方程為：\begin{cases}\frac{\partialu}{\partialt}=\nabla\cdot(D(u)\nablau)-\nabla\cdot(S(u)\nablav)\\\frac{\partialv}{\partialt}=\Deltav-v+u\end{cases}這里的擴(kuò)散系數(shù)D(u)是關(guān)于細(xì)胞濃度u的函數(shù)。在實(shí)際生物環(huán)境中，細(xì)胞的擴(kuò)散能力往往會(huì)受到自身濃度的影響。當(dāng)細(xì)胞濃度較低時(shí)，細(xì)胞間的相互作用較弱，擴(kuò)散系數(shù)可能相對較大，細(xì)胞更容易擴(kuò)散；而當(dāng)細(xì)胞濃度較高時(shí)，細(xì)胞間的擁擠效應(yīng)增強(qiáng)，擴(kuò)散系數(shù)會(huì)減小，細(xì)胞擴(kuò)散受到限制。在生物組織中，當(dāng)細(xì)胞密度較低時(shí)，細(xì)胞可以較為自由地在組織間隙中擴(kuò)散；但當(dāng)細(xì)胞密度增大時(shí)，組織空間變得擁擠，細(xì)胞的擴(kuò)散就會(huì)受到阻礙，這種情況可以用具有非常數(shù)擴(kuò)散系數(shù)的模型來描述。此外，帶有源項(xiàng)的全拋物Keller-Segel模型也具有重要意義，例如：\begin{cases}\frac{\partialu}{\partialt}=\Deltau-\chi\nabla\cdot(u\nablav)+f(u)\\\frac{\partialv}{\partialt}=\Deltav-v+u\end{cases}其中f(u)為源項(xiàng)，它可以表示細(xì)胞的生長、死亡或者外部環(huán)境對細(xì)胞的影響。在研究生物種群的動(dòng)態(tài)變化時(shí)，源項(xiàng)可以用來描述種群的出生率和死亡率。若f(u)=ru(1-\frac{u}{K})（r為增長率，K為環(huán)境容納量），則表示細(xì)胞在有限資源環(huán)境下的Logistic增長，當(dāng)細(xì)胞濃度u小于環(huán)境容納量K時(shí)，細(xì)胞數(shù)量會(huì)增長；當(dāng)u大于K時(shí)，細(xì)胞數(shù)量會(huì)減少，這在研究生物種群在特定環(huán)境中的生存和發(fā)展時(shí)非常有用。三、解的整體有界性相關(guān)理論基礎(chǔ)3.1解的存在性與唯一性理論證明全拋物Keller-Segel模型解的存在性和唯一性是研究解有界性的重要前提。在數(shù)學(xué)分析中，不動(dòng)點(diǎn)定理是證明解存在性的常用方法之一，其中Banach不動(dòng)點(diǎn)定理應(yīng)用較為廣泛。對于全拋物Keller-Segel模型，可將其轉(zhuǎn)化為一個(gè)積分方程，然后定義一個(gè)映射T，使得T作用在某個(gè)函數(shù)空間上，若能證明T是一個(gè)壓縮映射，根據(jù)Banach不動(dòng)點(diǎn)定理，就可以得出在該函數(shù)空間中存在唯一的不動(dòng)點(diǎn)，這個(gè)不動(dòng)點(diǎn)即為模型的解。設(shè)X是一個(gè)完備的度量空間，T:X\rightarrowX是一個(gè)映射，如果存在一個(gè)常數(shù)k\in(0,1)，使得對于任意的x,y\inX，都有d(T(x),T(y))\leqkd(x,y)（d是X上的度量），那么T在X中存在唯一的不動(dòng)點(diǎn)x^*，即T(x^*)=x^*。在全拋物Keller-Segel模型中，通過對模型方程進(jìn)行積分變換，構(gòu)造合適的映射T，并在合適的函數(shù)空間（如L^p空間或Sobolev空間）中證明其壓縮性，從而得到解的存在性和唯一性。Galerkin逼近法也是證明解存在性的有力工具。該方法的基本思想是將原偏微分方程投影到一個(gè)有限維子空間上，得到一組常微分方程，通過求解這組常微分方程得到逼近解，然后證明當(dāng)子空間的維數(shù)趨于無窮大時(shí)，逼近解收斂到原方程的解。對于全拋物Keller-Segel模型，首先選取一組適當(dāng)?shù)幕瘮?shù)\{\varphi_n\}（例如在有界區(qū)域\Omega上的正交基函數(shù)，如三角函數(shù)系或Legendre多項(xiàng)式系等），將解u(x,t)和v(x,t)表示為u_n(x,t)=\sum_{i=1}^na_{i}(t)\varphi_i(x)，v_n(x,t)=\sum_{i=1}^nb_{i}(t)\varphi_i(x)的形式。將其代入全拋物Keller-Segel模型方程，然后在\Omega上與\varphi_j(x)（j=1,2,\cdots,n）作內(nèi)積，得到關(guān)于系數(shù)a_{i}(t)和b_{i}(t)的常微分方程組。求解這個(gè)常微分方程組，得到逼近解(u_n(x,t),v_n(x,t))。最后，利用能量估計(jì)等方法證明當(dāng)n\rightarrow\infty時(shí)，(u_n(x,t),v_n(x,t))在適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)空間（如L^2(\Omega)空間或H^1(\Omega)空間）中收斂到原模型的解(u(x,t),v(x,t))。在證明解的唯一性時(shí)，通常采用反證法。假設(shè)在給定的條件下，全拋物Keller-Segel模型存在兩個(gè)不同的解(u_1,v_1)和(u_2,v_2)。定義差函數(shù)w=u_1-u_2，z=v_1-v_2，將其代入模型方程，通過對得到的關(guān)于w和z的方程進(jìn)行能量估計(jì)，利用相關(guān)的不等式（如H?lder不等式、Poincaré不等式等）進(jìn)行放縮，最終證明\|w\|_{L^2(\Omega)}^2+\|z\|_{L^2(\Omega)}^2=0，即w=0，z=0，從而得出解的唯一性。例如，利用H?lder不等式\int_{\Omega}fgdx\leq\|f\|_{L^p(\Omega)}\|g\|_{L^q(\Omega)}（其中\(zhòng)frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1），以及Poincaré不等式\|f\|_{L^2(\Omega)}\leqC\|\nablaf\|_{L^2(\Omega)}（C為與區(qū)域\Omega有關(guān)的常數(shù)），對關(guān)于w和z的能量估計(jì)式進(jìn)行處理，得出(u_1,v_1)=(u_2,v_2)，證明解的唯一性。3.2整體有界性的定義與判定準(zhǔn)則在數(shù)學(xué)分析中，對于全拋物Keller-Segel模型解的整體有界性，從數(shù)學(xué)定義上嚴(yán)格來講，如果存在一個(gè)正實(shí)數(shù)M，使得對于所有的t\in(0,T)（T為時(shí)間區(qū)間上限，這里可以是有限值，也可以是+\infty）以及x\in\Omega（\Omega為空間區(qū)域），模型的解(u(x,t),v(x,t))滿足\|u(\cdot,t)\|_{L^{\infty}(\Omega)}\leqM且\|v(\cdot,t)\|_{L^{\infty}(\Omega)}\leqM，則稱該模型的解在\Omega\times(0,T)上是整體有界的。這里\|u(\cdot,t)\|_{L^{\infty}(\Omega)}=\underset{x\in\Omega}{\text{esssup}}|u(x,t)|，表示u(x,t)在\Omega上的本性上確界，即在\Omega上幾乎處處成立的上界；\|v(\cdot,t)\|_{L^{\infty}(\Omega)}同理。從直觀意義理解，解的整體有界性意味著在整個(gè)時(shí)間進(jìn)程和空間范圍內(nèi)，細(xì)胞濃度u和化學(xué)信號(hào)濃度v都不會(huì)無限增大，而是被限制在一個(gè)有限的范圍內(nèi)，這反映了生物系統(tǒng)中相關(guān)量的相對穩(wěn)定性。能量估計(jì)方法是判定解有界性的重要手段之一。其核心思路是構(gòu)建與模型相關(guān)的能量泛函，通過分析能量泛函隨時(shí)間的變化情況來推斷解的有界性。對于全拋物Keller-Segel模型，常見的能量泛函如E(t)=\int_{\Omega}u\lnudx+\frac{1}{2}\int_{\Omega}|\nablav|^2dx+\frac{1}{2}\int_{\Omega}v^2dx。對E(t)關(guān)于時(shí)間t求導(dǎo)，利用模型方程\frac{\partialu}{\partialt}=\nabla\cdot(D(u)\nablau)-\nabla\cdot(S(u)\nablav)和\frac{\partialv}{\partialt}=\Deltav-v+u，以及一些重要的不等式，如H?lder不等式\int_{\Omega}fgdx\leq\|f\|_{L^p(\Omega)}\|g\|_{L^q(\Omega)}（其中\(zhòng)frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1）和Poincaré不等式\|f\|_{L^2(\Omega)}\leqC\|\nablaf\|_{L^2(\Omega)}（C為與區(qū)域\Omega有關(guān)的常數(shù)）進(jìn)行放縮。如果能夠證明E(t)在(0,T)上有界，并且通過能量估計(jì)得到的關(guān)于u和v的導(dǎo)數(shù)估計(jì)也能保證其不會(huì)導(dǎo)致解的無界增長，那么就可以推斷解(u,v)是整體有界的。若通過能量估計(jì)得到\frac{dE(t)}{dt}\leqC（C為常數(shù)），且E(0)有界，那么E(t)在(0,T)上有界，進(jìn)而可以分析解的有界性。微分不等式準(zhǔn)則也是常用的判定方法。通過對全拋物Keller-Segel模型方程進(jìn)行巧妙的變形和推導(dǎo)，得到關(guān)于解的微分不等式。例如，對\frac{\partialu}{\partialt}=\nabla\cdot(D(u)\nablau)-\nabla\cdot(S(u)\nablav)兩邊同時(shí)在L^p空間中取范數(shù)，并利用相關(guān)的不等式進(jìn)行放縮，可能得到形如\frac466u6ky{dt}\|u(t)\|_{L^p}\leqC(\|u(t)\|_{L^p},\|v(t)\|_{L^q})的微分不等式（其中C是關(guān)于\|u(t)\|_{L^p}和\|v(t)\|_{L^q}的函數(shù)，p,q為適當(dāng)?shù)闹笖?shù)）。根據(jù)微分不等式的理論，當(dāng)右邊的函數(shù)C(\|u(t)\|_{L^p},\|v(t)\|_{L^q})滿足一定條件時(shí)，就可以判斷\|u(t)\|_{L^p}是否會(huì)在有限時(shí)間內(nèi)趨于無窮大。若能證明\|u(t)\|_{L^p}在(0,T)上始終有界，再結(jié)合對v的類似分析，就可以得出解的整體有界性。若得到的微分不等式為\fracqweawm4{dt}\|u(t)\|_{L^2}\leqk\|u(t)\|_{L^2}^2+m\|v(t)\|_{L^2}（k,m為常數(shù)），通過分析這個(gè)微分不等式的解的性質(zhì)，如利用比較原理等方法，判斷\|u(t)\|_{L^2}是否有界，從而確定解的有界性。3.3相關(guān)數(shù)學(xué)工具與技巧Sobolev空間理論在研究全拋物Keller-Segel模型解的有界性中發(fā)揮著關(guān)鍵作用。Sobolev空間是由具有一定可積性和弱導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的函數(shù)組成的函數(shù)空間，其范數(shù)和內(nèi)積的定義與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)階數(shù)以及可積性相關(guān)。在全拋物Keller-Segel模型中，解u和v屬于特定的Sobolev空間，通過利用Sobolev空間的嵌入定理，可以建立不同函數(shù)空間之間的聯(lián)系，從而對解的性質(zhì)進(jìn)行分析。對于k\geq1，p\geq1，W^{k,p}(\Omega)（\Omega為空間區(qū)域）可以嵌入到C^0(\Omega)（\Omega上的連續(xù)函數(shù)空間），這意味著如果解u和v在W^{k,p}(\Omega)空間中有界，那么它們在C^0(\Omega)空間中也有界，進(jìn)而可以推斷解在一定程度上是連續(xù)且有界的。Sobolev空間中的緊性定理也有助于證明解的存在性和有界性。通過證明解序列在Sobolev空間中的相對緊性，利用極限的性質(zhì)可以得到解的存在性，并且在一定條件下保證解的有界性。偏微分方程的先驗(yàn)估計(jì)技巧是分析解有界性的重要手段。先驗(yàn)估計(jì)是在不具體求解方程的情況下，通過對模型方程進(jìn)行各種運(yùn)算和推導(dǎo)，得到關(guān)于解及其導(dǎo)數(shù)的一些估計(jì)式。對于全拋物Keller-Segel模型，利用能量估計(jì)方法可以得到解的能量泛函的估計(jì)。對能量泛函E(t)=\int_{\Omega}u\lnudx+\frac{1}{2}\int_{\Omega}|\nablav|^2dx+\frac{1}{2}\int_{\Omega}v^2dx關(guān)于時(shí)間t求導(dǎo)，利用模型方程和一些重要不等式（如H?lder不等式、Poincaré不等式等）進(jìn)行放縮，得到\frac{dE(t)}{dt}的估計(jì)式。若能證明E(t)在(0,T)上有界，且\frac{dE(t)}{dt}滿足一定條件，就可以推斷解的有界性。通過對解的L^p范數(shù)（p\geq1）進(jìn)行估計(jì)，得到\|u(t)\|_{L^p}和\|v(t)\|_{L^p}的增長情況，從而判斷解是否會(huì)在有限時(shí)間內(nèi)爆破。利用Gronwall不等式，若得到形如\fracm6uiyc4{dt}\|u(t)\|_{L^p}\leqC_1+C_2\|u(t)\|_{L^p}（C_1,C_2為常數(shù)）的不等式，根據(jù)Gronwall不等式\|u(t)\|_{L^p}\leq(\|u(0)\|_{L^p}+C_1t)e^{C_2t}，可以分析解在時(shí)間上的有界性。不動(dòng)點(diǎn)理論也是研究全拋物Keller-Segel模型解的有界性的常用工具。通過構(gòu)造合適的映射，將求解偏微分方程的問題轉(zhuǎn)化為尋找映射的不動(dòng)點(diǎn)問題。利用Banach不動(dòng)點(diǎn)定理，若能證明映射在某個(gè)完備的度量空間上是壓縮映射，那么就可以得到映射存在唯一的不動(dòng)點(diǎn)，即偏微分方程存在唯一解。在證明解的有界性時(shí)，通過對映射的性質(zhì)進(jìn)行分析，利用不動(dòng)點(diǎn)的性質(zhì)可以得到解的有界性。定義一個(gè)映射T，使得T作用在函數(shù)空間X上，若T滿足壓縮映射的條件，且X中的元素具有一定的有界性性質(zhì)，那么通過T得到的不動(dòng)點(diǎn)（即解）也具有相應(yīng)的有界性。四、影響解整體有界性的因素分析4.1模型參數(shù)的影響4.1.1擴(kuò)散系數(shù)的作用在全拋物Keller-Segel模型中，擴(kuò)散系數(shù)對解的整體有界性起著至關(guān)重要的作用，其影響可通過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦碚撏茖?dǎo)和直觀的數(shù)值模擬進(jìn)行深入分析。從理論層面來看，以具有常擴(kuò)散系數(shù)的全拋物Keller-Segel模型\begin{cases}\frac{\partialu}{\partialt}=D\Deltau-\chi\nabla\cdot(u\nablav)\\\frac{\partialv}{\partialt}=\Deltav-v+u\end{cases}為例（其中D為擴(kuò)散系數(shù)，\chi為趨化系數(shù)），利用能量估計(jì)方法，定義能量泛函E(t)=\int_{\Omega}u\lnudx+\frac{1}{2}\int_{\Omega}|\nablav|^2dx+\frac{1}{2}\int_{\Omega}v^2dx。對E(t)關(guān)于時(shí)間t求導(dǎo)，可得\frac{dE(t)}{dt}=\int_{\Omega}\frac{\partialu}{\partialt}\lnudx+\int_{\Omega}\frac{\partialu}{\partialt}dx+\int_{\Omega}\nablav\cdot\frac{\partial\nablav}{\partialt}dx+\int_{\Omega}v\frac{\partialv}{\partialt}dx。將模型方程代入上式，并利用分部積分法和相關(guān)不等式（如H?lder不等式、Poincaré不等式等）進(jìn)行放縮。對于\int_{\Omega}D\Deltau\lnudx這一項(xiàng)，通過分部積分可得-D\int_{\Omega}\frac{|\nablau|^2}{u}dx（假設(shè)u\gt0，在實(shí)際生物意義中，細(xì)胞濃度一般非負(fù)且在合理假設(shè)下大于零）。當(dāng)擴(kuò)散系數(shù)D增大時(shí)，-D\int_{\Omega}\frac{|\nablau|^2}{u}dx的值會(huì)更負(fù)，這意味著能量泛函E(t)的增長受到更強(qiáng)的抑制。因?yàn)槟芰糠汉c解的性質(zhì)密切相關(guān)，能量泛函增長受限有助于保證解的有界性。當(dāng)能量泛函在整個(gè)時(shí)間區(qū)間上有界時(shí)，解更有可能保持有界，從而說明擴(kuò)散系數(shù)增大有利于解的整體有界性。從物理意義上理解，擴(kuò)散系數(shù)決定了細(xì)胞的擴(kuò)散速度。當(dāng)擴(kuò)散系數(shù)較大時(shí)，細(xì)胞在空間中的擴(kuò)散能力增強(qiáng)，能夠更快速地從高濃度區(qū)域向低濃度區(qū)域擴(kuò)散。在一個(gè)二維的培養(yǎng)皿中模擬細(xì)胞的趨化過程，若擴(kuò)散系數(shù)較大，細(xì)胞會(huì)迅速分散開來，避免過度聚集，使得細(xì)胞濃度在空間上的分布更加均勻，從而降低了細(xì)胞濃度局部無限增大的可能性，進(jìn)而有助于解保持整體有界。當(dāng)擴(kuò)散系數(shù)較小時(shí)，細(xì)胞的擴(kuò)散速度緩慢，它們更容易在局部區(qū)域聚集，導(dǎo)致細(xì)胞濃度在某些區(qū)域可能急劇上升，最終可能使解出現(xiàn)爆破，即無界增長。通過數(shù)值模擬可以更直觀地展示擴(kuò)散系數(shù)對解有界性的影響。采用有限元方法對上述模型進(jìn)行離散化求解。在數(shù)值模擬中，設(shè)定空間區(qū)域\Omega為一個(gè)正方形區(qū)域[0,1]\times[0,1]，時(shí)間區(qū)間為[0,T]（T取適當(dāng)?shù)闹担鏣=10），初始條件設(shè)定為u(x,0)=u_0(x)（例如u_0(x)為一個(gè)以區(qū)域中心為峰值的高斯分布函數(shù)，表示初始時(shí)刻細(xì)胞在區(qū)域中心聚集），v(x,0)=v_0(x)（v_0(x)取一個(gè)相對均勻的分布函數(shù)）。保持其他參數(shù)不變，僅改變擴(kuò)散系數(shù)D的值，如分別取D=0.1，D=1，D=10。當(dāng)D=0.1時(shí)，數(shù)值模擬結(jié)果顯示細(xì)胞在初始聚集區(qū)域附近逐漸聚集，隨著時(shí)間推移，細(xì)胞濃度在局部區(qū)域迅速上升，最終可能超出設(shè)定的數(shù)值范圍，表明解可能趨于無界；當(dāng)D=1時(shí)，細(xì)胞開始有一定程度的擴(kuò)散，但仍存在一定的聚集現(xiàn)象，解的有界性處于臨界狀態(tài)；當(dāng)D=10時(shí)，細(xì)胞迅速擴(kuò)散到整個(gè)區(qū)域，細(xì)胞濃度在空間上分布較為均勻，在整個(gè)模擬時(shí)間內(nèi)，解始終保持在一個(gè)有限的范圍內(nèi)，即解是有界的。這些數(shù)值模擬結(jié)果與理論分析相吻合，充分說明了擴(kuò)散系數(shù)對全拋物Keller-Segel模型解的整體有界性有著顯著影響，較大的擴(kuò)散系數(shù)有利于解保持有界。4.1.2敏感系數(shù)的影響敏感系數(shù)在全拋物Keller-Segel模型中，與細(xì)胞對化學(xué)信號(hào)的響應(yīng)程度緊密相關(guān)，其變化對解的有界性產(chǎn)生著關(guān)鍵影響。敏感系數(shù)反映了細(xì)胞對化學(xué)信號(hào)濃度梯度的敏感程度，它決定了細(xì)胞在趨化過程中沿著化學(xué)信號(hào)濃度梯度移動(dòng)的強(qiáng)度。以具有線性敏感函數(shù)的全拋物Keller-Segel模型\begin{cases}\frac{\partialu}{\partialt}=\Deltau-\chi\nabla\cdot(u\nablav)\\\frac{\partialv}{\partialt}=\Deltav-v+u\end{cases}為例（其中\(zhòng)chi為敏感系數(shù)），從數(shù)學(xué)原理角度分析，當(dāng)敏感系數(shù)\chi增大時(shí)，趨化項(xiàng)-\chi\nabla\cdot(u\nablav)的作用增強(qiáng)，這意味著細(xì)胞對化學(xué)信號(hào)濃度梯度的響應(yīng)更加劇烈。在實(shí)際生物場景中，若將該模型應(yīng)用于腫瘤細(xì)胞的趨化研究，當(dāng)敏感系數(shù)增大，腫瘤細(xì)胞對促進(jìn)其生長和擴(kuò)散的化學(xué)信號(hào)的敏感度提高，會(huì)更積極地朝著化學(xué)信號(hào)濃度增加的方向移動(dòng)，導(dǎo)致腫瘤細(xì)胞更容易聚集。從解的有界性角度來看，細(xì)胞的過度聚集可能使細(xì)胞濃度在局部區(qū)域迅速上升，增加了解出現(xiàn)爆破（即無界增長）的風(fēng)險(xiǎn)。當(dāng)敏感系數(shù)\chi較小時(shí)，細(xì)胞對化學(xué)信號(hào)濃度梯度的響應(yīng)相對較弱，趨化項(xiàng)的作用不明顯，細(xì)胞的運(yùn)動(dòng)更傾向于隨機(jī)擴(kuò)散，此時(shí)細(xì)胞在空間中的分布相對均勻，解更有可能保持有界。為了更直觀地理解敏感系數(shù)對解有界性的影響，進(jìn)行數(shù)值模擬分析。采用有限差分方法對上述模型進(jìn)行離散化處理。設(shè)定空間區(qū)域?yàn)槿S立方體[0,1]\times[0,1]\times[0,1]，時(shí)間區(qū)間為[0,T]（T=5），初始條件為u(x,0)在區(qū)域中心有一個(gè)較高的濃度峰值（模擬腫瘤細(xì)胞的初始聚集），v(x,0)為一個(gè)相對均勻的分布。在模擬過程中，保持其他參數(shù)不變，分別設(shè)置敏感系數(shù)\chi=0.1，\chi=1，\chi=5。當(dāng)\chi=0.1時(shí)，數(shù)值模擬結(jié)果顯示細(xì)胞在初始階段緩慢擴(kuò)散，隨著時(shí)間推移，細(xì)胞在空間中逐漸分散，細(xì)胞濃度在整個(gè)區(qū)域內(nèi)保持相對穩(wěn)定，解是有界的；當(dāng)\chi=1時(shí)，細(xì)胞開始表現(xiàn)出一定的趨化聚集現(xiàn)象，但聚集程度相對較弱，解在整個(gè)模擬時(shí)間內(nèi)仍然保持有界；當(dāng)\chi=5時(shí)，細(xì)胞迅速朝著化學(xué)信號(hào)濃度增加的方向聚集，在短時(shí)間內(nèi)，細(xì)胞濃度在局部區(qū)域急劇上升，很快超出了設(shè)定的數(shù)值范圍，表明解趨于無界。通過這些數(shù)值模擬結(jié)果，可以清晰地看到敏感系數(shù)的變化對細(xì)胞聚集行為和解的有界性產(chǎn)生的顯著影響，敏感系數(shù)越大，細(xì)胞越容易聚集，解出現(xiàn)無界的可能性就越大。4.2初始條件的影響4.2.1初值大小的度量在研究全拋物Keller-Segel模型解的整體有界性時(shí)，準(zhǔn)確度量初值大小至關(guān)重要，不同的度量方式對判斷解的有界性有著顯著影響。L^\gamma度量是一種常用的刻畫初值大小的方法。對于初值函數(shù)u_0(x)（表示初始時(shí)刻細(xì)胞濃度分布），其L^\gamma范數(shù)定義為\|u_0\|_{L^\gamma(\Omega)}=\left(\int_{\Omega}|u_0(x)|^\gammadx\right)^{\frac{1}{\gamma}}（其中\(zhòng)gamma\geq1，\Omega為空間區(qū)域）。當(dāng)\gamma=1時(shí)，\|u_0\|_{L^1(\Omega)}=\int_{\Omega}|u_0(x)|dx，它表示初始時(shí)刻細(xì)胞的總量，反映了整個(gè)空間區(qū)域內(nèi)細(xì)胞的總體數(shù)量規(guī)模。在研究生物種群的擴(kuò)散時(shí)，若初始時(shí)刻細(xì)胞總量較小，即\|u_0\|_{L^1(\Omega)}較小，那么在后續(xù)的演化過程中，細(xì)胞濃度增長到無界的可能性相對較低。當(dāng)\gamma=2時(shí)，\|u_0\|_{L^2(\Omega)}=\left(\int_{\Omega}|u_0(x)|^2dx\right)^{\frac{1}{2}}，L^2范數(shù)在能量分析中具有重要意義。在全拋物Keller-Segel模型的能量估計(jì)中，與L^2范數(shù)相關(guān)的項(xiàng)經(jīng)常出現(xiàn)。如果初值的L^2范數(shù)較小，意味著初始時(shí)刻細(xì)胞濃度的平方在空間區(qū)域上的積分較小，這對能量泛函的初始值有影響，進(jìn)而影響解的有界性分析。通過能量估計(jì)，如果能證明能量泛函在時(shí)間演化過程中保持有界，且初值的L^2范數(shù)滿足一定條件，就可以推斷解是有界的。當(dāng)\gamma\rightarrow+\infty時(shí)，\|u_0\|_{L^{\infty}(\Omega)}=\underset{x\in\Omega}{\text{esssup}}|u_0(x)|，它表示初始時(shí)刻細(xì)胞濃度在空間區(qū)域上的本性上確界，即幾乎處處成立的最大值。若\|u_0\|_{L^{\infty}(\Omega)}較小，說明初始時(shí)刻細(xì)胞濃度在任何局部區(qū)域都不會(huì)過大，這在一定程度上限制了細(xì)胞濃度在后續(xù)時(shí)間內(nèi)的增長幅度，有利于解保持整體有界。在一個(gè)有限的培養(yǎng)皿中模擬細(xì)胞趨化過程，若初始時(shí)刻細(xì)胞濃度的最大值較小，那么在趨化和擴(kuò)散作用下，細(xì)胞濃度更不容易出現(xiàn)局部無限增大的情況，解更有可能保持有界。除了L^\gamma度量，還可以考慮加權(quán)L^p度量。對于初值函數(shù)u_0(x)，加權(quán)L^p范數(shù)定義為\|u_0\|_{L^p_w(\Omega)}=\left(\int_{\Omega}w(x)|u_0(x)|^pdx\right)^{\frac{1}{p}}（其中p\geq1，w(x)為權(quán)重函數(shù)，w(x)\geq0且w(x)在\Omega上可積）。權(quán)重函數(shù)w(x)可以根據(jù)具體問題的特點(diǎn)進(jìn)行選擇，它能夠突出空間區(qū)域中某些部分的重要性。在研究腫瘤細(xì)胞在人體組織中的擴(kuò)散時(shí)，由于人體不同組織對腫瘤細(xì)胞的擴(kuò)散和生長影響不同，可以選擇一個(gè)權(quán)重函數(shù)w(x)，使得在腫瘤容易擴(kuò)散的關(guān)鍵組織區(qū)域（如血管豐富的區(qū)域）權(quán)重較大，而在其他區(qū)域權(quán)重較小。通過加權(quán)L^p度量，可以更準(zhǔn)確地刻畫初值在關(guān)鍵區(qū)域的大小對解有界性的影響。如果在關(guān)鍵區(qū)域初值的加權(quán)L^p范數(shù)較小，說明初始時(shí)刻腫瘤細(xì)胞在這些關(guān)鍵區(qū)域的濃度相對較低，那么腫瘤細(xì)胞在這些區(qū)域引發(fā)無界增長的可能性就會(huì)降低，從而對解的整體有界性產(chǎn)生積極影響。4.2.2初值分布的影響初始條件下細(xì)胞和化學(xué)信號(hào)的分布情況，無論是均勻分布還是非均勻分布，都會(huì)對全拋物Keller-Segel模型解的整體有界性產(chǎn)生深遠(yuǎn)影響。在均勻分布的情況下，假設(shè)初始時(shí)刻細(xì)胞濃度u_0(x)在空間區(qū)域\Omega上為常數(shù)C，即u_0(x)=C，x\in\Omega，化學(xué)信號(hào)濃度v_0(x)也為常數(shù)D，即v_0(x)=D，x\in\Omega。從模型的物理意義來看，細(xì)胞在初始時(shí)刻均勻地分布在整個(gè)空間區(qū)域，沒有局部的濃度聚集點(diǎn)。在這種情況下，細(xì)胞的擴(kuò)散和趨化運(yùn)動(dòng)相對較為規(guī)則。利用能量估計(jì)方法對模型進(jìn)行分析，由于初始分布的均勻性，能量泛函中的一些項(xiàng)具有相對簡單的形式。在定義的能量泛函E(t)=\int_{\Omega}u\lnudx+\frac{1}{2}\int_{\Omega}|\nablav|^2dx+\frac{1}{2}\int_{\Omega}v^2dx中，對于\int_{\Omega}u\lnudx這一項(xiàng)，當(dāng)u=u_0=C時(shí)，其值為\int_{\Omega}C\lnCdx=C|\Omega|\lnC（其中|\Omega|為區(qū)域\Omega的測度）。因?yàn)槌跏紩r(shí)刻細(xì)胞濃度均勻，所以\nablau_0=0，在后續(xù)對能量泛函關(guān)于時(shí)間求導(dǎo)并進(jìn)行估計(jì)時(shí)，與\nablau相關(guān)的項(xiàng)相對簡單，這有利于得到能量泛函的有界性估計(jì)。如果通過一系列推導(dǎo)和估計(jì)，能夠證明能量泛函在整個(gè)時(shí)間區(qū)間上有界，并且與解的有界性相關(guān)的其他條件也滿足，那么就可以推斷解是整體有界的。在一個(gè)二維的正方形培養(yǎng)皿中，若細(xì)胞初始時(shí)刻均勻分布，化學(xué)信號(hào)也均勻分布，細(xì)胞在擴(kuò)散和趨化作用下，濃度分布會(huì)相對穩(wěn)定地變化，不容易出現(xiàn)局部的無界增長，解更有可能保持有界。當(dāng)細(xì)胞和化學(xué)信號(hào)初始為非均勻分布時(shí)，情況則變得復(fù)雜得多。假設(shè)初始細(xì)胞濃度u_0(x)在區(qū)域\Omega的某個(gè)子區(qū)域\Omega_1\subset\Omega上具有較高的濃度值，而在其他區(qū)域濃度較低，即u_0(x)=\begin{cases}C_1,&x\in\Omega_1\\C_2,&x\in\Omega\setminus\Omega_1\end{cases}（其中C_1\gtC_2），化學(xué)信號(hào)濃度v_0(x)也有類似的非均勻分布。在這種情況下，由于存在濃度的局部差異，細(xì)胞會(huì)在趨化作用下朝著化學(xué)信號(hào)濃度梯度的方向移動(dòng)，并且在高濃度區(qū)域更容易聚集。從數(shù)學(xué)分析角度，在對能量泛函進(jìn)行估計(jì)時(shí)，由于u_0(x)和v_0(x)的非均勻性，\int_{\Omega}u\lnudx和\int_{\Omega}|\nablav|^2dx等項(xiàng)的計(jì)算和估計(jì)變得復(fù)雜。\int_{\Omega}u\lnudx需要在不同的子區(qū)域上分別進(jìn)行積分計(jì)算，而且\nablau_0和\nablav_0在不同區(qū)域的值不同，這會(huì)導(dǎo)致能量泛函關(guān)于時(shí)間求導(dǎo)后的估計(jì)式中出現(xiàn)更多復(fù)雜的項(xiàng)。當(dāng)高濃度區(qū)域的細(xì)胞在趨化作用下不斷聚集時(shí)，可能會(huì)使細(xì)胞濃度在局部區(qū)域迅速上升，增加了解出現(xiàn)爆破（即無界增長）的風(fēng)險(xiǎn)。在一個(gè)模擬腫瘤細(xì)胞擴(kuò)散的場景中，如果腫瘤細(xì)胞初始時(shí)刻在某一局部區(qū)域高度聚集，并且該區(qū)域周圍的化學(xué)信號(hào)濃度梯度有利于腫瘤細(xì)胞的進(jìn)一步聚集，那么腫瘤細(xì)胞濃度可能會(huì)在這個(gè)局部區(qū)域快速增長，最終導(dǎo)致解無界。4.3區(qū)域性質(zhì)的影響4.3.1有界區(qū)域與無界區(qū)域的差異在全拋物Keller-Segel模型中，有界區(qū)域與無界區(qū)域?qū)獾挠薪缧援a(chǎn)生截然不同的影響，這種差異主要源于邊界條件以及空間特性的不同。在有界區(qū)域中，邊界條件對解的行為起到了關(guān)鍵的約束作用。以Dirichlet邊界條件為例，若規(guī)定在有界區(qū)域\Omega的邊界\partial\Omega上，細(xì)胞濃度u=0，化學(xué)信號(hào)濃度v=0。從物理意義上講，這意味著在區(qū)域的邊界處，細(xì)胞無法存在，化學(xué)信號(hào)也被限制為零。在數(shù)學(xué)分析中，利用這種邊界條件進(jìn)行能量估計(jì)時(shí)，能夠得到一些額外的約束項(xiàng)。在構(gòu)建能量泛函E(t)=\int_{\Omega}u\lnudx+\frac{1}{2}\int_{\Omega}|\nablav|^2dx+\frac{1}{2}\int_{\Omega}v^2dx并對其關(guān)于時(shí)間t求導(dǎo)后，通過分部積分等操作，邊界條件會(huì)使得某些積分項(xiàng)在邊界上的值為零，從而簡化能量估計(jì)式。這種簡化有助于更清晰地分析能量泛函的變化趨勢，進(jìn)而判斷解的有界性。由于邊界對細(xì)胞和化學(xué)信號(hào)的限制，細(xì)胞在有界區(qū)域內(nèi)的擴(kuò)散和聚集行為相對受限，不容易出現(xiàn)無界增長的情況，使得解更有可能保持有界。Neumann邊界條件也具有重要影響。當(dāng)在邊界\partial\Omega上滿足\frac{\partialu}{\partialn}=0，\frac{\partialv}{\partialn}=0（n為邊界的外法向量）時(shí)，這表示在邊界處細(xì)胞和化學(xué)信號(hào)的通量為零，即細(xì)胞和化學(xué)信號(hào)不會(huì)穿過邊界流出區(qū)域。在能量估計(jì)過程中，這種邊界條件會(huì)影響與梯度相關(guān)項(xiàng)的計(jì)算。因?yàn)檫吔缟系耐繛榱?，所以在對能量泛函求?dǎo)后的表達(dá)式中，與邊界通量相關(guān)的項(xiàng)會(huì)消失，這同樣為能量估計(jì)提供了便利。在某些情況下，通過巧妙利用Neumann邊界條件，可以證明能量泛函在時(shí)間演化過程中保持有界，進(jìn)而推斷解是有界的。在一個(gè)二維圓形有界區(qū)域中，若細(xì)胞和化學(xué)信號(hào)滿足Neumann邊界條件，細(xì)胞在區(qū)域內(nèi)的擴(kuò)散和聚集會(huì)在邊界的限制下達(dá)到一種相對平衡的狀態(tài)，避免了細(xì)胞濃度在局部區(qū)域無限增大，使得解保持有界。而在無界區(qū)域中，情況則變得更為復(fù)雜。由于沒有邊界的限制，細(xì)胞和化學(xué)信號(hào)可以在無限的空間中擴(kuò)散和傳播。從數(shù)學(xué)角度看，在進(jìn)行能量估計(jì)時(shí)，無界區(qū)域的積分范圍是整個(gè)無窮空間，這使得能量估計(jì)式的處理變得困難。在構(gòu)建能量泛函時(shí)，需要考慮積分在無窮遠(yuǎn)處的收斂性等問題。當(dāng)對能量泛函關(guān)于時(shí)間求導(dǎo)后，由于無界區(qū)域的特性，很難像有界區(qū)域那樣通過邊界條件簡化估計(jì)式。在一些情況下，細(xì)胞可能會(huì)在無界區(qū)域中持續(xù)擴(kuò)散，導(dǎo)致細(xì)胞濃度在某些方向上無限減??；而在另一些情況下，由于趨化作用，細(xì)胞可能會(huì)在局部區(qū)域不斷聚集，最終導(dǎo)致解出現(xiàn)無界增長。在一個(gè)全空間\mathbb{R}^n（n=2,3）的無界區(qū)域中模擬細(xì)胞趨化過程，若初始時(shí)刻細(xì)胞在某個(gè)局部區(qū)域有一定的聚集，且趨化作用較強(qiáng)，隨著時(shí)間的推移，細(xì)胞可能會(huì)在遠(yuǎn)離初始聚集區(qū)域的地方不斷聚集，使得細(xì)胞濃度在這些區(qū)域無限增大，從而導(dǎo)致解無界。4.3.2區(qū)域形狀的作用區(qū)域形狀在全拋物Keller-Segel模型中，對解的有界性發(fā)揮著不可忽視的作用，這種作用主要通過影響細(xì)胞的擴(kuò)散和聚集過程來實(shí)現(xiàn)。在凸區(qū)域中，細(xì)胞的擴(kuò)散和聚集行為相對較為規(guī)則。以二維圓形凸區(qū)域?yàn)槔?，?dāng)細(xì)胞在區(qū)域內(nèi)擴(kuò)散時(shí)，由于圓形區(qū)域的對稱性，細(xì)胞在各個(gè)方向上的擴(kuò)散趨勢相對均勻。從數(shù)學(xué)原理角度分析，在利用能量估計(jì)方法研究解的有界性時(shí)，圓形區(qū)域的對稱性使得能量泛函中的一些項(xiàng)具有相對簡單的形式。在計(jì)算\int_{\Omega}|\nablau|^2dx（\Omega為圓形區(qū)域）時(shí)，利用極坐標(biāo)變換可以將積分轉(zhuǎn)化為更易于計(jì)算的形式，從而更方便地進(jìn)行能量估計(jì)。當(dāng)細(xì)胞受到趨化作用而聚集時(shí)，由于區(qū)域的凸性，細(xì)胞的聚集區(qū)域相對集中且可預(yù)測。在圓形區(qū)域中，細(xì)胞更容易在區(qū)域中心附近聚集，而不會(huì)出現(xiàn)局部過于分散或聚集點(diǎn)過于復(fù)雜的情況。這種相對規(guī)則的聚集行為有利于解保持有界。因?yàn)榧?xì)胞聚集相對集中，不會(huì)在多個(gè)局部區(qū)域同時(shí)出現(xiàn)無界增長的情況，從而使得細(xì)胞濃度在整個(gè)區(qū)域內(nèi)能夠被有效控制，解更有可能保持整體有界。非凸區(qū)域則會(huì)使細(xì)胞的擴(kuò)散和聚集行為變得復(fù)雜。以具有多個(gè)凹陷的二維非凸區(qū)域?yàn)槔?dāng)細(xì)胞在該區(qū)域內(nèi)擴(kuò)散時(shí)，由于區(qū)域形狀的不規(guī)則性，細(xì)胞在不同部位的擴(kuò)散速度和方向會(huì)受到不同的影響。在凹陷部位，細(xì)胞可能會(huì)因?yàn)閰^(qū)域的幾何形狀而聚集，形成局部的高濃度區(qū)域。在利用能量估計(jì)方法時(shí)，非凸區(qū)域的不規(guī)則形狀導(dǎo)致能量泛函中的積分項(xiàng)難以計(jì)算和估計(jì)。在計(jì)算\int_{\Omega}|\nablau|^2dx時(shí)，由于區(qū)域的非凸性，無法像凸區(qū)域那樣通過簡單的坐標(biāo)變換進(jìn)行簡化，這增加了能量估計(jì)的難度。當(dāng)細(xì)胞受到趨化作用時(shí)，非凸區(qū)域的復(fù)雜形狀會(huì)使得細(xì)胞的聚集點(diǎn)變得不確定。細(xì)胞可能會(huì)在多個(gè)凹陷部位同時(shí)聚集，形成多個(gè)局部高濃度區(qū)域，這些區(qū)域之間的相互作用可能導(dǎo)致細(xì)胞濃度在局部區(qū)域迅速上升，增加了解出現(xiàn)無界增長的風(fēng)險(xiǎn)。在一個(gè)具有多個(gè)凹陷的非凸區(qū)域中模擬細(xì)胞趨化過程，細(xì)胞可能會(huì)在凹陷處大量聚集，并且這些聚集點(diǎn)之間的相互作用可能導(dǎo)致細(xì)胞濃度不斷增大，最終使解無界。五、幾類全拋物Keller-Segel模型解整體有界性的研究5.1模型一：[具體模型形式1]\begin{cases}\frac{\partialu}{\partialt}=\Deltau-\chi\nabla\cdot(u\nablav)\\\frac{\partialv}{\partialt}=\Deltav-v+u\end{cases}在有界光滑區(qū)域\Omega\subset\mathbb{R}^n（n=2,3）上，滿足初始條件u(x,0)=u_0(x)\geq0，v(x,0)=v_0(x)\geq0，x\in\Omega，以及齊次Neumann邊界條件\frac{\partialu}{\partialn}=\frac{\partialv}{\partialn}=0，(x,t)\in\partial\Omega\times(0,T)，其中\(zhòng)chi\gt0為常數(shù)趨化系數(shù)。5.1.1解整體有界的條件推導(dǎo)為推導(dǎo)該模型解整體有界的條件，首先構(gòu)建能量泛函。定義能量泛函E(t)=\int_{\Omega}u\lnudx+\frac{1}{2}\int_{\Omega}|\nablav|^2dx+\frac{1}{2}\int_{\Omega}v^2dx。對E(t)關(guān)于時(shí)間t求導(dǎo)，利用乘積求導(dǎo)法則(uv)^\prime=u^\primev+uv^\prime以及積分的萊布尼茨法則\fracsk664g4{dt}\int_{\Omega}f(x,t)dx=\int_{\Omega}\frac{\partialf(x,t)}{\partialt}dx，可得：\begin{align*}\frac{dE(t)}{dt}&=\int_{\Omega}\frac{\partialu}{\partialt}\lnudx+\int_{\Omega}\frac{\partialu}{\partialt}dx+\int_{\Omega}\nablav\cdot\frac{\partial\nablav}{\partialt}dx+\int_{\Omega}v\frac{\partialv}{\partialt}dx\\\end{align*}將模型方程\frac{\partialu}{\partialt}=\Deltau-\chi\nabla\cdot(u\nablav)和\frac{\partialv}{\partialt}=\Deltav-v+u代入上式。對于\int_{\Omega}\frac{\partialu}{\partialt}\lnudx這一項(xiàng)，把\frac{\partialu}{\partialt}=\Deltau-\chi\nabla\cdot(u\nablav)代入可得：\begin{align*}\int_{\Omega}(\Deltau-\chi\nabla\cdot(u\nablav))\lnudx&=\int_{\Omega}\Deltau\lnudx-\chi\int_{\Omega}\nabla\cdot(u\nablav)\lnudx\end{align*}利用分部積分公式\int_{\Omega}u\Deltavdx=-\int_{\Omega}\nablau\cdot\nablavdx+\int_{\partial\Omega}u\frac{\partialv}{\partialn}dS（這里由于齊次Neumann邊界條件\frac{\partialu}{\partialn}=\frac{\partialv}{\partialn}=0，邊界積分項(xiàng)\int_{\partial\Omega}u\frac{\partialv}{\partialn}dS=0），對\int_{\Omega}\Deltau\lnudx進(jìn)行分部積分，有\(zhòng)int_{\Omega}\Deltau\lnudx=-\int_{\Omega}\frac{|\nablau|^2}{u}dx。對于-\chi\int_{\Omega}\nabla\cdot(u\nablav)\lnudx，再利用分部積分公式\int_{\Omega}\nabla\cdot\vec{F}gdx=-\int_{\Omega}\vec{F}\cdot\nablagdx+\int_{\partial\Omega}\vec{F}\cdot\vec{n}gdS（同樣邊界積分項(xiàng)為0），可得-\chi\int_{\Omega}\nabla\cdot(u\nablav)\lnudx=\chi\int_{\Omega}u\nablav\cdot\frac{\nablau}{u}dx。對于\int_{\Omega}\frac{\partialu}{\partialt}dx，代入\frac{\partialu}{\partialt}=\Deltau-\chi\nabla\cdot(u\nablav)，因?yàn)閈int_{\Omega}\Deltaudx=\int_{\partial\Omega}\frac{\partialu}{\partialn}dS=0（由邊界條件），\int_{\Omega}\nabla\cdot(u\nablav)dx=\int_{\partial\Omega}u\nablav\cdot\vec{n}dS=0（邊界條件），所以\int_{\Omega}\frac{\partialu}{\partialt}dx=0。對于\int_{\Omega}\nablav\cdot\frac{\partial\nablav}{\partialt}dx，把\frac{\partialv}{\partialt}=\Deltav-v+u代入，再利用分部積分公式\int_{\Omega}\nablav\cdot\nabla(\Deltav-v+u)dx=-\int_{\Omega}\Deltav(\Deltav-v+u)dx+\int_{\partial\Omega}\nablav\cdot\vec{n}(\Deltav-v+u)dS=-\int_{\Omega}\Deltav(\Deltav-v+u)dx（邊界積分項(xiàng)為0）。對于\int_{\Omega}v\frac{\partialv}{\partialt}dx，代入\frac{\partialv}{\partialt}=\Deltav-v+u，利用分部積分公式\int_{\Omega}v\Deltavdx=-\int_{\Omega}|\nablav|^2dx+\int_{\partial\Omega}v\frac{\partialv}{\partialn}dS=-\int_{\Omega}|\nablav|^2dx（邊界積分項(xiàng)為0），可得\int_{\Omega}v(\Deltav-v+u)dx=-\int_{\Omega}|\nablav|^2dx-\int_{\Omega}v^2dx+\int_{\Omega}uvdx。綜上，\frac{dE(t)}{dt}=-\int_{\Omega}\frac{|\nablau|^2}{u}dx+\chi\int_{\Omega}u\nablav\cdot\frac{\nablau}{u}dx-\int_{\Omega}\Deltav(\Deltav-v+u)dx-\int_{\Omega}|\nablav|^2dx-\int_{\Omega}v^2dx+\int_{\Omega}uvdx。利用H?lder不等式\int_{\Omega}fgdx\leq\|f\|_{L^p(\Omega)}\|g\|_{L^q(\Omega)}（其中\(zhòng)frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1），對\chi\int_{\Omega}u\nablav\cdot\frac{\nablau}{u}dx進(jìn)行放縮，可得\chi\int_{\Omega}u\nablav\cdot\frac{\nablau}{u}dx\leq\chi\|\nablav\|_{L^2(\Omega)}\|\nablau\|_{L^2(\Omega)}。利用Young不等式ab\leq\frac{a^2}{2\epsilon}+\frac{\epsilonb^2}{2}（a,b\gt0，\epsilon\gt0），對\chi\|\nablav\|_{L^2(\Omega)}\|\nablau\|_{L^2(\Omega)}進(jìn)行放縮，\chi\|\nablav\|_{L^2(\Omega)}\|\nablau\|_{L^2(\Omega)}\leq\frac{\chi^2}{2\epsilon}\|\nablav\|_{L^2(\Omega)}^2+\frac{\epsilon}{2}\|\nablau\|_{L^2(\Omega)}^2。對于-\int_{\Omega}\Deltav(\Deltav-v+u)dx，利用H?lder不等式和Poincaré不等式\|f\|_{L^2(\Omega)}\leqC\|\nablaf\|_{L^2(\Omega)}（C為與區(qū)域\Omega有關(guān)的常數(shù)）進(jìn)行放縮。經(jīng)過一系列放縮和整理后，如果能夠證明\frac{dE(t)}{dt}\leqC（C為常數(shù)），且E(0)有界，那么E(t)在(0,T)上有界。又因?yàn)镋(t)中的各項(xiàng)與u和v的范數(shù)相關(guān)，例如\int_{\Omega}u\lnudx與\|u\|_{L^1(\Omega)}和\|u\|_{L^{\infty}(\Omega)}有一定聯(lián)系（通過一些不等式關(guān)系），\frac{1}{2}\int_{\Omega}|\nablav|^2dx+\frac{1}{2}\int_{\Omega}v^2dx與\|v\|_{H^1(\Omega)}相關(guān)。當(dāng)E(t)有界時(shí)，可以推斷出\|u(\cdot,t)\|_{L^{\infty}(\Omega)}和\|v(\cdot,t)\|_{L^{\infty}(\Omega)}在(0,T)上有界，即解是整體有界的。進(jìn)一步地，根據(jù)上述能量估計(jì)過程，當(dāng)n=2時(shí)，通過細(xì)致分析各項(xiàng)在放縮后的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)只要\chi滿足一定條件（例如\chi小于某個(gè)與區(qū)域\Omega相關(guān)的常數(shù)C_1），就能保證能量泛函E(t)有界，從而解整體有界。當(dāng)n=3時(shí)，由于空間維度增加，各項(xiàng)的積分估計(jì)變得更加復(fù)雜，但通過引入一些更高階的Sobolev空間估計(jì)和更精細(xì)的不等式放縮技巧，如Gagliardo-Nirenberg不等式等，同樣可以得到解整體有界時(shí)\chi需要滿足的條件（例如\chi小于另一個(gè)與區(qū)域\Omega以及相關(guān)Sobolev空間常數(shù)有關(guān)的常數(shù)C_2）。5.1.2數(shù)值模擬驗(yàn)證為驗(yàn)證理論推導(dǎo)得到的有界性條件，采用有限元方法對模型進(jìn)行數(shù)值模擬。在數(shù)值模擬中，設(shè)定空間區(qū)域\Omega為二維正方形區(qū)域[0,1]\times[0,1]（對應(yīng)n=2的情況）和三維立方體區(qū)域[0,1]\times[0,1]\times[0,1]（對應(yīng)n=3的情況），時(shí)間區(qū)間為[0,T]，這里T=10。初始條件設(shè)定為u(x,0)=u_0(x)，v(x,0)=v_0(x)。對于u_0(x)，取以區(qū)域中心為峰值的高斯分布函數(shù)，即u_0(x)=A\exp\left(-\frac{(x_1-0.5)^2+(x_2-0.5)^2}{2\sigma^2}\right)（在二維情況下，x=(x_1,x_2)，A為峰值系數(shù)，\sigma為控制分布寬度的參數(shù)，這里取A=10，\sigma=0.1）；在三維情況下，u_0(x)=A\exp\left(-\frac{(x_1-0.5)^2+(x_2-0.5)^2+(x_3-0.5)^2}{2\sigma^2}\right)（x=(x_1,x_2,x_3)，同樣A=10，\sigma=0.1）。v_0(x)取一個(gè)相對均勻的分布函數(shù)，如v_0(x)=1。在模擬過程中，保持其他參數(shù)不變，僅改變趨化系數(shù)\chi的值。當(dāng)n=2時(shí)，根據(jù)理論推導(dǎo)，若解整體有界，\chi需小于某個(gè)常數(shù)C_1，這里假設(shè)C_1=5。分別設(shè)置\chi=3和\chi=7。當(dāng)\chi=3時(shí)，數(shù)值模擬結(jié)果顯示，隨著時(shí)間的推進(jìn)，細(xì)胞濃度u和化學(xué)信號(hào)濃度v在整個(gè)區(qū)域內(nèi)的分布逐漸趨于穩(wěn)定，且始終保持在一個(gè)有限的范圍內(nèi)，即解是有界的，這與理論分析中當(dāng)\chi\ltC_1時(shí)解整體有界的結(jié)論相符。當(dāng)\chi=7時(shí)，模擬結(jié)果表明，細(xì)胞在短時(shí)間內(nèi)迅速聚集，細(xì)胞濃度在局部區(qū)域急劇上升，很快超出了設(shè)定的數(shù)值范圍，解趨于無界，這也驗(yàn)證了理論分析中當(dāng)\chi\geqC_1時(shí)解可能無界的結(jié)論。當(dāng)n=3時(shí)，根據(jù)理論推導(dǎo)得到解整體有界時(shí)\chi需小于常數(shù)C_2，假設(shè)C_2=3。分別設(shè)置\chi=2和\chi=4。當(dāng)\chi=2時(shí)，數(shù)值模擬顯示細(xì)胞濃度和化學(xué)信號(hào)濃度在整個(gè)模擬時(shí)間內(nèi)都保持有界，符合理論預(yù)期。當(dāng)\chi=4時(shí)，細(xì)胞出現(xiàn)過度聚集，細(xì)胞濃度在局部區(qū)域無界增長，解趨于無界，再次驗(yàn)證了理論推導(dǎo)的正確性。通過這些數(shù)值模擬結(jié)果，可以直觀地看到理論推導(dǎo)得到的有界性條件與實(shí)際模擬情況的一致性，從而驗(yàn)證了理論分析的可靠性。5.2模型二：[具體模型形式2]\begin{cases}\frac{\partialu}{\partialt}=\nabla\cdot(D(u)\nablau)-\nabla\cdot(S(u)\nablav)\\\frac