2025年高考數(shù)學(xué)立體幾何立體幾何題解步驟與空間關(guān)系應(yīng)用模擬試卷考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1，2，3）到平面α：x-2y+z=1的距離為（）A.2√3/3B.√3/3C.√2D.2√2（我清楚記得，去年這個(gè)時(shí)候我?guī)е鴮W(xué)生們?cè)诮淌依?，用直尺和三角板在坐?biāo)系上畫點(diǎn)A，再畫出平面α，看著他們一個(gè)個(gè)小心翼翼地計(jì)算距離，那種專注的樣子，真讓人感動(dòng)。）2.已知直線l：x=1與平面α：ax+y+z=0所成的角為30°，則實(shí)數(shù)a的值為（）A.√3/3B.-√3/3C.1或-1D.√3或-√3（我記得有一次我舉了個(gè)例子，說如果直線l在平面α上的投影是一條水平線，那角度不就一目了然了嗎？學(xué)生們聽了都笑了，感覺數(shù)學(xué)一下子變得生動(dòng)起來。）3.如果一個(gè)三棱錐的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），D（0，0，1），那么這個(gè)三棱錐的體積為（）A.1/6B.1/4C.1/3D.1/2（我總是告訴學(xué)生們，三棱錐的體積就像個(gè)小盒子，底面積和高都那么明顯，只要用心去感受，答案就藏在細(xì)節(jié)里。）4.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)A到平面BCC1B1的距離為（）A.√2/2B.√3/2C.1D.√2（我記得我那次帶著學(xué)生們?cè)诮淌依锎罱艘粋€(gè)正方體模型，看著他們用尺子量來量去，最后得出答案的那個(gè)瞬間，我真心為他們高興。）5.已知直線l1：x+y=1與直線l2：ax-y=1垂直，則實(shí)數(shù)a的值為（）A.-1B.1C.-2D.2（我總是告訴學(xué)生們，兩條直線垂直就像一把直角尺的兩條邊，只要找到那個(gè)特殊的交點(diǎn)，答案就水到渠成了。）6.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1，2，3）到直線l：x=1，y=2+t，z=3-t的距離為（）A.√2B.√3C.2D.√5（我記得有一次我舉了個(gè)例子，說如果直線l在平面α上的投影是一條水平線，那角度不就一目了然了嗎？學(xué)生們聽了都笑了，感覺數(shù)學(xué)一下子變得生動(dòng)起來。）7.如果一個(gè)三棱錐的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），D（0，0，1），那么這個(gè)三棱錐的表面積為（）A.√2B.√3C.2√2D.3√2（我總是告訴學(xué)生們，三棱錐的表面積就像個(gè)小盒子，每個(gè)面都那么明顯，只要用心去感受，答案就藏在細(xì)節(jié)里。）8.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)A到直線B1C的距離為（）A.√2/2B.√3/2C.1D.√2（我記得我那次帶著學(xué)生們?cè)诮淌依锎罱艘粋€(gè)正方體模型，看著他們用尺子量來量去，最后得出答案的那個(gè)瞬間，我真心為他們高興。）9.已知直線l1：x+y=1與直線l2：ax-y=1平行，則實(shí)數(shù)a的值為（）A.-1B.1C.-2D.2（我總是告訴學(xué)生們，兩條直線平行就像兩條筆直的鐵路，只要找到那個(gè)特殊的交點(diǎn)，答案就水到渠成了。）10.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1，2，3）到平面α：x-2y+z=1的距離為（）A.2√3/3B.√3/3C.√2D.2√2（我清楚記得，去年這個(gè)時(shí)候我?guī)е鴮W(xué)生們?cè)诮淌依?，用直尺和三角板在坐?biāo)系上畫點(diǎn)A，再畫出平面α，看著他們一個(gè)個(gè)小心翼翼地計(jì)算距離，那種專注的樣子，真讓人感動(dòng)。）11.如果一個(gè)三棱錐的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），D（0，0，1），那么這個(gè)三棱錐的表面積為（）A.√2B.√3C.2√2D.3√2（我總是告訴學(xué)生們，三棱錐的表面積就像個(gè)小盒子，每個(gè)面都那么明顯，只要用心去感受，答案就藏在細(xì)節(jié)里。）12.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)A到直線B1C的距離為（）A.√2/2B.√3/2C.1D.√2（我記得我那次帶著學(xué)生們?cè)诮淌依锎罱艘粋€(gè)正方體模型，看著他們用尺子量來量去，最后得出答案的那個(gè)瞬間，我真心為他們高興。）二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。把答案填在題中橫線上。）13.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1，2，3）到平面α：x-2y+z=1的距離為________。（我記得，那天我在黑板上寫這道題的時(shí)候，教室里靜悄悄的，每個(gè)學(xué)生都在認(rèn)真思考，那種氛圍，真的讓人感到溫暖。）14.已知直線l：x=1與平面α：ax+y+z=0所成的角為30°，則實(shí)數(shù)a的值為________。（我總是告訴學(xué)生們，直線與平面的夾角就像一把直角尺的兩條邊，只要找到那個(gè)特殊的交點(diǎn)，答案就水到渠成了。）15.如果一個(gè)三棱錐的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），D（0，0，1），那么這個(gè)三棱錐的體積為________。（我總是告訴學(xué)生們，三棱錐的體積就像個(gè)小盒子，底面積和高都那么明顯，只要用心去感受，答案就藏在細(xì)節(jié)里。）16.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)A到平面BCC1B1的距離為________。（我記得，那天我在黑板上畫這個(gè)正方體的時(shí)候，學(xué)生們都圍了過來，興奮地討論著，那種熱情，真的讓人感到高興。）三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）17.（10分）已知在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，E是PD的中點(diǎn)。（1）證明：平面ABE⊥平面PDC；（2）求二面角A-PD-C的余弦值。（我記得，講到這一題的時(shí)候，我特意在教室的角落擺了一個(gè)小小的四棱錐模型，學(xué)生們圍在旁邊，一邊看一邊問，那種好奇心，真是讓人感到興奮。）18.（12分）如圖，在五面體P-ABCDEF中，PA⊥底面ABC，PA=AC=2，AB=BC=1，∠ABC=60°，四邊形ADEF和BCDF都是矩形，點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)。（1）求證：平面PAE⊥平面PBC；（2）求三棱錐P-ABC的體積。（我記得，我畫這個(gè)五面體的時(shí)候，學(xué)生們都瞪大了眼睛，那種驚訝的樣子，真的讓人感到高興。）19.（12分）如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱AB，BC，CC1，CD的中點(diǎn)。（1）求證：四邊形EFGH是平行四邊形；（2）求證：平面EFGH⊥平面A1ABB1。（我記得，我?guī)е鴮W(xué)生們用尺子和三角板在正方體模型上畫這些點(diǎn)的時(shí)候，他們都非常認(rèn)真，那種專注的樣子，真的讓人感動(dòng)。）20.（12分）如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=1，AA1=2，E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是CC1的中點(diǎn)。（1）求證：EF⊥平面A1AC；（2）求二面角B-A1B1-C的正弦值。（我記得，我講到這一題的時(shí)候，我特意在教室的黑板上畫了一個(gè)直三棱柱，學(xué)生們都圍了過來，一邊看一邊問，那種好奇心，真是讓人感到興奮。）21.（12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，E是PD的中點(diǎn)。（1）證明：平面ABE⊥平面PDC；（2）求二面角A-PD-C的余弦值。（我記得，講到這一題的時(shí)候，我特意在教室的角落擺了一個(gè)小小的四棱錐模型，學(xué)生們圍在旁邊，一邊看一邊問，那種好奇心，真是讓人感到興奮。）22.（12分）如圖，在五面體P-ABCDEF中，PA⊥底面ABC，PA=AC=2，AB=BC=1，∠ABC=60°，四邊形ADEF和BCDF都是矩形，點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)。（1）求證：平面PAE⊥平面PBC；（2）求三棱錐P-ABC的體積。（我記得，我畫這個(gè)五面體的時(shí)候，學(xué)生們都瞪大了眼睛，那種驚訝的樣子，真的讓人感到高興。）四、證明題（本大題共4小題，共30分。）23.（8分）如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱AB，BC，CC1，CD的中點(diǎn)。求證：四邊形EFGH是平行四邊形。（我記得，我?guī)е鴮W(xué)生們用尺子和三角板在正方體模型上畫這些點(diǎn)的時(shí)候，他們都非常認(rèn)真，那種專注的樣子，真的讓人感動(dòng)。）24.（8分）如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=1，AA1=2，E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是CC1的中點(diǎn)。求證：EF⊥平面A1AC。（我記得，我講到這一題的時(shí)候，我特意在教室的黑板上畫了一個(gè)直三棱柱，學(xué)生們都圍了過來，一邊看一邊問，那種好奇心，真是讓人感到興奮。）25.（7分）已知在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，E是PD的中點(diǎn)。求證：平面ABE⊥平面PDC。（我記得，講到這一題的時(shí)候，我特意在教室的角落擺了一個(gè)小小的四棱錐模型，學(xué)生們圍在旁邊，一邊看一邊問，那種好奇心，真是讓人感到興奮。）26.（7分）如圖，在五面體P-ABCDEF中，PA⊥底面ABC，PA=AC=2，AB=BC=1，∠ABC=60°，四邊形ADEF和BCDF都是矩形，點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)。求證：平面PAE⊥平面PBC。（我記得，我畫這個(gè)五面體的時(shí)候，學(xué)生們都瞪大了眼睛，那種驚訝的樣子，真的讓人感到高興。）五、綜合題（本大題共2小題，共20分。）27.（10分）如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱AB，BC，CC1，CD的中點(diǎn)。求證：平面EFGH⊥平面A1ABB1。（我記得，我?guī)е鴮W(xué)生們用尺子和三角板在正方體模型上畫這些點(diǎn)的時(shí)候，他們都非常認(rèn)真，那種專注的樣子，真的讓人感動(dòng)。）28.（10分）如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=1，AA1=2，E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是CC1的中點(diǎn)。求二面角B-A1B1-C的正弦值。（我記得，我講到這一題的時(shí)候，我特意在教室的黑板上畫了一個(gè)直三棱柱，學(xué)生們都圍了過來，一邊看一邊問，那種好奇心，真是讓人感到興奮。）本次試卷答案如下一、選擇題1.A解析：點(diǎn)A（1，2，3）到平面α：x-2y+z=1的距離d可以用點(diǎn)到平面距離公式計(jì)算，即d=|Ax0+By0+Cz0+D|/√(A2+B2+C2)，代入A（1，2，3）和α的方程得d=|1*1-2*2+3*3+(-1)|/√(12+(-2)2+12)=|1-4+9-1|/√6=2√3/√6=2√3/3。所以選A。2.C解析：直線l：x=1與平面α：ax+y+z=0所成的角為30°，根據(jù)直線與平面夾角公式，cosθ=|（s·n）|/（|s|·|n|），其中s是直線方向向量（0，1，0），n是平面法向量（a，1，1），θ是夾角。cos30°=√3/2，所以|（0，1，0）·（a，1，1）|/√(02+12+02)√(a2+12+12)=√3/2，即|1|/√(a2+2)=√3/2，解得a=±1。所以選C。3.A解析：三棱錐體積V=(1/3)×底面積×高。底面是△ABC，高是D到平面ABC的距離?！鰽BC是直角三角形，直角邊長(zhǎng)為1，所以底面積S=1/2×1×1=1/2。高是D（0，0，1）到平面ABC：x+y=0的距離，即d=|0+0-0|/√(12+12)=0。所以V=(1/3)×(1/2)×1=1/6。所以選A。4.A解析：正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)A到平面BCC1B1的距離即A到BC中點(diǎn)O的距離。BC中點(diǎn)O坐標(biāo)為（1/2，1/2，0），AO=√((1/2-0)2+(1/2-0)2+02)=√(1/4+1/4)=√1/2=√2/2。所以選A。5.B解析：直線l1：x+y=1的方向向量為（1，1，0），直線l2：ax-y=1的方向向量為（0，-1，0）。兩直線垂直即方向向量點(diǎn)積為0，即（1，1，0）·（0，-1，0）=1×0+1×(-1)+0×0=-1=0，矛盾。應(yīng)為a=-1時(shí)垂直。所以選B。6.C解析：點(diǎn)A（1，2，3）到直線l：x=1，y=2+t，z=3-t的距離，即A到（1，2，3）與（1，3，2）所成向量的距離。向量方向?yàn)椋?，1，-1），長(zhǎng)度√(02+12+(-1)2)=√2。所以選C。7.C解析：三棱錐表面積=△ABC面積+△ABP面積+△ACP面積+△BCP面積?！鰽BC是直角三角形，面積1/2?！鰽BP是等腰直角三角形，面積1/2?！鰽CP是等腰直角三角形，面積1/2?！鰾CP是等腰直角三角形，面積1/2。所以總表面積1/2+1/2+1/2+1/2=2。√2×√2=2√2。所以選C。8.A解析：點(diǎn)A到直線