第33頁(yè)（共33頁(yè)）2025年新高二數(shù)學(xué)人教A版（2019）學(xué)困生專題復(fù)習(xí)《立體幾何初步》一．選擇題（共8小題）1．（2025春?云南期中）下列命題正確的是（）A．正四棱柱是正方體 B．圓錐的截面是圓 C．一個(gè)棱柱至少有5個(gè)面 D．正三棱錐的所有面都是全等的等邊三角形2．（2025春?邢臺(tái)期中）下列命題正確的是（）A．棱柱中兩個(gè)互相平行的平面一定是棱柱的底面 B．所有面都是三角形的幾何體一定是三棱錐 C．所有側(cè)面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱 D．棱臺(tái)的所有側(cè)棱所在直線一定交于同一點(diǎn)3．（2025春?汕頭校級(jí)期中）圖中的左圖為等大的3個(gè)灰色正方體和15個(gè)白色正方體所組成的多面體，其可以切割為①、②和③三個(gè)小多面體，則③代表的多面體可能是（）A． B． C． D．4．（2025?甘肅校級(jí)模擬）直三棱柱A1B1C1﹣ABC，∠BCA＝90°，點(diǎn)D1，F(xiàn)1分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，BC＝CA＝CC1，則BD1與AF1所成角的余弦值是（）A．12 B．3010 C．3015 5．（2025?天津模擬）如圖三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F(xiàn)分別是AB、AC的中點(diǎn)，平面EFC1B1將三棱柱分成體積為V1，V2（左為V1，右為V2）兩部分，則V1：V2＝（）A．7：5 B．4：3 C．3：1 D．2：16．（2025春?貴州期中）如圖，△A′B′C′是利用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出的△ABC的直觀圖，其中A′C′∥y′軸，A′B′∥x′軸，且A′B′＝B′C′＝2，則△ABC的邊BC＝（）A．2 B．4 C．6 D．27．（2025春?浙江期中）若a，b表示兩條直線，α，β，γ表示三個(gè)不重合的平面，下列命題正確的是（）A．若a?α，b?β，a∥b，則α∥β B．若a?α，b?β，α∥β，則a∥b C．若α∩γ＝a，β∩γ＝b，a∥b，則α∥β D．若α∩γ＝a，β∩γ＝b，α∥β，則a∥b8．（2025春?邯鄲期中）如圖，正方形O′A′B′C′的邊長(zhǎng)為2，它是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，則原平面圖形的周長(zhǎng)的平方與面積的比值為（）A．42 B．82 C．162 二．多選題（共4小題）（多選）9．（2025春?永安市期中）下列命題正確的是（）A．零向量與任意向量共線 B．直平行六面體是長(zhǎng)方體 C．虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù) D．正四面體是正三棱錐（多選）10．（2025春?滄州期中）下列關(guān)于空間幾何體的敘述錯(cuò)誤的是（）A．底面是正方形的棱錐是正四棱錐 B．任何一個(gè)幾何體都必須有頂點(diǎn)、棱和面 C．有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái) D．一個(gè)棱柱至少有5個(gè)面（多選）11．（2025春?阜城縣校級(jí)月考）正方體ABCD﹣A′B′C′D′中，與棱AB異面的棱有（）A．BC′ B．C′D′ C．DD′ D．A′D′（多選）12．（2025春?清遠(yuǎn)期中）下面關(guān)于空間幾何體的表述，正確的是（）A．棱柱的側(cè)面都是平行四邊形 B．直角三角形以其一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的幾何體是圓錐 C．正四棱柱一定是長(zhǎng)方體 D．用一個(gè)平面去截棱錐，底面和截面之間的部分叫做棱臺(tái)三．填空題（共4小題）13．（2025春?浙江月考）已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，若點(diǎn)P是棱DD1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則AP+PC1的最小值為．14．（2025春?邱縣校級(jí)月考）如圖是一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖，它是一個(gè)底角為45°，腰和上底均為1，下底為2+1的等腰梯形，那么原平面圖形的面積為15．（2025春?邢臺(tái)期中）已知某棱錐的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)為m，棱的條數(shù)為k，則k＝．（用含m的式子表示）16．（2025?河北校級(jí)一模）已知一個(gè)正四棱臺(tái)的上、下底面的邊長(zhǎng)分別為1和2，側(cè)棱長(zhǎng)為1，則該正四棱臺(tái)的高為．四．解答題（共4小題）17．（2025春?邯鄲期中）如圖（圖中單位：cm）是一種鑄鐵機(jī)器零件，零件下部是實(shí)心的正四棱柱，上部是實(shí)心的圓柱．（參考數(shù)據(jù)：π≈3）（1）已知鐵的密度為7.8g/cm3，求生產(chǎn)一件這樣的鑄鐵零件需要多少克鐵；（2）要給一批共1000個(gè)零件的表面（包含底面）涂層油漆，若該零件每平方厘米要用油漆0.12g，求總共需要用油漆多少千克．18．（2025春?射洪市校級(jí)期中）如圖所示，長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，其體積為16．（1）求三棱錐D1﹣ADC的體積；（2）求三棱錐D1﹣ADC的表面積．19．（2025春?晉城期中）如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)G，E，F(xiàn)，P分別為棱AB，D1C1，B1C1，AA1的中點(diǎn)，點(diǎn)M是棱A1D1上的一點(diǎn)，且D1M＝3A1M．（1）求證：D，B，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面；（2）求證：D1G∥平面DBFE；（3）已知點(diǎn)N是棱A1B1上的一點(diǎn)，且平面PMN∥平面DBFE，求A120．（2025春?福建期中）如圖，在底面是矩形的四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，E、F分別是PC、PD的中點(diǎn)．（1）求證：EF∥平面PAB；（2）求證：DC⊥平面PAD．

2025年新高二數(shù)學(xué)人教A版（2019）學(xué)困生專題復(fù)習(xí)《立體幾何初步》參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）題號(hào)12345678答案CDABACDC二．多選題（共4小題）題號(hào)9101112答案ADABCCDAC一．選擇題（共8小題）1．（2025春?云南期中）下列命題正確的是（）A．正四棱柱是正方體 B．圓錐的截面是圓 C．一個(gè)棱柱至少有5個(gè)面 D．正三棱錐的所有面都是全等的等邊三角形【考點(diǎn)】棱錐的結(jié)構(gòu)特征；棱柱的結(jié)構(gòu)特征．【專題】對(duì)應(yīng)思想；綜合法；立體幾何；空間想象．【答案】C【分析】根據(jù)柱體和錐體的定義與結(jié)構(gòu)特征，逐一判斷選項(xiàng)即可．【解答】解：選項(xiàng)A，正四棱柱是底面為正方形，且側(cè)棱垂直于底面的棱柱，但側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)不一定相等，所以正四棱柱不一定是正方體，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，圓錐的軸截面是三角形，只有平行于底面的截面才是圓，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，面數(shù)最少的棱柱是三棱柱，共有5個(gè)面，所以一個(gè)棱柱至少有5個(gè)面，故選項(xiàng)C正確；選項(xiàng)D，正三棱錐的所有側(cè)面都是全等的等腰三角形，底面是等邊三角形，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查簡(jiǎn)單空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，熟練掌握柱體和錐體的結(jié)構(gòu)特征是解題的關(guān)鍵，考查空間立體感，屬于基礎(chǔ)題．2．（2025春?邢臺(tái)期中）下列命題正確的是（）A．棱柱中兩個(gè)互相平行的平面一定是棱柱的底面 B．所有面都是三角形的幾何體一定是三棱錐 C．所有側(cè)面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱 D．棱臺(tái)的所有側(cè)棱所在直線一定交于同一點(diǎn)【考點(diǎn)】棱柱的結(jié)構(gòu)特征；棱錐的結(jié)構(gòu)特征．【專題】對(duì)應(yīng)思想；綜合法；立體幾何；邏輯思維．【答案】D【分析】根據(jù)柱體，錐體，臺(tái)體的定義和結(jié)構(gòu)特征逐一判斷即可．【解答】解：選項(xiàng)A，正六棱柱中兩個(gè)互相平行的平面可能是側(cè)面，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，正八面體的所有面都是三角形，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，底面是菱形的直四棱柱的所有側(cè)面都是全等的矩形，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，由棱臺(tái)的定義可知棱臺(tái)的所有側(cè)棱所在直線一定交于同一點(diǎn)，所以D選項(xiàng)正確．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查棱柱、棱錐的結(jié)構(gòu)特征，屬于基礎(chǔ)題．3．（2025春?汕頭校級(jí)期中）圖中的左圖為等大的3個(gè)灰色正方體和15個(gè)白色正方體所組成的多面體，其可以切割為①、②和③三個(gè)小多面體，則③代表的多面體可能是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】棱柱的結(jié)構(gòu)特征．【專題】對(duì)應(yīng)思想；綜合法；立體幾何；邏輯思維．【答案】A【分析】根據(jù)原圖中灰色正方體周邊白色正方體的位置情況依次判斷各項(xiàng)，結(jié)合排除法確定答案．【解答】解：對(duì)于選項(xiàng)B，灰色正方體與兩個(gè)白色正方體相鄰，而原圖灰色正方體均與一個(gè)白色正方體相鄰，顯然與原圖形不符；對(duì)于選項(xiàng)C，灰色正方體與一個(gè)白色正方體相鄰且與另一個(gè)白色正方體共一條棱，顯然與原圖形不符；對(duì)于選項(xiàng)D，灰色正方體有三個(gè)白色正方體相鄰，顯然與原圖形不符；對(duì)于選項(xiàng)A，保留原圖中兩個(gè)相鄰灰色正方體中的一個(gè)，再作合理切割即可得．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查組合體的分割，屬于基礎(chǔ)題．4．（2025?甘肅校級(jí)模擬）直三棱柱A1B1C1﹣ABC，∠BCA＝90°，點(diǎn)D1，F(xiàn)1分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，BC＝CA＝CC1，則BD1與AF1所成角的余弦值是（）A．12 B．3010 C．3015 【考點(diǎn)】異面直線及其所成的角．【專題】計(jì)算題；數(shù)形結(jié)合；向量法；空間位置關(guān)系與距離．【答案】B【分析】以C為原點(diǎn)，CA為x軸，CB為y軸，CC1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出BD1與AF1所成角的余弦值．【解答】解：∵直三棱柱A1B1C1﹣ABC，∠BCA＝90°，∴以C為原點(diǎn)，CB為x軸，CA為y軸，CC1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，∵點(diǎn)D1，F(xiàn)1分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，BC＝CA＝CC1，∴設(shè)BC＝CA＝CC1＝2，則B（2，0，0），D1（1，1，2），A（0，2，0），F(xiàn)1（0，1，2），BD1→=（﹣1，1，2），AF1→設(shè)BD1與AF1所成角為θ，則cosθ=|∴BD1與AF1所成角的余弦值為3010故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．5．（2025?天津模擬）如圖三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F(xiàn)分別是AB、AC的中點(diǎn)，平面EFC1B1將三棱柱分成體積為V1，V2（左為V1，右為V2）兩部分，則V1：V2＝（）A．7：5 B．4：3 C．3：1 D．2：1【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積．【專題】計(jì)算題．【答案】A【分析】設(shè)AEF面積為s1，ABC和A1B1C1的面積為s，三棱柱高位h；VAEF﹣A1B1C1＝V1；VBCFE﹣B1C1＝V2；總體積為：V，根據(jù)棱臺(tái)體積公式求V1；V2＝V﹣V1以及面積關(guān)系，求出體積之比．【解答】解：由題：設(shè)AEF面積為s1，ABC和A1B1C1的面積為s，三棱柱高位h；VAEF﹣A1B1C1＝V1；VBCFE﹣B1C1＝V2；總體積為：V計(jì)算體積：V1=13h（s1+s+V＝sh②V2＝V﹣V1③由題意可知，s1=s根據(jù)①②③④解方程可得：V1=712sh，V2=512故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是棱柱的體積，棱臺(tái)的體積，組合體的體積，其中分析出面EB'C'F將三棱柱分成一個(gè)棱臺(tái)（體積為V1）和一個(gè)不規(guī)則幾何體，（體積為V2），是解答本題的關(guān)鍵．6．（2025春?貴州期中）如圖，△A′B′C′是利用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出的△ABC的直觀圖，其中A′C′∥y′軸，A′B′∥x′軸，且A′B′＝B′C′＝2，則△ABC的邊BC＝（）A．2 B．4 C．6 D．2【考點(diǎn)】由斜二測(cè)直觀圖還原圖形；平面圖形的直觀圖．【專題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；立體幾何；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】根據(jù)題意，在直觀圖中求出A′C′的值，進(jìn)而由斜二測(cè)畫(huà)法分析原圖中的數(shù)據(jù)，計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，直觀圖△A′B′C′中，A′C′∥y′軸，A′B′∥x′軸，且A′B′＝B′C′＝2，則A′C′=4+4=2原圖中，AC∥y軸，AB∥x軸，AC＝42，AB＝2，且∠CAB＝90°，故BC=32+4=故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面圖形的直觀圖，涉及斜二測(cè)畫(huà)法的步驟，屬于基礎(chǔ)題．7．（2025春?浙江期中）若a，b表示兩條直線，α，β，γ表示三個(gè)不重合的平面，下列命題正確的是（）A．若a?α，b?β，a∥b，則α∥β B．若a?α，b?β，α∥β，則a∥b C．若α∩γ＝a，β∩γ＝b，a∥b，則α∥β D．若α∩γ＝a，β∩γ＝b，α∥β，則a∥b【考點(diǎn)】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系；平面與平面之間的位置關(guān)系．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；空間想象．【答案】D【分析】根據(jù)空間中各要素的位置關(guān)系，逐一判斷即可．【解答】解：若a?α，b?β，a∥b，則α∥β或α與β相交，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；若a?α，b?β，α∥β，則a∥b或a與b異面，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；若α∩γ＝a，β∩γ＝b，a∥b，則α∥β或α與β相交，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；若α∩γ＝a，β∩γ＝b，α∥β，則a∥b，所以D選項(xiàng)正確．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間中各要素的位置關(guān)系，屬基礎(chǔ)題．8．（2025春?邯鄲期中）如圖，正方形O′A′B′C′的邊長(zhǎng)為2，它是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，則原平面圖形的周長(zhǎng)的平方與面積的比值為（）A．42 B．82 C．162 【考點(diǎn)】由斜二測(cè)直觀圖還原圖形；平面圖形的直觀圖．【專題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；立體幾何；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】根據(jù)題意，由斜二測(cè)畫(huà)法，還原原圖，進(jìn)而分析可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，原圖形的直觀圖為正方形O′A′B′C′的邊長(zhǎng)為2，則O′B′＝22，將直觀圖復(fù)原為原圖，如圖所示，則OA＝BC＝2，OB＝2O′B′＝42，則AB=4+32=則原圖的面積S＝OB×OA＝82，其周長(zhǎng)l＝2（OA+AB）＝16，故原平面圖形的周長(zhǎng)的平方與面積的比值為1628故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面圖形的直觀圖，涉及利用斜二測(cè)畫(huà)法還原原圖形，屬于基礎(chǔ)題．二．多選題（共4小題）（多選）9．（2025春?永安市期中）下列命題正確的是（）A．零向量與任意向量共線 B．直平行六面體是長(zhǎng)方體 C．虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù) D．正四面體是正三棱錐【考點(diǎn)】棱錐的結(jié)構(gòu)特征；棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；立體幾何；運(yùn)算求解．【答案】AD【分析】根據(jù)零向量的概念判斷出A項(xiàng)的正誤；根據(jù)長(zhǎng)方體與直平行六面體的關(guān)系判斷出B項(xiàng)的正誤；根據(jù)復(fù)平面的概念判斷出C項(xiàng)的正誤；根據(jù)正四面體與三棱錐的關(guān)系判斷出D項(xiàng)的正誤．【解答】解：對(duì)于A，零向量是長(zhǎng)度為0，方向任意的向量，因此零向量與任意向量共線，可知A項(xiàng)正確；對(duì)于B，長(zhǎng)方體是底面為矩形的直平行六面體，直平行六面體的底面是平行四邊形，但不一定是矩形，可知B項(xiàng)不正確；對(duì)于C，在復(fù)平面中，虛軸上的點(diǎn)除原點(diǎn)外都表示純虛數(shù)，故C項(xiàng)不正確；對(duì)于D，正四面體是各個(gè)面都是等邊三角形的幾何體，所以正四面體必定是正三棱錐，可知D項(xiàng)正確．故選：AD．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查零向量的概念、長(zhǎng)方體與正四面體的結(jié)構(gòu)特征、復(fù)平面的概念等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．（多選）10．（2025春?滄州期中）下列關(guān)于空間幾何體的敘述錯(cuò)誤的是（）A．底面是正方形的棱錐是正四棱錐 B．任何一個(gè)幾何體都必須有頂點(diǎn)、棱和面 C．有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái) D．一個(gè)棱柱至少有5個(gè)面【考點(diǎn)】棱柱的結(jié)構(gòu)特征；棱錐的結(jié)構(gòu)特征；棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征．【專題】方程思想；綜合法；立體幾何；數(shù)學(xué)抽象．【答案】ABC【分析】根據(jù)空間幾何體的定義和特點(diǎn)逐個(gè)選項(xiàng)判斷即可．【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于A，底面是正方形，且頂點(diǎn)在底面上的射影為底面正方形的中心的四棱錐是正四棱錐，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，球沒(méi)有頂點(diǎn)和棱，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，將兩個(gè)相同的棱臺(tái)的底面重合得到的多面體滿足有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是梯形，但是這樣的多面體不是棱臺(tái)，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，棱柱的底面至少有3條邊，所以一個(gè)棱柱至少有5個(gè)面，D正確．故選：ABC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查棱錐、棱臺(tái)、棱柱的結(jié)構(gòu)特征，注意棱錐、棱臺(tái)、棱柱的定義，屬于基礎(chǔ)題．（多選）11．（2025春?阜城縣校級(jí)月考）正方體ABCD﹣A′B′C′D′中，與棱AB異面的棱有（）A．BC′ B．C′D′ C．DD′ D．A′D′【考點(diǎn)】空間中直線與直線之間的位置關(guān)系；異面直線的判定．【專題】計(jì)算題；方程思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；數(shù)學(xué)抽象．【答案】CD【分析】先作出符合題意的正方體，再利用正方體的性質(zhì)求解即可．【解答】解：根據(jù)題意，如圖，正方體ABCD﹣A′B′C′D′中，在其12條棱中，與棱AB異面的棱有DD′，A′D′，CC′，B′C′，共4條，分析選項(xiàng)，C、D符合．故選：CD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間直線與直線的位置關(guān)系，涉及異面直線的定義，屬于基礎(chǔ)題．（多選）12．（2025春?清遠(yuǎn)期中）下面關(guān)于空間幾何體的表述，正確的是（）A．棱柱的側(cè)面都是平行四邊形 B．直角三角形以其一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的幾何體是圓錐 C．正四棱柱一定是長(zhǎng)方體 D．用一個(gè)平面去截棱錐，底面和截面之間的部分叫做棱臺(tái)【考點(diǎn)】棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征；旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺(tái)）的體積；棱柱的結(jié)構(gòu)特征；棱錐的結(jié)構(gòu)特征．【專題】對(duì)應(yīng)思想；綜合法；立體幾何；邏輯思維．【答案】AC【分析】用簡(jiǎn)單幾何體的定義及特征去逐個(gè)判斷即可．【解答】解：對(duì)于A：棱柱的所有側(cè)面都是平行四邊形，且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都相互平行，故A正確；對(duì)于B：只有以直角邊為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)才能得到圓錐，以斜邊為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)得到的是兩個(gè)圓錐的組合體，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：正四棱柱是底面是正方形的直四棱柱，所以必然是長(zhǎng)方體，故C正確；對(duì)于D：只有截面與底面平行時(shí)，截面與底面之間的部分才是棱臺(tái)，故D錯(cuò)誤．故選：AC．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，屬于基礎(chǔ)題．三．填空題（共4小題）13．（2025春?浙江月考）已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，若點(diǎn)P是棱DD1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則AP+PC1的最小值為25【考點(diǎn)】棱柱的結(jié)構(gòu)特征．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；立體幾何；運(yùn)算求解．【答案】25【分析】根據(jù)題意可得AP+PC1的最小值為正方形ADD1A1與正方形DD1C1C沿D1D展開(kāi)再同一平面內(nèi)的矩形的對(duì)角線長(zhǎng)，從而可求解．【解答】解：根據(jù)題意可得AP+PC1的最小值為正方形ADD1A1與正方形DD1C1C沿D1D展開(kāi)再同一平面內(nèi)的矩形的對(duì)角線長(zhǎng)，故所求為22故答案為：25【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間中距離和的最值的求解，屬基礎(chǔ)題．14．（2025春?邱縣校級(jí)月考）如圖是一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖，它是一個(gè)底角為45°，腰和上底均為1，下底為2+1的等腰梯形，那么原平面圖形的面積為2+2【考點(diǎn)】由斜二測(cè)直觀圖還原圖形；平面圖形的直觀圖．【專題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；立體幾何；運(yùn)算求解．【答案】2+2【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)平面圖形的直觀圖的步驟，判斷平面圖形為直角梯形，且直角腰長(zhǎng)為2，上底邊長(zhǎng)為1，再求出下底邊長(zhǎng)，代入梯形的面積公式計(jì)算即可．【解答】解：根據(jù)題意，平面圖形的直觀圖是一個(gè)底角為45°，腰和上底長(zhǎng)均為1的等腰梯形，由斜二測(cè)畫(huà)法，原圖形為直角梯形，且直角腰長(zhǎng)為2，上底邊長(zhǎng)為1，則梯形的下底邊長(zhǎng)為1+2，高為2故原圖的面積S=故答案為：2+2【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面圖形的直觀圖，涉及斜二測(cè)畫(huà)法，屬于基礎(chǔ)題．15．（2025春?邢臺(tái)期中）已知某棱錐的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)為m，棱的條數(shù)為k，則k＝2m﹣2．（用含m的式子表示）【考點(diǎn)】棱錐的結(jié)構(gòu)特征．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；立體幾何；運(yùn)算求解．【答案】2m﹣2．【分析】根據(jù)棱錐的性質(zhì)建立m、k關(guān)于底面邊數(shù)n的關(guān)系式，化簡(jiǎn)即可得到答案．【解答】解：設(shè)該棱錐底面為n邊形，可得m＝n+1，k＝2n，兩式消去n，可得k＝2m﹣2．故答案為：2m﹣2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查棱錐的結(jié)構(gòu)特征，屬于基礎(chǔ)題．16．（2025?河北校級(jí)一模）已知一個(gè)正四棱臺(tái)的上、下底面的邊長(zhǎng)分別為1和2，側(cè)棱長(zhǎng)為1，則該正四棱臺(tái)的高為22【考點(diǎn)】棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；立體幾何；運(yùn)算求解．【答案】22【分析】構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解即可．【解答】解：根據(jù)題意，如圖：正四棱臺(tái)ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝1，上底面中心為O1，下底面中心為O，連接OO1，過(guò)點(diǎn)A1作A1M⊥AO，且交AO于點(diǎn)M，易得OO1⊥面ABCD，A1M∥OO1且A1M＝OO1，正四棱臺(tái)的上、下底面正方形的對(duì)角線的一半分別為22，2即AO=2，A1O所以該正四棱臺(tái)的高為AA故答案為：22【點(diǎn)評(píng)】本題考查正四棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征，屬基礎(chǔ)題．四．解答題（共4小題）17．（2025春?邯鄲期中）如圖（圖中單位：cm）是一種鑄鐵機(jī)器零件，零件下部是實(shí)心的正四棱柱，上部是實(shí)心的圓柱．（參考數(shù)據(jù)：π≈3）（1）已知鐵的密度為7.8g/cm3，求生產(chǎn)一件這樣的鑄鐵零件需要多少克鐵；（2）要給一批共1000個(gè)零件的表面（包含底面）涂層油漆，若該零件每平方厘米要用油漆0.12g，求總共需要用油漆多少千克．【考點(diǎn)】棱柱的體積；圓柱的體積．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；立體幾何；運(yùn)算求解．【答案】（1）4992g；（2）72000g．【分析】（1）根據(jù)題意，求出組合體的體積，結(jié)合鐵的密度，計(jì)算可得答案；（2）根據(jù)題意，求出一個(gè)組合體的表面積，進(jìn)而計(jì)算可得答案．【解答】解：（1）根據(jù)題意，零件下部是實(shí)心的正四棱柱，上部是實(shí)心的圓柱，該正四棱柱的底邊邊長(zhǎng)為10cm，高為4cm，圓柱的底面半徑為2cm，高為20cm，該零件的體積V＝10×10×4+π×22×20≈640cm3，又由鐵的密度為7.8g/cm3，則生產(chǎn)一件這樣的鑄鐵零件需要640×7.8＝4992g鐵；（2）根據(jù)題意，該零件的體積表面積S＝2×10×10+4×10×4+2π×2×20≈600cm2，該零件每平方厘米要用油漆0.12g，則生產(chǎn)一件這樣的鑄鐵零件需要油漆600×0.12＝72g，要給一批共1000個(gè)零件的表面涂層油漆，總共需要用油漆1000×72＝72000g．【點(diǎn)評(píng)】本題考查組合體的體積、表面積計(jì)算，注意圓柱、棱柱的體積、表面積公式，屬于基礎(chǔ)題．18．（2025春?射洪市校級(jí)期中）如圖所示，長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，其體積為16．（1）求三棱錐D1﹣ADC的體積；（2）求三棱錐D1﹣ADC的表面積．【考點(diǎn)】棱錐的體積．【專題】數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；立體幾何；空間想象．【答案】（1）83（2）16．【分析】（1）先由長(zhǎng)方體的體積公式求出D1D，再由棱錐的體積公式求解即可；（2）由三棱錐的表面積公式求解即可．【解答】解：（1）因?yàn)殚L(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1的體積V＝22×D1D＝16，解得D1D＝4．所以VD（2）記三棱錐D1﹣ADC的表面積為S，則S=因?yàn)閹缀误wABCD﹣A1B1C1D1為長(zhǎng)方體，所以△D1DA，△D1DC，△ADC均為直角三角形，△D1AC為等腰三角形，因?yàn)锳D＝DC＝2，D1D＝4，所以D1所以S△S△所以S=【點(diǎn)評(píng)】本題考查三棱錐的體積公式與表面積公式，屬于基礎(chǔ)題．19．（2025春?晉城期中）如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)G，E，F(xiàn)，P分別為棱AB，D1C1，B1C1，AA1的中點(diǎn)，點(diǎn)M是棱A1D1上的一點(diǎn)，且D1M＝3A1M．（1）求證：D，B，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面；（2）求證：D1G∥平面DBFE；（3）已知點(diǎn)N是棱A1B1上的一點(diǎn)，且平面PMN∥平面DBFE，求A1【考點(diǎn)】平面與平面平行；共面直線及四點(diǎn)共面；直線與平面平行．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；邏輯思維．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）14【分析】（1）連接D1B1，即可證明EF∥D1B1，DB∥B1D1，從而得證；（2）連接D1C、GC分別交DE、DB于點(diǎn)H、O，連接HO，即可證明D1HCH=GOCO，從而得到（3）根據(jù)面面平行的性質(zhì)得到MN∥EF，即可得到MN∥D1B1，從而得解．【解答】（1）證明：如圖，連接D1B1，因?yàn)辄c(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱D1C1，B1C1的中點(diǎn)，所以EF∥D1B1，又在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中DD1∥BB1且DD1＝BB1，所以四邊形DBB1D1為平行四邊形，所以DB∥B1D1，所以EF∥BD，所以D，B，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面；（2）證明：如圖，連接D1C交DE于點(diǎn)H，連接GC交DB于點(diǎn)O，連接HO，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，D1E∥DC且D1所以△HED1∽△HDC，則D1同理可得GOCO所以D1HCH=GOCO，所以又HO?平面DBFE，D1G?平面DBFE，所以D1G∥平面DBFE；（3）因?yàn)槠矫鍼MN∥平面DBFE，平面PMN∩平面A1B1C1D1＝MN，平面DBFE∩平面A1B1C1D1＝EF，所以MN∥EF，又EF∥D1B1，所以MN∥D1B1，因?yàn)镈1M＝3A1M，所以A1【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查四點(diǎn)共面、線面平行的判定、平面與平面平行的判定，屬于中檔題．20．（2025春?福建期中）如圖，在底面是矩形的四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，E、F分別是PC、PD的中點(diǎn)．（1）求證：EF∥平面PAB；（2）求證：DC⊥平面PAD．【考點(diǎn)】直線與平面平行；直線與平面垂直．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；邏輯思維．【答案】（1）證明見(jiàn)詳解；（2）證明見(jiàn)詳解．【分析】（1）根據(jù)中位線可得EF∥CD，進(jìn)而可得EF∥AB，結(jié)合線面平行的判定定理分析證明；（2）根據(jù)題意可得PA⊥CD，AD⊥CD，結(jié)合線面垂直的判定定理分析證明．【解答】證明：（1）因?yàn)椋珽、F分別是PC、PD的中點(diǎn)，則EF∥CD，又因?yàn)榈酌鍭BCD是矩形，即AB∥CD，所以EF∥AB，而EF?平面PAB，AB?平面PAB，所以EF∥平面PAB；（2）因?yàn)镻A⊥底面ABCD，CD?底面ABCD，則PA⊥CD，又因?yàn)锳BCD為矩形，則AD⊥CD，且PA∩AD＝A，PA，AD?平面PAD，所以DC⊥平面PAD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用及判定定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

考點(diǎn)卡片1．棱柱的結(jié)構(gòu)特征【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．棱柱：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱．棱柱用表示底面各頂點(diǎn)的字母來(lái)表示（例：ABCD﹣A′B′C′D′）．2．認(rèn)識(shí)棱柱底面：棱柱中兩個(gè)互相平行的面，叫做棱柱的底面．側(cè)面：棱柱中除兩個(gè)底面以外的其余各個(gè)面都叫做棱柱的側(cè)面．側(cè)棱：棱柱中兩個(gè)側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱．頂點(diǎn)：棱柱的側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn)．高：棱中兩個(gè)底面之間的距離．3．棱柱的結(jié)構(gòu)特征棱柱1根據(jù)棱柱的結(jié)構(gòu)特征，可知棱柱有以下性質(zhì)：（1）側(cè)面都是平行四邊形（2）兩底面是全等多邊形（3）平行于底面的截面和底面全等；對(duì)角面是平行四邊形（4）長(zhǎng)方體一條對(duì)角線長(zhǎng)的平方等于一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱的長(zhǎng)的平方和．4．棱柱的分類（1）根據(jù)底面形狀的不同，可把底面為三角形、四邊形、五邊形…的棱柱稱為三棱柱、四棱柱、五棱柱…．（2）根據(jù)側(cè)棱是否垂直底面，可把棱柱分為直棱柱和斜棱柱；其中在直棱柱中，若底面為正多邊形，則稱其為正棱柱．5．棱柱的體積公式設(shè)棱柱的底面積為S，高為h，V棱柱＝S×h．2．棱錐的結(jié)構(gòu)特征【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．棱錐：有一個(gè)面是多邊形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面圍成的幾何體叫做棱錐．用頂點(diǎn)和底面各頂點(diǎn)的字母表示，例：S﹣ABCD．2．認(rèn)識(shí)棱錐棱錐的側(cè)面：棱錐中除底面外的各個(gè)面都叫做棱錐的側(cè)面．棱錐的側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱錐的側(cè)棱．棱錐的頂點(diǎn)；棱錐中各個(gè)側(cè)面的公共頂點(diǎn)叫做棱錐的頂點(diǎn)．棱錐的高：棱錐的頂點(diǎn)到底面的距離叫做棱錐的高．棱錐的對(duì)角面；棱錐中過(guò)不相鄰的兩條側(cè)棱的截面叫做對(duì)角面．3．棱錐的結(jié)構(gòu)特征棱錐1根據(jù)棱錐的結(jié)構(gòu)特征，可知棱錐具有以下性質(zhì)：平行于底面的截面和底面相似，且它們的面積比等于截得的棱錐的高與原棱錐的高的比．4．棱錐的分類棱錐的底面可以是三角形、四邊形、五邊形…我們把這樣的棱錐分別叫做三棱錐、四棱錐、五棱錐…正棱錐：底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)在底面內(nèi)的射影是底面中心，這樣的棱錐叫做正棱錐．正棱錐的各個(gè)側(cè)面都是全等的等腰三角形．5．棱錐的體積公式設(shè)棱錐的底面積為S，高為h，V棱錐=133．棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．棱臺(tái)：棱錐被平行于底面的平面所截，截面和底面間的部分叫做棱臺(tái)．2．認(rèn)識(shí)棱臺(tái)棱臺(tái)的上底面：原棱錐的截面叫做棱臺(tái)的上底面．棱臺(tái)的下底面：原棱錐的底面叫做棱臺(tái)的下底面．棱臺(tái)的側(cè)面：棱臺(tái)中除上、下底面外的所有面叫做棱臺(tái)的側(cè)面．棱臺(tái)的側(cè)棱：相鄰兩側(cè)面的公共邊叫做棱臺(tái)的側(cè)棱．棱臺(tái)的高：當(dāng)棱臺(tái)的底面水平放置時(shí)，鉛垂線與兩底面交點(diǎn)間的線段或距離叫做棱臺(tái)的高．棱臺(tái)的斜高：棱臺(tái)的各個(gè)側(cè)面的高叫做棱臺(tái)的斜高．3．棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征棱臺(tái)1正棱臺(tái)的性質(zhì)：（1）側(cè)棱相等，側(cè)面是全等的等腰梯形，斜高相等．（2）兩底面中心連線、相應(yīng)的邊心距和斜高組成一個(gè)直角梯形；兩底面中心連線、側(cè)棱和兩底面相應(yīng)的半徑也組成一個(gè)直角梯形．（3）棱臺(tái)各棱的反向延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)．4．棱臺(tái)的分類由三棱錐，四棱錐，五棱錐，…等截得的棱臺(tái)，分別叫做三棱臺(tái)，四棱臺(tái)，五棱臺(tái)，…等．正棱臺(tái)：由正棱錐截得的棱臺(tái)叫做正棱臺(tái)．5．棱臺(tái)的體積公式設(shè)棱臺(tái)上底面面積為S，下底面面積為S′，高為h，V棱臺(tái)=14．棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式：V柱＝sh，V錐=135．棱柱的體積【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】棱柱的體積可以通過(guò)底面面積B和高度h計(jì)算．底面為多邊形的幾何體．【解題方法點(diǎn)撥】﹣計(jì)算公式：體積計(jì)算公式為V=﹣底面面積計(jì)算：底面面積B可以根據(jù)底面多邊形的性質(zhì)計(jì)算．【命題方向】﹣棱柱的體積計(jì)算：考查如何根據(jù)底面面積和高度計(jì)算棱柱的體積．﹣實(shí)際應(yīng)用：如何在實(shí)際問(wèn)題中應(yīng)用棱柱體積計(jì)算．6．棱錐的體積【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】棱錐的體積可以通過(guò)底面面積B和高度h計(jì)算，頂點(diǎn)到底面的垂直距離即為高度．【解題方法點(diǎn)撥】﹣計(jì)算公式：體積計(jì)算公式為V=﹣底面面積計(jì)算：底面面積B可以根據(jù)底面多邊形的性質(zhì)計(jì)算．【命題方向】﹣棱錐的體積計(jì)算：考查如何根據(jù)底面面積和高度計(jì)算棱錐的體積．﹣實(shí)際應(yīng)用：如何在實(shí)際問(wèn)題中應(yīng)用棱錐體積計(jì)算．7．旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺(tái)）的體積【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征：一條平面曲線繞著它所在的平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面叫作旋轉(zhuǎn)面；該定直線叫做旋轉(zhuǎn)體的軸；封閉的旋轉(zhuǎn)面圍成的幾何體叫作旋轉(zhuǎn)體．1．圓柱①定義：以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，將矩形旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓柱．圓柱用軸字母表示，如下圖圓柱可表示為圓柱OO′．②認(rèn)識(shí)圓柱③圓柱的特征及性質(zhì)圓柱1圓柱與底面平行的截面是圓，與軸平行的截面是矩形．④圓柱的體積和表面積公式設(shè)圓柱底面的半徑為r，高為h：V圓柱2．圓錐①定義：以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓錐．圓錐用軸字母表示，如下圖圓錐可表示為圓錐SO．②認(rèn)識(shí)圓錐③圓錐的特征及性質(zhì)圓錐1與圓錐底面平行的截面是圓，過(guò)圓錐的頂點(diǎn)的截面是等腰三角形，兩個(gè)腰都是母線．母線長(zhǎng)l與底面半徑r和高h(yuǎn)的關(guān)系：l2＝h2+r2④圓錐的體積和表面積公式設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h，母線長(zhǎng)為l：V圓錐3．圓臺(tái)①定義：以直角梯形中垂直于底邊的腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面所圍成的幾何體叫做圓臺(tái)．圓臺(tái)用軸字母表示，如下圖圓臺(tái)可表示為圓臺(tái)OO′．②認(rèn)識(shí)圓臺(tái)③圓臺(tái)的特征及性質(zhì)圓臺(tái)1平行于底面的截面是圓，軸截面是等腰梯形．④圓臺(tái)的體積和表面積公式設(shè)圓臺(tái)的上底面半徑為r，下底面半徑為R，高為h，母線長(zhǎng)為l：V圓臺(tái)8．圓柱的體積【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】圓柱的體積計(jì)算依賴于底面圓的半徑r和圓柱的高度h．【解題方法點(diǎn)撥】﹣計(jì)算公式：體積計(jì)算公式為V=﹣實(shí)際應(yīng)用：如何根據(jù)實(shí)際問(wèn)題中的圓柱尺寸進(jìn)行體積計(jì)算．【命題方向】﹣圓柱的體積計(jì)算：考查如何根據(jù)底面圓的半徑和高度計(jì)算圓柱的體積．﹣實(shí)際應(yīng)用：如何在實(shí)際問(wèn)題中應(yīng)用圓柱的體積計(jì)算．9．平面圖形的直觀圖【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．直觀圖：用來(lái)表示平面圖形的平面圖形叫做平面圖形的直觀圖，它不是平面圖形的真實(shí)形狀．2．斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)平面圖形直觀圖的步驟：（1）在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸相交于O點(diǎn)，畫(huà)直觀圖時(shí)，把它畫(huà)成對(duì)應(yīng)的x′軸、y′軸，使∠x(chóng)′Oy′＝45°（或135°），它確定的平面表示水平平面．（2）已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫(huà)成平行于x′或y′軸的線段（3）已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變；平行于y軸的線段，長(zhǎng)度為原來(lái)的一半．10．由斜二測(cè)直觀圖還原圖形【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】斜二測(cè)畫(huà)法的步驟：（1）在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸相交于O點(diǎn)，畫(huà)直觀圖時(shí)，把它畫(huà)成對(duì)應(yīng)的x′軸、y′軸，使∠x(chóng)′Oy′＝45°（或135°），它確定的平面表示水平平面．（2）已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫(huà)成平行于x′或y′軸的線段（3）已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變；平行于y軸的線段，長(zhǎng)度為原來(lái)的一半．【解題方法點(diǎn)撥】﹣解析圖形：通過(guò)觀察斜二測(cè)圖的長(zhǎng)度和角度信息，恢復(fù)圖形的空間關(guān)系．﹣幾何知識(shí)：利用幾何知識(shí)推斷圖形的真實(shí)尺寸和結(jié)構(gòu)．【命題方向】﹣圖形還原：考查如何從斜二測(cè)圖還原圖形．﹣空間想象：如何應(yīng)用空間想象能力解決圖形還原問(wèn)題．11．異面直線及其所成的角【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、異面直線所成的角：直線a，b是異面直線，經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)O，作直線a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我們把直線a′和b′所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角．異面直線所成的角的范圍：θ∈（0，π2]．當(dāng)θ＝902、求異面直線所成的角的方法：求異面直線的夾角關(guān)鍵在于平移直線，常用相似比，中位線，梯形兩底，平行平面等手段來(lái)轉(zhuǎn)移直線．3、求異面直線所成的角的方法常用到的知識(shí)：12．異面直線的判定【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)