1.1定義與命題第1章

推理與證明學(xué)

習(xí)

目

標(biāo)12理解數(shù)學(xué)定義的必要性與規(guī)范性，能識(shí)別命題、定義與陳述句.掌握命題的結(jié)構(gòu)（條件與結(jié)論），并能判斷命題的真假.學(xué)習(xí)目標(biāo)新課導(dǎo)入假如你現(xiàn)在帶著現(xiàn)代的手機(jī)穿越到了古代，你該如何向兩千年前的古人解釋‘手機(jī)’是什么？”

那么古人是如何解釋數(shù)學(xué)的呢？這樣的解釋方式是什么？接下來(lái)我們一起學(xué)習(xí).新知探究戰(zhàn)國(guó)時(shí)期有一位極具影響力的科學(xué)家——墨子，他與弟子及后學(xué)整理了一部名為《墨經(jīng)》的書，在此書中記載了對(duì)圓的理解：“圓，一中同長(zhǎng)也”而我們?cè)诮滩闹袑?duì)圓是這樣定義的：平面上到定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合.這是我國(guó)古代對(duì)數(shù)學(xué)概念描述的一個(gè)例證，你還能想到哪些數(shù)學(xué)描述數(shù)學(xué)概念的例子？例1：同一平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)的兩條直線叫作平行線.例2：三個(gè)角都是銳角的三角形叫作銳角三角形.例3：求幾個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算叫作乘方.

含有n個(gè)a

以上描述概念的語(yǔ)句有什么特點(diǎn)？思考探究一定義——數(shù)學(xué)大廈的基石新知探究像以上例子那樣，能夠說(shuō)明一個(gè)概念含義的語(yǔ)句叫作這個(gè)概念的定義.定義的意義定義可以幫助人們認(rèn)識(shí)和理解這個(gè)概念區(qū)別于其他概念的本質(zhì)特征.如：平行線的定義既揭示了平行線“沒(méi)有公共點(diǎn)”的本質(zhì)屬性，更是指出了平行線與相交線的區(qū)別.定義既可以作為性質(zhì)使用，又可以提供判定的依據(jù).注意新知探究例1：下列哪個(gè)選項(xiàng)是“數(shù)a

(a≥0)的平方根”的定義(

)A.誰(shuí)的平方等于a？B.平方等于a

的數(shù)C.如果一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)x

的平方等于a

(a≥0)，那么x

叫作a

的平方根D.大概就是a

開平方得到的那個(gè)非負(fù)數(shù)吧C要點(diǎn)總結(jié)定義必須是一個(gè)陳訴“是什么”的句子，而非疑問(wèn)句、反問(wèn)句或者感嘆.例題講解定義必須是陳訴句表訴不全且有歧義，缺少關(guān)鍵“非負(fù)實(shí)數(shù)”，且沒(méi)有明確a的范圍不精確且過(guò)于口語(yǔ)化，違反了定義的精確與確定性要求1.下列哪個(gè)選項(xiàng)是“長(zhǎng)方體”的定義(

)A.長(zhǎng)方體有6個(gè)面，每個(gè)面都是長(zhǎng)方形.B.長(zhǎng)方體是長(zhǎng)長(zhǎng)方方的，放在桌子上很穩(wěn)當(dāng).C.長(zhǎng)方體是一個(gè)六面體嗎？D.長(zhǎng)方體是由6個(gè)面圍成的立體圖形，且每個(gè)面都是長(zhǎng)方形（特殊時(shí)可有正方形），相對(duì)的面完全相同.即時(shí)訓(xùn)練D反問(wèn)句描述性非定義，且未指出數(shù)學(xué)本質(zhì)性質(zhì)不完整發(fā)現(xiàn)“命題”的秘密(1)如果兩個(gè)角的和是180°，那么這兩個(gè)角互補(bǔ)；(2)同一平面內(nèi)，如果兩條直線相交所成的角是直角，那么這兩條直線垂直；(3)如果一個(gè)整數(shù)的個(gè)位上的數(shù)是0或5，那么這個(gè)數(shù)能被5整除.以上表達(dá)數(shù)學(xué)結(jié)論的語(yǔ)句有何種特點(diǎn)？新知探究探究二以上語(yǔ)句都對(duì)某個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論做出了判斷，像這樣，對(duì)某件事作出判斷的語(yǔ)句叫作命題.要點(diǎn)總結(jié)思考1：命題的結(jié)構(gòu)是什么？一般的敘述形式又是怎樣的呢？新知探究以上命題中，都是“如果…，那么…”的形式，“如果”后面的部分是條件，“那么”后面的部分是結(jié)論，由此可得命題一般是由條件和結(jié)論構(gòu)成的.思考2：以命題(1)為例新知探究你能準(zhǔn)確識(shí)別以上三個(gè)命題的條件和結(jié)論是哪部分嗎？以上結(jié)論是否正確？條件結(jié)論兩個(gè)角的和是180°這兩個(gè)角互補(bǔ)由于這三個(gè)命題都是經(jīng)過(guò)嚴(yán)謹(jǐn)證明的結(jié)論，因此三個(gè)命題都是成立的.條件成立結(jié)論一定成立真命題條件成立結(jié)論不一定成立假命題思考3：歸納小結(jié)例2：寫出下列命題的結(jié)論和條件，并判斷真假.如果是假命題，請(qǐng)舉出反例.(1)如果ab=0，那么a=0或b=0；(2)兩條直線被第三條所截，如果兩個(gè)角是同位角，那么這兩個(gè)角相等.解：(1)條件：ab=0；結(jié)論：a=0或b=0.(2)條件：兩條直線被第三條所截，兩個(gè)角是同位角；結(jié)論：這兩個(gè)角相等.反例：如圖，直線a，b被直線c所截，其中同位角∠1與∠2不相等.例題講解真命題假命題

解：(3)先將材料改為“如果…那么…”的形式：如果兩個(gè)角是對(duì)頂角，那么這兩個(gè)角是對(duì)頂角.條件：兩個(gè)角是對(duì)頂角；結(jié)論：這兩個(gè)角相等.

例題講解例2：寫出下列命題的結(jié)論和條件，并判斷真假.如果是假命題，請(qǐng)舉出反例.真命題假命題提示：滿足條件，但結(jié)論與命題結(jié)論不相同的例子叫作命題的反例；若能舉出一個(gè)反例，則該命題一定是假命題.2.下列語(yǔ)句中，哪些是命題?(1)過(guò)點(diǎn)A做一條射線.(2)線段AB的長(zhǎng)是5cm嗎？(3)如果ab>0，那么a+b>0.解：

(1)這是祈使句，是一句操作指令，并非陳訴句，也不能判斷真假.(2)這是疑問(wèn)句，不是陳述句，無(wú)法判斷真假.(3)這是陳訴句，且能夠通過(guò)反例“如a=-1,b=-2,ab=2>0但a+b+-3<0”判斷為假，因此這是命題.命題需要滿足兩個(gè)核心的條件：陳訴句能判斷真假即時(shí)訓(xùn)練3.指出下列命題的條件和結(jié)論，并判斷真假.如果是假命題，請(qǐng)舉出反例.(1)如果|a|=|b|，那么a=b；(2)如果a是負(fù)整數(shù)，那么a就小于或等于它的倒數(shù).解：(1)條件：|a|=|b|；結(jié)論：a=b.

(2)條件：a是負(fù)整數(shù)；結(jié)論：

a就小于或等于它的倒數(shù).即時(shí)訓(xùn)練命題的結(jié)構(gòu)為：“如果條件，那么結(jié)論”.其中條件是已知事項(xiàng)，結(jié)論是由條件推出的事項(xiàng).假命題真命題4.將下列命題改成“如果…，那么…”的形式，并指出命題的條件和結(jié)論.(1)平行于同一條直線的兩條直線平行；(2)兩個(gè)有理數(shù)相乘，同號(hào)得正.解：(1)改寫：如果兩條直線平行于同一直線，那么這兩條直線平行.條件：兩條直線平行于同一條直線；結(jié)論：這兩條直線平行.(2)改寫：如果兩個(gè)有理數(shù)相乘且它們同號(hào)，那么積為正.條件：兩個(gè)有理數(shù)相乘且它們同號(hào)；結(jié)論：積為正.即時(shí)訓(xùn)練1.下列語(yǔ)句中，哪些是命題？哪些不是命題？如果是命題，請(qǐng)指出命題的條件和結(jié)論.(1)過(guò)直線l外一點(diǎn)P作l的平行線；(2)△ABC是銳角三角形嗎？(3)直角三角形的兩個(gè)銳角互余.解：(1)這是祈使句，并非陳訴句，因此不是命題.(2)這是疑問(wèn)句，不是命題.(3)這是陳訴句，并且可以判斷真假，是命題.條件：一個(gè)三角形是直角三角形；結(jié)論：這個(gè)三角形的兩個(gè)銳角互余.課堂檢測(cè)2.判斷下列命題的真假.如果是假命題，請(qǐng)舉出反例.(1)同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行；(2)四邊形的兩條對(duì)角線相等；(3)若a＞b，則a2＞b2；(4)若兩個(gè)有理數(shù)的和小于0，則這兩個(gè)有理數(shù)的積也小于0.解：(1)同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩條直線方向一致，均垂直于該直線.(2)反例：普通平行四邊形的兩條對(duì)角線不相等.(3)反例：當(dāng)a=1，b=-2時(shí)，滿足a＞b，但a2=1<b2=4.(4)反例：-1，-2兩數(shù)，它們的和小于0，但積大于0.課堂檢測(cè)真命題假命題假命題假命題3.寫出下列命題的條件和結(jié)論，并判斷真假.如果是假命題，請(qǐng)舉出反例.(1)直角三角形的斜邊大于它的任何一條直角邊；(2)一個(gè)角的補(bǔ)角大于這個(gè)角；(3)在一個(gè)圓中，直徑大于不經(jīng)過(guò)圓心的弦.解：(1)條件：一個(gè)三角形是直角三角形；結(jié)論：這個(gè)三角形的斜邊大于它的任何一條直角邊.(2)條件：一個(gè)角存在補(bǔ)角（0°＜α＜180°）；結(jié)論：這個(gè)角的補(bǔ)角（180°-α）大于α；反