四川省甘孜藏族自治州2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期7月全州統(tǒng)一調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．（

）A． B． C． D．2．已知向量，，若，則（

）A．2 B． C． D．3．某學(xué)校高一?高二?高三年級(jí)學(xué)生人數(shù)之比為，利用分層抽樣的方法抽取容量為35的樣本，則從高一年級(jí)抽取學(xué)生人數(shù)為（

）A．7 B．10 C．15 D．204．已知圓臺(tái)上下底面積分別為，母線長為，則該圓臺(tái)的體積為（

）A． B． C． D．5．已知事件，互斥，，且，則（

）A． B． C． D．6．在中，，，，則（

）A． B．C． D．7．一個(gè)袋子里裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球，甲、乙每人隨機(jī)不放回地取1個(gè)球，則互斥且不對(duì)立的兩個(gè)事件是（

）A．“甲取出的球是紅球”與“甲取出的球是黑球”B．“甲取出的球是紅球”與“乙取出的球是紅球”C．“甲、乙取出的球都是紅球”與“甲、乙取出的球都是黑球”D．“甲、乙取出的球都是紅球”與“甲、乙取出的球中至少有1個(gè)紅球”8．如圖，四面體中，，、分別為、的中點(diǎn)．若異面直線與所成角的大小為，則的長為（

）A． B． C． D．或二、多選題9．在中，為邊的中點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．10．已知為虛數(shù)單位，則下列命題正確的是（

）A．若復(fù)數(shù)，則B．若，則或C．若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)或－4D．在復(fù)平面內(nèi)，，所對(duì)應(yīng)的向量分別為，，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則11．已知一直角三角形的兩條直角邊分別為1cm，2cm，以這個(gè)直角三角形的一邊所在直線為軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面圍成一個(gè)幾何體，則這個(gè)幾何體的體積可能是（

）A． B． C． D．三、填空題12．某次體檢，位同學(xué)的身高（單位：米）分別為，，，，，，，則這組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)是（米）13．某工廠統(tǒng)計(jì)了甲產(chǎn)品在2024年7月至12月的銷售量（單位：萬件），得到以下數(shù)據(jù)：月份789101112銷售量111214151820根據(jù)表中所給數(shù)據(jù)，可得相關(guān)系數(shù).（結(jié)果用四舍五入法保留2位小數(shù)）（參考公式：相關(guān)系數(shù)，參考數(shù)據(jù)：，）14．如圖，在中，點(diǎn)在邊上，過點(diǎn)的直線與，所在的直線分別交于點(diǎn)，，且是的中點(diǎn)，若，（，），則的最小值為.四、解答題15．如圖，在平行四邊形中，是的中點(diǎn)，且在直線上，且，記，，若.（1）求的值；（2）若，，且，求.16．如圖，梯形是水平放置的四邊形的斜二測畫法的直觀圖，已知，，．

(1)在下面給定的表格中畫出四邊形（不需寫作圖過程）；

(2)若四邊形以所在直線為軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面圍成一個(gè)幾何體，說出該幾何體的結(jié)構(gòu)特征，并求該幾何體的體積．17．近年來，由于互聯(lián)網(wǎng)的普及，直播帶貨已經(jīng)成為推動(dòng)消費(fèi)的一種營銷形式.某直播平臺(tái)工作人員在問詢了解了本平臺(tái)600個(gè)直播商家的利潤狀況后，隨機(jī)抽取了100個(gè)商家的平均日利潤（單位：百元）進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，所得的頻率分布直方圖如圖所示.

(1)求m的值，并估計(jì)該直播平臺(tái)商家平均日利潤的中位數(shù)與平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）.(2)以樣本估計(jì)總體，該直播平臺(tái)為了鼓勵(lì)直播帶貨，提出了兩種獎(jiǎng)勵(lì)方案，一是對(duì)平均日利潤超過78百元的商家進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，二是對(duì)平均日利潤排名在前的商家進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，兩種獎(jiǎng)勵(lì)方案只選擇一種，你覺得哪種方案受到獎(jiǎng)勵(lì)的商家更多?并說明理由.18．已知四棱錐，底面為菱形，，為上的點(diǎn)，過的平面分別交，于點(diǎn)，，且平面．(1)證明：；(2)當(dāng)為的中點(diǎn)，，與平面所成的角為，求二面角的余弦值．19．當(dāng)?shù)娜齻€(gè)內(nèi)角均小于時(shí)，使得的點(diǎn)為的“費(fèi)馬點(diǎn)”；當(dāng)有一個(gè)內(nèi)角大于或等于時(shí)，最大內(nèi)角的頂點(diǎn)為的“費(fèi)馬點(diǎn)”.已知在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，P是的“費(fèi)馬點(diǎn)”.(1)若，，.①求；②設(shè)的周長為，求的值；(2)若，，求實(shí)數(shù)的最小值.

題號(hào)12345678910答案ABCCBACDABAD題號(hào)11答案ABC1．A根據(jù)復(fù)數(shù)的四則法則計(jì)算即可.【詳解】.故選：A.2．B根據(jù)給定條件，利用共線向量的坐標(biāo)表示，列式計(jì)算即得.【詳解】向量，，由，得，所以.故選：B3．C根據(jù)分層抽樣的特點(diǎn)即可得到答案.【詳解】根據(jù)分層抽樣的特點(diǎn)知高一年級(jí)抽取學(xué)生人數(shù)為.故選：C.4．C根據(jù)圓臺(tái)的體積公式代入求解即可.【詳解】因?yàn)閳A臺(tái)的上?下底面積分別為，所以該圓臺(tái)的上?下底面的半徑分別1，2，如圖所示：即，，，所以，所以，故圓臺(tái)的高為2，則圓臺(tái)的體積，故選：.5．B利用互斥事件的加法公式，結(jié)合已知及對(duì)立事件的概率公式求解.【詳解】由事件，互斥，，得，而，聯(lián)立解得，故.故選：B6．A由條件結(jié)合正弦定理列方程求，又，可得，由此可求.【詳解】由正弦定理可得，又，，，所以，所以，又，所以，所以，故選：A.7．C由互斥，對(duì)立事件定義分析各選項(xiàng)可得答案.【詳解】A選項(xiàng)，“甲取出的球是紅球”與“甲取出的球是黑球”是對(duì)立事件，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，“甲取出的球是紅球”與“乙取出的球是紅球”可以同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，“甲、乙取出的球都是紅球”與“甲、乙取出的球都是黑球”是互斥且不對(duì)立事件，故C正確；D選項(xiàng)，“甲、乙取出的球都是紅球”與“甲、乙取出的球中至少有1個(gè)紅球”可以同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，故D錯(cuò)誤.故選：C.8．D利用異面直線的夾角定義和余弦定理求解.【詳解】取的中點(diǎn)為，連接，在中，，且，在中，，且，因?yàn)楫惷嬷本€與所成角的大小為，所以直線的夾角為，則或，所以在中，當(dāng)時(shí)，由余弦定理得，，得，當(dāng)時(shí)，由余弦定理得，，得，故選：D9．AB根據(jù)平面向量的加減法運(yùn)算法則及數(shù)乘運(yùn)算計(jì)算求解.【詳解】在中，，A選項(xiàng)正確；，B選項(xiàng)正確；在中，為邊的中點(diǎn)，則，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：AB.10．AD根據(jù)復(fù)數(shù)的模長公式求解，進(jìn)而即可判斷選項(xiàng)A；由復(fù)數(shù)模長的幾何意義即可判斷選項(xiàng)B；根據(jù)純虛數(shù)的意義求解，進(jìn)而即可判斷選項(xiàng)C；根據(jù)矩形的性質(zhì)及向量加法和減法的幾何意義即可判斷D．【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，若，則，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，若，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的集合是以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓，即有無數(shù)個(gè)點(diǎn)與復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，若是純虛數(shù)，則，解得，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，若，則復(fù)平面內(nèi)以，為鄰邊的平行四邊形是矩形，由矩形的對(duì)角線相等，則，即，故選項(xiàng)D正確．故選：AD．11．ABC斜邊長為，斜邊上的高為，對(duì)軸分三種情況，結(jié)合圓錐的體積公式即可求解.【詳解】由題意斜邊長為，若以直角邊為軸，則所求為，若以直角邊為軸，則所求為，若以斜邊為軸，則斜邊上的高為，所求為.故選：ABC.12．首先將數(shù)據(jù)從小到大排列，再根據(jù)百分位數(shù)計(jì)算規(guī)則計(jì)算可得.【詳解】將這個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列為，，，，，，，因?yàn)椋实诎俜治粩?shù)為第個(gè)數(shù).故答案為：13．根據(jù)表中數(shù)據(jù)求出，進(jìn)而得出的值，代入公式計(jì)算即可得出答案.【詳解】由已知可得，，，則，，所以，.故答案為：.14．先根據(jù)平面向量基本定理，結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算，得到的關(guān)系，再利用基本不等式，求和的最小值.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在上，所以，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，又因?yàn)?，（，），所以，所以，，?jì)算可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為.故答案為：15．（1）2；（2）.（1）先求出，再求出，比較系數(shù)即得解；（2）由余弦定理求出，再根據(jù)即得解.【詳解】（1）∵是的中點(diǎn)，∴，∵，∴.由可知.又∵，∴.（2）∵，及可知.，在中，由，，及余弦定理可知得，解得.∴.∴.16．(1)圖形見詳解(2)【詳解】（1）因?yàn)榕c軸重合，則與軸重合，且；與軸平行，則與軸平行，且；與軸重合，則與軸重合，且；連接，即可得四邊形.

（2）如圖所示，所得幾何體的上半部分為圓錐，下半部分為圓柱截取一個(gè)圓錐，故體積為.

17．(1)，中位數(shù)為74，平均數(shù)為72.5(2)方案一受到獎(jiǎng)勵(lì)的商家更多，理由見解析（1）由頻率分布直方圖中各組頻率之和等于1，列出方程求出，利用中位數(shù)定義和平均數(shù)公式分別計(jì)算即得；（2）按照方案一要求，利用頻率分布直方圖先求出平均日利潤超過78百元的商家所占的比率，再求對(duì)應(yīng)的商家數(shù)目；方案二只需取前，即前200個(gè)商家家，比較即得結(jié)論.【詳解】（1）由題意可知，解得.設(shè)中位數(shù)為，則，解得，所以中位數(shù)為74，平均數(shù)為（2）由題意可知，方案一受到獎(jiǎng)勵(lì)的商家的個(gè)數(shù)為，方案二受到獎(jiǎng)勵(lì)的商家的個(gè)數(shù)為，因?yàn)?40>200，所以方案一受到獎(jiǎng)勵(lì)的商家更多.18．(1)證明見解析(2)（1）根據(jù)給定條件，利用線面垂直的判定性質(zhì)、線面平行的性質(zhì)，結(jié)合菱形的性質(zhì)推理得證.（2）證得平面，建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合已知的線面角表示相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用面面角的向量法求解.【詳解】（1）在四棱錐中，連接交于，由菱形，得，且為、的中點(diǎn)，由，得，而，面，則面，又面，于是，又平面，平面平面，面，則，所以.（2）由（1）得，，由，為中點(diǎn)，得，又，平面，則平面，于是與平面所成的角為，，，,以為原點(diǎn)，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，記，，則，設(shè)平面的法向量為，則，取，得，設(shè)平面的