2019最新高等數(shù)學(xué)期末考試試題（含答案）一、解答題1．下列函數(shù)在指定區(qū)間上是否滿足羅爾定理的三個條件？有沒有滿足定理結(jié)論中的？⑴；⑵；⑶解：⑴在上不連續(xù)，不滿足羅爾定理的條件.而，即在（0，1）內(nèi)不存在，使.羅爾定理的結(jié)論不成立.⑵不存在，即在區(qū)間內(nèi)不可導(dǎo)，不滿足羅爾定理的條件.而即在（0，2）內(nèi)不存在，使.羅爾定理的結(jié)論不成立.⑶因,且在區(qū)間上不連續(xù)，不滿足羅爾定理的條件.而,取，使.有滿足羅爾定理結(jié)論的.故羅爾定理的三個條件是使結(jié)論成立的充分而非必要條件.2．設(shè)f(x)是周期為2π的周期函數(shù)，它在(-π,π]上的表達(dá)式為試問f(x)的傅里葉級數(shù)在x=-π處收斂于何值？解：所給函數(shù)滿足狄利克雷定理的條件，x=-π是它的間斷點(diǎn)，在x=-π處，f(x)的傅里葉級數(shù)收斂于3．將展開成(x+4)的冪級數(shù)．解：而又所以4．若存在，證明：級數(shù)收斂．證：∵存在，∴?M>0，使|n2Un|≤M，即n2|Un|≤M，|Un|≤而收斂，故絕對收斂．5．某父母打算連續(xù)存錢為孩子攢學(xué)費(fèi)，設(shè)建行連續(xù)復(fù)利為5%（每年），若打算10年后攢夠5萬元，問每年應(yīng)以均勻流方式存入多少錢？解：設(shè)每年以均勻流方式存入x萬元，則5=即5=20x(e0.51)≈0.385386萬元=3853.86元．習(xí)題六6． 把長為10m，寬為6m，高為5m的儲水池內(nèi)盛滿的水全部抽出，需做多少功？解：如圖19，區(qū)間[x，x+dx]上的一個薄層水，有微體積dV=10·6·dx(19)設(shè)水的比重為1，，則將這薄水層吸出池面所作的微功為dw=x·60gdx=60gxdx．于是將水全部抽出所作功為eqw=\i\in(0,5,60gxdx)eq=\f(60g,2)x2\b\lc\|(\a\al(5,0))eq=750g(KJ)．7． 求下列旋轉(zhuǎn)體的體積：（1） 由y=x2與y2=x3圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)；解：求兩曲線交點(diǎn)eq\b\lc\{(\a\al(y=x2,y2=x3))得(0，0)，(1，1)eqV=p\i\in(0,1,\b(x3-x4))dxeq=p\b\bc\[(\f(1,4)x4-\f(1,5)x5)\s(1,0)eq=\f(p,20)．（14）（2）由y=x3，x=2，y=0所圍圖形分別繞x軸及y軸旋轉(zhuǎn)；解：見圖14，eqVx=p\i\in(0,2,x6dx=\f(128,7)p)eqVy=p\i\in(0,8,\b(22-y\f(2,3)))dyeq=\f(64,5)p．（2） 星形線eqx2/3+y2/3=a2/3繞x軸旋轉(zhuǎn)；解：見圖15，該曲線的參數(shù)方程是：eq\b\lc\{(\a\al(x=acos3t,y=asin3t))0￡t￡2p，由曲線關(guān)于x軸及y軸的對稱性，所求體積可表示為eqVx=2p\i\in(0,a,y2dx)eq=2p\i\in(\f(p,2),0,\b(asin3t)2d\b(acos3t))eq=6pa3\i\in(0,\f(p,2),sin7tcos2tdt)eq=\f(32,105)pa3(15)8．計算下列積分：;解：原式;解：原式=;解：原式=;解：原式=;解：原式=;解：原式=;解：原式=;解：原式=;解：所以，原式=.;解：原式=;解：原式=;解：原式=;解：原式;解：原式=.解：原式=9．利用被積函數(shù)奇偶性計算下列積分值（其中a為正常數(shù)）(1)解：因為[－a,a]上的奇函數(shù)，故;解：因為即被積函數(shù)為奇函數(shù)，所以原式=0.;解：因為為奇函數(shù)，故原式=.解：因為是奇函數(shù)，故原式=10．求下列不定積分：;解：原式=;解：原式=.;解：原式=;解：原式=;解：原式=;解：原式;解：原式=;解：原式=又故原式=.11．求下列極限：解：原式解：原式12．甲、乙兩用戶共用一臺變壓器(如13題圖所示)，問變壓器設(shè)在輸電干線AB的何處時，所需電線最短？解：所需電線為13題圖在0<x<3得唯一駐點(diǎn)x=1.2(km)，即變壓器設(shè)在輸電干線離A處1.2km時，所需電線最短.13．試證明：如果函數(shù)滿足條件，那么這函數(shù)沒有極值.證明：，令，得方程，由于，那么無實(shí)數(shù)根，不滿足必要條件，從而y無極值.14．設(shè)函數(shù)f(x)=x2(0≤x<1)，而，-∞<x<+∞，其中(n=1,2,3,…)，求.解：先對f(x)作奇延拓到,[-1,1]，再以2為周期延拓到(-∞,+∞)，并將f(x)展開成正弦級數(shù)得到s(x)，延拓后f(x)在處連續(xù)，故..15．已知函數(shù)在[a，b]上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，且，試證：在（a，b）內(nèi)至少有一點(diǎn)，使得.證明：令在[a，b]上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，且，由羅爾定理知，，使得，即,即16．下列函數(shù)是否相等,為什么?解:(1)相等.因為兩函數(shù)的定義域相同,都是實(shí)數(shù)集R;由知兩函數(shù)的對應(yīng)法則也相同;所以兩函數(shù)相等.(2)相等.因為兩函數(shù)的定義域相同,都是實(shí)數(shù)集R,由已知函數(shù)關(guān)系式顯然可得兩函數(shù)的對應(yīng)法則也相同,所以兩函數(shù)相等.(3)不相等.因為函數(shù)的定義域是,而函數(shù)的定義域是實(shí)數(shù)集R,兩函數(shù)的定義域不同,所以兩函數(shù)不相等.17．一飛機(jī)沿拋物線路徑(y軸鉛直向上，單位為m)做俯沖飛行，在坐標(biāo)原點(diǎn)O處飛機(jī)速度v=200m·s-1，飛行員體重G=70kg，求飛機(jī)俯沖至最低點(diǎn)即原點(diǎn)O處時，座椅對飛行員的反力.解：，飛行員在飛機(jī)俯沖時受到的向心力(牛頓)故座椅對飛行員的反力(牛頓).18．計算拋物線y=4x－x2在它的頂點(diǎn)處的曲率.解：y=－(x－2)2+4，故拋物線頂點(diǎn)為(2，4)當(dāng)x=2時，，故19．求函數(shù)在處的階泰勒公式.解：20．設(shè)，且與相比是很小的量，證明：證明：利用近似公式，有.21．設(shè)是由方程組所確定的隱函數(shù)，求.解：分別對已知方程組的兩邊關(guān)于求導(dǎo)，得：再對求一次導(dǎo)，得將代入上述各式，得22．垂直向上拋一物體，其上升高度與時間t的關(guān)系式為：求：⑴物體從t=1(s)到t=1.2(s)的平均速度：解：⑵速度函數(shù)v(t)；解：.⑶物體何時到達(dá)最高.解：令,得,即物體到達(dá)最高點(diǎn)的時刻為23．已知，求.解：當(dāng)時，,當(dāng)時，,故不存在.又故不存在.綜上所述知.24．設(shè),其中a為常數(shù)，為連續(xù)函數(shù)，討論在處的可導(dǎo)性.解：.故當(dāng)時，在處可導(dǎo)，且當(dāng)時，在處不可導(dǎo).25．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1);解：(2);解：(3);解：26．下列各題中均假定存在，按照導(dǎo)數(shù)定義觀察下列極限，指出A表示什么.(1)解：故(2)解：故(3)解：故27．研究下列函數(shù)的連續(xù)性，并畫出圖形：解：(1)由初等函數(shù)的連續(xù)性知，在（0，1），（1，2）內(nèi)連續(xù)，又而，在處連續(xù)，又，由，知在處右連續(xù)，綜上所述，函數(shù)在[0，2)內(nèi)連續(xù).函數(shù)圖形如下：圖1-2(2)由初等函數(shù)的連續(xù)性知在內(nèi)連續(xù)，又由知不存在，于是在處不連續(xù).又由及知，從而在x=1處連續(xù)，綜上所述，函數(shù)在及內(nèi)連續(xù)，在處間斷.函數(shù)圖形如下：圖1-3(3)∵當(dāng)x<0時，當(dāng)x=0時，當(dāng)x>0時，由初等函數(shù)的連續(xù)性知在內(nèi)連續(xù)，又由知不存在，從而在處間斷.綜上所述，函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，在處間斷.圖形如下：圖1-4(4)當(dāng)|x|=1時，當(dāng)|x|<1時，當(dāng)|x|>1時，即由初等函數(shù)的連續(xù)性知在(－∞,－1),(－1,1),(1,+∞)內(nèi)均連續(xù)，又由知不存在，從而在處不連續(xù).又由知不存在，從而在處不連續(xù).綜上所述，在(－∞,－1),(－1,1),(1,+∞)內(nèi)連續(xù)，在處間斷.圖形如下：圖1-528．已知水渠的橫斷面為等腰梯形,斜角=40°,如圖所示.當(dāng)過水?dāng)嗝鍭BCD的面積為定值S0時,求濕周L(L=AB+BC+CD)與水深h之間的函數(shù)關(guān)系式,并指明其定義域.圖1-1解:從而.由得定義域為.29．證明:和互為反函數(shù).證:由解得,故函數(shù)的反函數(shù)是,這與是同一個函數(shù),所以和互為反函數(shù).30．試證:方程只有一個實(shí)根.證明:設(shè)，則為嚴(yán)格單調(diào)減少的