專題05不等式與不等式組

內(nèi)容導(dǎo)航

串講知識：思維導(dǎo)圖串講知識點，有的放矢

重點速記：知識點和關(guān)鍵點梳理，查漏補缺

舉一反三：核心考點能舉一反三，能力提升

復(fù)習(xí)提升：真題感知+提升專練，全面突破

【知識點1不等式】

1．不等式的定義：用符號“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠連接的式子叫做不等式.

2．不等式的解：能使不等式成立的未知數(shù)的值叫做不等式的解.

3．不等式的解集：對于一個含有未知數(shù)的不等式，它的所有解組成這個不等式的解集．

（1）不等式表示方法：一般地，一個含有未知數(shù)的不等式有無數(shù)個解，它的解集是一個范圍。

一般用x>a、x<a、x≥a、x≤a來表示。

（2）數(shù)軸表示法：

4．解不等式：求不等式的解集的過程叫做解不等式．

【典例1】式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是不等式

2

的有（）3<54?+5>0?=3?+??≠?4?+2≥?+1

A．4個B．3個C．2個D．1個

【典例2】用不等式表示：

(1)x的與3的差大于2；(2)與3的和小于或等于零；(3)a的2倍與4的差是正數(shù)；

1

24?

(4)b的與c的和是非負數(shù)；(5)x與17的和比x的5倍?。?/p>

1

2

【知識點2不等式的性質(zhì)】

1．不等式的性質(zhì)1：

不等式兩邊同時加（或減）同一個數(shù)（或式子），不等號的方向不變。

即若a＞b，則ac＞bc。

2．不等式的性質(zhì)2：

不等式的兩邊同時乘上（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變。

ab

若a＞b，c＞0，則ac＞bc(＞)。

cc

3．不等式的性質(zhì)3：

不等式的兩邊同時乘上（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變。

ab

若a＞b，c＜0，則ac＜bc(＜)。

cc

【典例3】有下列說法：①若，則；②若，則；③若，且，則

22

；④若，則?>?．其?中?正>確??的是?+?（>填2?序+號1）．?>??>??=?

22

??>????>???>?

【知識點3一元一次不等式（組）的概念】

1．一元一次不等式的概念：

只含有1個未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)是1的整式不等式，叫做一元一次不等式。整個不等式中分母

不含有字母。

2．一元一次不等式組的概念：

把含有相同未知數(shù)的幾個一元一次不等式合在一起，就組成一個一元一次不等式組。

3．一元一次不等式組的解集：

幾個一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由他們組成的一元一次不等式組的解集。

4．一元一次不等式組的解集的求法：

先分別求出不等式組中的每一個不等式，然后找出他們解集的公共部分。

5．不等式組的解的情況與圖示（a<b）：

x＞a

①同大取大：，圖示：，解集為x>b。

x＞b

x＜a

②同小取?。海瑘D示：，解集為x<a。

x＜b

x＞a

③大小小大中間找：，圖示：，解集為a<x<b。

x＜b

x＞b

④大大小小無解答：，圖示：，解集為無解。

x＜a

【典例4】有下列不等式：①；②；③；④；⑤．其中一元一

2??1

次不等式有（填序號?）4<．0?+2>2???3>2?π>53?>?3

【典例5】已知是關(guān)于的一元一次不等式，則的值為．

??2

??3?≤5??

【典例6】將不等式組的解集表示在數(shù)軸上，正確的是（）

?12?+9≤3

5??1<0

A．B．

C．D．

【知識點4解一元一次不等式（組）】

解一元一次不等式具體步驟：

①去分母：在不等式兩邊同時乘上分母的最小公倍數(shù)。（根據(jù)等式的性質(zhì)2）

②去括號：利用去括號的法則去括號。

③移項：把含有未知數(shù)的移到等號的左邊，常數(shù)移到等號的右邊。（根據(jù)等式的性質(zhì)1）

④并：利用合并同類項法則進行合并。

⑤系數(shù)化為1：不等式兩邊除以系數(shù)或乘上系數(shù)的倒數(shù)。當(dāng)系數(shù)為負數(shù)時，不等號方向一定要改變。

（根據(jù)不等式的性質(zhì)2或3）

【典例7】解不等式組：，并求出不等式組所有整數(shù)解的和（完成下列各空）．

3?23???2?2≤9①

4<1②

(1)解不等式①，得___________；

(2)解不等式②，得___________；

(3)把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來：

(4)原不等式組的解集為：___________．

(5)原不等式組所有整數(shù)解的和為：___________．

【知識點5用一元一次不等式（組）解決實際問題】

列不等式（組）解應(yīng)用題的基本步驟與列方程解應(yīng)用題的步驟相類似，即：

（1）審：認真審題，分清已知量、未知量；

（2）設(shè)：設(shè)出適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)；

（3）找：找出題中的不等關(guān)系，要抓住題中的關(guān)鍵字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超過”“超過”等關(guān)

鍵詞的含義；

（4）列：根據(jù)題中的不等關(guān)系，列出不等式（組）；

（5）解：解出所列的不等式（組）的解集；

（6）答：檢驗是否符合題意，寫出答案.

考點一：由不等式（組）的解集求參

例1.若不等式的解都能使不等式成立，則實數(shù)的取值范圍是（）

?+57

2>???2?>2?+1?

A．B．C．D．

5533

?≤2?≤?2?≤?2?≤2

【變式1-1】已知關(guān)于x的不等式組的解集為，則a，b的值為（）

???≥?

4≤?<6

A．，B．，2???<2C?．+1，D．，

【變式1?-2=】7關(guān)于?x=的?不3等式?組=6?=?3的解集?中=每?一3個?值=均6不在?=?3的?范=圍7中，則a的取值范

2???>3

?1≤?≤5

圍是（）2?+8>4?

A．或B．或

C．?<1或?>4.5D．?≤1或?≥4.5

?>4?<1.5?≥4?≤1.5

【變式1-3】如果不等式組的解集是．

?+8<4??1

?>3

(1)求的取值范圍；?>?

(2)不等?式的解集為，求m的取值范圍．

考點二：由?不?等1式?（>組?）?中1的整數(shù)解求?<參1

例2．關(guān)于x的不等式恰有三個非負整數(shù)解，則b的取值范圍是（）

A．2?+?≤0B．

C．?6<?≤?4D．?6<?<?4

【變式?6】≤若?關(guān)≤于?4的不等式組?6≤?<?4恰有三個整數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是（）

2-1x??+1a

2+3>0

A．B．3?+5?+4>C．4?+1+3?D．

1331

0<?<21<?≤2?1≤?≤21<?<2

【變式2-2】如果關(guān)于的不等式至少有4個正整數(shù)解，那么的取值范圍是（）

A．?B．2??5≤2?+C1．D．?

【變式1≤】?若≤關(guān)2于的不等1式<組?<2?的≥所1有整數(shù)解之和等于?>1，則所有滿足條件的整數(shù)的

2-3120

23??2≤?+2

值之和為（）??

5?+3>?+2?

A．15B．21C．D．24

考點三：由不等式（組）有解和無解情況求參?6

例3．已知關(guān)于的不等式組有解，則的取值范圍是（）

???≥0

??

A．B．7?3??C1．>4D．

?>?2?≥?2?<2?≤2

【變式3-1】若關(guān)于x的不等式組1無解，則的取值范圍是（）

?2(???)>0

2?+1?

A．B．??1≥3C．D．

?≥4?≤4?>4?<4

【變式3-2】已知關(guān)于x的不等式．

4????1

4>4??1

(1)當(dāng)時，求該不等式的正整數(shù)解．

(2)當(dāng)?a=取1何值時，該不等式有解？并求出其解集．

【變式3-3】已知關(guān)于x的不等式．

7?3??

4+??>2

(1)當(dāng)時，求該不等式的解集；

(2)a符?合=什5么條件時，該不等式有解，并求出其解集（用含a的式子表示）．

考點四：由不等式（組）與方程（組）綜合求參

例4．已知關(guān)于，的方程組，其中，下列命題正確的個數(shù)為（）

?+3?=4??

???3≤?<1

①當(dāng)時，、的值互為相反數(shù)；②???=3?是方程組的解；③當(dāng)時，方程組的解也是方程

?=?5

?=?2???=?1?+

的解；④若，則．?=4

3

?=?+2?<02<?≤4

A．1個B．2個C．3個D．4個

【變式4-1】若關(guān)于的方程有非負整數(shù)解，且關(guān)于的不等式組1??8+2?至多有三個

2????2≤3?1

???4=2+2??+?

整數(shù)解，則符合條件的所有整數(shù)的和為．2+1>?+?

?

【變式4-2】關(guān)于x的不等式組，至少有4個整數(shù)解，且關(guān)于x，y的方程組

3?+3≥2?+5???2?=0

的解中，x的解為整數(shù)，那么滿足條??件2的<整?數(shù)a的值為．?+?=4

【變式4-3】已知關(guān)于x，y的方程組（m是常數(shù)）．

???=?5

(1)若此方程組的解也是方程2?+的?解=，6?求+常1數(shù)3m的值；

(2)若x，y滿足，試化?簡?：2?=?7；

(3)若x，y滿足?>2?，．求1???的取?值+范2圍．

考點五：不等式?（<組?）1中?新>定1義問題2???

例5．定義：若一元一次方程的解在一元一次不等式組解集范圍內(nèi)，則稱該一元一次方程為該一元

一次不等式組的“關(guān)聯(lián)方程”．例如：方程的解為，不等式組的解集為，

?>?1

??2=1?=3?1<?<4

?<4

因為在的范圍內(nèi)，所以方程是不等式組的“關(guān)聯(lián)方程”．

?>?1

?=3?1<?<4??2=1

(1)方程______（填“是”或“不是”）不等式組的?<“關(guān)4聯(lián)方程”．

2?+5>0

2?+1=??

(2)已知關(guān)于的方程是不等式組的??“關(guān)3聯(lián)<?方1程”，求的取值范圍．

??1>0

??+2?=5?

(3)已知關(guān)于的方程是關(guān)于的不等2?式?組7<?1的“關(guān)聯(lián)方程”，直接寫出的取值范

?+2??1>2?

???2?=1??

圍為______．???<3

【變式5-1】定義：關(guān)于，的二元一次方程（其中）中的常數(shù)項與未知數(shù)系數(shù)，

之一互換，得到的方程叫?“換?參方程”，例如：??+??=?的“換?參≠方?程≠”為?或?．??

(1)方程與它的“換參方程”組成的方?程?組+的??解=為?__________；??+??=???+??=?

(2)已知關(guān)?+于2?，=的4二元一次方程的系數(shù)滿足，且與它的“換參方程”組

成的方程組的?解?恰好是關(guān)于，的??二+元?一?=次?方程?+?的+一?=個0解，求?代?+數(shù)?式?=?

的值；????+??=?(?+?)???(?+?)+

(230)2已5知整數(shù)，，，滿足條件，并且是關(guān)于，的二元一次方

程???的?“<換?參<方?程+”，4求的(值3?．??)?+2025?=?+2???

【變(6式+5?-2)】?+定2義02：5?如=果2一?元?一1次方程的解也是一元?一次不等式組的解，則稱該一元一次方程為該不等式組

的“浯溪水亦香方程”．例如的解為，不等式組的解集為，因為

??2>0

2??6=0?=32<?<52<3<

，所以方程為不等式組，的“浯溪水亦香?方<程5”．

??2>0

52??6=0

(1)方程是下列哪些不等式組?的<__5____“浯溪水亦香方程”：（填序號）

①2?+；3=②1；③．

13??1

??2>22?+3>42<3

(2)若關(guān)?≥于3的方程?+3<0是不等式?組+5>0的“浯溪水亦香方程”，求的取值范圍；

3??6>4??

?2???=2?

(3)若方程，都是關(guān)于的?不?等1≥式4組??10的“浯溪水亦香方程”，其中，

2?

??2?<??2

2?+4=03=?1??≠2

求的取值范圍．?+5≥?

【變?式5-3】如果一個方程（組）的解恰好能夠使得某不等式（組）成立，則稱此方程（組）為該不等式（組）

的“偏解方程（組）”、例如：方程是不等式的“偏解方程”，因為方程的解可使

2??1=1?+1>0?=1

得成立：方程組是不等式的“偏解方程組”，因為方程組的解

?+?=7?=4

?+1=2>02?+3?>15

可使得???=1成立．?=3

(1)方程2?+3?=2×是4下+列3不×等3=式1（7組>）15中_______（填序號）的“偏解方程”；

3?+2=?4

①；②；③；

?+3≥0

2?+1>3?+33?+1≤6

(2)已知關(guān)于，方程組是??不1等<式0的“偏解方程組”，求的取值范圍；

2???=?41

????2?>7?

(3)已知關(guān)于的不等式組?+2?=5?恰+有35個整數(shù)解，且關(guān)于的方程是它的“偏解方程”，求的

?+10≥?

???+?=0?

取值范圍．?+9<2?

考點六：一元一次不等式（組）解最多至少問題

例6．綜合與實踐

某鄉(xiāng)政府為鞏固脫貧攻堅與鄉(xiāng)村振興有效銜接賦能，營造營銷便利環(huán)境，促進鄉(xiāng)村特色產(chǎn)品的銷售；準(zhǔn)備

在轄區(qū)內(nèi)新建一條長600米的公路，計劃由甲、乙兩個工程隊來完成；若甲工程隊先單獨施工10天，則乙

工程隊還需單獨施工15天可完成該工程；若甲、乙兩個工程隊同時共同施工，則12天可以完成該工程，

設(shè)甲、乙兩個工程隊每天分別施工x和y米．

【問題分析】（1）甲工程隊單獨施工10天完成的工程量是米；乙工程隊單獨施工15天完成的工程量是米；

甲、乙兩個工程隊同時共同施工m天完成的工程量是米；（用含有字母的代數(shù)式表示）

【問題解決】（2）求甲、乙兩個工程隊每天各施工多少米？

【問題拓展】（3）已知甲工程隊每天的施工費用為0.6萬元，當(dāng)甲、乙兩個工程隊同時共同施工10天后甲

隊因另有任務(wù)離開，剩下的工程由乙隊單獨施工完成，若甲、乙兩個工程隊完成全部工程的總費用不超過

12萬元，則乙工程隊每天的施工費用最多是多少萬元？

【變式6-1】為了鼓勵市民節(jié)約用水，某市居民生活用水按階梯式計費該市居民“一戶一表”生活用水階梯式

計費價格表的一部分信息如下：

自來水銷售價污水處理價

每戶每月用水量

格格

及以下a元/1.40元/

333

18mmm

超過不超過的部

33b元/1.40元/

18m分30m33

mm

超過的部分6.00元/1.40元/

333

30mmm

[說明：①每戶產(chǎn)生的污水量等于該戶的用水量②水費自來水費污水處理費]

已知小王家2025年4月份用水，交水費64元；=5月份用水+，交水費89元．

33

20m25m

(1)求a，b的值．

(2)隨著夏天的到來，用水量將增加，小王計劃把6月份水費控制在家庭月收入的．若小王家月收入為

11250元，則按計劃小王家6月份最多可用水多少立方米？2%

【變式6-2】隨著科技的發(fā)展，新能源汽車正逐漸成為人們喜歡的交通工具，其需求量快速增長．為滿足客

戶需求，現(xiàn)某汽車銷售公司計劃購進一批新能源汽車嘗試進行銷售，據(jù)了解1輛A型汽車、1輛B型汽車

的進價共計37萬元；若單次購買A型汽車超過15輛每輛車進價打九五折，單次購買型汽車超過15輛每

輛車進價優(yōu)惠5千元，當(dāng)購買型和型車各20輛時，共需715萬元．?

(1)求該汽車銷售公司單獨購進?，型?號汽車各一輛時，進價分別為多少萬元？

(2)因資金緊張，該公司計劃以不?超?過260萬元購進以上兩種型號的新能源汽車共15輛，每輛型汽車在進

價的基礎(chǔ)上提高6000元銷售，每輛型汽車在進價的基礎(chǔ)上提高銷售．假如這些新能源汽?車全部售出，

至少要獲利10.5萬元，該公司有哪幾?種購進方案？哪種方案獲得的5%利潤最多，最多利潤是多少？

【變式6-3】一家電腦公司有型、型、型三種型號的電腦，其中型每臺元．某中學(xué)計劃從這家電

腦公司購進電腦．????2500

(1)已知購買2臺型電腦和3臺型電腦需要元，且購買3臺型電腦和8臺型電腦的費用剛好可

以買20臺型電腦?．求型電腦和?型電腦的售24價00．0??

(2)這家電腦?公司為提高?型電腦銷?量，設(shè)計了舊電腦抵值活動：購買一臺型電腦時，可以用一臺舊電腦抵

值1000元．該中學(xué)計劃?只購買型電腦，拿出的舊電腦和購買的型電腦?數(shù)量一共是臺．若要使購買

型電腦的數(shù)量是舊電腦數(shù)量的?倍，且購買型電腦的實際總費用?不少于元，3則0要在計劃的基礎(chǔ)上?

再多買臺型電腦，此時該中學(xué)2需要再拿出?臺的舊電腦參加抵值活動，1求00該00中0學(xué)至少需要再拿出多少臺

1

舊電腦進?行?抵值？3?

考點七：一元一次不等式（組）解方案選擇問題

例7．冬天來臨，某超市以每臺80元和70元的價格購進A和B兩種型號的取暖器，表格是該超市

近兩天出售取暖器的情況（注：利潤=銷售收入-進貨成本）：

銷售數(shù)量

銷售時段銷售收入

A型號B型號

第一天3臺4臺760元

第二天5臺7臺1300元

(1)分別求A，B兩種型號的取暖器的銷售單價．

(2)該超市準(zhǔn)備用不超過3020元的資金購進這兩種型號的取暖器共40臺，則A型號的取暖器最多能采購多

少臺？

(3)在（2）的條件下，超市銷售完這40臺取暖器能否實現(xiàn)利潤超過1400元的目標(biāo)？若能，通過計算給出相

應(yīng)的購進方案；若不能，請說明理由．

【變式7-1】中國第一條具有自主知識產(chǎn)權(quán)的長沙磁浮線連接了長沙火車南站和黃花國際機場兩大交通樞紐，

沿線生態(tài)綠化帶走廊的建設(shè)尚在進行中，屆時將給乘客帶來美的享受．星城渣土運輸公司承包了某標(biāo)段的

土方運輸任務(wù)﹐擬派出大、小兩種型號的渣土運輸車運輸土方，已知2輛大型渣土運輸車與3輛小型渣土

運輸車一次共運輸土方31噸，4輛大型渣土運輸車與5輛小型渣土運輸車一次共運輸土方57噸．

(1)一輛大型渣土運輸車和一輛小型渣土運輸車一次各運輸土方多少噸？

(2)該渣土運輸公司決定派出大，小兩種型號的渣土運輸車共10輛參與運輸土方，每輛大型渣土車一次需費

用200元，每輛小型渣土車一次需費用180元．若運輸土方總量不少于65噸，且總費用小于1960元．你

作為渣土運輸公司的經(jīng)理，列出所有運輸方案，并指出哪種方案所需費用最少，最少費用是多少？

【變式7-2】“保護環(huán)境，低碳出行”．某市公交公司將淘汰某一條線路上“冒黑煙”較嚴(yán)重的公交車，計劃購買

型和型兩種環(huán)保節(jié)能公交車共10輛．已知購買型公交車2輛，型公交車3輛，共需650萬元；購買

?型公交?車2輛，型公交車1輛，共需350萬元．???

（1）求購買型和?型公交車每輛各需多少萬元？

（2）預(yù)計在該?線路?上型和型公交車每輛年均載客量分別為60萬人次和100萬人次．若該公司購買型公

交車輛，完成下表：???

?數(shù)量（輛）購買總費用（萬元）載客總量（萬人次）

型車

??100?60?

型車

?10??

（3）若該公司購買型和型公交車的總費用不超過1150萬元，且確保這10輛公交車在該線路的年均載客

量總和不少于640萬?人次?，則該公司有哪幾種購車方案？哪種購車方案的總費用最少？最少總費用是多少？

【變式7-3】某文具店經(jīng)銷甲、乙兩款品牌的筆記本，今年二、三月份銷售情況如下表所示：（甲、乙款種

筆記本的銷售單價保持不變）

月份銷售數(shù)量（本）銷售數(shù)量（本）銷售額（元）

甲款乙款

二月份4020880

三月份2040800

(1)求甲、乙兩款筆記本的銷售單價分別是多少元；

(2)若甲款筆記本每本進價為10元，乙款筆記本每本進價為8元，文具店預(yù)計用不多于624元且不少于620

元的資金購進這兩款筆記本共70本，有幾種進貨方案；

(3)為了促銷甲款筆記本，文具店決定每售出一本甲款筆記本，返還顧客現(xiàn)金元，要使（2）中所有的方案

獲利相同，求的值．?

?

1．已知關(guān)于的不等式的解集為，則的取值范圍是（）

A．?B2．???>2??C．?<1?D．

2．小明?同>學(xué)0早上前要?到<達0班級，出家門時是?<2，已知他家離學(xué)校?距>離2為，他跑步的速度為

，走路的8:2速0度為，小明同學(xué)至少8:跑00步多長時間才能保證不遲到1，50設(shè)0m小明同學(xué)跑步時間

為120m/m，in根據(jù)題意可列不等6式0m正/確mi的n為（）

?Am．inB．

120?+6020??<1500120??20+60?>1500

C．D．

1500?120?1500?120?

?+60<20?+60>20

3．已知實數(shù)，，，滿足，，，則下列判斷錯誤的是（）

?+???????+?

????+?+?<1?=2?=3

A．B．C．D．

31

?=3??>22?+3?=0?<2

4．如圖，一個運算程序，若需要經(jīng)過兩次運算才能輸出結(jié)果，則的取值范圍為（）

?

A．B．C．D．

1<?≤41≤?<42≤?<52<?≤5

5．關(guān)于的方程的解是非負整數(shù)，且關(guān)于的不等式組有且僅有

6??4??+>32??1?1

?2??3?=??7?

3個整數(shù)解，則滿足條件的所有整數(shù)的和為（）