第二節(jié)平面向量基本定理及坐標表示課標要求1.理解平面向量基本定理及其意義.2.借助平面直角坐標系，掌握平面向量的正交分解及坐標表示.3.會用坐標表示平面向量的加、減運算與數乘運算.4.能用坐標表示平面向量共線的條件.1.平面向量基本定理（1）定理：如果e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量a，有且只有一對實數λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2；（2）基底：若e1，e2不共線，我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內所有向量的一個基底.提醒（1）基底e1，e2必須是同一平面內的兩個不共線向量，零向量不能作為基底；（2）基底給定，同一向量的分解形式唯一.2.平面向量的坐標運算（1）向量的加法、減法、數乘及向量的模設a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），則a＋b＝（x1＋x2，y1＋y2），a－b＝（x1－x2，y1－y2），λa＝（λx1，λy1），｜a｜＝x12（2）向量坐標的求法①若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標；②設A（x1，y1），B（x2，y2），則AB＝（x2－x1，y2－y1），｜AB｜＝（x2提醒若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），則a＝b?x3.平面向量共線的坐標表示設a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），a∥b?x1y2－x2y1＝0.提醒（1）a∥b的充要條件不能表示為x1x2＝y(tǒng)1y2，因為x2，y2有可能為0；（2）當且僅當x2y2≠0時，a∥b與x1x1.若a與b不共線，且λa＋μb＝0，則λ＝μ＝0.2.三角形的重心坐標公式已知△ABC的頂點A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），則△ABC的重心G的坐標為（x1＋x23.線段的定比分點坐標公式如圖，線段P1P2的端點P1，P2的坐標分別是（x1，y1），（x2，y2），點P（x，y）是直線P1P2上的一點.當P1P＝λPP2時，則點P的坐標滿足x＝x1＋λx21+λ，y＝y(tǒng)1＋λy1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）（1）在△ABC中，{AB，CA}可以作為基底.（√）（2）向量的坐標就是向量終點的坐標.（×）（3）若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），則a∥b的充要條件可以表示成x1x2＝y(tǒng)1y（4）平面向量不論經過怎樣的平移變換之后其坐標不變.（√）2.（人A必修二P60復習參考題2（6）題改編）下列各組向量中，可以作為基底的是（）A.e1＝（0，0），e2＝（1，－2）B.e1＝（－1，2），e2＝（5，7）C.e1＝（3，5），e2＝（6，10）D.e1＝（－2，3），e2＝（－12，3解析：B兩個不共線的非零向量構成一個基底，A中向量e1為零向量，C、D中兩向量共線，B中e1≠0，e2≠0，且e1與e2不共線.故選B.3.（人A必修二P33練習5題改編）已知OA＝（5，－2），OB＝（－4，－3），且OP＋AP＋BP＝0，其中O為坐標原點，則P點坐標為（）A.（－9，－1） B.（13，－5C.（1，－5） D.（3，－13解析：B由題意得，P是△OAB的重心，又A（5，－2），B（－4，－3），O（0，0），所以P點坐標為（13，－53）.故選4.（蘇教必修二P40習題2題改編）已知向量a＝（4，2），b＝（6，y），且a∥b，則y＝3.解析：∵向量a＝（4，2），b＝（6，y），且a∥b，故4y－2×6＝0，解得y＝3.5.已知?ABCD的頂點A（0，－2），B（3，－1），C（5，2），則頂點D的坐標為（2，1）.解析：設D（x，y），則由AB＝DC，得（3，1）＝（5－x，2－y），即3=5－x平面向量基本定理的應用（師生共研過關）（1）如圖所示，在△ABC中，CB＝3CD，AD＝2AE，AB＝a，AC＝b，則CE＝（B）A.16a－13b B.16aC.a－13b D.16a－解析：（1）CE＝AE－AC＝12AD－AC＝12（AB＋23BC）－AC＝12AB＋13（AC－AB）－AC＝16AB－2（2）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E在線段BD上，且EB＝mDE（m∈R），若AC＝λAE＋μAD（λ，μ∈R），且λ＋2μ＝0，則m＝3.解析：（2）在平行四邊形ABCD中，因為EB＝mDE，所以AB－AE＝m（AE－AD），所以AE＝11+mAB＋m1+mAD.又AB＝DC＝AC－AD.所以AE＝11+m（AC－AD）＋m1+mAD，所以AC＝（1＋m）·AE＋（1－m）AD.又AC＝λAE＋μAD，所以λ＝1＋m，μ＝1－m，又λ＋2μ＝0，所以1＋m＋2（解題技法應用平面向量基本定理表示向量的策略（1）選定基底后，通過向量的加、減、數乘以及向量平行的充要條件，把相關向量用這一個基底表示出來；（2）強調圖形幾何性質在向量運算中的作用，用基底表示未知向量，常借助圖形的幾何性質，如平行、相似等.1.已知AD，BE分別為△ABC的邊BC，AC上的中線，設AD＝a，BE＝b，則BC＝（）A.43a＋23b B.23aC.23a－43b D.－23a解析：B∵AD為邊BC上的中線，∴AD＝BD－BA＝12BC－BA，又BE為邊AC上的中線，∴BE＝12BA＋12BC，∴a＝12BC－BA，b＝12BA＋2.在正六邊形ABCDEF中，用AC和AE表示CD，則CD＝（）A.－23AC＋13AE BC.－23AC＋23AE D解析：B設正六邊形的邊長為2，如圖，設AD與EC交于點O，則有OD＝1，AO＝3，所以CD＝CO＋OD＝12（CA＋AE）＋16（AC＋AE）＝－13平面向量的坐標運算（師生共研過關）（1）在平行四邊形ABCD中，AD＝（3，7），AB＝（－2，3），對角線AC與BD交于點O，則CO的坐標為（C）A.（－12，5） B.（12，C.（－12，－5） D.（12，－解析：（1）因為在平行四邊形ABCD中，AD＝（3，7），AB＝（－2，3），對角線AC與BD交于點O，所以CO＝－AO＝－12（AD＋AB）＝（－12，－5（2）如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E為AD的中點，若CA＝λCE＋μDB（λ，μ∈R），則λ＋μ＝（B）A.65 B.C.2 D.8解析：（2）建立如圖所示的平面直角坐標系，則D（0，0）.不妨設AB＝1，則CD＝AD＝2，∴C（2，0），A（0，2），B（1，2），E（0，1），∴CA＝（－2，2），CE＝（－2，1），DB＝（1，2），∵CA＝λCE＋μDB，∴（－2，2）＝λ（－2，1）＋μ（1，2），∴－2λ＋μ＝－2，λ解題技法平面向量坐標運算的技巧（1）向量的坐標運算主要是利用向量加、減、數乘運算的法則來進行求解的，若已知有向線段兩端點的坐標，則應先求向量的坐標；（2）解題過程中，常利用“向量相等，則其坐標相同”這一原則，通過列方程（組）來進行求解.1.（2024·保定期末）已知向量a＝（2，－3），b＝（1，2），c＝（9，4），若正實數m，n滿足c＝ma＋nb，則1m＋1n＝（A.710 B.C.47 D.解析：A因為a＝（2，－3），b＝（1，2），c＝（9，4），所以c＝ma＋nb＝（2m＋n，－3m＋2n）＝（9，4），所以2m＋n=9，－3m+2n=4，解得m=2，2.在△ABC中，點P在BC上，且BP＝2PC，點Q是AC的中點，若PA＝（4，3），PQ＝（1，5），則AQ＝（－3，2），BC＝（－6，21）.解析：AQ＝PQ－PA＝（1，5）－（4，3）＝（－3，2），PC＝PA＋AC＝PA＋2AQ＝（4，3）＋2（－3，2）＝（－2，7），BC＝3PC＝3（－2，7）＝（－6，21）.平面向量共線的坐標表示（定向精析突破）考向1利用向量共線求參數〔多選〕已知向量a＝（3，1），b＝（2，3），c＝（－1，2），若（ma＋c）∥（a＋nb）（m，n∈R），則（m，n）可能是（）A.（2，1） B.（0，－1）C.（3，2） D.（－1，－12解析：ABD由題意得ma＋c＝（3m－1，m＋2），a＋nb＝（3＋2n，1＋3n）.由（ma＋c）∥（a＋nb）可得（3＋2n）（m＋2）－（1＋3n）（3m－1）＝0，整理得mn＝n＋1.A中，2×1＝1＋1，滿足；B中，0×（－1）＝－1＋1，滿足；C中，3×2≠2＋1，不滿足；D中，（－1）×（－12）＝－12＋1，解題技法已知兩向量共線，求某些參數的取值，可利用“若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），則a∥b的充要條件是x1y2＝x2y1”解題.考向2利用向量共線求向量或點的坐標（人A必修二P33探究改編）已知A（2，3），B（4，－3），點P在線段AB的延長線上，且｜AP｜＝43｜PB｜，則點P的坐標為（10，－21）.解析：法一由點P在線段AB的延長線上，｜AP｜＝43｜PB｜，知AP＝－43PB.設P（x，y），則（x－2，y－3）＝－43（4－x，－3－y），即x－2=－43（法二因為點P在線段AB的延長線上，所以AP與PB方向相反，由｜AP｜＝43｜PB｜，知AP＝－43PB.設P（x，y），則x＝2+（－43）×41+（－43）＝解題技法利用向量共線求向量或點的坐標的一般思路（1）求與一個已知向量a共線的向量時，可設所求向量為λa（λ∈R），然后結合其他條件列出關于λ的方程（組），求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量；（2）求點的坐標時，可設要求點的坐標為（x，y），根據向量共線的條件列方程（組），求出x，y的值.1.已知A（1，－2），B（－1，3），O（0，0），若向量OA－kOB與a＝（2，3）共線，則實數k＝（）A.79 B.－C.47 D.－解析：B∵OA－kOB＝（1，－2）－（－k，3k）＝（1＋k，－2－3k）與a＝（2，3）共線，∴3（1＋k）＝2（－2－3k），解得k＝－79.故選B2.在△ABC中，已知點O（0，0），A（0，5），B（4，3），OC＝14OA，OD＝12OB，AD與BC交于點M，則點M的坐標為（127解析：因為點O（0，0），A（0，5），B（4，3），所以點C（0，54），同理點D（2，32）.設點M的坐標為（x，y），則AM＝（x，y－5），而AD＝（2，－72）.因為A，M，D三點共線，所以AM與AD共線，所以－72x－2（y－5）＝0，即7x＋4y＝20.而CM＝（x，y－54），CB＝（4，74），因為C，M，B三點共線，所以CM與CB共線，所以74x－4（y－54）＝0，即7x－16y＝－20.由7x+4y1.在矩形ABCD中，E是BC的中點，F是AE上靠近E的三等分點，則向量DF＝（）A.23AB＋43AC BC.13AB＋23AC D解析：B如圖，根據平面向量的運算法則，可得DF＝DA＋AF＝CB＋23AE＝AB－AC＋23×12（AB＋AC）＝AB－AC＋13AB＋13AC2.若向量a＝（2，1），b＝（－1，2），c＝（0，52），則c可用向量a，b表示為（A.c＝12a＋b B.c＝－12aC.c＝32a＋12b D.c＝32a解析：A設c＝xa＋yb，易知0=2x－y，52＝x+2y，解得x3.在△ABC中，點M是BC的中點，點N為AB上一點，AM與CN交于點D，且AD＝45AM，AN＝λAB，則λ＝（A.23 B.C.45 D.解析：A如圖，因為點M是BC的中點，所以AD＝45AM＝45×12（AB＋AC）＝25（AB＋AC）.因為N，D，C三點共線，所以AD＝μAC＋（1－μ）AN，又AN＝λAB，所以25（AB＋AC）＝μAC＋（1－μ）λ4.已知向量a，b，c在正方形網格中的位置如圖所示，若c＝λa＋μb（λ，μ∈R），則λ＋μ＝（）A.－79 B.－C.－32 D.－解析：B設網格中小正方形的邊長為1，建立平面直角坐標系如圖所示，可知b＝（3，3），a＝（－2，1），c＝（－1，－3），代入c＝λa＋μb（λ，μ∈R），得（－1，－3）＝λ（－2，1）＋μ（3，3），則－1=－2λ+3μ，－3=λ+3μ5.〔多選〕下列各組中a∥b的有（其中e1，e2是兩個不共線的向量）（）A.a＝3e1，b＝－9e1B.a＝12e1－13e2，b＝3e1－2C.a＝e1－e2，b＝3e1＋3e2D.a＝－12e1＋e2，b＝e1－2e解析：ABD選項A中，∵a＝3e1，b＝－9e1，∴b＝－3a，∴a，b共線.選項B中，∵a＝12e1－13e2，b＝3e1－2e2，∴b＝6a，∴a，b共線.選項C中，假設a＝λb（λ∈R），則e1－e2＝λ（3e1＋3e2），∴（1－3λ）e1＋（－1－3λ）e2＝0.∵e1，e2不共線，∴1－3λ=0，－1－3λ=0，此方程組無解.∴不存在實數λ，使得a＝λb成立，∴a，b不共線.選項D中，－16.〔多選〕如圖所示，點A，B，C是圓O上的三點，線段OC與線段AB交于圓內一點P，若AP＝λAB，OC＝μOA＋3μOB，則（）A.P為線段OC的中點時，μ＝1B.P為線段OC的中點時，μ＝1C.無論μ取何值，恒有λ＝3D.存在μ∈R，λ＝1解析：ACOP＝OA＋AP＝OA＋λAB＝OA＋λ（OB－OA）＝（1－λ）OA＋λOB，因為OP與OC共線，所以1－λμ＝λ3μ，解得λ＝34，故C正確，D錯誤；當P為線段OC的中點時，則OP＝12OC＝12μOA＋12×3μOB，則1－λ＝12μ，λ＝12×3μ，解得μ＝127.已知A（2，3），B（4，－3），點P在線段AB的延長線上，且｜AP｜＝32｜PB｜，則點P的坐標為（8，－15）解析：因為點P在線段AB的延長線上，且｜AP｜＝32｜PB｜，所以AB＝12BP，所以OP＝OB＋2AB＝（4，－3）＋2（2，－6）＝（8，－15），所以點P的坐標為（88.在△ABC中，D為BC邊上的點，且S△ABD＝2S△ADC，AB＝xAD＋yAC，則x＝3，y＝－2.解析：設點A到BC的距離為h，則12×BD×h＝2×12×DC×h，所以BD＝2DC，故AB＝AC＋CB＝AC＋3CD＝AC＋3（AD－AC）＝3AD－2AC.又AB＝xAD＋yAC，故x＝3，y＝－9.已知a＝（1，0），b＝（2，1）.（1）當k為何值時，ka－b與a＋2b共線？解：（1）ka－b＝k（1，0）－（2，1）＝（k－2，－1），a＋2b＝（1，0）＋2（2，1）＝（5，2）.∵ka－b與a＋2b共線，∴2（k－2）－（－1）×5＝0，即2k－4＋5＝0，得k＝－12（2）若AB＝2a＋3b，BC＝a＋mb且A，B，C三點共線，求m的值.解：（2）法一∵A，B，C三點共線，∴存在唯一的實數λ，使AB＝λBC，即2a＋3b＝λ（a＋mb），∴2=λ，3=mλ，法二AB＝2a＋3b＝2（1，0）＋3（2，1）＝（8，3），BC＝a＋mb＝（1，0）＋m（2，1）＝（2m＋1，m），∵A，B，C三點共線，∴AB∥BC，∴8m－3（2m＋1）＝0，即2m－3＝0，∴m＝3210.點P在平面上做勻速直線運動，速度向量v＝（4，－3）（即點P的運動方向與v相同，且每秒移動的距離為｜v｜個單位）.設開始時點P的坐標為（－10，10），則5秒后點P的坐標為（）A.（－2，4） B.（－30，25）C.（10，－5） D.（5，－10）解析：C設5秒后點P的坐標為（x，y），由題意，得v＝（4，－3），則｜v｜＝5.∵點P的運動方向與v相同，且每秒移動的速度是5，∴（x＋10，y－10）＝5v＝5（4，－3），解得x＝10，y＝－5，∴5秒后點P的坐標為（10，－5）.11.如圖，扇形的半徑為1，圓心角∠BAC＝150°，點P在弧BC上運動，AP＝λAB＋μAC，則3λ－μ的最小值是（）A.0 B.3C.2 D.－1解析：D以A為坐標原點，AB所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，則A（0，0），B（1，0），C（cos150°，sin150°）＝（－32，12），設P（cosθ，sinθ）（0°≤θ≤150°），因為AP＝λAB＋μAC，所以（cosθ，sinθ）＝λ（1，0）＋μ（－32，12），整理得λ－32μ＝cosθ，12μ＝sinθ，解得λ＝cosθ＋3sinθ，μ＝2sinθ，則3λ－μ＝sinθ＋3cosθ＝2sin（θ＋60°），因為0°≤θ≤150°，所以60°≤θ＋60°≤210°，故1≥sin12.〔多選〕已知平面向量a＝（1，－2），b＝（2，1），c＝（－4，－2），則下列結論正確的是（）A.｜c｜＝2｜a｜B.向量c與向量b共線C.若c＝λ1a＋λ2b（λ1，λ2∈R），則λ1＝0，λ2＝－2D.對同一平面內任意向量d，都存在實數k1，k2，使得d＝k1b＋k2c解析：ABC對于A，｜a｜＝12＋(-2）2＝5，｜c｜＝(-4）2＋(-2）2＝25，故A正確；對于B，因為b＝（2，1），c＝（－4，－2），所以c＝－2b，所以向量c與向量b共線，故B正確；對于C，若c＝λ1a＋λ2b（λ1，λ2∈R），則（－4，－2）＝（λ1＋2λ2，－2λ1＋λ2），所以λ1+2λ2＝－4，－2λ1＋λ2＝－2，解得λ1=0，λ2＝－2，故C正確；對于D，因為c＝－2b，所以d＝k1b＋k2c＝k1b－2k213.如圖所示，OM∥AB，點P在由射線OM、線段OB及AB的延長線圍成的陰影區(qū)域內（不含邊界）運動，且OP＝xOA＋yOB，則x的取值范圍是（－∞，0）.當x＝－12時，y的取值范圍是12解析：∵點P在陰影區(qū)域內，∴過點P作OB的平行線交AO的延長線，且只能交AO于延長線上一點，故x＜0.OP＝xOA＋yOB＝－12OA＋y（OA＋AB）＝（－12＋y）OA＋yAB，則由－12＋y＞0，得y＞12，又（－12＋y）OA＋yAB＝（－12＋y）OA＋（－12＋y）AB＋12AB＝（－12＋y）OB＋12AB，則－12＋y14.如圖，在直角梯形ABCD中，｜