第三節(jié)等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)課標(biāo)要求1.梳理等式的性質(zhì)，理解不等式的概念.2.會(huì)比較兩個(gè)數(shù)（式）的大小.3.理解不等式的性質(zhì)，掌握不等式性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用.1.比較實(shí)數(shù)的大小（1）文字?jǐn)⑹觯喝绻鸻－b是正數(shù)，那么a＞b；如果a－b等于0，那么a＝b；如果a－b是負(fù)數(shù)，那么a＜b.反過(guò)來(lái)也對(duì)；（2）符號(hào)表示：a＞b?a－b＞0；a＝b?a－b＝0；a＜b?a－b＜0.2.等式的基本性質(zhì)（1）對(duì)稱性：如果a＝b，那么b＝a；（2）傳遞性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c；（3）可加性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；（4）可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；（5）可除性：如果a＝b，c≠0，那么ac＝b3.不等式的基本性質(zhì)（1）對(duì)稱性：a＞b?b＜a；（2）傳遞性：a＞b，b＞c?a＞c；（3）可加性：a＞b?a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d?a＋c＞b＋d；（4）可乘性：a＞b，c＞0?ac＞bc；a＞b，c＜0?ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd；（5）可乘方性：a＞b＞0?anbn（n∈N，n≥2）；（6）可開方性：a＞b＞0?na＞nb（n∈N，n≥1.倒數(shù)性質(zhì)若ab＞0，則a＞b?1a＜1若ab＜0，則a＞b?1a＞12.分?jǐn)?shù)性質(zhì)若a＞b＞0，m＞0，則（1）真分?jǐn)?shù)性質(zhì)：ba＜b＋ma＋m；ba＞b（2）假分?jǐn)?shù)性質(zhì)：ab＞a＋mb＋m；ab＜a1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”）（1）兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b之間，有且只有a＞b，a＝b，a＜b三種關(guān)系中的一種.（√）（2）若a＞b，則ac2＞bc2.（×）（3）若ab＞1，則a＞b.（×（4）a＝b?ac＝bc.（×）2.（人A必修一P43習(xí)題3（2）題改編）設(shè)M＝2a（a－2），N＝（a＋1）（a－3），則有（）A.M＞N B.M≥NC.M＜N D.M≤N解析：A因?yàn)镸－N＝2a（a－2）－（a＋1）（a－3）＝a2－2a＋3＝（a－1）2＋2＞0，所以M＞N.故選A.3.（人A必修一P43習(xí)題8題改編）設(shè)a，b，c∈R，且a＞b，則下列不等式成立的是（）A.ac＞bc B.1a＜C.a2＞b2 D.a＋c＞b＋c解析：D對(duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)c≤0時(shí)，不等式ac＞bc不成立，故A不正確.對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)a＞0，b＜0時(shí)，不等式1a＜1b不成立，故B不正確.對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)a＝－1，b＝－2時(shí)，不等式a2＞b2不成立，故C不正確.選項(xiàng)D正確，故選4.已知2＜a＜3，1＜b＜2，則2a－b的取值范圍是（2，5）.解析：因?yàn)?＜a＜3，所以4＜2a＜6.又1＜b＜2，所以－2＜－b＜－1，所以2＜2a－b＜5.5.在一次調(diào)查中，甲、乙、丙、丁四名同學(xué)的閱讀量有如下關(guān)系：同學(xué)甲、丙閱讀量之和與乙、丁閱讀量之和相同，同學(xué)甲、乙閱讀量之和大于丙、丁閱讀量之和，丁的閱讀量大于乙、丙閱讀量之和.那么這四名同學(xué)按閱讀量從大到小的順序排列為甲＞丁＞乙＞丙.解析：由題意得，甲＋丙＝乙＋?、伲祝遥颈、冢。疽遥?，由①②可知，甲＋乙＋（甲＋丙）＞丙＋?。ㄒ遥。?，甲＋乙＋（乙＋?。颈。祝?，可得甲＞丁，乙＞丙，由③知?。疽仪叶。颈?所以甲＞丁＞乙＞丙.比較兩個(gè)數(shù)（式）的大?。ɑA(chǔ)自學(xué)過(guò)關(guān)）1.設(shè)x，y，z的平均數(shù)為M，x與y的平均數(shù)為N，N與z的平均數(shù)為P.若x＜y＜z，則M與P的大小關(guān)系是（）A.M＝P B.M＜PC.M＞P D.不能確定解析：B由題意可知：M＝x＋y＋z3，N＝x＋y2，P＝N＋z2＝x＋y2＋z2＝x＋y+2z4，則P－M＝x＋y+2z4－x＋y＋z3＝（z－x）＋（2.已知0＜a＜1b，且M＝11+a＋11+b，N＝a1+a＋b1+bA.M＞N B.M＜NC.M＝N D.不能確定解析：A∵0＜a＜1b，∴1＋a＞0，1＋b＞0，1－ab＞0.∴M－N＝1－a1+a＋1－b1+b＝2（3.若a＝ln33，b＝ln44，c＝ln55，則A.a＜b＜c B.c＜b＜aC.c＜a＜b D.b＜a＜c解析：B法一易知a，b，c都是正數(shù)，ba＝3ln44ln3＝log8164＜1，∴a＞b；bc＝5ln44ln5＝log6251024＞1，∴b＞c.即c＜法二構(gòu)造函數(shù)f（x）＝lnxx，則f'（x）＝1－lnxx2，由f'（x）＞0，得0＜x＜e；由f'（x）＜0，得x＞e.∴f（x）在（0，e）上單調(diào)遞增，在（e，＋∞）上單調(diào)遞減.∴f（3）＞f（4）＞f（5），練后悟通不等式的基本性質(zhì)（師生共研過(guò)關(guān)）（1）〔多選〕已知a，b∈R，則下列選項(xiàng)中能使1a＜1b成立的是（BDA.b＞a＞0 B.a＞b＞0C.b＜0＜a D.b＜a＜0（2）〔多選〕設(shè)a，b，c，d為實(shí)數(shù)，且a＞b＞0＞c＞d，則下列不等式正確的是（AD）A.ac＜bc B.a－b＜c－dC.ad＞bc D.ca－db解析：（1）對(duì)于A，由b＞a＞0可得1a＞1b＞0，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由a＞b＞0可得1b＞1a＞0，B正確；對(duì)于C，由b＜0＜a可得1a＞0＞1b，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由b＜a＜0可得0＞1b＞1a，（2）對(duì)于A，因?yàn)閍＞b＞0＞c，所以ac＜bc，故A正確；對(duì)于B，令a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，所以a－b＝1＝c－d，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，令a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，所以ad＝－4＜bc＝－1，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)閍＞b＞0＞c＞d，所以1b＞1a＞0，－d＞－c＞0，可得－db＞－ca＞0，所以ca－db＞0，故D正確解題技法利用不等式的性質(zhì)判斷命題真假的兩種方法（1）直接法：對(duì)于說(shuō)法正確的，要利用不等式的相關(guān)性質(zhì)證明；對(duì)于說(shuō)法錯(cuò)誤的，只需舉出一個(gè)反例即可；（2）特殊值法：注意取值一定要遵循三個(gè)原則：一是滿足題設(shè)條件；二是取值要簡(jiǎn)單，便于驗(yàn)證計(jì)算；三是所取的值要有代表性.〔多選〕已知a＞b＞0，b＞c，則下列不等式一定成立的是（）A.ba2＜ab2 B.acC.1a－c＜1b－c D.a解析：AC對(duì)于A，由a＞b＞0，得a2＞b2＞0，所以1b2＞1a2＞0，所以ba2＜ab2，則A正確；對(duì)于B，當(dāng)c＝0時(shí)，ac2＝bc2，則B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由a＞b，b＞c，得a－c＞b－c＞0，所以1a－c＜1b－c，則C正確；對(duì)于D，當(dāng)a＝2，b＝1，c＝－2時(shí)，a＋c＝0，b－c＝3，此時(shí)a＋c不等式性質(zhì)的應(yīng)用（師生共研過(guò)關(guān)）（1）（人A必修一P43習(xí)題5題改編）已知2＜a＜3，－1＜b＜5，則a＋2b的取值范圍是（0，13），ab的取值范圍是（－3，15）；解析：∵2＜a＜3，－1＜b＜5，∴－2＜2b＜10，∴0＜a＋2b＜13；當(dāng)－1＜b＜0時(shí)，0＜－b＜1，∴0＜－ab＜3，則－3＜ab＜0，當(dāng)0＜b＜5時(shí)，0＜ab＜15，當(dāng)b＝0時(shí)，ab＝0，綜上，－3＜ab＜15.（2）若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求證：e（a－（2）證明：由于a＞b＞0，－c＞－d＞0，則a－c＞b－d＞0，則（a－c）2＞（b－d）2＞0，即1（a－c）2＜1（b－d）解題技法1.根據(jù)不等式的性質(zhì)求取值范圍的策略（1）嚴(yán)格運(yùn)用不等式的性質(zhì)，注意其成立的條件；（2）同向不等式的兩邊可以相加，如果在解題過(guò)程中多次使用這種轉(zhuǎn)化，就會(huì)擴(kuò)大其取值范圍；（3）建立待求范圍式子的整體與已知范圍式子的整體的關(guān)系，最后一次性運(yùn)用不等式的性質(zhì)求得取值范圍.2.利用不等式的性質(zhì)證明簡(jiǎn)單的不等式的實(shí)質(zhì)是根據(jù)性質(zhì)把不等式進(jìn)行變形，要注意每個(gè)性質(zhì)成立的條件.1.已知－3＜a＜－2，2＜b＜4，則ba的取值范圍是（－2，－23）解析：∵－3＜a＜－2，∴－12＜1a＜－13，故13＜－1a＜12.又∵2＜b＜4，∴23＜－ba＜2，2.若bc－ad≥0，bd＞0，求證：a＋bb證明：∵bc≥ad，1bd＞0，∴cd≥∴cd＋1≥ab＋1，∴a＋1.已知a＞0，b＞0，M＝a＋b，N＝a＋b，則M與N的大小關(guān)系為（A.M＞N B.M＜NC.M≤N D.M，N大小關(guān)系不確定解析：BM2－N2＝（a＋b）－（a＋b＋2ab）＝－2ab＜0，∴M＜N.2.已知－3＜a＜－2，3＜b＜4，則a2b的取值范圍為（A.（1，3） B.（43，9C.（23，34） D.（12解析：A因?yàn)椋?＜a＜－2，所以4＜a2＜9，而3＜b＜4，即14＜1b＜13，故a2b的取值范圍為3.已知a＋b＜0，且a＞0，則下列不等式正確的是（）A.a2＜－ab＜b2 B.b2＜－ab＜a2C.a2＜b2＜－ab D.－ab＜b2＜a2解析：A由a＋b＜0，且a＞0可得b＜0，且a＜－b.因?yàn)閍2－（－ab）＝a（a＋b）＜0，所以0＜a2＜－ab.又因?yàn)?＜a＜－b，所以0＜－ab＜（－b）2，所以0＜a2＜－ab＜b2.故選A.4.（2025·宜荊適應(yīng)性考試）有三個(gè)房間需要粉刷，粉刷方案要求：每個(gè)房間只用一種顏色，且三個(gè)房間顏色各不相同.已知三個(gè)房間的粉刷面積（單位：m2）分別為x，y，z，且x＞y＞z，三種顏色涂料的粉刷費(fèi)用（單位：元/m2）分別為a，b，c，且a＜b＜c.在不同的方案中，最低的總費(fèi)用（單位：元）是（）A.ax＋by＋cz B.az＋by＋cxC.ay＋bz＋cx D.ay＋bx＋cz解析：Aax＋by＋cz－（az＋by＋cx）＝a（x－z）＋c（z－x）＝（a－c）（x－z）.∵x＞y＞z，a＜b＜c，∴a－c＜0，x－z＞0，∴ax＋by＋cz＜az＋by＋cx.同理，ay＋bz＋cx－（ay＋bx＋cz）＝b（z－x）＋c（x－z）＝（b－c）（z－x）＞0，∴ay＋bz＋cx＞ay＋bx＋cz，故只需再比較ax＋by＋cz與ay＋bx＋cz的大小即可.ax＋by＋cz－（ay＋bx＋cz）＝a（x－y）＋b（y－x）＝（a－b）·（x－y），∵a－b＜0，x－y＞0，∴（a－b）（x－y）＜0，∴ax＋by＋cz＜ay＋bx＋cz，∴在不同的方案中，最低的總費(fèi)用是（ax＋by＋cz）元，故選A.5.〔多選〕若a＜0＜b，且a＋b＞0，則（）A.ab＞－1 B.｜a｜＜｜bC.1a＋1b＞0 D.（a－1）（b－1解析：ABD對(duì)于A，∵a＋b＞0，∴a＞－b，又b＞0，∴ab＞－1，∴A正確；對(duì)于B，∵a＋b＞0，∴b＞－a＞0，∴｜b｜＞｜a｜，∴B正確；對(duì)于C，取b＝2，a＝－1滿足a＜0＜b，且a＋b＞0，但1a＋1b＝－1＋12＝－12＜0，∴C錯(cuò)誤；對(duì)于D，∵a＜0＜b，且a＋b＞0，∴a＋b＞0＞ab，∴（a－1）（b－1）＜1，∴D正確.綜上，選A6.〔多選〕下列命題中正確的是（）A.?a，b∈R，｜a－2｜＋（b＋1）2≤0B.?a∈R，?x∈R，使得ax＞2C.ab≠0是a2＋b2≠0的充要條件D.若a≥b＞0，則a1+a解析：AD對(duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)a＝2，b＝－1時(shí)，｜a－2｜＋（b＋1）2≤0成立，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)a＝0時(shí)，ax＞2不成立，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)ab≠0時(shí)，a2＋b2≠0成立；當(dāng)a2＋b2≠0時(shí)，如a＝1，b＝0，此時(shí)ab＝0，故ab≠0不成立，也即“ab≠0”是“a2＋b2≠0”的充分不必要條件，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，當(dāng)a≥b＞0時(shí)，a1+a≥b1+b等價(jià)于a＋ab≥b＋ab，顯然成立，所以D正確.故選7.已知b克糖水中有a克糖（b＞a＞0），若再添上m克糖（m＞0），則糖水就變甜了.試根據(jù)此事實(shí)提煉一個(gè)不等式：當(dāng)b＞a＞0且m＞0時(shí)，a＋mb＋解析：糖水變甜了，意味著含糖量變大了，即濃度變高了，所以當(dāng)b＞a＞0且m＞0時(shí)，a＋mb8.若1＜α＜3，－4＜β＜2，則2α＋｜β｜的取值范圍是（2，10）.解析：∵－4＜β＜2，∴0≤｜β｜＜4，又1＜α＜3，∴2＜2α＜6，∴2＜2α＋｜β｜＜10.9.已知6＜a＜60，15＜b＜18，求a－b，a＋b解：因?yàn)?＜a＜60，15＜b＜18，所以－18＜－b＜－15，所以－12＜a－b＜45.又118＜1b＜115，則618＜即13＜ab＜因?yàn)閍＋bb＝ab＋1，所以43綜上，a－b的取值范圍為（－12，45），a＋bb的取值范圍為（4310.若a＞0，b＞0，則p＝（ab）a＋b2與q＝abbaA.p≥q B.p≤qC.p＞q D.p＜q解析：Apq＝（ab）a＋b2abba＝aa－b2bb－a2＝（ab）a－b2，若a＞b＞0，則ab＞1，a－b＞0，∴pq＞1；若0＜a＜b，則0＜ab＜11.“x＞y＞0”是“x－1x＞y－1y”的（A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析：A由題得，x－1x－（y－1y）＝x2－1x－y2－1y＝（xy+1)(x－y）xy.又x＞y＞0.所以x－1x－（y－1y）＞0，即x－1x＞y－1y.充分性成立.顯然，當(dāng)x＝2，y＝－1時(shí)，x－1x＞y－1y成立，所以必要性不成立12.〔多選〕已知a＞b＞0，給出下列四個(gè)不等式.其中一定成立的不等式為（）A.a2＞b2 B.2a＞2b－1C.a－b＞a－b D.a3＋b3＞2a解析：ABC由a＞b＞0，可得a2＞b2，A成立；由a＞b＞0，可得a＞b－1，而函數(shù)f（x）＝2x在R上是增函數(shù)，所以f（a）＞f（b－1），即2a＞2b－1，B成立；因?yàn)閍＞b＞0，所以a＞b，所以（a－b）2－（a－b）2＝2ab－2b＝2b（a－b）＞0，所以a－b＞a－b，C成立；若a＝3，b＝2，滿足a＞b＞0，則a3＋b3＝35，2a2b＝36，a3＋b3＜2a2b，D不成立，故選A、13.設(shè)f（x）＝ax2＋bx，且1≤f（－1）≤2，2≤f（1）≤4，則f（－2）的取值范圍是[5，10].解析：法一（待定系數(shù)法）f（1）＝a＋b，f（－1）＝a－b，設(shè)f（－2）＝4a－2b＝m（a－b）＋n（a＋b），則f（－2）＝（m＋n）a＋（－m＋n）b，所以m＋n=4，－m＋n＝－2，解得m=3，n=1.所以f（－2）＝3（a－b）＋（a＋b）.因?yàn)?≤a－b≤2，所以3≤3（a－b）≤6.又2≤a＋b≤4，所以5≤3（a－法二（換元法）設(shè)m＝a－b，n＝a＋b，則a＝m＋n2，b＝n－m2.所以f（－2）＝4a－2b＝2（m＋n）－（n－m）＝3m＋n，而1≤m＝a－b＝f（－1）≤2，2≤n＝a＋14.（1）設(shè)n是正整數(shù)，求證：12≤1n+1＋1n+2解：（1）證明：由2n≥n＋k＞n（k＝1，2，…，n），得12n≤1n當(dāng)k＝1時(shí)，12n≤1n當(dāng)k＝2時(shí)，12n≤1