第二節(jié)平面向量基本定理及坐標(biāo)表示課標(biāo)要求1.理解平面向量基本定理及其意義.2.借助平面直角坐標(biāo)系，掌握平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示.3.會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加、減運(yùn)算與數(shù)乘運(yùn)算.4.能用坐標(biāo)表示平面向量共線的條件.1.平面向量基本定理（1）定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2；（2）基底：若e1，e2，我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底.提醒（1）基底e1，e2必須是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，零向量不能作為基底；（2）基底給定，同一向量的分解形式唯一.2.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算（1）向量的加法、減法、數(shù)乘及向量的模設(shè)a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），則a＋b＝（x1＋x2，y1＋y2），a－b＝（x1－x2，y1－y2），λa＝，｜a｜＝.（2）向量坐標(biāo)的求法①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)；②設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則AB＝，｜AB｜＝.提醒若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），則a＝b?x3.平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），a∥b?.提醒（1）a∥b的充要條件不能表示為x1x2＝y(tǒng)1y2，因?yàn)閤2，y2有可能為0；（2）當(dāng)且僅當(dāng)x2y2≠0時(shí)，a∥b與x1x1.若a與b不共線，且λa＋μb＝0，則λ＝μ＝0.2.三角形的重心坐標(biāo)公式已知△ABC的頂點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），則△ABC的重心G的坐標(biāo)為（x1＋x2

3.線段的定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式如圖，線段P1P2的端點(diǎn)P1，P2的坐標(biāo)分別是（x1，y1），（x2，y2），點(diǎn)P（x，y）是直線P1P2上的一點(diǎn).當(dāng)P1P＝λPP2時(shí)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足x＝x1＋λx21+λ，y＝y(tǒng)1＋λy1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”）（1）在△ABC中，{AB，CA}可以作為基底.（）（2）向量的坐標(biāo)就是向量終點(diǎn)的坐標(biāo).（）（3）若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），則a∥b的充要條件可以表示成x1x2＝y(tǒng)（4）平面向量不論經(jīng)過怎樣的平移變換之后其坐標(biāo)不變.（）2.（人A必修二P60復(fù)習(xí)參考題2（6）題改編）下列各組向量中，可以作為基底的是（）A.e1＝（0，0），e2＝（1，－2）B.e1＝（－1，2），e2＝（5，7）C.e1＝（3，5），e2＝（6，10）D.e1＝（－2，3），e2＝（－12，33.（人A必修二P33練習(xí)5題改編）已知OA＝（5，－2），OB＝（－4，－3），且OP＋AP＋BP＝0，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則P點(diǎn)坐標(biāo)為（）A.（－9，－1） B.（13，－53） C.（1，－5） D.（3，－4.（蘇教必修二P40習(xí)題2題改編）已知向量a＝（4，2），b＝（6，y），且a∥b，則y＝.5.已知?ABCD的頂點(diǎn)A（0，－2），B（3，－1），C（5，2），則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為.平面向量基本定理的應(yīng)用（師生共研過關(guān)）（1）如圖所示，在△ABC中，CB＝3CD，AD＝2AE，AB＝a，AC＝b，則CE＝（）A.16a－13b B.16a－23b C.a－13b D.（2）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在線段BD上，且EB＝mDE（m∈R），若AC＝λAE＋μAD（λ，μ∈R），且λ＋2μ＝0，則m＝.聽課記錄解題技法應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的策略（1）選定基底后，通過向量的加、減、數(shù)乘以及向量平行的充要條件，把相關(guān)向量用這一個(gè)基底表示出來；（2）強(qiáng)調(diào)圖形幾何性質(zhì)在向量運(yùn)算中的作用，用基底表示未知向量，常借助圖形的幾何性質(zhì)，如平行、相似等.1.已知AD，BE分別為△ABC的邊BC，AC上的中線，設(shè)AD＝a，BE＝b，則BC＝（）A.43a＋23b B.23aC.23a－43b D.－23a2.在正六邊形ABCDEF中，用AC和AE表示CD，則CD＝（）A.－23AC＋13AE BC.－23AC＋23AE D平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算（師生共研過關(guān)）（1）在平行四邊形ABCD中，AD＝（3，7），AB＝（－2，3），對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，則CO的坐標(biāo)為（）A.（－12，5） B.（12，C.（－12，－5） D.（12，－（2）如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E為AD的中點(diǎn)，若CA＝λCE＋μDB（λ，μ∈R），則λ＋μ＝（）A.65 B.85 C.2 D.8聽課記錄解題技法平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧（1）向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算的法則來進(jìn)行求解的，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求向量的坐標(biāo)；（2）解題過程中，常利用“向量相等，則其坐標(biāo)相同”這一原則，通過列方程（組）來進(jìn)行求解.1.（2024·保定期末）已知向量a＝（2，－3），b＝（1，2），c＝（9，4），若正實(shí)數(shù)m，n滿足c＝ma＋nb，則1m＋1n＝（A.710 B.C.47 D.2.在△ABC中，點(diǎn)P在BC上，且BP＝2PC，點(diǎn)Q是AC的中點(diǎn)，若PA＝（4，3），PQ＝（1，5），則AQ＝，BC＝.平面向量共線的坐標(biāo)表示（定向精析突破）考向1利用向量共線求參數(shù)〔多選〕已知向量a＝（3，1），b＝（2，3），c＝（－1，2），若（ma＋c）∥（a＋nb）（m，n∈R），則（m，n）可能是（）A.（2，1） B.（0，－1）C.（3，2） D.（－1，－12聽課記錄解題技法已知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值，可利用“若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），則a∥b的充要條件是x1y2＝x2y1”解題.考向2利用向量共線求向量或點(diǎn)的坐標(biāo)（人A必修二P33探究改編）已知A（2，3），B（4，－3），點(diǎn)P在線段AB的延長線上，且｜AP｜＝43｜PB｜，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為.聽課記錄解題技法利用向量共線求向量或點(diǎn)的坐標(biāo)的一般思路（1）求與一個(gè)已知向量a共線的向量時(shí)，可設(shè)所求向量為λa（λ∈R），然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于λ的方程（組），求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量；（2）求點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，可設(shè)要求點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），根據(jù)向量共線的條件列方程（組），求出x