課下鞏固精練卷(二十一)導(dǎo)數(shù)的概念及其意義、導(dǎo)數(shù)的運算【基礎(chǔ)鞏固題】1．(多選)下列結(jié)論中不正確的是()A．若y＝cos1x，則y′＝－1xsin1B．若y＝sinx2，則y′＝2xcosx2C．若y＝cos5x，則y′＝－sin5xD．若y＝12xsin2x，則y′＝xsin2解析：選ACD.對于A，y＝cos1x，則y′＝1x2sin對于B，y＝sinx2，則y′＝2xcosx2，故正確；對于C，y＝cos5x，則y′＝－5sin5x，故錯誤；對于D，y＝12xsin2x，則y′＝12sin2x＋xcos22．設(shè)f(x)為可導(dǎo)函數(shù)，且滿足limΔx→0f3+Δx?f33Δx＝3，則曲線A.1B．3C．6D．9解析：選D.依題意，limΔx→0f3+Δx?f33Δx＝13limΔx→0f3+Δx?f3Δx＝3，則3.函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，f′(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則下列大小關(guān)系正確的是()A．2f′(3)<f(5)－f(3)<2f′(5)B．2f′(3)<2f′(5)<f(5)－f(3)C．f(5)－f(3)<2f′(3)<2f′(5)D．2f′(5)<2f′(3)<f(5)－f(3)解析：選A.由圖可知，f′(3)<f5?f35?3<f′(5)，即2f′(3)<f(5)－4．(2024·江蘇南京二模)曲線y＝ln(x－1)2在原點處的切線方程為()A.y＝xB．y＝－xC．y＝2xD．y＝－2x解析：選D.由題意，令y＝f(x)＝ln(x－1)2，f′(x)＝2x?1，則f′(0)＝－2，又f(0)＝0，故切線方程為y＝－2x5．(2024·榆林模擬)已知函數(shù)f(x)＝alnx＋x2的圖象在x＝1處的切線方程為3x－y＋b＝0，則a＋b等于()A．－2B．－1C．0D．1解析：選B.因為f(x)＝alnx＋x2，所以f′(x)＝ax＋2x又函數(shù)f(x)的圖象在x＝1處的切線方程為3x－y＋b＝0，所以f′(1)＝a＋2＝3，解得a＝1，則f(x)＝lnx＋x2，所以f(1)＝1，代入切線方程得3－1＋b＝0，解得b＝－2，故a＋b＝－1.6．曲線y＝ln(2x－1)上的點到直線2x－y＋3＝0的最短距離是()A．5 B．25C．35 D．0解析：選A.設(shè)曲線y＝ln(2x－1)在點(x0，y0)處的切線與直線2x－y＋3＝0平行，∵y′＝22x?1，∴y′|x＝x0＝22x0?1＝2，解得x0∴切點(1，0)到直線2x－y＋3＝0的距離為d＝2?0+34+1＝5，即曲線y＝ln(2x－1)上的點到直線2x－y＋3＝7．(多選)已知點M是曲線y＝13x3－2x2＋3x＋1上任意一點，曲線在M處的切線為lA．l斜率最小時的切點坐標(biāo)為2B．l斜率最小時的切點坐標(biāo)為2C．切線l的傾斜角α的取值范圍為0，D．l斜率的取值范圍為k≤1解析：選BC.∵y′＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，∴當(dāng)x＝2時，y′min＝－1，此時y＝53∴斜率最小時的切點坐標(biāo)為2，53，最小斜率由k≥－1，得tanα≥－1.又∵α∈[0，π)，∴α∈0，π故α的取值范圍為0，π8．設(shè)曲線y＝e2ax在點(0，1)處的切線與直線2x－y＋1＝0垂直．則a的值為________．解析：∵y＝e2ax，∴y′＝2a·e2ax，∴曲線在點(0，1)處的切線斜率為k＝y(tǒng)′|x＝0＝2ae0＝2a，∵切線與直線2x－y＋1＝0垂直，∴2a×2＝－1，∴a＝－14答案：－19．(2024·陜西榆林模擬)已知曲線f(x)＝x2與g(x)＝ln(ax)(a>0)有公共切線，則實數(shù)a的最大值為________．解析：設(shè)曲線f(x)＝x2與g(x)＝ln(ax)(a>0)的切點分別為(x1，x12)，(x2，ln(ax因為f′(x)＝2x，g′(x)＝1x所以k1＝2x1，k2＝1x所以y－x12＝2x1(x－x1)，y－ln(ax2)＝1x2(x所以2x1＝1x2，x12+lnax2?1＝0，得14x22＋令h(x)＝14x2＋lnx，則h′(x)當(dāng)0<x<22時，h′(x)<0，h(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x>22時，h′(x)>0，h(故h(x)≥h(22)＝12＋ln22，即1－lna≥12＋ln22，即lna≤ln2e答案：2e10．已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且滿足f(x)＝2xf′(e)＋lnx.(1)求f′(e)及f(e)的值；(2)求f(x)在點(e2，f(e2))處的切線方程．解：(1)∵f(x)＝2xf′(e)＋lnx，∴f′(x)＝2f′(e)＋1x，f′(e)＝2f′(e)＋1∴f′(e)＝－1e，f(x)＝－2xe＋ln∴f(e)＝－2ee＋lne＝－(2)∵f(x)＝－2xe＋lnx，f′(x)＝－2e＋∴f(e2)＝2－2e，f′(e2)＝－2e＋1∴f(x)在點(e2，f(e2))處的切線方程為y－(2－2e)＝?2e+1e2(x－e2)，即(2e－1)x＋e2【綜合應(yīng)用題】11．(2024·山東濟(jì)南模擬)已知函數(shù)f(x)＝asin3x＋bx3＋3(a∈R，b∈R)，f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則f(2023)＋f(－2023)＋f′(2024)－f′(－2024)＝()A．0B．2023C．2024D．6解析：選D.依題意，得f(x)的定義域為R，令g(x)＝asin3x＋bx3，則g(－x)＝asin3(－x)＋b(－x)3＝－g(x)，即g(x)是奇函數(shù)，有g(shù)(2023)＋g(－2023)＝0，則f(2023)＋f(－2023)＝g(2023)＋3＋g(－2023)＋3＝6，又f′(x)＝3acos3x＋3bx2，且有f′(－x)＝3acos3(－x)＋3b(－x)2＝f′(x)，即f′(x)是偶函數(shù)，f′(2024)－f′(－2024)＝0，所以f(2023)＋f(－2023)＋f′(2024)－f′(－2024)＝6.12．(2024·福建泉州模擬)若曲線y＝x2與y＝tex(t≠0)恰有兩條公切線，則t的取值范圍為()A．0，B．4C．(－∞，0)∪D．(－∞，0)∪{解析：選A.設(shè)曲線y＝tex切點為M(m，tem)，y＝x2的切點為N(n，n2)，則曲線y＝tex在點M(m，tem)處的切線方程為y－tem＝tem(x－m)，即y＝tem(x－m)＋tem，同理，y＝x2在點N(n，n2)處的切線方程為y＝2nx－n2，根據(jù)y＝tex與y＝x2有兩條公切線，則tem＝2n，tem?mtem＝?n2，所以轉(zhuǎn)化為t＝4m?4em有兩個解，構(gòu)造函數(shù)f(x)＝4x?4ex，則f′(x當(dāng)x<2時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x>2時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，故f(x)在x＝2時有極大值即為最大值，故f(2)＝4e當(dāng)x→－∞時，f(x)→－∞，當(dāng)x→＋∞時，f(x)→0，故t的取值范圍為(0，4e13．(多選)對于函數(shù)f(x)＝lnx－1，則下列判斷正確的是()A．直線y＝xe2是f(B．f(x)關(guān)于y＝x對稱的函數(shù)是y＝ex－1C．若過點(a，b)有2條直線與f(x)相切，則lna<b＋1D．f(x)≤x－2解析：選ACD.對于A，設(shè)切點為(m，lnm－1)，則k＝f′(m)＝1m∴l(xiāng)nm－1＝1m·m，∴l(xiāng)nm＝∴m＝e2，k＝1e∴過原點的切線方程為y＝xe對于B，由反函數(shù)的概念可得y＋1＝lnx?ey＋1＝x，故與f(x)關(guān)于y＝x對稱的函數(shù)為y＝ex＋1，故B錯誤；對于C，若過點(a，b)有2條直線與f(x)相切，則點(a，b)在f(x)上方，如圖所示，即b>f(a)，即b>lna－1，故C正確；對于D，由于?x>0，設(shè)g(x)＝x－lnx－1?g′(x)＝x?1x令g′(x)>0?x>1，令g′(x)<0?0<x<1，∴g(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，在(0，1)上單調(diào)遞減，∴g(x)≥g(1)＝0?lnx≤x－1?f(x)≤x－2，故D正確．14．已知直線y＝k1x與y＝k2x(k1>k2)是曲線y＝ax＋2ln|x|(a∈R)的兩條切線，則k1－k2＝________．解析：由已知得曲線的切線過點(0，0)，當(dāng)x>0時，曲線為y＝ax＋2lnx，設(shè)x1>0，直線y＝k1x在曲線上的切點為(x1，ax1＋2lnx1)，y′|x=x1＝a∴切線方程為y－(ax1＋2lnx1)＝a+2x1(x－又切線過點(0，0)，∴－ax1－2lnx1＝a+2x1(－∴x1＝e，k1＝a＋2e同理，當(dāng)x<0時，曲線為y＝ax＋2ln(－x)，設(shè)x2<0，直線y＝k2x在曲線上的切點為(x2，ax2＋2ln(－x2))，y′|x=x2＝a∴切線方程為y－[ax2＋2ln(－x2)]＝(a＋2x2)(x－x又切線過點(0，0)，∴－ax2－2ln(－x2)＝a+2x2(－∴x2＝－e，k2＝a－2e，∴k1－k2＝4答案：415．設(shè)函數(shù)f(x)＝ax－bx，曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處的切線方程為7x－4y－12＝(1)求f(x)的解析式；(2)證明曲線f(x)上任一點處的切線與直線x＝0和直線y＝x所圍成的三角形面積為定值，并求此定值．解：(1)方程7x－4y－12＝0可化為y＝74x－當(dāng)x＝2時，y＝12又∵f′(x)＝a＋bx∴2a?b2∴f(x)＝x－3x(2)設(shè)P(x0，y0)為曲線y＝f(x)上任一點，由y′＝1＋3x2知曲線在點P(x0，y0)處的切線方程為y－x0?3x0＝令x＝0，得y＝－6x∴切線與直線x＝0的交點坐標(biāo)為0，令y＝x，得y＝x＝2x0，∴切線與直線y＝x的交點坐標(biāo)為(2x0，2x0)，∴曲線y＝f(x)在點P(x0，y0)處的切線與直線x＝0和y＝x所圍成的三角形的面積S＝12?6x0·|2故曲線y＝f(x)上任一點處的切線與直線x＝0和y＝x所圍成的三角形面積為定值，且此定值為6.【創(chuàng)新拓展題】16．若函數(shù)f(x)＝x2?2ax2＋ln(xA．a(chǎn)≤1B．a(chǎn)<0C．a(chǎn)≥1D．a(chǎn)≤0解析：選A.因為函數(shù)f(x)＝x2?2ax2＋ln(x＋1)(所以f′(x)＝x＋1x+1－a＝x＋1＋1x+1－a－1≥2x+1·1x+1－a－當(dāng)且僅當(dāng)x＋1＝1x+1，即x＝因為函數(shù)f(x)的圖象上不存在互相垂直的切線，所以f′(x)min≥0，即1－a≥0，解得a≤1.17．(多選)丹麥數(shù)學(xué)家琴生(Jensen)是19世紀(jì)對數(shù)學(xué)分析做出卓越貢獻(xiàn)的巨人，特別是在函數(shù)的凸凹性與不等式方面留下了很多寶貴的成果．設(shè)函數(shù)f(x)在(a，b)上的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，f′(x)在(a，b)上的導(dǎo)函數(shù)為f″(x)，若在(a，b)上f″(x)<0恒成立，則稱函數(shù)f(x)在(a，b)上為“凸函數(shù)”，以下四個函數(shù)在0，πA．f(x)＝sinx＋cosxB．f(x)＝lnx－2xC．f(x)＝－x3＋2x－1D．f(x)＝－xe－x解析：選ABC.對于A，由f(x)＝sinx＋cosx，得f′(x)＝cosx－sinx，則f″(x)＝－sinx－cosx＝－(sinx＋cosx)，因為x∈0，π2，所以f″(x