課下鞏固精練卷(十九)函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用【基礎(chǔ)鞏固題】1．若方程－x2＋ax＋4＝0的兩實(shí)根中一個小于－1，另一個大于2，則a的取值范圍是()A．(0，3)B．[0，3]C．(－3，0)D．(－∞，1)∪(3，＋∞)解析：選A.令f(x)＝－x2＋ax＋4，則f(x)有兩個零點(diǎn)，一個大于2，另一個小于－1，由二次函數(shù)的圖象可知f2>0，f?12．已知函數(shù)f(x)＝lgx，0＜x≤10，?12x+6，x＞10，若a，b，c均不相等，且f(a)＝A．(1，10) B．(5，6)C．(10，12) D．(20，24)解析：選C.函數(shù)的圖象如圖所示，不妨設(shè)a＜b＜c，則－lga＝lgb＝－12c＋6∈(0，1)，所以ab＝1，0＜－12c＋6＜1，所以ab＝1，10＜c＜12，所以10＜3．若函數(shù)f(x)＝(m－2)x2＋mx＋2m＋1的兩個零點(diǎn)分別在區(qū)間(－1，0)和區(qū)間(1，2)內(nèi)，則m的取值范圍是()A．?12，1C．14，12解析：選C.根據(jù)題意有f?1·f04．(2024·福州聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝sinπx＋1x?1，則y＝f(x)的圖象在(－A．2B．4C．6D．8解析：選B.由f(x)＝sinπx＋1x?1＝0可得sinπx＝－1則函數(shù)y＝sinπx與函數(shù)y＝－1x?1的圖象在(－2，4)內(nèi)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為函數(shù)y＝f(x又函數(shù)y＝sinπx與函數(shù)y＝－1x?1作出函數(shù)y＝sinπx與函數(shù)y＝－1x?1由圖象可知y＝f(x)在(－2，4)內(nèi)有四個零點(diǎn)，零點(diǎn)之和為4.5．若關(guān)于x的方程9x＋(a＋4)·3x＋4＝0有實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．[0，＋∞) B．(－∞，－8]C．(－∞，－8]∪[0，＋∞) D．(－∞，－8)∪(0，＋∞)解析：選B.令t＝3x>0，則9x＝t2，由9x＋(a＋4)·3x＋4＝0，得t2＋(a＋4)t＋4＝0.則問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次方程t2＋(a＋4)t＋4＝0在t>0時有實(shí)數(shù)根．由t2＋(a＋4)t＋4＝0，可得－(a＋4)＝t＋4t由基本不等式得－(a＋4)＝t＋4t≥2t·4當(dāng)且僅當(dāng)t＝2時，等號成立，所以－(a＋4)≥4，解得a≤－8.因此，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，－8].6．設(shè)m是不為0的實(shí)數(shù)，已知函數(shù)f(x)＝3x?1，x≤2，x2?10x+24，x>2，若函數(shù)F(x)＝A．(－2，0)∪(0，16) B．(0，16)C．(0，2) D．(－2，0)∪(0，＋∞)解析：選C.f(x)的圖象如圖所示，由F(x)＝f(x)[2f(x)－m]＝0，得f(x)＝0或2f(x)－m＝0，當(dāng)f(x)＝0時，f(x)有3個零點(diǎn)，當(dāng)2f(x)－m＝0時，f(x)＝m2即y＝f(x)與y＝m2所以0<m2<1，解得0<m7．(多選)已知x＞0時，x＞log2x，則關(guān)于函數(shù)f(x)＝2xA．方程f(x)＝x的解只有1個B．方程f(f(x))＝1的解有5個C．方程f(f(x))＝t(0＜t＜1)的解有5個D．方程f(f(x))＝t(t＞1)的解有5個解析：選ACD.作出f(x)＝2x對于A，因?yàn)閤＞log2x，顯然y＝x與f(x)的圖象有唯一交點(diǎn)，故A正確；對于B，令f(x)＝t，則f(t)＝1?t＝0或t＝12或t＝2?f(x)＝0或f(x)＝12或f(x)對于C，令u＝f(x)，則f(u)＝t∈(0，1)?u1＜0，u2∈(0，1)，u3∈(1，2)?f(x1)＜0，f(x2)∈(0，1)，f(x3)∈(1，2)?x1∈?，x2有3個解，x3有2個解，共有5個解，故C正確；對于D，令u＝f(x)，則f(u)＝t∈(1，＋∞)?u1∈(0，12)，u2∈(2，＋∞)?f(x1)∈(0，12)，f(x2)∈(2，＋∞)?x1有3個解，x8．(多選)若f(x)和g(x)都是定義在R上的函數(shù)，且方程f(g(x))＝x有實(shí)數(shù)解，則下列式子中可以為g(f(x))的是()A．x2＋2x B．x＋1C．ecosx D．ln(|x|＋1)解析：選ACD.由方程f(g(x))＝x有實(shí)數(shù)解可得g(f(g(x)))＝g(x)，再用x替代g(x)，即x＝g(f(x))有實(shí)數(shù)解．對于A，x＝x2＋2x，即x2＋x＝0，方程有實(shí)數(shù)解，故A正確；對于B，x＝x＋1，即0＝1，方程無實(shí)數(shù)解，故B錯誤；對于C，當(dāng)ecosx＝x時，令h(x)＝ecosx－x，因?yàn)閔(0)＝e>0，hπ2＝1－π2<0，由函數(shù)零點(diǎn)存在定理可知，h(x)在對于D，當(dāng)ln(|x|＋1)＝x時，x＝0為方程的解，所以方程有實(shí)數(shù)解，故D正確．9．若x1是方程xex＝1的解，x2是方程xlnx＝1的解，則x1x2＝________．解析：x1，x2分別是函數(shù)y＝ex，函數(shù)y＝lnx與函數(shù)y＝1x的圖象的交點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)，所以Ax1，1x1，Bx2，1x2兩點(diǎn)關(guān)于y＝x對稱，則答案：110．已知函數(shù)f(x)＝lgx，x>0，?x2?2x+1，x≤0，且關(guān)于x的方程[f(x)]2－(2m＋1)f解析：由題意，f(x)的圖象如圖所示，因?yàn)閇f(x)]2－(2m＋1)f(x)＋m2＋m＝0有7個實(shí)數(shù)解，設(shè)f(x)＝t，則方程t2－(2m＋1)t＋m2＋m＝0有2個不相等的實(shí)根t1＝m，t2＝m＋1且0<t1<1≤t2<2或1≤t1<2，t2＝2.當(dāng)1≤t1<2，t2＝2時，m＝1，滿足題意；當(dāng)0<t1<1≤t2<2時，0<m<1≤m＋1<2，解得m∈(0，1).綜上，m∈(0，1].答案：(0，1]【綜合應(yīng)用題】11．若存在實(shí)數(shù)a使得函數(shù)f(x)＝2x＋2－x－ma2＋a－3有唯一零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．?∞，14C．0,14 解析：選A.令t＝2x(t>0)，則t是增函數(shù)，令y＝t＋1t，由對勾函數(shù)的性質(zhì)知y＝t＋1t在(0，1)上單調(diào)遞減，在(1，＋所以當(dāng)t＝1時，ymin＝2，此時x＝0，因此f(x)有唯一零點(diǎn)，則零點(diǎn)為x＝0，f(0)＝－ma2＋a－1＝0，當(dāng)m＝0時，a＝1有解；當(dāng)m≠0時，Δ＝1－4m≥0，m≤14且m≠綜上，m≤1412．已知f(x)是定義域?yàn)?0，＋∞)的單調(diào)函數(shù)，若對任意的x∈(0，＋∞)，都有f(f(x)－log2x)＝3，則函數(shù)y＝2f(x)－1xA．12B．C．2D．3解析：選A.因?yàn)閒(x)是定義域?yàn)?0，＋∞)的單調(diào)函數(shù)，且對任意的x∈(0，＋∞)，都有f(f(x)－log2x)＝3，故可設(shè)存在唯一的實(shí)數(shù)C∈(0，＋∞)，使得f(C)＝3，則f(x)－log2x＝C，所以f(x)＝log2x＋C，所以f(C)＝log2C＋C＝3，則log2C＝3－C，由于函數(shù)y＝log2x在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，函數(shù)y＝3－x在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，又log22＝1＝3－2，所以C＝2，故f(x)＝log2x＋2＝log2(4x)，再令2f(x)－1x＝0，x∈(0，＋∞)，得4x－1x解得x＝12則函數(shù)y＝2f(x)－1x的零點(diǎn)為113．(2024·杭州段測)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(－x)＋f(x)＝0，f(－x)＝f(x＋2)，且當(dāng)x∈[0，1]時，f(x)＝x3－x2＋x，則方程4f(x)－x＋2＝0所有的根之和為()A．6B．12C．14D．10解析：選D.因?yàn)閒(－x)＋f(x)＝0，x∈R，所以f(x)為奇函數(shù)．又因?yàn)閒(－x)＝f(x＋2)，所以f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱．所以f(x＋2)＝f(－x)＝－f(x)，得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，所以f(x)的一個周期為4.又因?yàn)閤∈[0，1]時，f′(x)＝3x2－2x＋1＝3x?132＋所以f(x)在[0，1]上單調(diào)遞增，且f(0)＝0，f(1)＝1.由題意如圖所示，直線y＝14(x－2)與y＝f(x)的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為方程4f(x)－x＋2＝可得在(－2，2)與(2，6)上均有兩個交點(diǎn)，且關(guān)于(2，0)對稱，加上(2，0)點(diǎn)，共5個點(diǎn)，所以這5個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為2×2×2＋2＝10.14．(2024·石家莊模擬)已知函數(shù)f(x)＝log3x，0＜x＜3，sinπ6x，3≤x≤15解析：作出函數(shù)f(x)＝log3因?yàn)閒(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，x1＜x2＜x3＜x4，所以由圖可知，－log3x1＝log3x2，x3+x42＝9，且3＜x3＜6，得x1x2＝1，x3所以(x3－3)(x4－3)＝x3x4－3(x3＋x4)＋9＝x3(18－x3)－45＝－x32＋18x3因?yàn)閥＝－x32＋18x3所以0＜y＜27，即(x3－3)(x4－3)的取值范圍是(0，27)．答案：1(0，27)【創(chuàng)新拓展題】15．函數(shù)f(x)＝x2025|x|，若方程(x＋sinx)f(x)－ax2＝0只有三個解x1，x2，x3，且x1<x2<x3，則sinx2＋2025x1x3的取值范圍是()A．(0，＋∞) B．(2025，＋∞)C．(－∞，－2025) D．(－∞，0)解析：選D.因?yàn)?x＋sinx)f(x)－ax2＝0，f(x)＝x2025|x|，所以(x＋sinx)x2025|x|－ax2＝0，①當(dāng)x＝0時，方程成立；②若x≠0，(x＋sinx)x2025|x|－ax2＝0可化為(x＋sinx)x2023|x|－a＝0?(x＋sinx)x2023|x|＝a，令F(x)＝(x＋sinx)x2023|x|，因?yàn)槎x域關(guān)于原點(diǎn)對稱，且F(－x)＝[－x＋sin(－x)](－x)2023|－x|＝(x＋sinx)x2023|x|＝F(x)，所以F(x)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱，所以F(x)與y＝a的兩個交點(diǎn)對應(yīng)的橫坐標(biāo)關(guān)于y軸對稱，即方程(x＋sinx)x2023|x|＝a的另外兩解一定一正一負(fù)，又x1<x2<x3，所以x1<0，x2＝0，x3>0，且x1＝－x3≠0，所以sinx2＋2025x1x3＝－2025x16．已知函數(shù)f(x)＝?若關(guān)于x的方程f(x)＝m有4個不同的根，記為x1，x2，x3，x4(x1<x2<x3<x4)，且λx3x4>x1－x2＋3解析：f(x