課下鞏固精練卷(四)基本不等式【基礎(chǔ)鞏固題】1．(人教B版必修一P82改編)已知a，b都是正數(shù)，且a＋b＝1，則1aA．12C．4D．8解析：選C.由題意得a>0，b>0，a＋b＝1，故1a+1b＝1a+1b(a＋b)＝1＋ba2．(人教A版必修一P48)已知x>1，則x＋1xA．1B．2C．3D．4解析：選C.∵x>1，∴x－1>0，∴x＋1x?1＝(x－1)＋1x?1+1≥2x?1·1x?1＋1＝3，當(dāng)且僅當(dāng)x－1＝3．(2024·安徽合肥三模)已知x>0，y>0，且2x＋y＝1，則y2A．4 B．42C．42＋1 D．22＋1解析：選D.y2+xxy＝y(tǒng)x+4．(2024·遼寧大連三模)已知正實數(shù)a，b，則“a＋2b≤2”是“a2＋4b2≤2”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：選B.取a＝32，b＝18，滿足a＋2b≤2，但a2故“a＋2b≤2”推不出“a2＋4b2≤2”；因為a2＋4b2≥2a2·4b2＝2·2ab＝4ab，當(dāng)且僅當(dāng)“a當(dāng)a2＋4b2≤2時，a2＋4b2＋4ab≤2＋4ab≤2＋a2＋4b2≤4，所以a2＋4b2＋4ab≤4，即(a＋2b)2≤4，因為a＋2b>0，所以0<a＋2b≤2，所以a2＋4b2≤2能推出a＋2b≤2.故“a＋2b≤2”是“a2＋4b2≤2”的必要不充分條件．5．若x>0，y>0，x＋3y＝1，則xy3x+yA．19B．C．116D．解析：選C.因為x>0，y>0，x＋3y＝1，則3x+yxy＝3y+1x當(dāng)且僅當(dāng)3xy＝3yx，即x＝y(tǒng)＝14時，等號成立，所以0<xy6．已知x>y>0且4x＋3y＝1，則12xA．10B．9C．8D．7解析：選B.由x>y>0得2x－y>0，x＋2y>0，令a＝2x－y，b＝x＋2y，則a＋2b＝4x＋3y，由4x＋3y＝1得a＋2b＝1，故12x?y+2x+2y＝1a當(dāng)且僅當(dāng)2ba＝2ab，且a＋2b＝1，即a＝也即2x－y＝13，x+2y＝13故12x?y7．(多選)(2024·海南模擬)若正實數(shù)a，b滿足a＋2b＝1，則()A．ba+B．3b(2a＋b)的最大值為1C．a(chǎn)2＋2b2的最小值為1D．(a＋1)(b＋1)的取值范圍為(1，2)解析：選BC.正實數(shù)a，b滿足a＋2b＝1，a＝1－2b0<b<1對于A，ba+1b＝ba對于B，3b(2a＋b)≤3b+2a+b22＝(a＋2b)2＝1，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝1對于C，a2＋2b2＝(1－2b)2＋2b2＝6b2－4b＋1＝6b?132＋13≥1對于D，(a＋1)(b＋1)＝(2－2b)(1＋b)＝2(1－b2)∈328．(多選)已知a>0，b>0且1aA．a(chǎn)b有最小值4B．a(chǎn)＋b有最小值9C．2ab＋a有最小值25D．16a2解析：選ABD.A選項：由2＝1a+4b≥21a·4B選項：a＋b＝121a+4b(a＋b)＝125+ba+C選項：由1a+4b＝2，得2ab－4a－b＝0，所以2ab＋a＝5a＋b＝121a+4b(5a＋b)＝D選項：由A的分析知ab≥4且a＝1，b＝4時取等號，所以16a2+b2≥2·4ab＝8ab9．若x<2，則x＋9x解析：x＋9x?2由于x<2，所以2－x>0，故2－x＋92?x當(dāng)且僅當(dāng)2－x＝92?x，即x所以x－2＋9x?2＝?故x＋9x?2＝x?2+9所以x＋9x?2答案：－410．函數(shù)f(x)＝3x?32解析：因為f(x)＝3x?32x2?x+1，x令x－1＝t，則t>0，則f(t)＝3t2當(dāng)且僅當(dāng)2t＝2t，t＝1，即x故f(x)在(1，＋∞)上的最大值為37答案：3【綜合應(yīng)用題】11．(多選)(2024·江蘇揚州模擬)已知a＝log23，b＝log32，則()A．a(chǎn)b＝1 B．a(chǎn)+bC．1a+3b<23 D．解析：選ABD.對于A，ab＝log23×log32＝ln3對于B，a+b＝a+b+2ab≥4ab＝2>12對于C，1a+3b＝ab1a+3b＝b＋3a≥23ab＝23對于D，a＋lnb＝a＋ln1a＝a－lna，而a＝log23>1，定義f(x)＝x－lnx(x>1)，則f′(x)＝1－1x＝x?1x>0，從而f(x)＝x－lnx(x>1)單調(diào)遞增，所以f(x)>f(1)＝1，所以f(a)＝a－lna12．(多選)(2022·新高考Ⅱ卷)對任意x，y，x2＋y2－xy＝1，則()A．x＋y≤1 B．x＋y≥－2C．x2＋y2≤2D．x2＋y2≥1解析：選BC.因為ab≤a+b22≤a2+b22(a，b∈R)，由x2＋y2－xy＝1可變形為x+y2?1＝3xy≤3x+y22，解得－2≤x＋y≤由x2＋y2－xy＝1可變形為x2+y2?1＝xy≤x2+y22因為x2＋y2－xy＝1變形可得x?y22+34y2＝1，設(shè)x－y2＝cosθ，32y＝sinθ，所以x＝cosθ＋13sinθ，y＝23sinθ，因此x2＋y2＝cos2θ＋53sin2θ＋23sinθcosθ＝1＋13sin213．(2024·云南曲靖模擬)已知正數(shù)x，y滿足x＋y＝4，則1x解析：由正數(shù)x，y滿足x＋y＝4，可得y＝4－x，所以1x?y4＝1x答案：014．(2024·廣西河池模擬)若實數(shù)a>1>b>0，且a2＋2b＝b2＋2a，則1a解析：由a2＋2b＝b2＋2a可得(a－b)(a＋b－2)＝0，因為a>1>b>0，所以a－b≠0，即a＋b－2＝0，則a－1＋b＝1，則1a?1+1b＝1a?1+1當(dāng)且僅當(dāng)ba?1＝a?1b，即a＝答案：415．(2024·江西宜春三模)已知x>0，y>0，且滿足4x2＋9y2＋6xy－3＝0，則2x＋3y的最大值為_____________．解析：解法1：由4x2＋9y2＋6xy－3＝0，可得4x2＋9y2＋12xy＝3＋6xy，由基本不等式得(2x＋3y)2＝3＋2x·3y≤3＋2x+3y22，可得34(2x＋3y)2所以2x＋3y≤2，當(dāng)且僅當(dāng)2x＝3y時取等號，聯(lián)立方程組2x＝3y，4x2+9y2+6xy?3＝0解法2：由4x2＋9y2＋6xy－3＝0，可得