PAGE1專題24余角和補(bǔ)角內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲第一步：學(xué)析教材學(xué)知識(shí)：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)練題型強(qiáng)知識(shí)：5大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練第二步：記串知識(shí)識(shí)框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識(shí)框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握第三步：測過關(guān)測穩(wěn)提升：小試牛刀檢測預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升知識(shí)點(diǎn)01余角、補(bǔ)角的概念1.余角概念余角：如果兩個(gè)角的和是90°，那么稱這兩個(gè)角互為余角，也稱互余.2.補(bǔ)角概念補(bǔ)角：如果兩個(gè)角的和是180°，那么稱這兩個(gè)角互為補(bǔ)角，也稱互補(bǔ).知識(shí)點(diǎn)01余角、補(bǔ)角的性質(zhì)1.余角的性質(zhì)：同角或等角的余角相等.2.補(bǔ)角的性質(zhì)：同角或等角的補(bǔ)角相等.【題型1求一個(gè)角的余角】例題：（24-25七年級(jí)下·山東濟(jì)南·期中）一個(gè)角是，則這個(gè)角的余角的度數(shù)是．【變式訓(xùn)練】1．（24-25七年級(jí)上·吉林長春·期末）已知，那么的余角度數(shù)為．2（24-25七年級(jí)上·江蘇南京·階段練習(xí)）已知，則的余角大小是．3．（24-25八年級(jí)上·貴州遵義·期末）如圖，將一個(gè)三角板角的頂點(diǎn)與另一個(gè)三角板的直角頂點(diǎn)重合，，的余角的大小是．【題型2求一個(gè)角的補(bǔ)角】例題：（24-25七年級(jí)上·湖南郴州·期末）已知，那么的補(bǔ)角等于．【變式訓(xùn)練】1．（2024七年級(jí)上·河南·專題練習(xí)）若，則的補(bǔ)角的余角為．2．（2024七年級(jí)上·吉林·專題練習(xí)）已知點(diǎn)在點(diǎn)的南偏西方向上，點(diǎn)在點(diǎn)的北偏西方向上，則的補(bǔ)角的度數(shù)為．3．（24-25七年級(jí)上·新疆吐魯番·期末）若，則的余角等于，補(bǔ)角等于．【題型3利用一元一次方程求余角或補(bǔ)角】例題：（24-25七年級(jí)下·陜西西安·期中）已知一個(gè)角的余角的4倍與這個(gè)角的補(bǔ)角的和是，求這個(gè)角的度數(shù)．【變式訓(xùn)練】1．（24-25七年級(jí)下·陜西渭南·期中）已知一個(gè)角的余角的2倍比它的補(bǔ)角少，求這個(gè)角的度數(shù)．2．（24-25七年級(jí)下·山東濰坊·期中）已知與互為鄰補(bǔ)角，且比的3倍少，求與的度數(shù)．3．（24-25七年級(jí)下·甘肅張掖·階段練習(xí)）已知一個(gè)角的余角比這個(gè)角的補(bǔ)角的小，求這個(gè)角的度數(shù)．【題型4與余角、補(bǔ)角有關(guān)的計(jì)算】例題：（24-25七年級(jí)上·江西鷹潭·階段練習(xí)）如圖，O為直線上一點(diǎn)，平分，．(1)若，求的度數(shù)；(2)試判斷和有怎樣的數(shù)量關(guān)系，說說你的理由．【變式訓(xùn)練】1．（24-25七年級(jí)上·山西忻州·階段練習(xí)）如圖，已知和都是直角，它們有公共頂點(diǎn)O．(1)若，求的度數(shù)．(2)判斷和的大小關(guān)系，并說明理由．(3)猜想：和有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．2．（24-25七年級(jí)下·江西撫州·期中）如圖，直線與相交于點(diǎn)O，，．(1)圖中與互余的角是與互補(bǔ)的角是．（要求把符合條件的角都寫出來）(2)如果比的小，求的度數(shù)．3．（24-25六年級(jí)下·黑龍江大慶·期中）已知，在內(nèi)部，．(1)如圖①，若，求的度數(shù)；(2)如圖②，若平分，請(qǐng)說明：；(3)如圖③，分別作，，其中，，試探究，，三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【題型5同（等）角的余（補(bǔ)）角相等的應(yīng)用】例題：（24-25七年級(jí)下·陜西西安·階段練習(xí)）如圖，已知．(1)與是什么關(guān)系？為什么？(2)當(dāng)與滿足什么關(guān)系時(shí)，與相等？為什么？【變式訓(xùn)練】1．（24-25七年級(jí)上·湖北荊州·期末）如圖，將文具盒中的一副三角板的直角頂點(diǎn)重合．(1)若，求的度數(shù)；(2)寫出以C為頂點(diǎn)的所有相等的角；(3)請(qǐng)找出與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．2．（24-25七年級(jí)上·吉林長春·期末）如圖，將兩塊三角板的直角頂點(diǎn)重合．(1)寫出以C為頂點(diǎn)的所有相等的角_____________________________．(2)若，求的度數(shù)．(3)猜想：與之間的數(shù)量關(guān)系為___________．3．（24-25六年級(jí)下·山東泰安·期中）在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐課上，小明將一副直角三角板的直角頂點(diǎn)重合放在一起，如圖1．

(1)，則_____．(2)寫出圖1中相等的角；(3)若變大，如何變化，說明原因；(4)小明受此啟發(fā)，認(rèn)為用一副三角板就可以畫一個(gè)角等于已知角，請(qǐng)你在圖2中利用直角三角尺畫一個(gè)與相等的角．一、單選題1．（2025·四川廣安·中考真題）若，則的余角為（

）A． B． C． D．2．（24-25七年級(jí)下·陜西咸陽·期中）如圖，點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)作，射線在內(nèi)，過點(diǎn)作，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A． B．與互為余角C． D．與互為補(bǔ)角3．（2025·北京西城·二模）如圖，兩個(gè)直角三角形的直角頂點(diǎn)重合，如果，那么的大小為（

）A． B． C． D．4．（2025·河北張家口·模擬預(yù)測）如圖：已知和都是直角，若減小，則下列說法正確的是（

）A．減小 B．減小C．減小 D．與的和不變5．（24-25七年級(jí)下·貴州黔東南·期中）如圖，物理學(xué)光的反射現(xiàn)象中，把經(jīng)過入射點(diǎn)并垂直于反射面的直線叫做法線，入射光線與法線的夾角叫做入射角，反射光線與法線的夾角叫做反射角，入射角反射角，這就是光的反射定律.在圖中，則是（

）A． B． C． D．二、填空題6．（24-25七年級(jí)下·山西晉中·期中）如果的余角等于，則的補(bǔ)角等于．7．（24-25七年級(jí)下·山東威?！て谥校┮粋€(gè)角的補(bǔ)角與它的余角的度數(shù)之比是，則這個(gè)角的度數(shù)是．8．（24-25七年級(jí)下·遼寧阜新·期中）如果和互余，則下列式子中：①；②；③；④能表示補(bǔ)角的是．（填序號(hào)）9．（2025七年級(jí)下·河南鄭州·專題練習(xí)）如圖，某海域有三個(gè)小島A，B，O，在小島O處觀測到小島A在它北偏東的方向上，觀測到小島B在它南偏東的方向上，則的補(bǔ)角的度數(shù)是．10．（24-25六年級(jí)上·上海普陀·期末）如圖，已知，是內(nèi)的一條射線，比大．如果畫與互余，那么的度數(shù)是．三、解答題11．（24-25七年級(jí)上·吉林·期末）已知一個(gè)角比它的余角的5倍小，求這個(gè)角的度數(shù)．12．（24-25七年級(jí)上·河北石家莊·期中）如圖，點(diǎn)O為直線上一點(diǎn)，在直線的上方畫射線，設(shè)．(1)當(dāng)時(shí)，求α的余角的度數(shù)；(2)若，射線平分，求的度數(shù)．13．（24-25七年級(jí)上·山東濱州·期末）如圖，直線，相交于點(diǎn)，和互余.是的平分線．(1)請(qǐng)直接寫出圖中的余角，以及的補(bǔ)角；(2)如果，求的度數(shù)．14．（24-25七年級(jí)下·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·期中）如圖，直線，相交于點(diǎn)O，以O(shè)為觀察中心，射線表示正北方向，射線表示正東方向，即，射線，的方向如圖所示，且．(1)如圖1，若射線的方向?yàn)楸逼珫|，則射線的方向?yàn)椋?2)如圖2，平分，平分，求證：．15．（23-24七年級(jí)上·湖北黃石·階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)是直線上的一點(diǎn)，是任意一條射線，平分，平分．(1)圖中的補(bǔ)角為．(2)若，求的度數(shù)．(3)與存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？16．（24-25七年級(jí)上·江蘇南通·期末）如圖，射線在的內(nèi)部，射線在的外部，且與互補(bǔ)，．(1)若，求的度數(shù)；(2)若平分，求的度數(shù)；(3)射線滿足，寫出與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．17．（2025七年級(jí)下·全國·專題練習(xí)）定義：從的頂點(diǎn)出發(fā)，在角的內(nèi)部作一條射線，若該射線將分得的兩個(gè)角中有一個(gè)角與∠α互為補(bǔ)角，則稱該射線為的“好線”．如圖，點(diǎn)O在直線上，在直線上方，且，射線是的“好線”．(1)若，且在內(nèi)部，則__°；(2)若恰好平分，請(qǐng)求出的度數(shù)；(3)若是的平分線，是的平分線，請(qǐng)畫出圖形，探究與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．18．（24-25七年級(jí)下·山東濟(jì)南·期中）【問題背景】在“形美數(shù)學(xué)”的課堂中，老師讓同學(xué)們準(zhǔn)備好一副三角尺（一塊含、，一塊含、，在題目設(shè)計(jì)的環(huán)節(jié)上，同學(xué)們踴躍參與，