§1

離散型隨機(jī)變量及其分布列課標(biāo)闡釋思維脈絡(luò)1.在對(duì)具體問(wèn)題的分析中,能說(shuō)出隨機(jī)變量、離散型隨機(jī)變量的意義.2.能寫出隨機(jī)變量所取的值及表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果.3.能解決取有限值的離散型隨機(jī)變量的分布列的問(wèn)題.

一二一、隨機(jī)變量和離散型隨機(jī)變量1.我們將隨機(jī)現(xiàn)象中試驗(yàn)(或觀測(cè))的每一個(gè)可能的結(jié)果都對(duì)應(yīng)于一個(gè)數(shù),這種對(duì)應(yīng)稱為一個(gè)隨機(jī)變量.通常用大寫的英文字母如X,Y來(lái)表示.2.若隨機(jī)變量的取值能夠一一列舉出來(lái),則這樣的隨機(jī)變量稱為離散型隨機(jī)變量.知識(shí)梳理

一二名師點(diǎn)撥離散型隨機(jī)變量的特征(1)可以用數(shù)值表示;(2)試驗(yàn)之前可以判斷其出現(xiàn)的所有值;(3)在試驗(yàn)之前不能確定取何值;(4)試驗(yàn)結(jié)果能一一列出.一二【做一做1】

如果ξ是一個(gè)離散型隨機(jī)變量,那么下列命題是假命題的是(

)

A.ξ取每一個(gè)可能值的概率是正實(shí)數(shù)B.ξ取所有可能值的概率之和為1C.ξ取某兩個(gè)可能值的概率等于分別取其中每個(gè)值的概率之和D.ξ在某一范圍內(nèi)取值的概率大于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率之和解析根據(jù)隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)可得.答案D一二二、離散型隨機(jī)變量的分布列設(shè)離散型隨機(jī)變量X的取值為a1,a2,…,隨機(jī)變量X取ai的概率為pi(i=1,2,…),記作:P(X=ai)=pi(i=1,2,…),(1)或把上式列成下表:上表或(1)式稱為離散型隨機(jī)變量X的分布列.顯然pi>0,p1+p2+…=1.如果隨機(jī)變量X的分布列為上表或(1)式,我們稱隨機(jī)變量X服從這一分布(列),并記為X=aia1a2…P(X=ai)p1p2…一二名師點(diǎn)撥1.0<pi(i=1,2,3,…,n)和p1+p2+…+pn=1是檢驗(yàn)一個(gè)離散型隨機(jī)變量分布列是否正確的重要依據(jù),尤其是要看它們的概率之和是否等于1.還可利用這兩個(gè)結(jié)論求出分布列中的未知參數(shù).2.分布列的結(jié)構(gòu)為兩行,第一行為隨機(jī)變量的所有可能取得的值;第二行為對(duì)應(yīng)于隨機(jī)變量取值的事件發(fā)生的概率.看每一列,實(shí)際上是:上為“事件”,下為事件發(fā)生的概率.一二【做一做2】已知離散型隨機(jī)變量ξ的分布列為

則k的值為(

)答案:B一二思考辨析判斷下列說(shuō)法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)打“√”,錯(cuò)誤的打“×”.(1)山東省2017年每天的降雨量是離散型隨機(jī)變量.(

)(2)離散型隨機(jī)變量X取一個(gè)可能的值的概率一定是非負(fù)實(shí)數(shù).(

)(3)離散型隨機(jī)變量X取所有可能值的概率之和為1.(

)答案(1)×

(2)√

(3)√探究一探究二探究三思維辨析

【例1】

下列變量中是離散型隨機(jī)變量的是

.

①某無(wú)線尋呼臺(tái)1min內(nèi)接到的尋呼次數(shù)X;②連續(xù)不斷射擊,首次命中目標(biāo)需要的射擊次數(shù)X;③將一枚均勻的骰子擲3次,3次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和X;④某工廠加工的某種鋼管,外徑與規(guī)定的外徑尺寸之差X.解析判斷一個(gè)變量是不是離散型隨機(jī)變量,主要看變量的某些值的出現(xiàn)是不是確定,并且變量的取值能否按一定順序列舉出來(lái).④中X取值為某一范圍內(nèi)的實(shí)數(shù),無(wú)法列出,故不是離散型隨機(jī)變量.答案①②③當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三思維辨析反思感悟

判斷一個(gè)變量是否為隨機(jī)變量,主要是看變量的結(jié)果,結(jié)果不能確定的是隨機(jī)變量,判斷一個(gè)變量是否為離散型隨機(jī)變量,主要是看變量的取值能否按一定順序列舉出來(lái),如果可以就是離散型隨機(jī)變量;否則就不是離散型隨機(jī)變量.當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三思維辨析變式訓(xùn)練1下列隨機(jī)變量中不是離散型隨機(jī)變量的是(

)A.盒子里有除顏色不同,其他完全相同的紅球和白球各5個(gè),從中摸出3個(gè)球,白球的個(gè)數(shù)XB.小明答20道選擇題答對(duì)的道數(shù)XC.某人早晨在車站等出租車的時(shí)間XD.某人投籃10次投中的次數(shù)X解析:選項(xiàng)A,B,D中的隨機(jī)變量X的所有取值可以一一列出,因此是離散型隨機(jī)變量.選項(xiàng)C中隨機(jī)變量X可以取一個(gè)區(qū)間內(nèi)的一切值,但無(wú)法按一定次序一一列出,故不是離散型隨機(jī)變量.答案:C當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三思維辨析【例2】袋中裝有除顏色外都一樣的黑球和白球共7個(gè),從中任取2個(gè)球都是白球的概率為

.現(xiàn)在甲、乙兩人從袋中輪流摸取1個(gè)球,甲先取,乙后取,然后甲再取……取后不放回,直到兩人中有一人取到白球時(shí)即為止,每個(gè)球在每一次被取出的機(jī)會(huì)是等可能的,用ξ表示取球終止時(shí)所需要的取球次數(shù).(1)求袋中原有白球的個(gè)數(shù);(2)求隨機(jī)變量ξ的分布列;(3)求甲取到白球的概率.當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三思維辨析分析(1)求袋中原有白球的個(gè)數(shù),需設(shè)出白球的個(gè)數(shù),利用古典概型概率公式,列出方程求解.(2)寫出ξ的可能取值,求出相應(yīng)概率,進(jìn)而求出ξ的分布列.(3)利用所求分布列,記“甲取到白球”的事件為A,則P(A)=P(ξ=1)+P(ξ=3)+P(ξ=5).解(1)設(shè)袋中原有n個(gè)白球,由題意知:當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三思維辨析(3)因?yàn)榧紫热?所以甲只有可能在第1次,第3次和第5次取球,記“甲取到白球”的事件為A,則P(A)=P(“ξ=1”或“ξ=3”或“ξ=5”).因?yàn)槭录唉?1”“ξ=3”“ξ=5”兩兩互斥,所以當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三思維辨析反思感悟

1.求離散型隨機(jī)變量的分布列的一般步驟(1)確定X的所有可能取值xi(i=1,2,…)以及每個(gè)取值所表示的意義;(2)利用概率的有關(guān)知識(shí),求出每個(gè)取值相應(yīng)的概率P(X=xi)=pi(i=1,2,…);(3)寫出或列出分布列;(4)根據(jù)分布列的性質(zhì)對(duì)結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn).當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三思維辨析2.求離散型隨機(jī)變量的分布列需要注意的問(wèn)題(1)離散型隨機(jī)變量的分布列的兩個(gè)本質(zhì)特征:pi>0(i=1,2,3,…,n)(2)求離散型隨機(jī)變量的分布列,首先要根據(jù)具體情況確定X的取值情況,然后利用排列、組合與概率知識(shí)求出X取各個(gè)值的概率.(3)離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率之和.(4)處理有關(guān)離散型隨機(jī)變量的應(yīng)用問(wèn)題,關(guān)鍵在于根據(jù)實(shí)際問(wèn)題確定恰當(dāng)?shù)碾S機(jī)變量.當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三思維辨析變式訓(xùn)練2

某商場(chǎng)舉行抽獎(jiǎng)促銷活動(dòng),抽獎(jiǎng)規(guī)則是:從裝有9個(gè)白球,1個(gè)紅球的箱子中每次隨機(jī)地摸出一個(gè)球,記下顏色后放回,摸出一個(gè)紅球可獲得獎(jiǎng)金10元;摸出2個(gè)紅球可獲得獎(jiǎng)金50元,現(xiàn)有甲、乙兩位顧客,規(guī)定甲摸一次,乙摸兩次,令X表示甲、乙摸球后獲得的獎(jiǎng)金額.求X的分布列.

當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三思維辨析分析利用隨機(jī)變量的性質(zhì)求解.當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三思維辨析反思感悟

離散型隨機(jī)變量的分布列的三個(gè)應(yīng)用(1)運(yùn)用離散型隨機(jī)變量分布列的結(jié)論“pi>0”與“p1+p2+…+pn=1”,可以求出分布列的相關(guān)表格中某個(gè)未知的概率或參數(shù);(2)根據(jù)給出的分布列可求出離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)時(shí)的概率;(3)可運(yùn)用分布列的結(jié)論檢驗(yàn)所求分布列及某些事件的概率是否正確.當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三思維辨析變式訓(xùn)練3

已知隨機(jī)變量ξ的概率分布如下:

則P(ξ=10)=(

)答案:C當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三思維辨析因忽視隨機(jī)變量的性質(zhì)而致誤【典例】若離散型隨機(jī)變量X的概率分布如下表所示:求常數(shù)c的值.易錯(cuò)分析離散型隨機(jī)變量X的每一個(gè)取值所對(duì)應(yīng)的概率都為正數(shù),可類比函數(shù)定義域去理解,若忽略,則可能致誤.X01P9c2-c3-8c當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三思維辨析解由離散型隨機(jī)變量的性質(zhì),糾錯(cuò)心得

離散型隨機(jī)變量的概率分布必須同時(shí)滿足:(1)pi>0,i=1,2,…,n;(2)p1+p2+p3+…+pn=1.當(dāng)堂檢測(cè)1.若用隨機(jī)變量X表示某足球隊(duì)在5次點(diǎn)球中射進(jìn)的球數(shù),則X的取值為(

)A.1,2,3,4,5 B.1,2,3,4,5,…C.0,1,2,3,4,5 D.0,1,2,3,4,5,…解析5次點(diǎn)球中可能有0次、1次、2次、3次、4次、5次射進(jìn),故X的取值為0,1,2,3,4,5.答案C探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)答案:B探究一探究二