數(shù)學(xué)入職試題及答案高中

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\sinx\)的最小正周期是（）A.\(2\pi\)B.\(\pi\)C.\(\frac{\pi}{2}\)D.\(4\pi\)2.若集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{2,3,4\}\)，則\(A\capB=（）\)A.\(\{1,2,3,4\}\)B.\(\{2,3\}\)C.\(\{1,4\}\)D.\(\varnothing\)3.直線\(y=2x+1\)的斜率為（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(\frac{1}{2}\)D.\(-2\)4.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow=(-1,1)\)，則\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow=（）\)A.\((0,3)\)B.\((1,3)\)C.\((2,1)\)D.\((0,1)\)5.拋物線\(y^{2}=4x\)的焦點坐標(biāo)是（）A.\((0,1)\)B.\((1,0)\)C.\((0,-1)\)D.\((-1,0)\)6.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}=1\)，\(a_{3}=5\)，則公差\(d=（）\)A.\(1\)B.\(2\)C.\(3\)D.\(4\)7.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=（）\)A.\(0\)B.\(1\)C.\(\infty\)D.不存在8.函數(shù)\(f(x)=x^{3}\)的導(dǎo)數(shù)\(f^\prime(x)=（）\)A.\(x^{2}\)B.\(3x^{2}\)C.\(3x\)D.\(1\)9.若\(\cos\alpha=\frac{1}{2}\)，且\(0\lt\alpha\lt2\pi\)，則\(\alpha=（）\)A.\(\frac{\pi}{3}\)B.\(\frac{5\pi}{3}\)C.\(\frac{\pi}{3}\)或\(\frac{5\pi}{3}\)D.\(\frac{\pi}{6}\)10.不等式\(x^{2}-2x-3\lt0\)的解集是（）A.\((-1,3)\)B.\((-\infty,-1)\cup(3,+\infty)\)C.\((-3,1)\)D.\((-\infty,-3)\cup(1,+\infty)\)二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.以下哪些是基本初等函數(shù)（）A.冪函數(shù)B.指數(shù)函數(shù)C.對數(shù)函數(shù)D.三角函數(shù)2.關(guān)于直線方程\(Ax+By+C=0\)（\(A\)、\(B\)不同時為\(0\)），正確的是（）A.當(dāng)\(A=0\)時，直線平行于\(x\)軸B.當(dāng)\(B=0\)時，直線平行于\(y\)軸C.斜率\(k=-\frac{A}{B}\)（\(B\neq0\)）D.直線在\(y\)軸上截距為\(-\frac{C}{B}\)（\(B\neq0\)）3.下列屬于向量運算的有（）A.加法B.減法C.數(shù)乘D.數(shù)量積4.橢圓\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)的性質(zhì)正確的是（）A.長軸長為\(2a\)B.短軸長為\(2b\)C.焦距為\(2c\)（\(c^{2}=a^{2}-b^{2}\)）D.離心率\(e=\frac{c}{a}\)5.以下哪些是等比數(shù)列的性質(zhì)（）A.\(a_{n}=a_{1}q^{n-1}\)B.\(S_{n}=\frac{a_{1}(1-q^{n})}{1-q}(q\neq1)\)C.\(a_{m}a_{n}=a_{p}a_{q}(m+n=p+q)\)D.等比中項\(G^{2}=ab\)6.函數(shù)\(y=\cosx\)的性質(zhì)有（）A.偶函數(shù)B.周期為\(2\pi\)C.值域\([-1,1]\)D.在\([0,\pi]\)上單調(diào)遞減7.下列極限存在的是（）A.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{1}{x}\)B.\(\lim\limits_{x\to0}x\sin\frac{1}{x}\)C.\(\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\sinx}{x}\)D.\(\lim\limits_{x\to1}\frac{x^{2}-1}{x-1}\)8.函數(shù)\(f(x)\)在\(x_{0}\)處可導(dǎo)的充要條件是（）A.左導(dǎo)數(shù)存在B.右導(dǎo)數(shù)存在C.左導(dǎo)數(shù)等于右導(dǎo)數(shù)D.函數(shù)在\(x_{0}\)處連續(xù)9.不等式\(ax^{2}+bx+c\gt0\)（\(a\gt0\)），當(dāng)\(\Delta=b^{2}-4ac\lt0\)時，解集為（）A.\(R\)B.\(\varnothing\)C.當(dāng)\(a\lt0\)時，解集為\(\varnothing\)D.當(dāng)\(a\lt0\)時，解集為\(R\)10.立體幾何中，以下哪些是平行關(guān)系（）A.直線與直線平行B.直線與平面平行C.平面與平面平行D.直線與平面垂直三、判斷題（每題2分，共10題）1.空集是任何集合的子集。（）2.函數(shù)\(y=x^{2}\)在\(R\)上是單調(diào)遞增函數(shù)。（）3.向量\(\overrightarrow{a}\)與\(\overrightarrow\)平行，則\(\overrightarrow{a}\)與\(\overrightarrow\)共線。（）4.雙曲線\(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\)的漸近線方程是\(y=\pm\frac{a}x\)。（）5.若\(a_{n+1}-a_{n}=d\)（\(d\)為常數(shù)），則\(\{a_{n}\}\)是等差數(shù)列。（）6.\(\sin(A+B)=\sinA+\sinB\)。（）7.\(\lim\limits_{x\toa}[f(x)+g(x)]=\lim\limits_{x\toa}f(x)+\lim\limits_{x\toa}g(x)\)（前提極限都存在）。（）8.函數(shù)\(f(x)\)在\(x_{0}\)處連續(xù)，則一定可導(dǎo)。（）9.不等式\(x^{2}\geq0\)的解集是\(R\)。（）10.兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個平面。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)\(y=\log_{2}(x-1)\)的定義域。答案：對數(shù)函數(shù)真數(shù)大于\(0\)，即\(x-1\gt0\)，解得\(x\gt1\)，所以定義域為\((1,+\infty)\)。2.求等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)的前\(n\)項和公式\(S_{n}\)（已知首項\(a_{1}\)，公差\(d\)）。答案：\(S_{n}=na_{1}+\frac{n(n-1)}{2}d\)。推導(dǎo)是利用倒序相加法，將\(S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}\)與\(S_{n}=a_{n}+a_{n-1}+\cdots+a_{1}\)相加得到。3.求函數(shù)\(y=x^{3}-3x\)的導(dǎo)數(shù)，并求其極值點。答案：\(y^\prime=3x^{2}-3\)。令\(y^\prime=0\)，即\(3x^{2}-3=0\)，解得\(x=\pm1\)，所以極值點為\(x=1\)和\(x=-1\)。4.已知向量\(\overrightarrow{a}=(2,3)\)，\(\overrightarrow=(-1,2)\)，求\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow\)。答案：根據(jù)向量數(shù)量積坐標(biāo)運算公式\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}\)，這里\(x_{1}=2\)，\(y_{1}=3\)，\(x_{2}=-1\)，\(y_{2}=2\)，則\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=2\times(-1)+3\times2=4\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)的單調(diào)性。答案：函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)定義域為\((-\infty,0)\cup(0,+\infty)\)。在\((-\infty,0)\)和\((0,+\infty)\)上分別單調(diào)遞減。任取\(x_{1}\ltx_{2}\lt0\)或\(0\ltx_{1}\ltx_{2}\)，通過\(f(x_{1})-f(x_{2})=\frac{x_{2}-x_{1}}{x_{1}x_{2}}\)判斷正負(fù)可知單調(diào)性。2.討論橢圓與雙曲線在定義和性質(zhì)上的異同點。答案：相同點：都是圓錐曲線。不同點：定義上，橢圓是到兩定點距離之和為定值，雙曲線是到兩定點距離之差的絕對值為定值。性質(zhì)上，橢圓離心率\(0\lte\lt1\)，雙曲線\(e\gt1\)；橢圓有封閉圖形，雙曲線有漸近線。3.如何引導(dǎo)學(xué)生理解導(dǎo)數(shù)的概念？答案：可以從實際問題引